浙教版初中数学八年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）

这是一份浙教版初中数学八年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙教版初中数学八年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二.三单元；考试时间：120分钟；分数：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分的面积为(    )
A. 42 B. 48 C. 84 D. 96
2. 如图所示，能运用“ASA”定理证明△AOB≌△DOC的是

A. AO=DO，∠A=∠D B. AO=DO，∠B=∠C
C. AO=DO，BO=CO D. AO=DO，AB=CD
3. 定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是(    )
A. 有两个底角相等的三角形是等腰三角形．
B. 有两个角相等的三角形是等腰三角形．
C. 有两个角不相等的三角形不是等腰三角形．
D. 不是等腰三角形的两个角不相等．
4. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F.若点D为BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为(    )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 11
5. 如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=8，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是(    )
A. 32 B. 42 C. 4 D. 33
6. 使关于x的分式方程m−1x+1=m−2有实数根，且使不等式组x−x−m2>6,x−m2+1≤x+m3无解的自然数m的和是    (    )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 若数a使关于x的不等式组x−22≤−12x+27x+4>−a有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程ay−2+22−y=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是(    )
A. 3 B. 1 C. 0 D. −3
8. 当x=−12时，多项式x2+kx−1的值小于0，那么k的值为(    )
A. k>−32 B. k<32 C. k>−23 D. k<23
9. 在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下：

作法：
(1)如图所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′；
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB
对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是(    )
A. 根据“边边边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB
B. 根据“边角边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB
C. 根据“角边角”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB
D. 根据“角角边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB
10. 如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE.下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF=DN，⑤AD//NE．
其中正确的结论有(    )


A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 已知∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是(    )
A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
12. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°.若∠AOB=45°，则OA、OB、OC之间满足(    )

A. OA2+OB2=OC2 B. OA2+OB2=2OC2
C. OA2+OB2+OA⋅OB=2OC2 D. OA2+OB2+2OA⋅OB=2OC2
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.已知∠ADC=120°，∠ABC=60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD=2AD；③S四边形ABCD=AC⋅BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN=60°，则MN=AM+CN，其中正确的结论有          .(填写所有正确结论的序号)

14. 如图，在边长为63的等边△ABC中，点D、点E分别是边BC、AC上的点，且BD=CE，连接BE、AD，相交于点F.连接CF，则CF的最小值为______．


15. 如图，在等边三角形ABC中，AB=2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC边上的动点，则△DEF周长的最小值为______．


16. 将从小到大的三个数7、12、20，按照一定的顺序重新排成一列数：12、20、7，则称这列数为“7、12、20”的一个排列.设a、b、c 为“13、18、33”的一个排列，则关于x的方程(含有绝对值的方程) x−a−b =c+18 的最小正整数解为_____．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90∘．

(1)若D为AB上一动点(如图1)．
 ①求证：△ACD≌△BCE．
 ②试求线段AD，BD，DE间满足的数量关系．
(2)当点D在△ABC内部时(如图2)，延长AD交BE于点F．
 ①求证：AF⊥BE．
 ②连结BD，当△BDE为等边三角形时，直接写出△DCE与△ABC的边长之比．

18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点(不与点B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

(1)如图①，若∠BAC=90°：
①求证：△ABD≌△ACE．
②求∠BCE的度数．
(2)设∠BAC=α，∠BCE=β，如图②，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

19. (本小题8.0分)
探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠BAC，∠B，∠C之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=___________；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数．

20. (本小题8.0分)
我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．

●特例感知
①等腰直角三角形______勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”)；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD=2AD=2，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA>CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB=AC>BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E.若CE=a，试求线段DE的长度．
21. (本小题8.0分)
如图1，在△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高线，M，N分别是线段BC，DE的中点．

(1)求证：MN⊥DE．
(2)连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并说明理由．
(3)若将锐角三角形ABC变为钝角三角形ABC，其余条件不变，如图2，则(1)(2)中的结论是否仍成立?请说明理由．

22. (本小题8.0分)
在△ABC中，AB=AC．
(1)如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=______．
(2)如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=______．
(3)思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明．

23. (本小题8.0分)
为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》.第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元；第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．
(1)求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；
(2)青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元.如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元，要使先后购进的四大名著刚好配套(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购买《西游记》多少本？
24. (本小题8.0分)
某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注：获利=售价−进价)

甲
乙
进价(元/件)
15
35
售价(元/件)
20
45
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
(2)若商店计划投入资金少于4290元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问共有哪几种购货方案？

25. (本小题8.0分)
某商场准备购进A，B两款净水器，每台A款净水器比B款净水器的进价少600元，用36000元购进A款净水器的台数是用27000元购进B款净水器台数的2倍，A，B两款净水器每台售价分别是1350元、2100元．请解答下列问题：
(1)A，B两款净水器每台进价各是多少元？
(2)若该商场用6万元资金全部用于购进A和B两款净水器，购进B款净水器不超过8台，设购进A款净水器a台，则该商场有几种进货方案？
(3)在(2)条件下，为促进销售，商场推出每购买一台净水器可抽奖一次，中奖顾客赠送同款净水器滤芯一个．A，B两款净水器每个滤芯的进价分别是400元、500元．如果这批净水器全部售出，除去奖品的费用后仍获利5250元，那么两款净水器滤芯共赠送多少个？请直接写出答案．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：由题意可知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE−DO=10−4=6，
∵△ABC≌△DEF，∴S△ABC=S△DEF，
∴S△ABC−S△COE=S△DEF−S△COE，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=12(AB+OE)⋅BE=12×(10+6)×6=48．
故选：B．

2.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定，根据ASA可以判定两个三角形全等.注意，用ASA判定三角形全等的时两个角和边的关系是两角夹边．
【解答】
解：在△AOB和△DOC中
∠A=∠DAO=DO∠AOB=∠DOC
∴△AOB≌△DOC(ASA)．
故选A．  
3.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的判定与性质，解答此题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质。
【解答】
解：根据等角对等边知，“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，故B符合题意．
故选B．  
4.【答案】D 
【解析】解：连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×4×AD=18，解得AD=9，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CM=AM，
∴CD+CM+DM=CD+AM+DM，
∵AM+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+12BC=9+12×4=9+2=11．
故选：D．
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′=OQ，
∵OC平分∠AOB，
∴∠QOP=∠Q′OP，
在△OPQ和△OPQ′中，OQ=OQ′∠QOP=∠Q′OPOP=OP,
∴△OPQ≌△OPQ′，
∴PQ=PQ′．
作AH⊥OB于H．

∴PA+PQ=PA+PQ′，
∴当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA+PQ′的值最小，最小值为AH，
∵∠OAB=∠AOB=15°，OB=8，
∴OB=AB=8，∠ABH=30°，
∴在Rt△ABH中，  AH=12AB=4，
∴PA+PQ的最小值是AH的长，即为4，
故选：C．
在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′=OQ，则△OPQ≌△OPQ′，可得PQ=PQ′.作AH⊥OB于H.可得PA+PQ=PA+PQ′，推出当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA+PQ′的值最小，最小值为AH，
本题考查轴对称−最短问题、等腰三角形的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．

6.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查解分式方程和解不等式组的能力，解分式方程和不等式组得出m的取值范围是解题的关键．解分式方程可得x=1m−2，根据分式方程有实数根，可得m≠1且m≠2；再解不等式组，根据不等式组无解，得m≤3，从而得出自然数m的值，即可得到答案．
【解答】
解：解分式方程得x=1m−2．
对于不等式组x−x−m2>6,①x−m2+1≤x+m3,②
解不等式①，得x>12−m，
解不等式②，得x≤5m−6．
∵该不等式组无解，
∴5m−6≤12−m，
解得m≤3．
∵分式方程有实数根，
∴1m−2≠−1，且m≠2，
即m≠1且m≠2．
又∵m为自然数，
∴m=0，3．
∴满足题意的自然数m的和为0+3=3，
故选A．  
7.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查分式方程的解法，一元一次不等式组的解法的有关知识.先根据不等式组解的情况求出a的取值范围，再解分式方程，根据方程有非负整数解，确定出a值，
再求这些值的和即可．
【解答】
解：解不等式组x−22≤−12x+27x+4>−a得x≤3x>−a+47
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴−a+47 ∴−1≤−a+47<0，
∴−4 解分式方程ay−2+22−y=2，可得y=12(a+2)，
又∵分式方程有非负数解，
∴y≥0，且y≠2，
即12(a+2)≥0，12(a+2)≠2，
解得a≥−2，且a≠2，
∴−2≤a≤3，且a≠2，
∴满足条件的整数a的值为−2，−1，0，1，3，
∴满足条件的整数a的值之和是1．
故选：B．  
8.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次不等式的求解，代数式求值，是基础题，比较简单，注意移项要变号．把x的值代入并根据题意列出不等式，然后根据一元一次不等式的解法求解即可．
【解答】
解：x=−12时，x2+kx−1=14−12k−1= −12k−34，
所以 −12k−34<0，
解得k<−32．
故选A．
  
9.【答案】A 
【解析】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C′O′D′．
故选：A．
根据圆的半径相等可得出两个三角形的边长相同，由SSS可得到三角形全等．
本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．

10.【答案】D 
【解析】解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°−22.5°=67.5°，
∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，故①正确；③错误，
∵M为EF的中点，
∴AM⊥EF，故②正确；
∵AM⊥EF，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°−67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
∠FBD=∠DANBD=AD∠BDF=∠ADN，
∴△FBD≌△NAD(ASA)，
∴DF=DN，故④正确；
∵∠BAM=∠BNM=67.5°，
∴BA=BN，
∵∠EBA=∠EBN，BE=BE，
∴△EBA≌△EBN(SAS)，
∴∠BNE=∠BAE=90°，
∴∠ENC=∠ADC=90°，
∴AD//EN.故⑤正确，
故选：D．
根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，继而可得∠BFD=∠AEB=90°−22.5°=67.5°，即可判断①③；由M为EF的中点且AE=AF可判断②；证△FBD≌△NAD可判断④，证明△EBA≌△EBN(SAS)，推出∠BNE=∠BAM=90°，即可判断⑤．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．

11.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．作出图形，连接OP，根据轴对称的性质可得OP=OP1=OP2，∠BOP1=∠BOP，∠AOP2=∠AOP，然后求出∠P1OP2=2∠AOB，再根据等腰直角三角形的定义判定即可．
【解答】
解：如图，连接OP，

∵P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，
∴OP=OP1=OP2，∠BOP1=∠BOP，∠AOP2=∠AOP，
∴∠P1OP2=∠BOP1+∠BOP+∠AOP2+∠AOP=2(∠BOP+∠AOP)=2∠AOB，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2×45°=90°，
∴P1，O，P2三点构成的三角形是等腰直角三角形．
故选A．
  
12.【答案】D 
【解析】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°．
∴OA=OB，
∵∠AOB=45°，
∴∠AOC+∠BOC=45°，
设OA=a，OB=b，OC=c，
如图，将△OCB绕点C逆时针旋转90°得到△O′AC，连接OO′，过点O′作O′H⊥OA延长线于点H，

∴△△OCB绕≌△O′AC，
∴∠CO′A=∠COB，O′C=OC=c，O′A=OB=b，
∵∠O′CO=90°，
∴△O′CO是等腰直角三角形，
∴O′O=2c，
∴∠O′OC=45°，
∴∠O′OA=45°−∠AOC=∠BOC，
∴∠O′OA=∠CO′A，
∵∠AO′C+∠OO′A=45°，
∴∠O′OA+∠OO′A=45°，
∴∠O′AH=∠O′OA+∠OO′A=45°，
∵O′H⊥OA，
∴△AHO′是等腰直角三角形，
∴O′H=AH=22O′A=22b，
在Rt△OO′H中，OH=OA+AH=a+22b，
根据勾股定理得：O′H2+OH2=OO′2，
∴(22b)2+(a+22b)2=(2c)2，
整理得：b2+a2+2ab=2c2，
∴OA2+OB2+2OA⋅OB=2OC2．
故选：D．
设OA=a，OB=b，OC=c，然后将a，b，c集中到一个直角三角形中，将△OCB绕点C逆时针旋转90°得到△O′AC，连接OO′，过点H作O′H⊥OA延长线于点H，可得△O′CO是等腰直角三角形，证明△AHO′是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转变换，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用旋转的性质将OA、OB、OC集中到一个直角三角形中．

13.【答案】①②④ 
【解析】解：∵四边形ABCD是“筝形”，
∴AB=BC，AD=CD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，故①正确；
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∵AD=CD，∠ADC=120°，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠DAB=90°，
在△ABD与△CBD中
AD=CDAB=CBBD=BD
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，
∴BD=2AD，故②正确；
∵∠DOC=∠DAC+∠ADB=60°+30°=90°，
∴AC⊥BD，
∵S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB，
∴S四边形ABCD=12×AC×OD+12×AC×OB=12×AC×BD，故③错误；
延长BC到E，使CE=AM，连接DE，如图所示：

∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠DAB=∠DCE=90°，
在△ADM与△CDE中
AM=CE∠DAM=∠DCE=90°AD=CD,
∴△ADM≌△CDE(SAS)，
∴∠ADM=∠CDE，DM=DE，
∵∠ADC=120°，∠MDN=60°，
∴∠ADM+∠CDN=∠ADC−∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠CDN=∠EDN=60°，
∴∠EDN=∠MDN，
在△MDN与△EDN中，
MD=ED∠MDN=∠EDNDN=DN,
∴△MDN≌△EDN(SAS)，
∴MN=EN，
∵EN=CE+CN=AM+CN，
∴AM+CN=MN，故④正确；
故答案为：①②④．
由“筝形”的性质可得AB=BC，AD=CD，可证△ABC是等边三角形，故①正确；由“SSS”可证△ABD≌△CBD，可得∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，由直角三角形的性质可得BD=2AD，故②正确；由面积关系可求S四边形ABCD=12×AC×BD，故③错误；延长BC到E，使CE=AM，连接DE，利用SAS证明△ADM≌△CDE，得到∠ADM=∠CDE，DM=DE，再由“SAS”可证△MDN≌△EDN，可得MN=EN，由线段和差关系可得MN=AM+CN，故④正确，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，

14.【答案】6 
【解析】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°，
∵BD=CE，
在△ABD和△BCE中，
AB=CB∠ABC=∠BCEBD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE，
又∵∠AFE=∠BAD+∠ABE，
∴∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠ABC，
∴∠AFE=60°，
∴∠AFB=120°，
∴以∠AFB为圆周角的边作圆O，
∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动，
此时∠AOB=120°，OA=6，
∴OC=2OA=12，
连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值=OC−ON=12−6=6．
故答案为6．
首先证明∠AFB=120°，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动(∠AOB=120°,OA=6)，连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小．
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

15.【答案】3 
【解析】解：如图，作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，过点A作AI⊥BC于I，过点A作AJ⊥GH于J．

∴GE=DE，HF=DF，AG=AD，AH=AD，∠GAB=∠DAB，∠HAC=∠DAC，
∴AG=AH，C△DEF=DE+DF+EF=GE+HF+EF，
∴∠GAJ=∠HAJ=12∠GAH，△DEF周长的最小值是GH．
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°
∴∠DAB+∠DAC=60°，
∴∠GAB+∠HAC=60°，
∴∠GAH=∠GAB+∠DAB+∠DAC+∠HAC=120°，
∴∠GAJ=∠HAJ=60°，
∴GJ=AG×sin∠GAJ=32AG=32AD，J=AH×sin∠HAJ=32AH=32AD，
∴GH=GJ+HJ=3AD，
∴当AD取得最小值时，GH取得最小值，即△DEF周长取得最小值．
∴当AD⊥BC时，即点D与点Ⅰ重合时，ADEF周长取得最小值为3AI，
∵AB=2，
∴AI=AB×sin∠ABC=3，
∴3AI=3．
∴△DEF周长的最小值是3．
故答案为：3．
作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，过点A作AI⊥BC于I，过点A作AJ⊥GH于J.根据轴对称的性质，两点之间，线段最短确定△DEF周长的最小值是GH，根据等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质和直角三角形的边角关系确定GH=AD，再根据垂线段最短确定当AD⊥BC时，△DEF周长取得最小值为AI，最后根据等边三角形的性质和直角三角形的边角关系即可求解．
本题主要考查的是轴对称路径最短问题，作出点D关于AC、BC的对称点，将△DEF的周长转化为MN的长是解题的关键．

16.【答案】16 
【解析】
【分析】
本题主要考查了绝对值的求法，一元一次方程的正整数解，解答本题的关键是掌握绝对值的求法；首先将a、b、c的排列逐个代入方程中，然后根据绝对值的求法将方程中的绝对值符号去掉，求出x的值，再将x的正整数解加以比较，即可求解．
【解答】
解：∵a、b、c 为“13、18、33”的一个排列，“13、18、33”共有6个排列，分别是“13、18、33”，“13、33、18”，“18、13、33”，“18、33、13”，“33、13、18”，“33、18、13”，
∴①当a=13，b=18，c=33时，方程为x−13−18=33+18，这里x是正整数，
∴x−13−18=51，
∴x−13−18=51或x−13−18=−51，
∴x−13=69或x−13=−33，
∴x=82或x=−56(舍去)；
②当a=13，b=33，c=18时，方程为x−13−33=18+18，这里x是正整数，
∴x−13−33=36，
∴x−13−33=36或x−13−33=−36，
∴x−13=69或x−13=−3，
∴x=82或x=−56(舍去)；
③当a=18，b=13，c=33时，方程为x−18−13=33+18，这里x是正整数，
∴x−18−13=51，
∴x−18−13=51或x−18−13=−51，
∴x−18=64或x−18=−38，
∴x=82或x=−46(舍去)；
④当a=18，b=33，c=13时，方程为x−18−33=13+18，这里x是正整数，
∴x−18−33=31，
∴x−18−33=31或x−18−33=−31，
∴x−18=64或x−18=2，
∴x=82或x=−46(舍去)或x=20或x=16；
⑤当a=33，b=13，c=18时，方程为x−33−13=18+18，这里x是正整数，
∴x−33−13=36，
∴x−33−13=36或x−33−13=−36，
∴x−33=49或x−33=−23，
∴∴x=82或x=−16(舍去)；
⑥当a=33，b=18，c=13时，方程为x−33−18=13+18，这里x是正整数，
∴x−33−18=31，
∴x−33−18=31或x−33−18=−31，
∴x−33=49或x−33=−13，
∴∴x=82或x=−16(舍去)；
综上所述，x−a−b=c+18的最小正整数解为16．
故答案为：16．  
17.【答案】解：(1)①证明：如图1，

∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°．
∴AC=BC，CD=CE，∠A=∠ABC=45°，∠ACB−∠DCB=∠ECD−∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
②解：∵△ACD≌△BCE．
∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°，
∴∠DBE=90°，
∴BD2+BE2=DE2，即BD2+AD2=DE2，
(2)①证明：如图2，

∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°．
∴由(1)易知△ACD≌△BCE．
∴∠DAC=∠CBE，
∴∠ABF+∠BAF=∠ABC+∠CBE+∠BAF=∠ABC+∠BAF+∠DAC=∠ABC+∠BAC=90°．
∴∠AFB=90°，
即AF⊥BE．
②如图3，∵△BDE为等边三角形，DF⊥BE，

∴∠DEF=60°，
设EF=BF=a，则DE=2a，
∴CE=2a，
∵BD=BE，DC=CE，
∴BC是DE的垂直平分线，
∴NE=a，BN=3a，
∴BC=3a+a．
∴CEBC=23+1．
即△DCE与△ABC的边长之比为2：(3+1)． 
【解析】略

18.【答案】(1)①证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∵{AB=AC,BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
②解：由(1)得△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB．
又∵∠BAC=90°∴∠BCE=90°．
(2)解：α+β=180°.理由如下：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∵{AB=AC,BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠B+∠ACB=β．
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°．
 
【解析】
【分析】【分析】
该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．
(1)①利用全等三角形的判定方法(SAS)进而判断得出答案．
②可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B=∠ACE，证明∠ACB=45°，即可解决问题．
(2)证明△BAD≌△CAE，得到∠B=∠ACE，β=∠ABC+∠ACB，即可解决问题．  
19.【答案】解：(1)连结AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠CAD+∠C，
∴∠BDF+∠CDF=∠BAD+∠CAD+∠B+∠C，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．
(2)①40°
②90°． 
【解析】见答案

20.【答案】●特例感知：
①是；
②如图1中，根据勾股定理可得：CB2=CD2+4，CA2=CD2+1，
于是CD2=(CD2+4)−(CD2+1)=3，
∴CD=3．

●深入探究：
如图2中，由CA2−CB2=CD2可得：CA2−CD2=CB2，而CA2−CD2=AD2，
∴AD2=CB2，
即AD=CB；

●推广应用：
过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB=AC>BC，
∴只能是AC2−BC2=CD2，由上问可知AD=BC……①．
又ED//BC，∴∠ADE=∠B……②．
而∠AGD=∠CDB=90°……③，
∴△AGD≌△CDB(AAS)，
∴DG=BD．
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知ED=2DG=2BD．
又AB=AC，AD=AE，
∴BD=EC=a，
∴ED=2a． 
【解析】
【分析】
本题考查三角形综合题、勾股定理、全等三角形的判定和性质、勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
●特例感知：①根据勾股高三角形的定义即可判断；
②如图1，根据勾股定理可得：CB2=CD2+4，CA2=CD2+1，于是CD2=(CD2+4)−(CD2+1)=3，即可解决问题；
●深入探究：由CA2−CB2=CD2可得：CA2−CD2=CB2，而CA2−CD2=AD2，即可推出AD2=CB2；
●推广应用：过点A向ED引垂线，垂足为G，只要证明△AGD≌△CDB(AAS)，即可解决问题．
【解答】
解：●特例感知：
①等腰直角三角形是勾股高三角形．
故答案为是．
②见答案；
●深入探究：见答案；
●推广应用：见答案．  
21.【答案】(1)略；
(2)∠DME=180∘−2∠A，理由略；
(3)(1)中的结论仍成立，(2)中的结论不成立，理由略 
【解析】略

22.【答案】(1)15°；
(2)20°；
(3)∠BAD=2∠EDC(或∠EDC=12∠BAD)；理由如下：
∠AED=∠CDE+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD=2∠CDE． 
【解析】解：(1)∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠EDC=15°；

(2)∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=40°，
∴∠BAD=∠CAD=40°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠EDC=20°；

(3)∠BAD=2∠EDC(或∠EDC=12∠BAD)；理由如下：
∠AED=∠CDE+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD=2∠CDE．
故答案为：15°；20°．
(1)等腰三角形三线合一，所以∠DAE=30°，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=75°，所以∠DEC=15°；
(2)同理，易证∠ADE=70°，所以∠DEC=20°；
(3)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
进而得出∠BAD=2∠CDE．
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，三角形的外角性质进行推理的能力，熟记性质是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设《西游记》每本的售价为x元，《水浒传》每本的售价为y元，
依题意得：50x+60y=660040x+30y=4200，
解得：x=60y=60．
答：《西游记》每本的售价为60元，《水浒传》每本的售价为60元．
(2)《三国演义》每本售价为60−10=50(元)，
《红楼梦》每本售价为60+10=70(元)．
设这次购买《西游记》m本，则购买《水浒传》(50+40+m−60−30)=m本，《三国演义》(50+40+m)=(90+m)本，《红楼梦》(50+40+m)=(90+m)本，
依题意得：60m+60m+50(90+m)+70(90+m)≤32000，
解得：m≤8813．
又∵m为整数，
∴m可以取的最大值为88．
答：这次最多购买《西游记》88本． 
【解析】(1)设《西游记》每本的售价为x元，《水浒传》每本的售价为y元，根据“第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元；第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)根据“《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元”可求出《三国演义》及《红楼梦》每本的售价，设这次购买《西游记》m本，则购买《水浒传》m本，《三国演义》(90+m)本，《红楼梦》(90+m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过32000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

24.【答案】解：(1)设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．
根据题意得：x+y=1605x+10y=1100，
解得：x=100y=60．
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．
(2)设甲种商品购进a件，则乙种商品购进(160−a)件．
根据题意得：15a+35(160−a)<42905a+10(160−a)>1260，
解得：65.5 ∵a为非负整数，
∴a取66，67，
∴160−a相应取94，93．
答：有两种购货方案：方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件． 
【解析】(1)设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件，根据购进甲、乙两种商品共160件且销售完这批商品后能获利1100元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设甲种商品购进a件，则乙种商品购进(160−a)件，根据购货资金少于4290元且销售完这批商品后获利多于1260元，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，取其内的整数即可得出各购货方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，列出二元一次方程组；(2)根据数量关系，列出一元一次不等式组．

25.【答案】解：(1)设A款净水器每台x元，B款净水器每台(x+600)元，
根据题意得，36000x=2×27000x+600，
解得：x=1200，
经检验x=1200是原方程的根，
此时x+600=1800，
答：A款净水器每台进价是1200元，B款净水器每台进价是1800元；
(2)∵购进A款净水器a台，
∴购进BA款净水器60000−1200a1800台，
根据题意得：60000−1200a1800≤8，
解得：a≥38，
∵a，60000−1200a1800都是正整数，
∴a=47，44，41，38；6000−1200a1800=2，4，6，8；
∴该商场有4种进货方案；
(3)①当A款净水器购进47台，B款净水器购进2台时，
47×(1350−1200)+2×(2100−1800)−5250=2400 (元)，
400×6+0=2400 (元)，
∴A款净水器赠送6个，B款净水器赠送0个，两款净水器滤芯共赠送6个；
②当A款净水器购进44台，B款净水器购进4台+，
44×(1350−1200)+4×(2100−1800)−5250=2550 (元)，
由于400、500不管以多少整数倍相加都不等于2550，故不符合题意；
③当A款净水器购进41台，B款净水器购进6台，
41×(1350−1200)+6×(2100−1800)−5250=2700 (元)，
400×3+500×3=2700(元)，
∴A款净水器赠送3个，B款净水器赠送3个，两款净水器滤芯共赠送6个；
④当A款净水器购进38台，B款净水器购进8台，
38×(1350−1200)+8×(2100−1800)−5250=2850 (元)，
由于400、500不管以多少整数倍相加都不等于2850，故不符合题意；
综上所述，两款净水器滤芯共赠送6个． 
【解析】(1)设A款净水器每台x元，B款净水器每台(x+600)元，根据用36000元购进A款净水器的台数是用27000元购进B款净水器台数的2倍，列出分数方程，解方程即可；
(2)由题意可知购进A款净水器a台，则购进BA款净水器60000−1200a1800台，根据购进B款净水器不超过8台，列出不等式，求不等式的整数解即可；
(3)将(2)中方案代入进行求解即可．
本题主要考查分式方程的应用，不等式的应用，正确理解题意列出关系式是解题的关键．