安徽省亳州市利辛县2022年九年级上学期期末数学试题及答案

 九年级上学期期末数学试题

一、单选题

1．抛物线的顶点坐标是（　　）

A． B． C． D．

2．已知双曲线经过点，则它还经过的点是（　　）

A． B． C． D．

3．下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（　　）

A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，4，7

4．已知，则锐角的取值是（　　）

A． B． C． D．

5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD是△ABC的高，则tan∠BCD的值是（　　）

A． B． C． D．

6．已知，直线y=−2x+8与双曲线相交于点(m，n)，则的值等于（　　）

A．-2 B．2 C．－4 D．4

7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，，且BC＝6，，则DE的长等于（　　）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3

8．如图是赵师傅利用一块三角形的白铁皮剪成一块正方形铁皮备用．在△ABC中，BC＝120，高AD＝80，正方形EFGH的边GH在边BC上，E，F分别在边AB，AC上，则正方形EFGH的边长为（　　）

A．36 B．42 C．48 D．54

9．如图，将两块直角三角板△ABC与△BCD按如图方式放置，∠BCA＝45°，∠D＝30°，两条斜边相交于点O，则△AOB与△COD的面积比为（　　）

A． B．1：2 C． D．1：3

10．在平面直角坐标系中，抛物线与直线如图所示，则方程的解为（　　）

A．， B．，

C．， D．，

二、填空题

11．计算：　     　．

12．二次函数中，当时，y的最小值是　     　．

13．如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，作EF∥AB，交BD于点F，已知AB＝1，CD＝2，则EF的长度为　     　．

14．在平面直角坐标系xOy中，直线上有一点P到原点O距离最近．则点P坐标为　          　； OP的长度为　     　．

三、解答题

15．已知一条抛物线顶点为，且经过点，求该抛物线的解析式．

16．已知，且，求的值．

17．已知点在双曲线上．

（1）求a的值；

（2）当时，求y的取值范围．

18．已知二次函数中，x与y的部分对应值如下表所示：

（1）表中的m＝　     　；

（2）求此二次函数的最大值．

19．如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，点B的坐标为．

（1）求此菱形的边长；

（2）若反比例函数的图象经过点A，并且与BC边相交于点D，求点D的坐标．

20．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，点P在△ABC内部，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA．求证：

（1）；

（2）．

21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．

（1）求的值；

（2）填空：当为锐角时，　     　；

（3）利用上述规律，求下列式子的值：．

22．同学们已经学习了《解直角三角形》的相关知识，掌握了利用锐角三角函数的定义来解决直角三角形的问题，还掌握了通过作高来解决斜三角形（即锐角三角形与钝角三角形）的问题以及相关的实际应用问题．下面请同学们利用这些学习经验，应用类比的方法来解决下面的新问题．

定义：如图1，在△ABC中，AB＝AC，我们称它的腰与底的长度之比为顶角∠A的余对（csdA），记作．

（1）填空：csd60°＝　     　；csd90°＝　     　；csd120°＝　     　；

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求csdA的值．

23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D，E分别在边BC，AC上（点D不与端点B，C重合），并且满足∠ADE＝∠B．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）设BD＝x，CE＝y，请求出当x取何值时，y取最大值？y的最大值是多少？

（3）当△ADE是等腰三角形时，求BD的长．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】D

3．【答案】B

4．【答案】B

5．【答案】B

6．【答案】A

7．【答案】B

8．【答案】C

9．【答案】D

10．【答案】A

11．【答案】

12．【答案】-44

13．【答案】

14．【答案】；

15．【答案】解：因为抛物线顶点坐标为(2，5)，

设抛物线解析式为y=a（x-2）2+5，

代入（3，3）得3=a（3-2）2+5，

解得a=-2，

∴解析式为y=-2（x-2）2+5=-2x2+8x-3．

16．【答案】解：设 ，

则a=3k，b=4k，c=5k，

∴a+2b−c=3k+8k-5k=12，

解得k=2，

∴3a−b+c=9k-4k+5k=10k=20．

17．【答案】（1）解：将点代入解析式得，

解得

（2）解：当时，

当时，

当时，的图象，y随x的增大而减小，

18．【答案】（1）-3

（2）解：将x=-3，y=0；x=-1，y=0；x=0，y=-3代入得：

解得

∴

对称轴

∵a=-1<0

∴当x=-2时，

19．【答案】（1）解：如图，

点B作BE⊥x轴于点E，设菱形的边长为x，

∵B（8，4），

∴CE=8-x，BE=4，

在Rt△CBE中，CB2=CE2+BE2，

即x2=（8-x）2+42，解得x=5，

∴菱形的边长为5；

（2）解：∵菱形的边长为5，

∴A（3，4），

∴k=3×4=12，反比例函数解析式为y=．

∵点C（5，0），B（8，4），

设直线CB的解析式为y=kx+b，

则，

解得，

∴直线CB的解析式为：，

由

解得或（不合题意，舍去），

∴点D坐标为（，）．

20．【答案】（1）解：将△ABP绕点A逆时针旋转∠BAC到△ACP′，

∴∠BAP=∠CAP′=∠CBP=∠ACP，∠ABP=∠ACP′，AP=AP′，BP=BP′，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABP+∠PBC=∠BCP+∠ACP，

∴∠ABP=∠BCP=∠ACP′，

∴△BPC∽△ACP′

∴，

即，

∴；

（2）解：∵△BPC∽△ACP′，

∴，

∴，

∴，

∵△ABP绕点A逆时针旋转∠BAC到△ACP′，

∴△ABP≌△ACP′，

∴．

21．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴a2+b2=c2．

又∵，

∴；

（2）1

（3）解：

=

=（44个1相加）

=

22．【答案】（1）1；；

（2）解：延长AC至D，使AD=AB，如图，

∵，

∴设AC=4x，AB=5x，

由勾股定理得

∴

在中，

∴

23．【答案】（1）证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠ADE=∠B，

∴∠ADE=∠C，

∵∠ADB=180°-∠ADE-∠CDE，∠DEC=180°-∠C-∠CDE，

∴∠ADB=∠DEC，

∵∠B=∠C，

∴△ABD∽△DCE；

（2）解：∵BD=x，CE=y，

∴DC=BC-BD=12-x，

由（1）知，△ABD∽△DCE，

∴，

∴，

∴

∵，且

∴当时，y有最大值，最大值为；

（3）解：①当DA=DE时，

∴∠DAE=∠AED，

∵AB=AC=10，

∴∠B=∠C=∠ADE．

∵∠AED=∠EDC+∠C=∠EDC+∠ADE，

∴∠DAE=∠EDC+∠ADE，

∴∠EAD=∠ADC，

∴CD=AC=10，

∴x=BD=BC-CD=12-10=2，

所以，当x的长为2时，△ADE是等腰三角形，

②当AE=DE时，△ADE是等腰三角形，即∠DAE=∠ADE=∠B

又∠ACD=∠BCA，

∴△ADC∽△BAC，

∴，

∴DC•BC=AC2，

∴DC=，

∴x=BD=12-DC=12-；

综上所述：当x=2或时，△ADE是等腰三角形.