浙江省宁波市鄞州区鄞州蓝青学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

鄞州第二实验中学2022学年第一学期期中加试考试

初二年级数学学科试题

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷指定区域完成相应内容的填写和填涂考试号，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

3．本次考试期间不得使用电子产品，包括计算器；

4．考试结束后，只需上交答题纸．

一、选择题（每题5分，共50分）

1．下列图标中轴对称图形的个数是（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2．五条线段的长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三条线段组成三角形，则可组成不同的三角形的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．若，则下列式子一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

4．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，且点M到x轴的距离为2，则点M的坐标为（    ）

A． B．（5，2） C． D．

5．若不等式组的解集是，那么m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．如图，在△ABC中，，点D为图中所作直线和射线与AC的交点，根据图中尺规作图痕迹，判断以下结论错误的是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且，，，DC、BE交于点P，连接AP，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，D为△BAC的外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交BA的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，4），点，N（0，n），且满足．若△MON的面积为，则的值不可能为（    ）

A．18 B．46 C．82 D．55

10．如图，两个大小相同的正方形ABCD，EFGH如图放置，点E，B分别在边AD，FG上，若要求出阴影部分的周长，只要知道下列哪条线段的长度即可（    ）

A．AB B．AE C．DE D．

二、填空题（每题4分，共32分）

11．儿童节期间，欧亚超市想要打折促销一款玩具．该玩具成本是60元，定价为90元，要使利润率不低于5%，则该玩具最多可以打__________折．

12．在平面直角坐标系xOy中，已知点、，．若轴，轴，则__________．

13．不等式的非负整数解只有3个，则m的取值范围是__________．

14．如图，在△ABC中，点M、N是与三等分线的交点，若，则的度数是__________．

15．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且；将绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形，且…依此规，得到等腰直角三角形，则点的坐标__________．

16．如图，在△ABC中，，，，点D是边CB上的动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，连接CP，则线段CP的最小值__________．

17．如图，在中，，，，点D在内，连接DA、DB、DC，则的最小值是__________．

18．如图，在中，点D、E分别在边BC、AC上，且，点F在边AB上，连接EF交AD于点G，，，则AD的长为__________．

三、解答题（共68分）

19．（本题8分）解不等式：

（1）  （2）．

20．（本题10分）如图，一张矩形纸片ABCD，点E在边AB上，将沿直线CE对折，点B落在对角线AC上，记为点F．

（1）若，，求AE的长．

（2）连结DF，若点D，F，E在同一条直线上，且，求AE的长．

21．（本题10分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．图中的P，Q两点即为“等距点”．

（1）已知点A的坐标为，

①在点，，中，为点A的“等距点”的是_________；

②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为_________；

A．（3，9） B． C． D．不能确定

（2）若，两点为“等距点”，求k的值．

22．（本题12分）直角三角形纸片ABC中，，，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC这分别交于点E、F．

（1）如果，那么的度数__________；

（2）若折叠后的为等腰三角形，连AD，求的度数；

（3）若折叠后的与△BDE均为等腰三角形，求纸片中的度数．

23．（本题14分）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．

问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，，求的取值范围．

分析：在关于x、y的二元一次方组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据，列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围．

解：由解得，又因为，，所以解得__________．

（2）请你按照上述方法，完成下列问题：

①已知，且，，求的取值范围；

②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，，请直接写出的取值范围__________（结果用含m的式子表示）．

24．（本题14分）在等边中，点O在BC边上，点D在AC的延长线上且．

（1）如图1，若点O为BC中点，求的度效：

（2）如图2，若点O为BC上任意一点，求证：．

（3）如图3，若点O为BC上任意一点，点D关于直线BC的对称点为点P，连接AP，OP，请判断△AOP的形状，并说明理由．

参考答案

一、选择题（共10小题）

1．【解答】图①是轴对称图形，图②是轴对称图形；图③是轴对称图形；图④不是轴对称图形，

轴对称图形共3个，

故选：B．

2．【解答】以其中的三条线段为边组成三角形的有：2cm，3cm，4cm；2cm，4cm，5cm；3cm，4cm，5cm共有3种情况．

故选：C．

3．【解答】A、∵，

∴，

故A不符合题意；

B、∵，

∴，

∴，

故B符合题意；

C、∵，

∴，

故C不符合题意；

D、∵，

∴，

故D不符合题意；

故选：B．

4．【解答】∵点在第四象限，且点M到x轴的距离为2，

∴，

解得，

∴，

∴点M的坐标为．

故选：A．

5．【解答】，

解①得，

∵不等式组的解集是，

∴．

故选：D．

6．【解答】由图中尺规作图痕迹可得，BD为的平分线，DG为线段AB的垂直平分线，

根据线段垂直平分线的性质可得，，

故A选项正确，不符合题意；

∵BD为的平分线，

∴，

∵，

∴，

∴，

故B选项正确，不符合题意；

∵，，，

∴，

∴，

故D选项正确，不符合题意；

∵，，

∴，

故C选项错误，符合题意．

故选：C．

7．【解答】如图，作于点F，于点G，则，

∵，

∴，

在△DAC和△BAE中，

，

∴（SAS），

∴，

在△ACF和△AEG中

，

∴（AAS），

∴，

∴点A在的平分线上，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴的度数为，

故选：D．

8．【解答】∵AD平分，，，

∴，

在Rt△CDE和Rt△BDF中，

，

∴（HL），故①正确；

∴，

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

，

∴（HL），

∴，

∴，故②正确；

∵，

∴，

∴A、B、C、D四点共圆，

∴，故③正确；

，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，故④错误；

故选：C．

9．【解答】如图，

过点A作轴，垂足为点D，过点A作轴，垂足为点B，

∴，

∴四边形ABOD是矩形，

∵点A（4，4），

∴，

∴四边形ABOD是正方形，

∴，

在Rt△ADN和Rt△ABM中，

，

∴（HL），

∴，

∵点，，

∴，，

∴，

即，

∵△MON的面积为，

∴，

∴

；

如图2，

同理，，，

∴，

∵△MON的面积为，

∴，

∴，

∴，

如图3，

同理，，，

∴，

∵△MON的面积为，

∴，

∴，

∴，

故选：D．

10．【解答】如图，连接BE，PE，过点E作于点R，

∵，，，

∴（HL），

∴，

∴，

∵，

∴（AAS），

∴，

∴，

∴（AAS），

∴，，，

∴△KQH的周长，

又（HL），

∴，

∴△KQH的周长，

故选：C．

二、填空题（共8小题）

11．【解答】设该玩具可以打x折，

由题意得：，

解得：，

∴该玩具最多可以打7折，

故答案为：7．

12．【解答】∵，，，轴，轴，

∴且，

∴，

∴，

故答案为：．

13．【解答】解不等式，得：，

∵不等式的非负整数解只有3个，

∴不等式的非负整数解为0、1、2，

则，

解得：，

故答案为：．

14．【解答】如图，过点N作于G，于E，于F，

∵的三等分线与的三等分线分别交于点M、N，

∴BN平分，CN平分，

∴，，

∴，

∴MN平分，

∴，

∵，

∴，

根据三等分，，

在△BMC中，，

∴，

故答案为：50°．

15．【解答】∵△AOB是等腰直角三角形，，

∴，

∴B（1，1），

将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，

再将绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形，且…，依此规律，

∴每4次循环一周，，，，，

∵，

∴点与同在一个象限内，

∵，，，

∴点．

故答案为．

16．【解答】延长AC到点E，使，

∵，，

∴BC垂直平分AE，，

∴，

∴△ABE是等边三角形，

∴，

∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，

∴，，

∴，

∴（SAS），

∴，

∴当时，CP最小，

∴，

故答案为：3．

17．【解答】如图，将△ADB绕点A顺时针旋转120°得到△AEF，连接DE，CF，过点F作交CA的延长线于H．

∵，，，

∴，

∴，

∵，

在Rt△ABC中，，，，

∴，

在Rt△AFH中，，，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴CF的最小值为．

故答案为：．

18．【解答】如图，过点B作，垂足为H，过点A作于K交BH于T．

∵，，

∴BH平分∠ABD，，

∵，

∴△AKG，∠ATH都是等腰直角三角形，

∵，

∴，

设，则，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

在△AEG和△ABT中，

，

∴（AAS），

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

三、解答题（共6小题）

19．【解答】（1），

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴原不等式组的解集为：；

（2），

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴原不等式组的解集为：．

20．【解答】（1）在矩形纸片ABCD中，

∵，，

故由勾股定理可得．

由折叠知：，，．

∴．

设，则．

在Rt△AFE中，，

解得：．

∴．

（2）如图，矩形纸片ABCD中，

∵，

∴，

由折叠知：，

∴，

∴．

又∵点D，F，E在同一条直线上，，

∴，

∴，

而，

在Rt△CDF和Rt△DEA中，

，

∴（HL），

∴．

21．【解答】（1）①∵点到x、y轴的距离中最大值为3，

∴与A点是“等距点”的点是E、F．

②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、、，

这些点中与A符合“等距点”的是．

故答案为①E、F；②C；

（2），两点为“等距点”，

①若时，则或

解得（舍去）或．

②若时，则

解得或（舍去）．

根据“等距点”的定义知，或符合题意．

即k的值是1或2．

22．【解答】（1）∵将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，

∴，

∵，，

∴，

∴，

故答案为：55°；

（2）如图，连接AD，

∵△CDF为等腰三角形，，

∴；

（3）∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

若时，

∴，

∴，

若时，

∴，

∵，

∴，

∴，

若，

∵，

∴（不合题意舍去），

综上所述：或45°．

23．【解答】（1），

∵解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集为，

故答案为：；

（2）①设，则，

解得：，

∵，，

∴，

解得：，

即；

②解方程组得：，

∵，，

∴，

解得：，

∵，

∴，，

∵1.5<a<2，

∴，

∴．

故答案为：．

24．【解答】（1）∵△ABC为等边三角形

∴

∵O为BC中点

∴

且，

∵

∴△AOD中，

∴

∴；

（2）如图1，过O作，OE交AD于E，

∵

∴，，

∴△COE为等边三角形，

∴，，，

又∵，

∴，

在△AOE和△COD中，

，

∴（AAS），

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴；

（3）△AOP为等边三角形．

证明：如图2，连接PC，PD，延长OC交PD于F，

∵P、D关于OC对称，

∴，，

在△OPF与△ODF中，

，

∴（SAS），

∴，，

∴△AOP为等腰三角形，

过O作，OE交AD于E，

由（2）得，，

∴，

∴，

即，

∴△AOP是等边三角形．