数学九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质学案

九年级数学上册《22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质》导学案

1、理解二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，并学会运用，能求出对称轴、顶点坐标

2、理解抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系

3、能用待定系数法求二次函数的解析式，有三种解析式的类型：一般式，顶点式和交点式，能根据题目的需要选择适当的解析式类型。

重点：运用二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质求出对称轴、顶点坐标；会用待定系数法求二次函数的解析式。

难点：理解抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系，并结合函数的图象与性质进行分析题意。

1、二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质

（1）图象

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的。

（2）性质

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：

①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，

x＜﹣时，y随x的增大而       ；

x＞﹣时，y随x的增大而       ；

x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的       ．

②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，

x＜﹣时，y随x的增大而       ；

x＞﹣时，y随x的增大而       ；

x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的       ．

2、抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小

当a＞0时，抛物线开口       ；

当a＜0时，抛物线开口       ；

还可以决定开口大小，越大开口就       。

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴       ；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴       ．（简称：左同右异）

③常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于       ．

④抛物线与x轴交点个数．

△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有       交点；

△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有       交点；

△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴       交点．

3、待定系数法求二次函数解析式

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解。

一般地，当已知抛物线上三点时，常选择       ，用待定系数法列三元一次方程组来求解；

当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为       来求解；

当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为       来求解．

1、（2021·河南省初三）关于二次函数，下列说法中错误的是（  ）

A．函数图象是抛物线，且开口向下     B．函数图象的顶点坐标是（1，0）

C．函数图象与轴没有交点      D．当时，随的增大而减小

2、（2021·无锡市南长实验中学初三二模）将抛物线y＝x2＋4x＋3沿y轴向右平移3个单位，然后再向上平移5个单位后所得抛物线的顶点坐标是（      ）

A．(5，7)    B．(－1，7)    C．(1，4)   D．(5，4)

3、（2021·广西壮族自治区初三学业考试）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A．        B． 

C．        D．

4、（2021·山东省初三二模）已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c，其中 y 与 x 的部分对应值如表：

下列结论正确的是（    ）

A．abc＜0         

B．4a＋2b＋c＞0

C．若 x＜－1 或 x＞3 时，y＞0    

D．方程 ax2＋bx＋c＝5 的解为 x1＝－2，x2＝3

5、（2021•于洪区一模）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是　　

A．   B．   C．  D．

6、（2021·内蒙古自治区初三期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＋2的图象如图所示，顶点为(－1，0)，下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＝0；③a＜2；④4a－2b＋c＞0．其中正确结论的个数是(　　)

A．1     B．2     C．3    D．4

7、（2021·陕西省初三期末）已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．

8、（2021·广东省初三二模）已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A （3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．

1、（2021·山东省初三二模）在同一直角坐标系中，函数和函数(m是常数，且)的图象可能是(   )

A．        B．

C．       D．

2、（2021·内蒙古自治区初三月考）把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　）

A．y=﹣2（x﹣1）2+6       B．y=﹣2（x﹣1）2﹣6

C．y=﹣2（x+1）2+6       D．y=﹣2（x+1）2﹣6

3、（2021·江苏省中考真题）二次函数的图像的顶点坐标是_________．

4、（2021·四川省中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（    ）

A．图象的对称轴在轴的右侧

B．图象与轴的交点坐标为

C．图象与轴的交点坐标为和

D．的最小值为－9

5、（2021•郑州模拟）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是　　

A．   B．   C．  D．

6、（2021·山东省中考真题）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：

下列结论：

①；

②当时，函数最小值为；

③若点，点在二次函数图象上，则；

④方程有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）

7、（2021·天津中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：

①；

②关于x的方程有两个不等的实数根；

③．

其中，正确结论的个数是（    ）

A．0     B．1    C．2    D．3

8、（2021·黑龙江省初三一模）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a－b＋c＜0；③2a＝b；④4a＋2b＋c＞0；⑤若点(－2，y1)和(－，y2)在该图象上，则y1＞y2. 其中正确的结论个数是 (     )

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

9、（2021·辽宁省初三其他）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③4a﹣2b+c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有 （ ）

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

10、（2021·安徽省中考真题）在平而直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．

（1）判断点是否在直线上．并说明理由；

（2）求的值；

（3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．

11、（2021·广东省初三一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）直接写出点和点的坐标；

（3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标．