安徽省安庆市迎江区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份安徽省安庆市迎江区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省安庆市迎江区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题
1．（4分）已知2x＝3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．（4分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
3．（4分）已知点A（1，y1）、B（﹣，y2）、C（﹣2，y3）在函数y＝a（x+1）2﹣m（a＞0）上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y3＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3
4．（4分）在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）若M（﹣2，a），N（2，b），P（4，c）三点都在函数y＝的图象上，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
6．（4分）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（　　）

A．a B． C． D．a
7．（4分）如图，A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y＝﹣的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（　　）

A．7 B．﹣7 C．﹣5 D．5
8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＜0；③3a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）；⑤方程ax2+bx+c＝2022的两实数根为x1，x2，则x1+x2＝2．其中结论正确的个数为（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（4分）定义符号min{a，b}含义为：当a＞b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，2）＝﹣4．则min{x2+1，﹣x}的最大值是（　　）
A． B． C．1 D．0
10．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点P从D点出发，沿DA→AB→BC运动，过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，设点P运动的路程为x，△DPQ的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（　　）

A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知点A（﹣2，3），B（m，1）在反比例函数y＝上，则m＝　 　．
12．（5分）如图，小明在A时测得垂直于地面的树的影长为4米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 　 　米．

13．（5分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是 　 　．

14．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）此抛物线的对称轴是直线　 　；
（2）已知点P（，﹣），Q（2，2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，则a的取值范围是　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
16．（8分）已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+6．
（1）用配方法求出函数的顶点坐标；
（2）将该二次函数图象向右平移 　 　个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，正方形网格中的小正方形的面积都为1，网格中有△ABC和△DFE（三角形中的每个顶点都在格点上）．这两个三角形相似吗？请说明你的理由．

18．（8分）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．
（1）证明：AM2＝MN•MP；
（2）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长．

20．（10分）Rt△ABO的顶点A是双曲线y＝与直线y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB垂直x轴于点B且S△ABO＝．
（1）求这两个函数解析式；
（2）求△AOC的面积；
（3）根据图象直接写出不等式＞x﹣（k+1）的解集．

六、（本题满分12分）
21．（12分）我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．
（1）求抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”；
（2）求抛物线y＝x2﹣2x+2与直线y＝x﹣1的“和谐值”．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式；
（2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？

八、（本题满分14分）
23．（14分）在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，线段AC与DE交于点G，连接BD，CE．
（1）如图（1），当B，D，E三点共线时，求证：∠BEC＝∠DAE；
（2）如图（2），当B，D，E三点不共线时，延长ED交BC于点F．
①求证：AD•CG＝EG•FC；
②若∠BAC＝∠ADB＝90°，求的值．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）已知2x＝3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】由2x＝3y（y≠0），根据比例的性质，即可求得答案．
解：∵2x＝3y（y≠0），
∴＝或＝．
故选：B．
【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．
2．（4分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
解：∵抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∴平移后的解析式为：y＝（x﹣3）2+2．
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题关键．
3．（4分）已知点A（1，y1）、B（﹣，y2）、C（﹣2，y3）在函数y＝a（x+1）2﹣m（a＞0）上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y3＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，根据各点到对称轴距离的大小求解．
解：∵y＝a（x+1）2﹣m中，a＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵1﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣2）＞﹣1﹣（﹣），
∴y1＞y3＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
4．（4分）在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．
解：三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6．
A、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、＝＝，对应边＝＝＝，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．
5．（4分）若M（﹣2，a），N（2，b），P（4，c）三点都在函数y＝的图象上，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．
解：∵k＝m2+1＞0，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
又∵M（﹣2，a），N（2，b），P（4，c）三点都在函数y＝的图象上，且﹣2＜0＜2＜4，
∴M（﹣2，a）在第三象限，N（2，b），P（4，c）在第一象限，
∴a＜0，b＞c＞0
故a、b、c的大小关系为b＞c＞a．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6．（4分）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（　　）

A．a B． C． D．a
【分析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．
解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB＝4，AD＝2，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，
∴△ACD的面积：△ABD的面积＝1：3，
∵△ABD的面积为a，
∴△ACD的面积为a，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．
7．（4分）如图，A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y＝﹣的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（　　）

A．7 B．﹣7 C．﹣5 D．5
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△BOM＝|﹣3|＝，S△AOM＝|k|，根据平行线的性质和三角形的面积公式可得S△OAB＝S△CAB＝2，根据S△AOM﹣S△BOM＝2，求出k的值即可．
解：如图，连接OA、OB，延长AB交y轴于M，则S△BOM＝|﹣3|＝，S△AOM＝|k|，
∵AB∥x轴，
∴S△OAB＝S△CAB＝2，
即S△AOM﹣S△BOM＝2，
∴|k|﹣＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣7，
故选：B．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOM﹣S△BOM＝S△ABC＝2是正确解答的关键．
8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＜0；③3a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）；⑤方程ax2+bx+c＝2022的两实数根为x1，x2，则x1+x2＝2．其中结论正确的个数为（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
能得到：a＞0，c＜0，﹣＞0，b＜0，
∴abc＞0，本选项错误；
②当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故本选项正确；
③当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，对称轴为x＝1，即﹣＝1，b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＝0得，3a+c＝0，故本选项错误；
④在y＝ax2+bx+c中，x＝1时，y取得最小值，可得a+b+c≤am2+bm+c，
可得a+b≤m（am+b），故本选项正确；
⑤方程ax2+bx+c＝2022的两实数根为x1，x2，即对称轴可表示为＝1，
可得x1+x2＝2，故本选项正确；
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键．
9．（4分）定义符号min{a，b}含义为：当a＞b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，2）＝﹣4．则min{x2+1，﹣x}的最大值是（　　）
A． B． C．1 D．0
【分析】min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．
解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．
令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝或，
∴A（，），B（，）．
观察图象可知：
①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；
②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；
③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．
综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．
故选：A．

【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．
10．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点P从D点出发，沿DA→AB→BC运动，过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，设点P运动的路程为x，△DPQ的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】分P点在AD、AB、BC边上时的三种情况，分别求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．
解：由题意得，当0≤x≤2时，y＝；
当2＜x≤4时，如图1，

过A作AE⊥CD于点E，则PQ＝AE＝AD•sin60°＝，
DE＝AD•cos60°＝1，
AP＝EQ＝x﹣2，
∴DQ＝1+x﹣2＝x﹣1，
∴y＝；
当4＜x≤6时，如图2，

过A作AE⊥CD于点E，过P作PF⊥AB于点F，则BP＝x﹣4，DE＝1，AE＝FQ＝，
∴PF＝BP•sin60°＝，BF＝BP•cos60°＝，
∴EQ＝AF＝AB﹣BF＝4﹣x，PQ＝FQ﹣PF＝，
∴DQ＝DE+EQ＝5﹣，
∴，
综上可知，当0≤x≤2时，函数图象是开口向上的抛物线；当2＜x≤4时，函数图象是从左到右呈上升趋势的线段；当4＜x≤6时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有D，
故选：D．
【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象及性质，二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知点A（﹣2，3），B（m，1）在反比例函数y＝上，则m＝　﹣6　．
【分析】此题只需将（﹣2，3），（m，1）代入反比例函数，再令其相等就可解得m的值．
解：∵点A（﹣2，3），B（m，1）都在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴1×m＝﹣6，
解得：m＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征：点的纵横坐标满足函数解析式．
12．（5分）如图，小明在A时测得垂直于地面的树的影长为4米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 　4　米．

【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得EC2＝ED•FE，代入数据可得答案．
解：根据题意，作△DFC，
树高为CE，且∠DCF＝90°，ED＝4，FE＝12，
易得：Rt△DEC∽Rt△CEF，
有＝，即EC2＝ED•EF，
代入数据可得EC2＝4×12＝48，
EC＝4，
答：树的高度为4米．
故答案为：4．

【点评】本题考查了通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性质在实际生活中的应用，难度适中．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（5分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是 　　．

【分析】求出EF＝，DE＝，证明△DEG∽△BCG，由相似三角形的性质得出EG：GC＝ED：BC＝2：3，则可得出答案．
解：如图，

∵EF∥BC，
∴EF：BC＝AF：AB，
∴EF：1＝1：3，
∴EF＝，DE＝，
∵DE∥BC，
∴△DEG∽△BCG，
∴EG：GC＝ED：BC＝2：3，
∴EG：EC＝2：5，
∴S△DEG：SDEC＝2：5，
∵S△DEC＝DE•DC＝＝，
∴S△DEG＝S△DEC＝＝，
∴S阴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积．证明△DEG∽△BCG是解题的关键．
14．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）此抛物线的对称轴是直线　x＝1　；
（2）已知点P（，﹣），Q（2，2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，则a的取值范围是　a≤﹣　．
【分析】（1）A（0，﹣）向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣），根据题意A与B关于对称轴x＝1对称；
（2）①a＞0时，当x＝2时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0或x＝2，所以函数与AB无交点；
②a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，解得x＝或x＝，当≤2时，a≤﹣．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，
∴A（0，﹣）
∴点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣），
∵点B也在抛物线上，
∴A、B关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1；
（2）∵对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣，
①a＞0时，
当x＝2时，y＝﹣＜2，
当y＝﹣时，x＝0或x＝2，
∴函数与PQ无交点；
②a＜0时，

当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，
解得，x＝或x＝，
当≤2时，a≤﹣；
∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
故答案为a≤﹣．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，分类讨论交点是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
【分析】（1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；
（2）根据比例中项的定义列式求解即可．
解：（1）设＝＝＝k，
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
所以，3k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，
所以，a＝3×2＝6，
b＝2×2＝4，
c＝6×2＝12；

（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴x2＝ab＝6×4＝24，
∴线段x＝2．
【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
16．（8分）已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+6．
（1）用配方法求出函数的顶点坐标；
（2）将该二次函数图象向右平移 　3　个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点．
【分析】（1）利用配方法把抛物线的解析式配成顶点式，从而得到顶点坐标；
（2）先解方程﹣2（x+1）2+8＝0得抛物线y＝﹣2x2﹣4x+6与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0），然后把（﹣3，0）向右平移3个单位到原点．
解：（1）y＝﹣2（x+1）2+8，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，8）；
（2）当y＝0时，﹣2（x+1）2+8＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，抛物线y＝﹣2x2﹣4x+6与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0），
所以将抛物线y＝﹣2x2﹣4x+6向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点．
故答案为：3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，正方形网格中的小正方形的面积都为1，网格中有△ABC和△DFE（三角形中的每个顶点都在格点上）．这两个三角形相似吗？请说明你的理由．

【分析】根据相似三角形的对应边成比例来判定两个三角形是否相似即可．
解：△ABC∽△DFE．理由如下：
∵正方形网格中的小正方形的面积都为1，
∴正方形网格中的小正方形的边长都为1，
如图，在△ABC中，AB＝＝，AC＝＝，BC＝5．
在△DEF中，DE＝＝，DF＝2，EF＝＝．
因为＝＝，＝，＝＝，
所以＝＝，
所以△ABC∽△DFE．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定．平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
18．（8分）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？

【分析】（1）根据直角坐标系中的抛物线，和已知条件即可求解；
（2）根据货车宽度可知抛物线解析式中的x值，即可求出对应的y的值，再与货车高度比较即可求解．
解：（1）根据题意，得
抛物线的顶点坐标为（5，4），经过（0，0），
∴设：抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+4，
把（0，0）代入，得
25a+4＝0，解得a＝﹣，
所以抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4＝﹣x2+x．
答：抛物线解析式为y＝﹣x2+x．
（2）货船能从桥下通过．理由如下：
∵货船宽为2米，高为3米，
当x＝6时，y＝﹣（6﹣5）2+4＝3.84，
∵3.84＞3，
∴货船能从桥下通过．
答：货船能从桥下通过．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练运用二次函数解决实际问题．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．
（1）证明：AM2＝MN•MP；
（2）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长．

【分析】（1）通过证明△ADM∽△NBM，△PDM∽△ABM，可得＝＝，即可得结论；
（2）通过证明△PCN∽△PDA，可得＝，可求NC＝2，即可求BN的长．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADM＝∠NBM，∠DAM＝∠BNM，
∴△ADM∽△NBM，
∴＝，
∵AB∥DC，
∴∠P＝∠BAM，∠MDP＝∠ABM，
∴△PDM∽△ABM，
∴＝，
∴＝，
∴AM2＝MN•MP；
（2）∵AD∥BC，
∴∠PCN＝∠PDA，∠P＝∠P，
∴△PCN∽△PDA，
∴＝，
∵DC：CP＝2：1，
∴＝＝，
又∵AD＝6，
∴NC＝2，
∴BN＝4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
20．（10分）Rt△ABO的顶点A是双曲线y＝与直线y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB垂直x轴于点B且S△ABO＝．
（1）求这两个函数解析式；
（2）求△AOC的面积；
（3）根据图象直接写出不等式＞x﹣（k+1）的解集．

【分析】（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，由此即可求出k；
（2）由函数的解析式组成方程组，解之求得A、C的坐标，然后根据S△AOC＝S△ODA+S△ODC即可求出；
（3）根据图象即可求得．
解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，
则S△ABO＝•|BO|•|BA|＝•（﹣x）•y＝，
∴xy＝﹣3，
又∵y＝，
即xy＝k，
∴k＝﹣3．
∴所求的两个函数的解析式分别为y＝﹣，y＝﹣x+2；

（2）由y＝﹣x+2，
令x＝0，得y＝2．
∴直线y＝﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），
∵A、C在反比例函数的图象上，
∴，解得，，
∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），
∴S△AOC＝S△ODA+S△ODC＝OD•（|x1|+|x2|）＝×2×（3+1）＝4；

（3）使式＞﹣x﹣（k+1）成立的x的取值范围是：﹣1＜x＜0或x＞3．
【点评】此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．也考查了函数和不等式的关系．
六、（本题满分12分）
21．（12分）我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．
（1）求抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”；
（2）求抛物线y＝x2﹣2x+2与直线y＝x﹣1的“和谐值”．
【分析】（1）利用顶点式即可解决问题；
（2）如图，P点为抛物线y＝x2﹣2x+2任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q，设P（t，t2﹣2t+2），则Q（t，t﹣1），可得PQ＝t2﹣2t+2﹣（t﹣1）＝t2﹣3t+3＝（t﹣）2+，利用二次函数的性质即可解决问题．
解：（1）∵y＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线上的点到x轴的最短距离为1，
∴抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”为1；

（2）如图，P点为抛物线y＝x2﹣2x+2任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q，
设P（t，t2﹣2t+2），则Q（t，t﹣1），
∴PQ＝t2﹣2t+2﹣（t﹣1）＝t2﹣3t+3＝（t﹣）2+，
当t＝时，PQ有最小值，最小值为，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“和谐值”为．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；正确理解新定义的能力．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式；
（2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？

【分析】（1）由图象知，当30≤x≤60时，图象过（60，2）和（30，5），运用待定系数法求解析式即可；
（2）根据销售产品的纯利润＝销售量×单个利润，分30≤x≤60和60＜x≤80列函数表达式；
（3）当30≤x≤60时，运用二次函数性质解决，当60＜x≤80时，运用反比例函数性质解答．
解：（1）当x＝60时，y＝＝2，
∴当30≤x≤60时，图象过（60，2）和（30，5），
设y＝kx+b，则
，
解得：，
∴y＝﹣0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）根据题意，当30≤x≤60时，W＝（x﹣20）y﹣50＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣50＝﹣0.1x2+10x﹣210，
当60＜x≤80时，W＝（x﹣20）y﹣50＝（x﹣20）•﹣50＝﹣+70，
综上所述：W＝；
（3）当30≤x≤60时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210＝﹣0.1（x﹣50）2+40，
当x＝50时，W最大＝40（万元）；
当60＜x≤80时，W＝﹣+70，
∵﹣2400＜0，W随x的增大而增大，
∴当x＝80时，W最大＝﹣+70＝40（万元），
答：当销售价格定为50元/件或80元/件，获得利润最大，最大利润是40万元．
【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用．分段讨论和数学建模是解决本题的关键所在．
八、（本题满分14分）
23．（14分）在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，线段AC与DE交于点G，连接BD，CE．
（1）如图（1），当B，D，E三点共线时，求证：∠BEC＝∠DAE；
（2）如图（2），当B，D，E三点不共线时，延长ED交BC于点F．
①求证：AD•CG＝EG•FC；
②若∠BAC＝∠ADB＝90°，求的值．

【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE，可得∠BAD＝∠CAE．又因为AB＝AC，AD＝AE，所以△BAD≌△CAE（SAS），所以∠ABD＝∠ACE．又当B，D，E三点共线时，∠AGB＝∠EGC，所以∠BAC＝∠BEC，即∠BEC＝∠DAE．
（2）①因为AB＝AC，AD＝AE，所以＝，又∠BAC＝∠DAE，所以△BAC∽△DAE，所以∠AED＝∠ACB．又∠AGE＝∠FGC，所以△AEG∽△FCG，则＝，所以AE•CG＝EG•FC，又AD＝AE，所以AD•CG＝EG•FC．
②连接AF，△ABC是等腰直角三角形，求证AF⊥BC即可得到比例关系．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE．
又∵当B，D，E三点共线时，∠AGB＝∠EGC，
∴∠BAC＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠DAE．
（2）①证明：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴＝，
又∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC∽△DAE，
∴∠AED＝∠ACB．
又∠AGE＝∠FGC，
∴△AEG∽△FCG，
∴＝，
即AE•CG＝EG•FC，
又AD＝AE，
∴AD•CG＝EG•FC．
②解：如图，连接AF．

由（1）可知，△BAD≌△CAE，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°．
由①知△AEG∽△FCG，
∴＝，即＝．
又∵∠AGF＝∠EGC，
∴△AGF∽△EGC，
∴∠AFG＝∠ACE，
∴∠AFE+∠EFC＝∠ECA+∠EAC＝180°﹣∠AEC＝90°，
∴∠AFC＝90°．
∴FC＝AC＝AB，
∴＝．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，由所给条件判断出哪两个三角形相似是解题关键．