2021高考一轮数列综合讲义18讲（学生版）

这是一份2021高考一轮数列综合讲义18讲（学生版），共45页。试卷主要包含了已知数列满足，，且，已知数列满足，，求通项公式，已知数列满足，，求的通项公式，已知数列满足等内容，欢迎下载使用。


2021数列综合讲义18讲

目录


第1讲 累加法、累乘法、差商法求通项 2
第2讲 公式法求通项 5
第3讲 构造辅助数列求通项 8
第4讲 分组求和 9
第5讲 裂项求和 12
第6讲 倒序相加 15
第7讲 等差绝对值求和 18
第8讲 错位相减求和 19
第9讲 数列的通项与求和综合 21
第10讲 数列单调性问题 25
第11讲 数列的奇偶性问题 28
第12讲 数列周期性问题 30
第13讲 数列最值问题 31
第14讲 数阵问题（数列群问题） 34
第15讲 创新型数列问题 39
第16讲 存在性问题（整除问题） 41
第16讲 存在性问题（整除问题） 44
第17讲 简单的数列与不等式证明 48
第18讲 数列与其他知识点综合 51


第1讲 累加法、累乘法、差商法求通项
题型1 累加法
1．已知数列满足，，若，则数列的通项　　．
2．若数列满足，且对于任意的都有，则　　．
3．已知数列满足，，且．
（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．
题型2 累乘法
1．已知数列满足，且，则　　
A． B． C． D．
2．已知数列满足，且，则　　
A． B． C． D．
3．已知数列是首项为1的正项数列，且，若数列满足，且，则式子的值是　　
A． B． C． D．
4．设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则　　，　　．
5．已知数列满足，，求通项公式．
6．已知数列满足，，求的通项公式．
题型3 差商法
1．已知数列中，，对所有，都有，则　　
A． B．3 C．9 D．
2．已知数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）若，求数列的前项和；
（Ⅲ）求证．
3．已知数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）若求数列的前项和．
4．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，探求使恒成立的的最大整数值．
5．已知数列满足．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，则求出的值；
（Ⅲ）已知是公比大于1的等比数列，且，，设，若是递减数列，求实数的取值范围
6．已知数列满足，．（Ⅰ）求
（Ⅱ）求证：
7．已知数列满足．
（1）求，和的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
8．（1）设数列满足，，求数列的通项公式；
（2）已知等比数列的各项均为正数，且，，求数列的通项公式．

第2讲 公式法求通项
1．已知为数列的前项和，且，则数列的通项公式为　　
A． B． C．D．
2．已知为数列的前项和，，，那么　　
A． B． C． D．
3．已知数列的前项和为，，，则数列的通项公式为　　
A． B． C． D．
4．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式　　
A． B． C． D．
5．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C． D．
6．已知数列满足：，，其中为的前项和．若对任意的均有恒成立，则的最大整数值为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知数列的前项和为，满足，则数列的通项公式　　．设，则数列的前项和　　．
8．已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式　　．
9．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式　　．
10．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式　　．
11．已知数列的各项均为正数，为其前项和，且对任意的，均有，，成等差数列，则　 　．
12．设各项均为正数的数列的前项和为满足，且，，恰好是等比数列的前三项．记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是　 　．
13．已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足，则　 　．
14．数列满足，其前项和为，则
（1）　 　；
（2）　 　．
15．已知数列的前项和，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是　 　．
16．设数列前项和，且，为常数列，则　 　．
17．已知数列中，，是数列的前项和，对任意，均有、、成等差数列，则数列的通项公式　 　．
18．设，函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数单调区间．
19．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求证：．
20．已知各项均为正数的数列的前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为．证明：．
21．已知数列的前项和为，．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若数列是等差数列，，数列的前项和为，是否存在，使得？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
22．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的前项和和通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求使得的最小正整数．
23．已知数列各项均为正数，是数列的前项的和，对任意的都有．数列各项都是正整数，，，且数列，是等比数列．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求满足的最小正整数．
24．已知数列各项均为正数，为其前项和，且对任意的，都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意的恒成立，求实数的最大值．
25．已知数列的各项均为正数，为其前项和，且对任意的，有．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
26．已知各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意的，有．
（1）求常数的值；
（2）求数列的通项公式．






第3讲 构造辅助数列求通项
1．已知数列满，则数列的通项公式为　　．
2．已知数列的首项，，则的通项　　．
3．数列中，，，则的通项公式为　 　．
变式：已知数列中，，，则的通项公式为　 　．
4．已知数列满足，且，则　 　．
5．已知数列满足，．
（1）若数列是等差数列，求通项公式；
（2）已知，求证数列是等比数列，并求通项公式．
6．已知数列满足：，且．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）设，求证：．










第4讲 分组求和
1．数列1，1，2，3，5，8，13，21，最初是由意大利数学家斐波拉契于1202年研究兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波拉契数列．又称黄金分割数列．后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律．某校数学兴
趣小组对该数列探究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列，2，1，6，9，10，17，，设数
列的前项和为．
（1）请计算，，．并依此规律求数列的第项　 　．
（2）　 　．（请用关于的多项式表示，其中
2．求数列的前项和：．
3．数列中，，为抛物线与直线的交点，过作抛物线的切线交直线于点，记的纵坐标为．
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．（附
4．已知数列满足，．
（1）求证：数列为等比数列：
（2）求数列的前项和．
5．已知正项数列的前三项分别为1，3，5，为数列的前项和，满足：，，．
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列满足，求数列的前项和．
（参考公式：
6．设等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前项和．
参考公式：．
7．已知数列的前项和为，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和．
参考公式：．
8．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
9．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
10．已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记，求．
11．在数列中，，，．
（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的与前项和．
12．单调递增数列满足．
（1）求，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
13．已知数列和满足，若为等比数列，且，．
（1）求与；（2）设，求数列的前项和．

第5讲 裂项求和
1．已知等差数列的前项和为，且，，则数列的前20项的和为　　
A． B． C． D．
2．已知数列的前项和满足，则数列的前10项的和为　　．
3．已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则　　．
4．已知数列 中，，，且，3，4，．
（1）求、的值；
（2）设，试用表示并求 的通项公式；
（3）设，求数列的前项和．
5．已知等差数列的前项和为，且，，数列为等比数列，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和，并求使得恒成立的实数的取值范围．
6．设等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且，，，求证：的前项和．
7．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的前项和和通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求使得的最小正整数．
8．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，设数列的前项和为，若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
9．等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和．
10．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
11．已知数列前项和满足．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：．
12．已知数列满足，．
（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：．
13．已知是数列的前项和，并且，对任意正整数，；设，2，3，．证明数列是等比数列，并求的通项公式；
设的前项和，求．
14．设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，，．
（1）求数列，的通项；
（2）若，数列的前项和，求证：．
15．设数列为等差数列，为单调递增的等比数列，且，，（1）求的值及数列，的通项；（2）若，求数列的前项和．
第6讲 倒序相加
1．已知函数，则的值为　　
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
2．已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则　　
A． B．2017 C．4034 D．8068
3．已知函数，正项等比数列满足且．则等于　　
A．1008 B． C． D．1009
4．已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，且，则的值　　
A．恒为负数 B．恒为正数 C．恒为0 D．可正可负
5．已知函数，是公差不为0的等差数列，，则的值为　　
A．0 B．1 C．2 D．5
6．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则　　
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
7．如果函数，那么的值为　 　．
8．已知函数，那么　 　，（1）（2）（3）　 　．
9．已知函数，数列为等比数列，，且，则　　．
10．设函数，数列是公差为2的等差数列，且满足，则　　．
11．已如函数，，，则数列的通项公式为　　．
12．任意实数，，定义，设函数，正项数列是公比大于0的等比数列，且，，则　　．
13．已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）求的值．
14．已知：，求（1）（1）（2）
15．已知函数．
（1）求（2）与，（3）与；
（2）由（1）中求得的结果，你能发现与的关系吗？并证明你的发现；
（3）求（1）（2）（3）的值．

第7讲 等差绝对值求和
1．已知数列为等差数列，其前项和为，且，，数列
（1）求的通项公式
（2）求数列的前项和．
2．已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求．
3．在公差为的等差数列中，已知且．
（1）求，．
（2）若，求．
4．在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
（1）求，；
（2）若，求．
5．在公差为的等差数列中，已知，．
（1）求，；
（2）求．
6．在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
（1）求，；
（2）若，求







第8讲 错位相减求和

1．已知为等比数列，，；为等差数列 的前 项和，，．
（1）求和 的通项公式；
（2）设数列 满足，求数列 的前 项和．
2．是等比数列，公比大于0，其前项和为是等差数列．已知，，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和为；
（3）若则数列前项和
①求
②若对，任意，均有恒成立，求实数的取值范围
（4）由（3）知对于数列的不等式问题，一般都是求最值，那么在数列中求一个数列最值的方法有哪些？
（5）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，，求这个新数列的前项和
（6）设，其中，求
（7）是否存在新数列，满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
（8）通过解本题体会数列求和方法，数列求和方法的本质是什么？
3．已知公差的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的通项公式；
（3）令，，求数列的前项和．
4．已知等差数列的前项和为，且，，等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求的值．
5．设是公差大于零的等差数列，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设是以函数的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列的前项和．
6．已知等差数列的前项和为，且，，等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求的值．
7．已知在等差数列中，前7项和等于35，数列中，点，在直线上，其中是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）设，为数列的前项和，求并证明；．
8．已知各项都为整数的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，求证：．
9．已知等差数列的公差，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
10．已知等差数列的公差，前项和为，是与的等比中项，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
11．已知数列是等差数列，其前项和为，数列是等比数列，且，，
（1）求数列与的通项公式；（2）设，求数列的前项的和．
第9讲 数列的通项与求和综合
1．已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，，，，，，，，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．则数列的前28项的和　　．
2．已知数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，求证：．
3．已知数列满足．
（1）求
（2）求数列的前项和
（3）已知是公比大于1的等比数列，且，，设，若是递减数列，求实数的取值范围
4．（1）已知数列的前项和，求通项公式；
（2）在数列中，，，求数列的通项；
（3）在数列中，，前项和，求的通项公式．
（4）已知在每项均大于零的数列中，首项，且前项和满足，，求．
5．（1）在数列中，，，求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和，求数列的通项公式；
（3）已知数列满足，，求数列的通项公式；
（4）已知数列满足，且，求数列的通项公式．
6．已知为正项数列的前项和，并且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）已知数列满足，求数列的前项和．
7．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“型数列”．
（1）若数列为“型数列”，且，，，求实数的取值范围；
（2）是否存在首项为1的等差数列为“型数列”，且其前项和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由．
（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“型数列”， ，，当数列不是“型数列”时，试判断数列是否为“型数列”，并说明理由．
8．已知数列，，，且，．若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列，若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列．
（Ⅰ）已知，，，试写出二阶等差数列的前五项；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：；
（Ⅲ）若的首项，且满足，判断是否为二阶等差数列．
9．在等差数列中，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若，求的值．
10．设数列满足：，点均在直线上．
（1）证明数列等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
11．已知正项数列满足．若数列满足且
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：；
（3）求证：．
12．已知正项数列的前项和为，且满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
13．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和；
（Ⅲ）若对于，恒成立，求范围．
14．已知等比数列的前项和为，且．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
15．已知等比数列的前项和为，且．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，求的前项和．
16．已知等比数列的前项和为，且．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
17．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．



第10讲 数列单调性问题
1．已知数列与满足，，在数列中，，设数列中的最小项是第项，则等于　　
A．30 B．28 C．26 D．24
2．在数列中，，则此数列最大项的值是　　
A．103 B． C． D．108
3．设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
4．已知是递增数列，且对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是　　．
5．已知数列是递增数列，且对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是　 　．
6．已知数列满足，对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围　 　．
7．数列满足．数列满足，则中的最大项的值是　 　．
8．已知数列，，前项和满足，
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和；
（Ⅲ）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．
9．已知数列中，为非零常数），其前项和满足：
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且，求、的值；
（3）是否存在实数、，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出与的取值范围；若不存在，请说明理由．
10．设数列满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列中的最大项的值．
11．已知是定义在实数集上的不恒为0的函数，对任意实数，有，当时，有．
（Ⅰ）求的值，并证明恒正；
（Ⅱ）判断在实数集上单调性；
（Ⅲ）设为数列的前项和，，为正整数）．令，问数列中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由．
12．已知数列满足：，，2，3，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，2，，求数列的最大项的值；
（3）对第（2）问中的数列，如果对任意，都有，求实数的取值范围．
13．已知无穷数列满足：，，．对任意正整数，记对任意，2，3，，，对任意，．
（Ⅰ）写出，；
（Ⅱ）当时，求证：数列是递增数列，且存在正整数，使得；
（Ⅲ）求集合．
14．设数列的前项和为，，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和满足．
①若，求证：；
②若数列为递增数列，求的范围．
15．若数列的每一项都不等于零，且对于任意的，都有为常数），则称数列为“类等比数列”．已知数列满足：，对于任意的，都有．
（1）求证：数列是“类等比数列”；
（2）求通项公式；
（3）若是单调递增数列，求实数的取值范围．
16．已知数列的前项和为．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）试讨论数列的单调性（递增数列或递减数列或常数列）．
17．已知函数，．
（1）求证：对任意，；
（2）试判断数列是否是递增数列，或是递减数列？
18．已知数列满足：，，，为数列的前项和．
（1）若是递增数列，且，，成等差数列，求的值；
（2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，令，求数列的前项和．











第11讲 数列的奇偶性问题
1．已知数列满足，，则　　
A． B． C． D．
2．已知数列满足，， ，则数列的前2017项的和为　　
A． B． C． D．
3．数列满足，则的前60项和为　　
A． B． C． D．
4．数列满足，则数列的前60项和为　　
A．1860 B．5100 C．3720 D．930
5．已知数列满足，，是数列的前项和，则　　
A． B． C． D．
6．已知数列满足，若，则　 　，前60项的和为　 　．
7．已知数列的前项和为，，，则的值为　　．
8．已知数列满足，则的前50项的和为　 　．
9．已知函数，数列满足，则　 　．
10．已知数列满足：，，，．
（1）求、、、的值；
（2）设，，试求；
（3）比较、、、的大小关系．
11．已知数列的通项公式为．
（1）写出这个数列的前6项，并画出图象；
（2）判断7是该数列的第几项？
12．已知数列满足：．
（Ⅰ）问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由；
（Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和．
13．已知数列满足：，，；
（1）求、、；
（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；
（3）求和；
14．（1）设函数，且数列满足，，；求数列的通项公式．
（2）设等差数列、的前项和分别为和，且，，；求常数的值及的通项公式．
（3）若，其中、即为（1）、（2）中的数列、的第项，试求．


第12讲 数列周期性问题
1．已知数列满足，，等于的个位数，则　　
A．2 B．4 C．6 D．8
2．已知数列满足：，，，为数列的前项和，则　　
A．3 B．4 C．1 D．0
3．数列满足，，其前项的积为，则　　
A．1 B． C．2 D．3
4．已知数列满足，，，为数列的前项和，则的值为　　
A． B． C． D．
5．已知数列满足且，若，，，则下列结论中正确的是　　
A．， B．，
C．， D．，
6．已知数列满足，，，，则的值等于　　
A．3 B．1 C． D．
7．已知数列满足，，，记，则下列结论正确的是　　
A．， B．，
C．， D．，
8．已知数列的前项和为，满足，，，则　　．
9．已知数列满足条件：，，则对任意正整数，的概率为　　．
10．若数列满足，，，3，4，，且有一个形如的通项公式，其中、均为实数，且，，则　 　，　 　．

第13讲 数列最值问题
1．设等差数列的前项和为，且满足，，则，，，中最大的项为　　
A． B． C． D．
2．设等差数列的前项和，若，，则数列的前15项中最大的项是　　
A．第1项 B．第8项 C．第9项 D．第15项
3．已知等差数列的公差，前项和为，若，，成等比数列，则　　
A．， B．， C．， D．，
4．设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
5．设等差数列的前项和为，若，，则的最大值是　　
A．2 B．1 C．0 D．
6．设等差数列的前项和为，，，．其中且，则数列的前项和的最大值为　　
A． B． C． D．
7．设等差数列满足，公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．
8．设等差数列满足，，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是　　
A．310 B．212 C．180 D．121
9．设等差数列满足，，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是　　
A．310 B．212 C．180 D．121
10．已知数列，，的前项和分别为，，且，，若恒成立，则的最大值为　　
A． B． C．9 D．
11．若不等式对任意的正整数恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
12．已知有穷数列中，，2，3，，729．且．从数列中依次取出，，，．构成新数列，容易发现数列是以为首项，为公比的等比数列．记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则　　
A． B．
C． D．与的大小关系不确定
13．已知为等差数列，其前项和，，则下列结论一定正确的是　　
A．若，则公差 B．若，则最小
C． D．
14．已知是等差数列，其前项和为，，，则的最大值为　 　．
15．已知是等差数列的前项和，且，，则当　　时，取得最大值．
16．在各项都为正数的等比数列中，若，则的最小值为　　．
17．若公差为的等差数列，满足，则公差的取值范围是　 　．
18．设为数列的前项和，已知，对任意、，都有，则的最小值为　　．
19．设为数列的前项和，已知，对任意，，都有，则且的最小值为　　．
20．已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若任意，恒成立，则的最小值为　　．
21．已知数列的通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围为　　．
22．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是　　．
23．已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且．若对成立，则实数的取值范围是　　．
24．在等差数列中，设为它的前项和，若，，且点与都在斜率为的直线上．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）指出中哪个值最大，并说明理由．
25．设等差数列的前项和为，已知，，，
（1）求公差的取值范围；
（2）指出，，，中哪一个最大？说明理由．
26．已知数列的前项和．是公差不为0的等差数列，其前三项和为3，且是，的等比中项．
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．












第14讲 数阵问题（数列群问题）
1．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，，依次循环的规律分为（1），，，9，，，，，21，，，，则第50个括号内各数之和为　　
A．98 B．197 C．390 D．392
2．把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，，循环分为：（3），，，11，，，17，19，，，，，31，，，37，39，，，，则第60个括号内各数之和为　　
A．1112 B．1168 C．1176 D．1192
3．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数：第2017行的第项为2的正整数幂．已知，那么该款软件的激活码是　　

A．1040 B．1045 C．1060 D．1065
4．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是，接下来的两项是，，在接下来的三项式，，，依此类推，求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是　　
A．110 B．220 C．330 D．440
5．如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字145在图中出现的次数为　　

A．13 B．14 C．15 D．16
6．设为最接近的整数，如（1），（2），（3），（4），（5），，若正整数满足，则　　
A． B． C． D．
7．如图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推．若2013是第行从左至右算的第个数字，则为　　

A． B． C． D．
8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款面向中学生的应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学题的答案：记集合．例如：，，，5，6，，若将集合的各个元素之和设为该软件的激活码，则该激活码应为　　；
定义现指定，将集合，的元素从小到大排列组成数列，若将的各项之和设为该软件的激活码，则该激活码应为　　．
9．如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行：数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第20行从左到右第5个数字为　　．

10．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则在该数列中，第35项是　　．

11．杨辉三角（如图）是二项式系数在三角形中的一种几何排列．它是我国古代数学的杰出研究成果之一，将二项式系数图形化，是一种离散型的数形结合．杨辉三角蕴含了许多有趣的规律，比如：除1以外，所有正整数在如图中都出现有限次，如2出现1次，3和4都出现2次，试判断数字120在图形中共出现　　次．

12．“杨辉三角形”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年．“杨辉三角”是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来．下面数表类似“杨辉三角”，从上到下分别为第1行、第2行、第3行、第行、．它满足：①第行首尾的数均为；②第行除首尾的数外，每一个数都等于它肩上（即第行）两个数之和．记第行的第二个数为，则　　．

13．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项．依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，则此数列前135项和为　　．

14．分形是数学之美的体现，谢尔平斯基三角形就是其典型代表，其形式及构造如图所示，它与杨辉三角也有着密不可分的联系，请根据图示规律，用组合数表示杨辉三角第22行第9列　　；并判断其奇偶性　　．（选填“奇”或“偶”

15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第行各数字的和为，如，，，，，，则　　




















第15讲 创新型数列问题
1．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是　　
A．10日 B．20日 C．30日 D．40日
2．著名的斐波那契数列，1，2，3，5，8，，满足，，，若，则　　
A．2020 B．4038 C．4039 D．4040
3．已知数列满足，，其前项和为，则下列说法正确的个数为　　
①数列是等差数列；②数列是等比数列；③；④．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例：9的因数有1，3，9，（9），10的因数有1，2，5，10，，那么（1）（2）（3）　　
A． B． C． D．
5．数列满足，且对任意，，，数列的前项和为，则的整数部分是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在数列中，，且，设数列的前项的积为，则　　．
7．若数列满足，，设，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得　　．
8．在数列，中，，，，设数列满足，则数列的前10项和　　．
9．设函数在定义域上满足，且当，时，，若数列中，，则数列的通项公式为　　．
10．已知数列是等差数列，数列是等比数列，对一切，都有，则数列的通项公式为　 　．
11．已知各项均为整数的数列中，，且对任意的，满足，则　 　．
12．定义：对于数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“摆动数列”
①若，，，则数列　　“摆动数列”， 　　“摆动数列”（回答是或不是）；
②已知“摆动数列” 满足，．则常数的值为　　；
13．数列满足，，则　 　．
14．我们知道，如果定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数、，总有不等式成立，则称函数为该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列，如果对任意正整数，总有不等式：成立，则称数列为向上凸数列（简称上凸数列）．现有数列满足如下两个条件：
（1）数列为上凸数列，且，；
（2）对正整数，都有，其中．
则数列中的第五项的取值范围为　　．
15．若数列，满足，，若对任意的，都有，，设，则无穷数列的所有项的和为　　．






第16讲 存在性问题（整除问题）
1．已知数列满足，若从中提取一个公比为的等比数列，其中且，，则满足条件的最小的值为　　
A． B． C． D．2
2．设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，，数列满足．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求正整数的值，使得是数列中的项．
3．已知是递增数列，其前项和为，，且．
（1）求数列的通项；
（2）是否存在，，，使得成立？若存在，写出一组符合条件的，，的值；若不存在，请说明理由；
（3）设，若对于任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．
4．已知等差数列中，首项，公差为整数，且满足．，数列满足，其前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求的值．
5．已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式．
（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
6．已知等差数列的前项和为，且满足，．
求数列的通项公式；
若，，成等比数列，求正整数的值．
7．已知等差数列的前项和为，且满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式及；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求的最小值．
8．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，令，数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式及数列的前项和为；
（2）是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由．
9．已知数列满足，且．
（Ⅰ）设数列的前项和为，若数列满足，求；
（Ⅱ）设，是否存在常数，使为等差数列，请说明理由．
10．已知点是函数的图象上的一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足：
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列的通项，求数列的前项和；
（3）若数列的前项和为，是否存在最大的整数，使得对任意的正整数，均有总成立？若成立，求出；若不存在，请说明理由．
11．已知点是函数且的图象上一点，等比数列的前项和为，
数列的首项为，且前项和满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列前项和为，则满足的最小正整数是多少？
12．已知点是函数的图象上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足：当时，都有
（1）求的值；
（2）求证：是等差数列，并求出；
（3）若数列前项和为，问是否存在实数，使得对于任意的都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
13．已知正项数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求的前项和
（3）数列满足，，试问是否存在正整数，其中，使，，成等比数列？若存在求出满足条件所有的数组；若不存在请说明理由．
14．若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”
（1）已知数列中，，．
①求的通项公式；
②试判断是否为“等比源数列”，并证明你的结论．
（2）已知数列为等差数列，且，，求证：为“等比源数列”
15．已知数列 满足，，数列满足，，数列满足，．
（1）求，，．
（2）求数列，，的通项公式．
（3）是否存在正整数使得对一切恒成立，若存在求的最小值；若不存在请说明理由．
16．已知数列，满足，，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由．

第16讲 存在性问题（整除问题）
1．已知数列满足，若从中提取一个公比为的等比数列，其中且，，则满足条件的最小的值为　　
A． B． C． D．2
2．设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，，数列满足．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求正整数的值，使得是数列中的项．
3．已知是递增数列，其前项和为，，且．
（1）求数列的通项；
（2）是否存在，，，使得成立？若存在，写出一组符合条件的，，的值；若不存在，请说明理由；
（3）设，若对于任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．
4．已知等差数列中，首项，公差为整数，且满足．，数列满足，其前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求的值．
5．已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式．
（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
6．已知等差数列的前项和为，且满足，．
求数列的通项公式；
若，，成等比数列，求正整数的值．
7．已知等差数列的前项和为，且满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式及；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求的最小值．
8．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，令，数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式及数列的前项和为；
（2）是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由．
9．已知数列满足，且．
（Ⅰ）设数列的前项和为，若数列满足，求；
（Ⅱ）设，是否存在常数，使为等差数列，请说明理由．
10．已知点是函数的图象上的一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足：（1）求数列，的通项公式；（2）若数列的通项，求数列的前项和；
（3）若数列的前项和为，是否存在最大的整数，使得对任意的正整数，均有总成立？若成立，求出；若不存在，请说明理由．
11．已知点是函数且的图象上一点，等比数列的前项和为，
数列的首项为，且前项和满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列前项和为，则满足的最小正整数是多少？
12．已知点是函数的图象上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足：当时，都有
（1）求的值；（2）求证：是等差数列，并求出；
（3）若数列前项和为，问是否存在实数，使得对于任意的都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
13．已知正项数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求的前项和
（3）数列满足，，试问是否存在正整数，其中，使，，成等比数列？若存在求出满足条件所有的数组；若不存在请说明理由．
14．若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”
（1）已知数列中，，．
①求的通项公式；
②试判断是否为“等比源数列”，并证明你的结论．
（2）已知数列为等差数列，且，，求证：为“等比源数列”
15．已知数列 满足，，数列满足，，数列满足，．
（1）求，，．
（2）求数列，，的通项公式．
（3）是否存在正整数使得对一切恒成立，若存在求的最小值；若不存在请说明理由．
16．已知数列，满足，，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由．
第17讲 简单的数列与不等式证明
1．设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，有．
2．已知数列前项的乘积，满足．
（1）求；
（2）证明数列为等差数列，并求出；
（3）记，设，求证：．
3．在平面上有一系列点，，，，，，，，对每个正整数，以点为圆心的与轴及射线，都相切，且与彼此外切．若，且．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设数列的各项为正，且满足，
求证：，
（3）对于（2）中的数列，当时，求证：．

4．设数列的前项的和，，2，3，．
（Ⅰ）求首项与通项；
（Ⅱ）设，，2，3，．证明：．
5．设数列为等差数列，且，，数列的前项和为，且，
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若，，2，3，，为数列的前项和．求证：．
6．已知数列中，，，且，3，4，．为数列的前项和，且
，，2，3，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和；（3）证明对一切，有．
7．已知各项均不为零的数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．
8．设公差不为零的等差数列的前5项的和为55，且，成等比数列．
（1）求数列的通项公式．
（2）设数列，求证：数列的前项和．
9．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求；（2）设数列的前项和为，证明：．
10．已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求及；
（2）设，设数列的前项和，证明：．
11．已知等差数列中，，．
（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：．


第18讲 数列与其他知识点综合
1．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则角的取值范围为　　A． B． C． D．
2．已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的图象在点，（1）处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为　　
A． B． C． D．
4．如图，已知点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，其中实数列中，，，则　　

A．46 B．30 C．242 D．161
5．已知函数，，，直线过原点且与曲线相切，其切点的横坐标从小到大依次排列为，，，，，，下列说法正确的是　　
A． B．数列为等差数列
C． D．
6．已知是上可导的增函数，是上可导的奇函数，对，都有成立，等差数列的前项和为，同时满足下列两件条件：，，则的值为　　
A．10 B． C．5 D．15
7．数列的前项和为，若点，在函数的反函数的图象上，则　　．
8．已知等比数列的公比为，前项和为，若点在函数的图象上，则　 　．
9．在中，若、、成等比数列，则角的最大值为　 　．
10．已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为　 　．
11．已知为数列的前项和，，，平面内三个不共线的向量，，满足，若点，，在同一直线上，则　　．
12．已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则　 　．
13．在中，是的中点，点列在线段上，且满足，若，则数列的通项公式　 　．
14．若个不同的点，、，、、，满足：，则称点、、、按横序排列，设四个实数、、、使得，，成等差数列，且两函数、图象的所有交点，、，、，按横序排列，则实数的值为　　．