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浙教版初中数学八年级上册第二单元《特殊三角形》单元测试卷（困难）（含答案解析）
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这是一份浙教版初中数学八年级上册第二单元《特殊三角形》单元测试卷（困难）（含答案解析），共37页。
浙教版初中数学八年级上册第二单元《特殊三角形》单元测试卷
考试范围：第二单元；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是( )
A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
2. 如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于433；④△BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画条．( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 已知△ABC的三边a，b，c都是正整数，且满足a≤b≤c，如果b=4，那么这样的三角形共有．( )
A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个
5. 如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=8，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是( )
A. 32 B. 42 C. 4 D. 33
6. 已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点I为△ABC三条内角平分线的交点，若AI=pAB+qBC，则p，q的值分别为( )
A. p=58，q=516 B. p=58，q=58
C. p=516，q=516 D. p=516，q=58
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点.在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D，E分别为线段AB，AC上一点，且AD=AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F.以下四个结论正确的是( )
①BF=CF；②若BE⊥AC，则CF=DF；③若BE平分∠ABC，则FG=32；④连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE=2∠ABE．
A. ①②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④
10. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F.若点D为BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 11
11. 下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是( )
A. 两组直角边对应相等 B. 一组边对应相等
C. 两组锐角对应相等 D. 一组锐角对应相等
12. 如图，等边△ABC和等边△CDE，其中B、C、E三点共线，连接AE、BD、CF、GH，下列说法中：①FC平分∠BFE；②GH//BE；③S△ACH=S△BCG；④S△AHD=S△CHE.正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在等边三角形ABC中，AB=2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC边上的动点，则△DEF周长的最小值为______．
14. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______．
15. 如图1，将一张直角三角形纸片ABC(已知∠ACB=90°，AC>BC)折叠，使得点A落在点B处，折痕为DE.将纸片展平后，再沿着CD将纸片按着如图2方式折叠，BD边交AC于点F.若△ADF是等腰三角形，则∠A的度数可能是_______．
16. 如图，∠ABC，∠EAC的平分线BP、AP交于点P，过点P作PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N.有下列结论：
①CP平分∠ACF; ②∠ABC+∠APC=180∘; ③AM+CN=AC; ④∠BAC=2∠BPC.其中，正确的是 (填序号)．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点．
(1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．
(2)若OP=4，要使得△PEF的周长的最小值为4，求∠AOB的度数．
18. (本小题8.0分)
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1(其A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点，不写画法)；
(2)直接写出A1、B1、C1三点的坐标：
(3)△ABC的面积是______．
19. (本小题8.0分)
综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A(0,a)，B(b,0)且a，b满足(a−3)2+|a−2b−1|=0．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)已知△ABC中AB=CB，∠ABC=90°，求C点的坐标；
(3)已知AB=10，试探究在x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20. (本小题8.0分)
如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为点C，D.求证：
(1)∠ECD=∠EDC；
(2)OE是CD的垂直平分线．
21. (本小题8.0分)
(1)读读做做：
平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．
请根据上述思想解决教材中的问题：
如图①，AB//CD，则∠B+∠D______∠E(用“>”、“=”或“<”填空)；
(2)倒过来想：
写出(1)中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
(3)灵活应用
如图②，已知AB//CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN=∠ANM，求证：∠CAM=∠BAN．
22. (本小题8.0分)
如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110∘，∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC，AD．
(1)当α=150∘时，试判断△AOD的形状，并说明理由;
(2)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形?
23. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=ax(a≠0)的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为(m,4)，B点的坐标为(3,2)，连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C.若OC=CA，
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求△AOB的面积;
(3)在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是直角三角形，求出所有可能的E点坐标．
24. (本小题8.0分)
如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB=10，BE=8，点P在线段AB上运动时(不与A，B重合)，点Q在线段AC上，满足CQ=65AP，连结PQ.当P为AB中点时，Q恰好与点E重合．
(1)求AC的长．
(2)若∠C=∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD．
(3)连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长．
25. (本小题8.0分)
在▵ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右 侧作▵ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90∘，则∠BCE=_______度；
(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．作出图形，连接OP，根据轴对称的性质可得OP=OP1=OP2，∠BOP1=∠BOP，∠AOP2=∠AOP，然后求出∠P1OP2=2∠AOB，再根据等腰直角三角形的定义判定即可．
【解答】
解：如图，连接OP，
∵P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，
∴OP=OP1=OP2，∠BOP1=∠BOP，∠AOP2=∠AOP，
∴∠P1OP2=∠BOP1+∠BOP+∠AOP2+∠AOP=2(∠BOP+∠AOP)=2∠AOB，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2×45°=90°，
∴P1，O，P2三点构成的三角形是等腰直角三角形．
故选A．
2.【答案】C
【解析】解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°
∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，
而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，
∴∠BOD=∠COE，
在△BOD和△COE中
∠BOD=∠COEBO=CO∠OBD=∠OCE，
∴△BOD≌△COE，
∴BD=CE，OD=OE，所以①正确；
∴S△BOD=S△COE，
∴四边形ODBE的面积=S△OBC=13S△ABC=13×34×42=433，所以③正确；
作OH⊥DE，如图，则DH=EH，
∵∠DOE=120°，
∴∠ODE=∠OEH=30°，
∴OH=12OE，HE=3OH=32OE，
∴DE=3OE，
∴S△ODE=12⋅12OE⋅3OE=34OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；
∵BD=CE，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+3OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE=233，
∴△BDE周长的最小值=4+2=6，所以④正确．
故选：C．
连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，则可对①进行判断；利用S△BOD=S△COE得到四边形ODBE的面积=13S△ABC=433，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH=EH，计算出S△ODE=34OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+3OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．
本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的定义，利用4作为要或底，画出符合题意的图形即可．
【解答】
解：如图所示：
当AB=BG，AC=CD，AE=BE，AF=CF时，都能得到符合题意的等腰三角形，
∴这样的直线最多可画4条，
故选B．
4.【答案】D
【解析】略
5.【答案】C
【解析】解：在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′=OQ，
∵OC平分∠AOB，
∴∠QOP=∠Q′OP，
在△OPQ和△OPQ′中，OQ=OQ′∠QOP=∠Q′OPOP=OP,
∴△OPQ≌△OPQ′，
∴PQ=PQ′．
作AH⊥OB于H．
∴PA+PQ=PA+PQ′，
∴当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA+PQ′的值最小，最小值为AH，
∵∠OAB=∠AOB=15°，OB=8，
∴OB=AB=8，∠ABH=30°，
∴在Rt△ABH中， AH=12AB=4，
∴PA+PQ的最小值是AH的长，即为4，
故选：C．
在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′=OQ，则△OPQ≌△OPQ′，可得PQ=PQ′.作AH⊥OB于H.可得PA+PQ=PA+PQ′，推出当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA+PQ′的值最小，最小值为AH，
本题考查轴对称−最短问题、等腰三角形的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
6.【答案】A
【解析】解：如图，过点I作IH⊥AB于点H，IT//BC交AB于点T．
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=3，
∵IH⊥AB，BI平分∠ABC，
∴ID=IH，
设ID=IH=x，
在△BIH和△BID中，
∠IHB=∠IDB=90°∠IBH=∠IBDBI=BI，
∴△BIH≌△BID(AAS)，
∴BH=BD=3，
∴AH=AB−BH=2，
在Rt△AIH中，AH2+IH2=AI2，
∴22+x2=(4−x)2，
∴x=32，
∴AI=AD=ID=4−32=52，
∵IT//BD，
∴ATAB=ITBD=AIAD=58，
∴AT=58AB，IT=58BD=516BC，
∵AI=AT+TI，
∴AI=58AB+516BC，
∴p=58，q=516，
故选：A．
如图，过点I作IH⊥AB于点H，IT//BC交AB于点T.设ID=IH=x，证明△BIH≌△BID(AAS)，推出BH=BD=3，推出AH=AB−BH=2，在Rt△AIH中，AH2+IH2=AI2，可得22+x2=(4−x)2，解得x=32，推出AI=AD=ID=4−32=52，由IT//BD，推出ATAB=ITBD=AIAD=58，可得AT=58AB，IT=58BD=516BC，即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，平面向量，三角形法则，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC(或AC)的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．
【解答】
解：如图，一共有7个等腰三角形：
故选D．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC(或AC)的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．
【解答】
解：如图，一共有7个等腰三角形：
故选D．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握“等腰三角形三线合一”，“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”，是解题的关键．
先证明△BAE≌△CAD，再证明△ABG≌△ACG，得AF是∠BAC的平分线，进而即可判断①；先证明∠BDC=∠CEB=90°，根据直角三角形的性质，即可判断②；根据角平分线的性质，得点G到△ABC的三边距离都相等，结合“等积法”即可判断③；y由△BAE≌△CAD，通过三角形内角和定理进而即可判断④．
【解答】
解：∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，
∴△BAE≌△CAD，
∴∠ABE=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC−∠ABE=∠ACB−∠ACD，
即：∠GBC=∠GCB，
∴BG=CG，
∵AG=AG，
∴△ABG≌△ACG，
∴∠BAG=∠CAG，
即AF是∠BAC的平分线，
∴BF=CF，故①正确；
∵BE⊥AC，
∴∠CEB=90°，
由①可知：BD=CE，∠ABC=∠ACB，
又∵BC=CB，
∴△BDC≌△CEB，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
∵点F是BC的中点，
∴CF=DF，故②正确；
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAC，
∴点G是角平分线的交点，
∴点G到△ABC的三边距离都相等，且等于FG，
∵AB=AC=5，BC=6，AF⊥BC，
∴AF=AB2−BF2=52−32=4，
∴S△ABC=12(AB+AC+BC)·FG=12×16FG=8FG，S△ABC=12BC×AF=12，
∴8FG=12，即：FG=32，故③正确；
连接EF，
若BE⊥AC，则∠AEB=90°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠BDC=90°=∠BEC，
又∵BF=CF，
∴CF=DF=EF=BF，
∴∠DBF=∠BDF，∠FEC=∠FCE，
∴2∠DBF+∠DFB=180°，2∠ECF+∠EFC=180°，
又∵∠DFB+∠EFC+∠DFE=180°，
∴2∠DBF+2∠ECF−∠DFE=180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2∠BAC+2∠ABC+2∠ACB=360°，
∴2∠BAC+180°+∠DFE=360°，
∴2∠BAC+∠DFE=180°，
∵∠BAC+∠ABE=90°，
∴∠DFE=2∠ABE，故④正确，
故选D．
10.【答案】D
【解析】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×4×AD=18，解得AD=9，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CM=AM，
∴CD+CM+DM=CD+AM+DM，
∵AM+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+12BC=9+12×4=9+2=11．
故选：D．
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项正确；
B、两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，则选项错误；
C、两个锐角分别相等，只有角没有边，不能判定全等，此选项错误；
D、一组锐角对应相等，隐含一个条件是两直角相等，根据角对应相等，不能判定三角形全等，故选项错误．
故选：A．
利用SAS、HL、AAS进行判定．
本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是注意直角三角形性质的使用(两锐角互余，一个角是90°)．
12.【答案】D
【解析】解：作CM⊥BD于M，CN⊥AE于N．
∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴∠CBD=∠CAE，
∵CM⊥BD于M，CN⊥AE于N．
∴∠BMC=∠ANC=90°，
∵AC=BC，
∴△BCM≌△ACN，
∴CM=CN，
∴FC平分∠BFE，故①正确；
∵∠CBG=∠CAH，∠BCG=∠ACH=60°，BC=CA，
∴△BCG≌△ACH(ASA)，
∴S△ACH=S△BCG，故③正确;
∵△BCG≌△ACH，
∴CG=CH，
∵∠GCH=180°−60°−60°=60°，
∴△CGH是等边三角形，
∴∠HGC=∠GCB=60°，
∴GH//BE，故②正确；
∵∠DEC=∠ACB=60°，
∴AC//DE，
∴S△EDA=S△DEC，
∴S△AHD=S△CHE，故④正确，
故选：D．
作CM⊥BD于M，CN⊥AE于N.由△BCD≌△ACE，△BCG≌△ACH，角平分线的判定定理以及AC//DE即可一一判断即可．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、平行线的判定、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形是解决问题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：如图，作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，过点A作AI⊥BC于I，过点A作AJ⊥GH于J．
∴GE=DE，HF=DF，AG=AD，AH=AD，∠GAB=∠DAB，∠HAC=∠DAC，
∴AG=AH，C△DEF=DE+DF+EF=GE+HF+EF，
∴∠GAJ=∠HAJ=12∠GAH，△DEF周长的最小值是GH．
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°
∴∠DAB+∠DAC=60°，
∴∠GAB+∠HAC=60°，
∴∠GAH=∠GAB+∠DAB+∠DAC+∠HAC=120°，
∴∠GAJ=∠HAJ=60°，
∴GJ=AG×sin∠GAJ=32AG=32AD，J=AH×sin∠HAJ=32AH=32AD，
∴GH=GJ+HJ=3AD，
∴当AD取得最小值时，GH取得最小值，即△DEF周长取得最小值．
∴当AD⊥BC时，即点D与点Ⅰ重合时，ADEF周长取得最小值为3AI，
∵AB=2，
∴AI=AB×sin∠ABC=3，
∴3AI=3．
∴△DEF周长的最小值是3．
故答案为：3．
作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，过点A作AI⊥BC于I，过点A作AJ⊥GH于J.根据轴对称的性质，两点之间，线段最短确定△DEF周长的最小值是GH，根据等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质和直角三角形的边角关系确定GH=AD，再根据垂线段最短确定当AD⊥BC时，△DEF周长取得最小值为AI，最后根据等边三角形的性质和直角三角形的边角关系即可求解．
本题主要考查的是轴对称路径最短问题，作出点D关于AC、BC的对称点，将△DEF的周长转化为MN的长是解题的关键．
14.【答案】15
【解析】解：当腰为3时，3+3=6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6=9>6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为=3+6+6=15．
故答案为：15．
分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
15.【答案】1807°或36°
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．由翻折可得AD=BD=B′D，∠BDC=∠B′DC，所以∠BDB′=4∠A，所以∠ADF=180°−4∠A，∠AFD=∠DCF+∠CDF=3∠A，若△ADF是等腰三角形，有三种情况：①当AD=AF时，∠ADF=∠AFD，②当AD=DF时，∠AFD=∠A，③当DF=AF时，∠ADF=∠A，然后分别列式计算即可解决问题．
【解答】
解：由翻折可知：AD=BD=B′D，∠BDC=∠B′DC，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD=B′D，
∴∠DCA=∠A，
∴∠B′DC=∠BDC=2∠A，
∴∠BDB′=4∠A，
∴∠ADF=180°−4∠A，∠AFD=∠DCF+∠CDF=3∠A，
若△ADF是等腰三角形，有三种情况：
①当AD=AF时，∠ADF=∠AFD，
∴180°−4∠A=3∠A，
解得∠A=1807°；
②当AD=DF时，∠AFD=∠A，
∴3∠A=∠A，
∴∠A=0°(不符合题意舍去)；
③当DF=AF时，∠ADF=∠A，
∴180°−4∠A=∠A，
解得∠A=36°．
综上所述：∠A的度数可能是1807°或36°．
故答案为：1807°或36°．
16.【答案】 ① ③ ④
【解析】解：①作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)，
故本小题正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
很明显∠MPN≠∠APC，
∴∠ABC+∠APC=180°错误，
故本小题错误；
③在Rt△APM与Rt△APD中，
AP=APPM=PD
∴Rt△APM≌Rt△APD(HL )，
∴AD=AM，
同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN(HL)，
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC，
故本小题正确;
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCN=12∠ACF=∠BPC+12∠ABC，
∴∠BAC=2∠BPC，
故本小题正确．
综上所述， ① ③ ④正确．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．
作PD⊥AC于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理即可得到④正确．
17.【答案】解：(1)如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，此时，△PEF的周长最小．
(2)连接OC，OD，PE，PF，如图，
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP，∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB，OC=OD=OP=4，
∴∠COD=2∠AOB，
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，
∴OC=OD=CD=4，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°．
【解析】本题主要考查了轴对称的性质在最短路线问题中的运用、等边三角形的判定与性质等有关知识．
(1)作点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，连接CD，分别交OA、OB于点E、F，此时△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，周长最小；
(2)连接OC，OD，PE，PF，根据OC=OD=CD=4，得出△COD是等边三角形，即可求得∠AOB的度数．
18.【答案】112
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)点A1的坐标为(2,3)、B1的坐标为(3,1)、C1的坐标为(1,−2)；
(3)△ABC的面积是12×(1+4)×5−12×1×2−12×3×4=112，
故答案为：112．
(1)分别作出A、B、C三点关于y轴的对称点，然后顺次连接即可．
(2)根据坐标系中的位置写出坐标即可．
(3)割补法求解可得．
此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
19.【答案】解：( 1)∵a、b满足(a−3)2+|a−2b−1|=0，
∴a−3=0，a−2b−1=0，
∴a=3，b=1，
∴A(0,3)，B(1,0)；
(2)如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠CDB=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC+∠OBA=90°，
∴∠OAB=∠DBC，
在△AOB和△BDC中，
∠OAB=∠DBC∠AOB=∠BDC=90°AB=BC,
∴△AOB≌△BDC(AAS)，
∴BD=OA=3，CD=OB=1，
∴OD=1+3=4，
则点C的坐标为(4,1)；
(3)存在，(1+10,0)或(1−10,0)或(−1,0)．
【解析】
【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、非负数的性质，根据非负数的性质分别求出a、b的值、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
(1)根据非负数的性质分别求出a、b的值，进而求出A，B两点的坐标；
(2)证明△AOB≌△BDC，根据全等三角形的性质得到BD=OA=3，CD=OB=1，求出C点的坐标；
(3)分三种情况，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)存在，如图2，
当BP=BA=10，点P在点B的右侧时，点P的坐标为(1+10,0)，
当BP′′=BA=10，点P′′在点B的左侧时，点P′′的坐标为(1−10,0)，
当AP′=BA=10时，OP′=OB=1，点P′的坐标为(−1,0)，
综上所述：点P的坐标为(1+10,0)或(1−10,0)或(−1,0)．
20.【答案】证明：(1)∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED，
∴∠ECD=∠EDC；
(2)在Rt△OCE和Rt△ODE中，
{OE=OEEC=ED,
∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)，
∴OC=OD，
又∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．
【解析】(1)根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得EC=ED，再根据等边对等角证明即可；
(2)利用“HL”证明Rt△OCE和Rt△ODE全等，根据全等三角形的对应边相等可得OC=OD，然后根据等腰三角形三线合一证明．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
21.【答案】(1)解：过E作EF//AB，如图①所示：
则EF//AB//CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF，
即∠B+∠D=∠BED；
故答案为：=；
(2)解：逆命题为：若∠B+∠D=∠BED，则AB//CD；
该逆命题为真命题；理由如下：
过E作EF//AB，如图①所示：
则∠B=∠BEF，
∵∠B+∠D=∠BED，∠BEF+∠DEF=∠BED，
∴∠D=∠BED−∠B，∠DEF=∠BED−∠BEF，
∴∠D=∠DEF，
∴EF//CD，
∵EF//AB，
∴AB//CD；
(3)证明：过点N作NG//AB，交AM于点G，如图②所示：
则NG//AB//CD，
∴∠BAN=∠ANG，∠GNC=∠NCD，
∵∠AMN是△ACM的一个外角，
∴∠AMN=∠ACM+∠CAM，
又∵∠AMN=∠ANM，∠ANM=∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM=∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM=∠BAN+∠NCD，
∵CN平分∠ACD，
∴∠ACM=∠NCD，
∴∠CAM=∠BAN．
【解析】本题考查了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．
(1)过E作EF//AB，则EF//AB//CD，由平行线的性质得出∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，即可得出结论；
(2)过E作EF//AB，则∠B=∠BEF，证出∠D=∠DEF，得出EF//CD，即可得出结论；
(3)过点N作NG//AB，交AM于点G，则NG//AB//CD，由平行线的性质得出∠BAN=∠ANG，∠GNC=∠NCD，由三角形的外角性质得出∠AMN=∠ACM+∠CAM，证出∠ACM+∠CAM=∠ANG+∠GNC，得出∠ACM+∠CAM=∠BAN+∠NCD，由角平分线得出∠ACM=∠NCD，即可得出结论．
22.【答案】解：(1)△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△ABC和△OCD是等边三角形，
∴BC=AC，OC=CD，∠ACB=∠DCO=∠ODC=60∘．
∴∠BCO=∠ACD．
在△BOC和△ADC中，
OC=DC,∠BCO=∠ACD,BC=AC,
∴△BOC≌△ADC(SAS)．
∴∠BOC=∠ADC．
∵∠BOC=α=150∘，
∴∠ADC=150∘．
又∵∠ODC=60∘，
∴∠ADO=150∘−60∘=90∘．
∴△AOD是直角三角形．
(2)∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60∘，b+c=180∘−110∘=70∘，c+d=60∘，
∴a+d=50∘，即∠OAD=50∘．
分三种情况讨论：
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO=(180∘−50∘)÷2=65∘，
∴α=360∘−110∘−65∘−60∘=125∘;
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO=50∘，
∴∠AOD=180∘−50∘−50∘=80∘．
∴α=360∘−110∘−80∘−60∘=110∘;
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD=50∘，
∴α=360∘−110∘−50∘−60∘=140∘．
综上所述，当α为110∘或125∘或140∘时，△AOD是等腰三角形．
【解析】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
(1)由等边三角形的性质可得∠ACB=∠OCD=∠COD=∠CDO=60°，再证出△BOC≌△ADC，求出∠ADO的度数，即可解答．
(2)先求出∠OAD的度数，分三种情况讨论，根据等腰三角形的判定定理计算即可．
23.【答案】解：(1)∵点B(3,2)在反比例函数y=ax的图象上，
∴a=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为y=6x，
∵点A的纵坐标为4，且在反比例函数y=6x图象上，
∴A(32,4)，
∵一次函数也过A、B两点，
∴3k+b=232k+b=4，∴k=−43b=6，
∴一次函数的表达式为y=−43x+6；
(2)如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，
∵B(3,2)，
∴直线OB的解析式为y=23x，
∴G(32,1)，
∵A(32,4)，
∴AG=4−1=3，
∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=12×3×3=92；
(3)如图2中，
①当∠AOE1=90°时，
∵直线OA的解析式为y=83x，
∴直线OE1的解析式为y=−38x，
当y=2时，x=−163，
∴E1(−163,2)．
②当∠OAE2=90°时，可得直线AE2的解析式为y=−38x+7316，
当y=2时，x=416，
∴E2(416,2)．
③当∠OEA=90°时，易知OA=732，
则AC=OC=CE=734，
将y=2代入OA，
得C(34,2)，
∴可得E3(3−734,2)，E4(3+734,2)，
综上所述，满足条件的点E坐标为(−163,2)或(416,2)或(3−734,2)或(3+734,2)．
【解析】此题主要考查了反比例函数综合题、待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定和性质，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
(3)根据直角三角形的性质，分三种情形分别讨论求解即可解决问题．
24.【答案】解：(1)∵AC⊥BD于点E，AB=10，BE=8，
∴∠AEB=90°，AE=AB2−BE2=102−82=6，
∵当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，
∴AP=12AB=12×10=5，CE=CQ=65AP=6，
∴AC=AE+CE=12；
(2)延长PQ交CD于F，如图：
∵点P运动到AB中点时，Q恰好与点E重合，
∴PQ是Rt△ABE的斜边上的中线，
∴PQ=BP，
∴∠PQB=∠B=∠DQF，
∵∠C=∠B，∠C+∠D=90°，
∴∠DQF+∠D=90°，
∴∠DFQ=180°−(∠DQF+∠D)=180°−90°=90°，
∴PQ⊥CD；
(3)当△ABQ是等腰三角形时，有AQ=AB、AQ=BQ、AB=BQ三种情况：
①当AQ=AB=10，如图：
∴CQ=AC−AQ=12−10=2，
即CQ=65AP=2，
∴AP=53;
②当AQ=BQ时，如图：
设EQ=x，
则BQ=AQ=6+x，
在Rt△BEQ中，∠BEQ=90°，根据勾股定理可得BQ2=BE2+EQ2，即6+x2=82+x2
解得：x=73，
∴CQ=CE−EQ=6−73=113，
即CQ=65AP=113，
∴AP=5518；
③当AB=BQ时，如图：
此时点P与A重合，点Q与C重合，不合题意．
综上所述，当△ABQ是等腰三角形时，AP的长为53或5518．
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解答本题的关键是掌握利用勾股定理求线段长的思路与方法．
(1)首先利用勾股定理求出AE的长，然后根据当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，得出AP=12AB=12×10=5，CE=CQ=65AP=6，再根据AC=AE+CE进行解答，即可求解；
(2)延长PQ交CD于F，根据点P运动到AB中点时，Q恰好与点E重合，得出PQ是Rt△ABE的斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质得出PQ=BP，根据等腰三角形的性质、对顶角的性质得出∠PQB=∠B=∠DQF，根据∠C=∠B，∠C+∠D=90°，得出∠DQF+∠D=90°，进而得出∠DFQ=180°−(∠DQF+∠D)=180°−90°=90°，即可证明结论成立；
(3)当△ABQ是等腰三角形时，有三种情况： ①当AQ=AB=10， ②当AQ=BQ时，③当AB=BQ时，分情况画出图形，结合图形，利用等腰三角形的性质、勾股定理求出AP的长即可．
25.【答案】解：(1)90；
(2)①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
②当点D在BC延长线上时，α+β=180°，
当点D在CB的延长线上时，α=β.
【解析】
【分析】
本题考查的知识点有全等三角形的判定、全等三角形的性质、分类讨论思想.解题关键是全等三角形 的判定与 性质两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角．
(1)先根据已知条件和全等三角形的判定定理得出△ABD≌△ACE，再根据三角形全等得出对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
(2)① 在第(1)问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；
② 是(1)和第(2)① 的拓展和延伸，要注意分两种情况即“当点D在射线BC上时”和“当点D在射线BC的反向延长线上时”分别求解即可．
【解答】
解：(1) ∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°．
故答案为90；
(2)①见答案；
②当点D在BC延长线上时，α+β=180°．
，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，
∴α+β=180°；
当点D在CB的延长线上时，α=β．
，
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，
∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即α=β.
综上所述，当点D在BC延长线上时，α+β=180°；当点D在CB的延长线上时，α=β.
浙教版初中数学八年级上册第二单元《特殊三角形》单元测试卷
考试范围：第二单元；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是( )
A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
2. 如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于433；④△BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画条．( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 已知△ABC的三边a，b，c都是正整数，且满足a≤b≤c，如果b=4，那么这样的三角形共有．( )
A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个
5. 如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=8，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是( )
A. 32 B. 42 C. 4 D. 33
6. 已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点I为△ABC三条内角平分线的交点，若AI=pAB+qBC，则p，q的值分别为( )
A. p=58，q=516 B. p=58，q=58
C. p=516，q=516 D. p=516，q=58
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点.在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D，E分别为线段AB，AC上一点，且AD=AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F.以下四个结论正确的是( )
①BF=CF；②若BE⊥AC，则CF=DF；③若BE平分∠ABC，则FG=32；④连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE=2∠ABE．
A. ①②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④
10. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F.若点D为BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 11
11. 下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是( )
A. 两组直角边对应相等 B. 一组边对应相等
C. 两组锐角对应相等 D. 一组锐角对应相等
12. 如图，等边△ABC和等边△CDE，其中B、C、E三点共线，连接AE、BD、CF、GH，下列说法中：①FC平分∠BFE；②GH//BE；③S△ACH=S△BCG；④S△AHD=S△CHE.正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在等边三角形ABC中，AB=2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC边上的动点，则△DEF周长的最小值为______．
14. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______．
15. 如图1，将一张直角三角形纸片ABC(已知∠ACB=90°，AC>BC)折叠，使得点A落在点B处，折痕为DE.将纸片展平后，再沿着CD将纸片按着如图2方式折叠，BD边交AC于点F.若△ADF是等腰三角形，则∠A的度数可能是_______．
16. 如图，∠ABC，∠EAC的平分线BP、AP交于点P，过点P作PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N.有下列结论：
①CP平分∠ACF; ②∠ABC+∠APC=180∘; ③AM+CN=AC; ④∠BAC=2∠BPC.其中，正确的是 (填序号)．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点．
(1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．
(2)若OP=4，要使得△PEF的周长的最小值为4，求∠AOB的度数．
18. (本小题8.0分)
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1(其A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点，不写画法)；
(2)直接写出A1、B1、C1三点的坐标：
(3)△ABC的面积是______．
19. (本小题8.0分)
综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A(0,a)，B(b,0)且a，b满足(a−3)2+|a−2b−1|=0．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)已知△ABC中AB=CB，∠ABC=90°，求C点的坐标；
(3)已知AB=10，试探究在x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20. (本小题8.0分)
如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为点C，D.求证：
(1)∠ECD=∠EDC；
(2)OE是CD的垂直平分线．
21. (本小题8.0分)
(1)读读做做：
平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．
请根据上述思想解决教材中的问题：
如图①，AB//CD，则∠B+∠D______∠E(用“>”、“=”或“<”填空)；
(2)倒过来想：
写出(1)中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
(3)灵活应用
如图②，已知AB//CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN=∠ANM，求证：∠CAM=∠BAN．
22. (本小题8.0分)
如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110∘，∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC，AD．
(1)当α=150∘时，试判断△AOD的形状，并说明理由;
(2)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形?
23. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=ax(a≠0)的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为(m,4)，B点的坐标为(3,2)，连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C.若OC=CA，
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求△AOB的面积;
(3)在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是直角三角形，求出所有可能的E点坐标．
24. (本小题8.0分)
如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB=10，BE=8，点P在线段AB上运动时(不与A，B重合)，点Q在线段AC上，满足CQ=65AP，连结PQ.当P为AB中点时，Q恰好与点E重合．
(1)求AC的长．
(2)若∠C=∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD．
(3)连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长．
25. (本小题8.0分)
在▵ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右 侧作▵ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90∘，则∠BCE=_______度；
(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．作出图形，连接OP，根据轴对称的性质可得OP=OP1=OP2，∠BOP1=∠BOP，∠AOP2=∠AOP，然后求出∠P1OP2=2∠AOB，再根据等腰直角三角形的定义判定即可．
【解答】
解：如图，连接OP，
∵P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，
∴OP=OP1=OP2，∠BOP1=∠BOP，∠AOP2=∠AOP，
∴∠P1OP2=∠BOP1+∠BOP+∠AOP2+∠AOP=2(∠BOP+∠AOP)=2∠AOB，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2×45°=90°，
∴P1，O，P2三点构成的三角形是等腰直角三角形．
故选A．
2.【答案】C
【解析】解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°
∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，
而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，
∴∠BOD=∠COE，
在△BOD和△COE中
∠BOD=∠COEBO=CO∠OBD=∠OCE，
∴△BOD≌△COE，
∴BD=CE，OD=OE，所以①正确；
∴S△BOD=S△COE，
∴四边形ODBE的面积=S△OBC=13S△ABC=13×34×42=433，所以③正确；
作OH⊥DE，如图，则DH=EH，
∵∠DOE=120°，
∴∠ODE=∠OEH=30°，
∴OH=12OE，HE=3OH=32OE，
∴DE=3OE，
∴S△ODE=12⋅12OE⋅3OE=34OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；
∵BD=CE，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+3OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE=233，
∴△BDE周长的最小值=4+2=6，所以④正确．
故选：C．
连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，则可对①进行判断；利用S△BOD=S△COE得到四边形ODBE的面积=13S△ABC=433，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH=EH，计算出S△ODE=34OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+3OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．
本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的定义，利用4作为要或底，画出符合题意的图形即可．
【解答】
解：如图所示：
当AB=BG，AC=CD，AE=BE，AF=CF时，都能得到符合题意的等腰三角形，
∴这样的直线最多可画4条，
故选B．
4.【答案】D
【解析】略
5.【答案】C
【解析】解：在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′=OQ，
∵OC平分∠AOB，
∴∠QOP=∠Q′OP，
在△OPQ和△OPQ′中，OQ=OQ′∠QOP=∠Q′OPOP=OP,
∴△OPQ≌△OPQ′，
∴PQ=PQ′．
作AH⊥OB于H．
∴PA+PQ=PA+PQ′，
∴当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA+PQ′的值最小，最小值为AH，
∵∠OAB=∠AOB=15°，OB=8，
∴OB=AB=8，∠ABH=30°，
∴在Rt△ABH中， AH=12AB=4，
∴PA+PQ的最小值是AH的长，即为4，
故选：C．
在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′=OQ，则△OPQ≌△OPQ′，可得PQ=PQ′.作AH⊥OB于H.可得PA+PQ=PA+PQ′，推出当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA+PQ′的值最小，最小值为AH，
本题考查轴对称−最短问题、等腰三角形的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
6.【答案】A
【解析】解：如图，过点I作IH⊥AB于点H，IT//BC交AB于点T．
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=3，
∵IH⊥AB，BI平分∠ABC，
∴ID=IH，
设ID=IH=x，
在△BIH和△BID中，
∠IHB=∠IDB=90°∠IBH=∠IBDBI=BI，
∴△BIH≌△BID(AAS)，
∴BH=BD=3，
∴AH=AB−BH=2，
在Rt△AIH中，AH2+IH2=AI2，
∴22+x2=(4−x)2，
∴x=32，
∴AI=AD=ID=4−32=52，
∵IT//BD，
∴ATAB=ITBD=AIAD=58，
∴AT=58AB，IT=58BD=516BC，
∵AI=AT+TI，
∴AI=58AB+516BC，
∴p=58，q=516，
故选：A．
如图，过点I作IH⊥AB于点H，IT//BC交AB于点T.设ID=IH=x，证明△BIH≌△BID(AAS)，推出BH=BD=3，推出AH=AB−BH=2，在Rt△AIH中，AH2+IH2=AI2，可得22+x2=(4−x)2，解得x=32，推出AI=AD=ID=4−32=52，由IT//BD，推出ATAB=ITBD=AIAD=58，可得AT=58AB，IT=58BD=516BC，即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，平面向量，三角形法则，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC(或AC)的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．
【解答】
解：如图，一共有7个等腰三角形：
故选D．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC(或AC)的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．
【解答】
解：如图，一共有7个等腰三角形：
故选D．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握“等腰三角形三线合一”，“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”，是解题的关键．
先证明△BAE≌△CAD，再证明△ABG≌△ACG，得AF是∠BAC的平分线，进而即可判断①；先证明∠BDC=∠CEB=90°，根据直角三角形的性质，即可判断②；根据角平分线的性质，得点G到△ABC的三边距离都相等，结合“等积法”即可判断③；y由△BAE≌△CAD，通过三角形内角和定理进而即可判断④．
【解答】
解：∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，
∴△BAE≌△CAD，
∴∠ABE=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC−∠ABE=∠ACB−∠ACD，
即：∠GBC=∠GCB，
∴BG=CG，
∵AG=AG，
∴△ABG≌△ACG，
∴∠BAG=∠CAG，
即AF是∠BAC的平分线，
∴BF=CF，故①正确；
∵BE⊥AC，
∴∠CEB=90°，
由①可知：BD=CE，∠ABC=∠ACB，
又∵BC=CB，
∴△BDC≌△CEB，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
∵点F是BC的中点，
∴CF=DF，故②正确；
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAC，
∴点G是角平分线的交点，
∴点G到△ABC的三边距离都相等，且等于FG，
∵AB=AC=5，BC=6，AF⊥BC，
∴AF=AB2−BF2=52−32=4，
∴S△ABC=12(AB+AC+BC)·FG=12×16FG=8FG，S△ABC=12BC×AF=12，
∴8FG=12，即：FG=32，故③正确；
连接EF，
若BE⊥AC，则∠AEB=90°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠BDC=90°=∠BEC，
又∵BF=CF，
∴CF=DF=EF=BF，
∴∠DBF=∠BDF，∠FEC=∠FCE，
∴2∠DBF+∠DFB=180°，2∠ECF+∠EFC=180°，
又∵∠DFB+∠EFC+∠DFE=180°，
∴2∠DBF+2∠ECF−∠DFE=180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2∠BAC+2∠ABC+2∠ACB=360°，
∴2∠BAC+180°+∠DFE=360°，
∴2∠BAC+∠DFE=180°，
∵∠BAC+∠ABE=90°，
∴∠DFE=2∠ABE，故④正确，
故选D．
10.【答案】D
【解析】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×4×AD=18，解得AD=9，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CM=AM，
∴CD+CM+DM=CD+AM+DM，
∵AM+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+12BC=9+12×4=9+2=11．
故选：D．
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项正确；
B、两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，则选项错误；
C、两个锐角分别相等，只有角没有边，不能判定全等，此选项错误；
D、一组锐角对应相等，隐含一个条件是两直角相等，根据角对应相等，不能判定三角形全等，故选项错误．
故选：A．
利用SAS、HL、AAS进行判定．
本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是注意直角三角形性质的使用(两锐角互余，一个角是90°)．
12.【答案】D
【解析】解：作CM⊥BD于M，CN⊥AE于N．
∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴∠CBD=∠CAE，
∵CM⊥BD于M，CN⊥AE于N．
∴∠BMC=∠ANC=90°，
∵AC=BC，
∴△BCM≌△ACN，
∴CM=CN，
∴FC平分∠BFE，故①正确；
∵∠CBG=∠CAH，∠BCG=∠ACH=60°，BC=CA，
∴△BCG≌△ACH(ASA)，
∴S△ACH=S△BCG，故③正确;
∵△BCG≌△ACH，
∴CG=CH，
∵∠GCH=180°−60°−60°=60°，
∴△CGH是等边三角形，
∴∠HGC=∠GCB=60°，
∴GH//BE，故②正确；
∵∠DEC=∠ACB=60°，
∴AC//DE，
∴S△EDA=S△DEC，
∴S△AHD=S△CHE，故④正确，
故选：D．
作CM⊥BD于M，CN⊥AE于N.由△BCD≌△ACE，△BCG≌△ACH，角平分线的判定定理以及AC//DE即可一一判断即可．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、平行线的判定、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形是解决问题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：如图，作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，过点A作AI⊥BC于I，过点A作AJ⊥GH于J．
∴GE=DE，HF=DF，AG=AD，AH=AD，∠GAB=∠DAB，∠HAC=∠DAC，
∴AG=AH，C△DEF=DE+DF+EF=GE+HF+EF，
∴∠GAJ=∠HAJ=12∠GAH，△DEF周长的最小值是GH．
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°
∴∠DAB+∠DAC=60°，
∴∠GAB+∠HAC=60°，
∴∠GAH=∠GAB+∠DAB+∠DAC+∠HAC=120°，
∴∠GAJ=∠HAJ=60°，
∴GJ=AG×sin∠GAJ=32AG=32AD，J=AH×sin∠HAJ=32AH=32AD，
∴GH=GJ+HJ=3AD，
∴当AD取得最小值时，GH取得最小值，即△DEF周长取得最小值．
∴当AD⊥BC时，即点D与点Ⅰ重合时，ADEF周长取得最小值为3AI，
∵AB=2，
∴AI=AB×sin∠ABC=3，
∴3AI=3．
∴△DEF周长的最小值是3．
故答案为：3．
作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，过点A作AI⊥BC于I，过点A作AJ⊥GH于J.根据轴对称的性质，两点之间，线段最短确定△DEF周长的最小值是GH，根据等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质和直角三角形的边角关系确定GH=AD，再根据垂线段最短确定当AD⊥BC时，△DEF周长取得最小值为AI，最后根据等边三角形的性质和直角三角形的边角关系即可求解．
本题主要考查的是轴对称路径最短问题，作出点D关于AC、BC的对称点，将△DEF的周长转化为MN的长是解题的关键．
14.【答案】15
【解析】解：当腰为3时，3+3=6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6=9>6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为=3+6+6=15．
故答案为：15．
分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
15.【答案】1807°或36°
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．由翻折可得AD=BD=B′D，∠BDC=∠B′DC，所以∠BDB′=4∠A，所以∠ADF=180°−4∠A，∠AFD=∠DCF+∠CDF=3∠A，若△ADF是等腰三角形，有三种情况：①当AD=AF时，∠ADF=∠AFD，②当AD=DF时，∠AFD=∠A，③当DF=AF时，∠ADF=∠A，然后分别列式计算即可解决问题．
【解答】
解：由翻折可知：AD=BD=B′D，∠BDC=∠B′DC，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD=B′D，
∴∠DCA=∠A，
∴∠B′DC=∠BDC=2∠A，
∴∠BDB′=4∠A，
∴∠ADF=180°−4∠A，∠AFD=∠DCF+∠CDF=3∠A，
若△ADF是等腰三角形，有三种情况：
①当AD=AF时，∠ADF=∠AFD，
∴180°−4∠A=3∠A，
解得∠A=1807°；
②当AD=DF时，∠AFD=∠A，
∴3∠A=∠A，
∴∠A=0°(不符合题意舍去)；
③当DF=AF时，∠ADF=∠A，
∴180°−4∠A=∠A，
解得∠A=36°．
综上所述：∠A的度数可能是1807°或36°．
故答案为：1807°或36°．
16.【答案】 ① ③ ④
【解析】解：①作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)，
故本小题正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
很明显∠MPN≠∠APC，
∴∠ABC+∠APC=180°错误，
故本小题错误；
③在Rt△APM与Rt△APD中，
AP=APPM=PD
∴Rt△APM≌Rt△APD(HL )，
∴AD=AM，
同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN(HL)，
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC，
故本小题正确;
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCN=12∠ACF=∠BPC+12∠ABC，
∴∠BAC=2∠BPC，
故本小题正确．
综上所述， ① ③ ④正确．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．
作PD⊥AC于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理即可得到④正确．
17.【答案】解：(1)如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，此时，△PEF的周长最小．
(2)连接OC，OD，PE，PF，如图，
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP，∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB，OC=OD=OP=4，
∴∠COD=2∠AOB，
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，
∴OC=OD=CD=4，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°．
【解析】本题主要考查了轴对称的性质在最短路线问题中的运用、等边三角形的判定与性质等有关知识．
(1)作点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，连接CD，分别交OA、OB于点E、F，此时△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，周长最小；
(2)连接OC，OD，PE，PF，根据OC=OD=CD=4，得出△COD是等边三角形，即可求得∠AOB的度数．
18.【答案】112
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)点A1的坐标为(2,3)、B1的坐标为(3,1)、C1的坐标为(1,−2)；
(3)△ABC的面积是12×(1+4)×5−12×1×2−12×3×4=112，
故答案为：112．
(1)分别作出A、B、C三点关于y轴的对称点，然后顺次连接即可．
(2)根据坐标系中的位置写出坐标即可．
(3)割补法求解可得．
此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
19.【答案】解：( 1)∵a、b满足(a−3)2+|a−2b−1|=0，
∴a−3=0，a−2b−1=0，
∴a=3，b=1，
∴A(0,3)，B(1,0)；
(2)如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠CDB=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC+∠OBA=90°，
∴∠OAB=∠DBC，
在△AOB和△BDC中，
∠OAB=∠DBC∠AOB=∠BDC=90°AB=BC,
∴△AOB≌△BDC(AAS)，
∴BD=OA=3，CD=OB=1，
∴OD=1+3=4，
则点C的坐标为(4,1)；
(3)存在，(1+10,0)或(1−10,0)或(−1,0)．
【解析】
【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、非负数的性质，根据非负数的性质分别求出a、b的值、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
(1)根据非负数的性质分别求出a、b的值，进而求出A，B两点的坐标；
(2)证明△AOB≌△BDC，根据全等三角形的性质得到BD=OA=3，CD=OB=1，求出C点的坐标；
(3)分三种情况，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)存在，如图2，
当BP=BA=10，点P在点B的右侧时，点P的坐标为(1+10,0)，
当BP′′=BA=10，点P′′在点B的左侧时，点P′′的坐标为(1−10,0)，
当AP′=BA=10时，OP′=OB=1，点P′的坐标为(−1,0)，
综上所述：点P的坐标为(1+10,0)或(1−10,0)或(−1,0)．
20.【答案】证明：(1)∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED，
∴∠ECD=∠EDC；
(2)在Rt△OCE和Rt△ODE中，
{OE=OEEC=ED,
∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)，
∴OC=OD，
又∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．
【解析】(1)根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得EC=ED，再根据等边对等角证明即可；
(2)利用“HL”证明Rt△OCE和Rt△ODE全等，根据全等三角形的对应边相等可得OC=OD，然后根据等腰三角形三线合一证明．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
21.【答案】(1)解：过E作EF//AB，如图①所示：
则EF//AB//CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF，
即∠B+∠D=∠BED；
故答案为：=；
(2)解：逆命题为：若∠B+∠D=∠BED，则AB//CD；
该逆命题为真命题；理由如下：
过E作EF//AB，如图①所示：
则∠B=∠BEF，
∵∠B+∠D=∠BED，∠BEF+∠DEF=∠BED，
∴∠D=∠BED−∠B，∠DEF=∠BED−∠BEF，
∴∠D=∠DEF，
∴EF//CD，
∵EF//AB，
∴AB//CD；
(3)证明：过点N作NG//AB，交AM于点G，如图②所示：
则NG//AB//CD，
∴∠BAN=∠ANG，∠GNC=∠NCD，
∵∠AMN是△ACM的一个外角，
∴∠AMN=∠ACM+∠CAM，
又∵∠AMN=∠ANM，∠ANM=∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM=∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM=∠BAN+∠NCD，
∵CN平分∠ACD，
∴∠ACM=∠NCD，
∴∠CAM=∠BAN．
【解析】本题考查了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．
(1)过E作EF//AB，则EF//AB//CD，由平行线的性质得出∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，即可得出结论；
(2)过E作EF//AB，则∠B=∠BEF，证出∠D=∠DEF，得出EF//CD，即可得出结论；
(3)过点N作NG//AB，交AM于点G，则NG//AB//CD，由平行线的性质得出∠BAN=∠ANG，∠GNC=∠NCD，由三角形的外角性质得出∠AMN=∠ACM+∠CAM，证出∠ACM+∠CAM=∠ANG+∠GNC，得出∠ACM+∠CAM=∠BAN+∠NCD，由角平分线得出∠ACM=∠NCD，即可得出结论．
22.【答案】解：(1)△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△ABC和△OCD是等边三角形，
∴BC=AC，OC=CD，∠ACB=∠DCO=∠ODC=60∘．
∴∠BCO=∠ACD．
在△BOC和△ADC中，
OC=DC,∠BCO=∠ACD,BC=AC,
∴△BOC≌△ADC(SAS)．
∴∠BOC=∠ADC．
∵∠BOC=α=150∘，
∴∠ADC=150∘．
又∵∠ODC=60∘，
∴∠ADO=150∘−60∘=90∘．
∴△AOD是直角三角形．
(2)∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60∘，b+c=180∘−110∘=70∘，c+d=60∘，
∴a+d=50∘，即∠OAD=50∘．
分三种情况讨论：
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO=(180∘−50∘)÷2=65∘，
∴α=360∘−110∘−65∘−60∘=125∘;
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO=50∘，
∴∠AOD=180∘−50∘−50∘=80∘．
∴α=360∘−110∘−80∘−60∘=110∘;
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD=50∘，
∴α=360∘−110∘−50∘−60∘=140∘．
综上所述，当α为110∘或125∘或140∘时，△AOD是等腰三角形．
【解析】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
(1)由等边三角形的性质可得∠ACB=∠OCD=∠COD=∠CDO=60°，再证出△BOC≌△ADC，求出∠ADO的度数，即可解答．
(2)先求出∠OAD的度数，分三种情况讨论，根据等腰三角形的判定定理计算即可．
23.【答案】解：(1)∵点B(3,2)在反比例函数y=ax的图象上，
∴a=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为y=6x，
∵点A的纵坐标为4，且在反比例函数y=6x图象上，
∴A(32,4)，
∵一次函数也过A、B两点，
∴3k+b=232k+b=4，∴k=−43b=6，
∴一次函数的表达式为y=−43x+6；
(2)如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，
∵B(3,2)，
∴直线OB的解析式为y=23x，
∴G(32,1)，
∵A(32,4)，
∴AG=4−1=3，
∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=12×3×3=92；
(3)如图2中，
①当∠AOE1=90°时，
∵直线OA的解析式为y=83x，
∴直线OE1的解析式为y=−38x，
当y=2时，x=−163，
∴E1(−163,2)．
②当∠OAE2=90°时，可得直线AE2的解析式为y=−38x+7316，
当y=2时，x=416，
∴E2(416,2)．
③当∠OEA=90°时，易知OA=732，
则AC=OC=CE=734，
将y=2代入OA，
得C(34,2)，
∴可得E3(3−734,2)，E4(3+734,2)，
综上所述，满足条件的点E坐标为(−163,2)或(416,2)或(3−734,2)或(3+734,2)．
【解析】此题主要考查了反比例函数综合题、待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定和性质，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
(3)根据直角三角形的性质，分三种情形分别讨论求解即可解决问题．
24.【答案】解：(1)∵AC⊥BD于点E，AB=10，BE=8，
∴∠AEB=90°，AE=AB2−BE2=102−82=6，
∵当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，
∴AP=12AB=12×10=5，CE=CQ=65AP=6，
∴AC=AE+CE=12；
(2)延长PQ交CD于F，如图：
∵点P运动到AB中点时，Q恰好与点E重合，
∴PQ是Rt△ABE的斜边上的中线，
∴PQ=BP，
∴∠PQB=∠B=∠DQF，
∵∠C=∠B，∠C+∠D=90°，
∴∠DQF+∠D=90°，
∴∠DFQ=180°−(∠DQF+∠D)=180°−90°=90°，
∴PQ⊥CD；
(3)当△ABQ是等腰三角形时，有AQ=AB、AQ=BQ、AB=BQ三种情况：
①当AQ=AB=10，如图：
∴CQ=AC−AQ=12−10=2，
即CQ=65AP=2，
∴AP=53;
②当AQ=BQ时，如图：
设EQ=x，
则BQ=AQ=6+x，
在Rt△BEQ中，∠BEQ=90°，根据勾股定理可得BQ2=BE2+EQ2，即6+x2=82+x2
解得：x=73，
∴CQ=CE−EQ=6−73=113，
即CQ=65AP=113，
∴AP=5518；
③当AB=BQ时，如图：
此时点P与A重合，点Q与C重合，不合题意．
综上所述，当△ABQ是等腰三角形时，AP的长为53或5518．
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解答本题的关键是掌握利用勾股定理求线段长的思路与方法．
(1)首先利用勾股定理求出AE的长，然后根据当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，得出AP=12AB=12×10=5，CE=CQ=65AP=6，再根据AC=AE+CE进行解答，即可求解；
(2)延长PQ交CD于F，根据点P运动到AB中点时，Q恰好与点E重合，得出PQ是Rt△ABE的斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质得出PQ=BP，根据等腰三角形的性质、对顶角的性质得出∠PQB=∠B=∠DQF，根据∠C=∠B，∠C+∠D=90°，得出∠DQF+∠D=90°，进而得出∠DFQ=180°−(∠DQF+∠D)=180°−90°=90°，即可证明结论成立；
(3)当△ABQ是等腰三角形时，有三种情况： ①当AQ=AB=10， ②当AQ=BQ时，③当AB=BQ时，分情况画出图形，结合图形，利用等腰三角形的性质、勾股定理求出AP的长即可．
25.【答案】解：(1)90；
(2)①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
②当点D在BC延长线上时，α+β=180°，
当点D在CB的延长线上时，α=β.
【解析】
【分析】
本题考查的知识点有全等三角形的判定、全等三角形的性质、分类讨论思想.解题关键是全等三角形 的判定与 性质两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角．
(1)先根据已知条件和全等三角形的判定定理得出△ABD≌△ACE，再根据三角形全等得出对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
(2)① 在第(1)问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；
② 是(1)和第(2)① 的拓展和延伸，要注意分两种情况即“当点D在射线BC上时”和“当点D在射线BC的反向延长线上时”分别求解即可．
【解答】
解：(1) ∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°．
故答案为90；
(2)①见答案；
②当点D在BC延长线上时，α+β=180°．
，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，
∴α+β=180°；
当点D在CB的延长线上时，α=β．
，
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，
∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即α=β.
综上所述，当点D在BC延长线上时，α+β=180°；当点D在CB的延长线上时，α=β.
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