2023年中考数学（苏科版）总复习一轮课时训练 19　等腰三角形(含答案)

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等腰三角形夯实基础1.如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为 (　　) A.50°  B.51° C.51.5°  D.52.5°2.一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2-7x+12=0的一根,此三角形的周长是 (　　)A.12  B.13 C.14  D.12或143.如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为              (　　) A.4  B.6 C.4  D.84.[2022·青海]如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC,则△BCD的面积为 (　　) A.8  B.7.5 C.15  D.无法确定5.[2021·河南]如图,在△ABC中,AB=BC=,∠BAC=30°,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为              (　　) A.6 　B.9 C.6 D.36.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是              (　　) A.BC B.CE C.AD D.AC7.[2016·无锡]如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C,当A1落在AB边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是              () A. B.2 C.3  D.28.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E.AD=3,BE=1.则DE的长是 (　　) A.  B.2 C.2  D.9.[2022·绍兴]如图,菱形ABCD中,∠B=60°,点P从点B出发,沿折线BC-CD方向移动,移动到点D停止.在△ABP形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是              (　　) A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形10.如图,在平面直角坐标系中,△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形,AC=2,点C与点E关于x轴对称,则点D的坐标是　　　　.  11.[2022·长沙]如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BD=CD,延长BC至E,使得CE=CA,连接AE.(1)求证:∠B=∠ACB;(2)若AB=5,AD=4,求△ABE的周长和面积. 12.[2022·绍兴]如图,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.(1)若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数;(2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系,并说明理由.    13.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F,求证:AE=FE. 拓展提升14.如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上,若AE=,AD=,则两个三角形重叠部分的面积为              (　　) A.  B.3-C.-1  D.3-15.如图,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.【问题解决】如图①,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD;【类比探究】如图②,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系,并说明理由.  
答案1.D　2.C　一元二次方程x2-7x+12=0的两根分别为3,4,所以腰长有两种情况:①腰长为3,底边长为6,此时三角形三边关系为3+3=6,不符合“三角形任意两边之和大于第三边”,故不成立;②腰长为4,此时三角形三边符合“三角形任意两边之和大于第三边”,所以周长为4+4+6=14.3.B　∵MN∥BC,∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB,∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=∠ACB,∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC,∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠AMC,∴∠AMN=∠ACB=∠ANM,∵∠A=90°,∴∠AMN=30°,∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3,∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6,故选B.4.B　过D点作DE⊥BC于E,如图,∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DA⊥AB,∴DE=DA=3,∴△BCD的面积=×5×3=7.5.5.D　∵分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,∴AD=AC=CD,∴△ACD是等边三角形,∴∠DAC=60°.如图,连接BD交AC于点E,∵AB=BC,AD=CD,∴BD垂直平分AC,∴∠AEB=90°.∵∠BAC=30°,AB=,∴BE=,AE=,∴AC=3.在Rt△ADE中,∵∠DAC=60°,∠AED=90°,AE=,∴DE=,∴BD==2,∴四边形ABCD的面积为×2×3=3.6.B　由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一”可知点B与点C关于直线AD对称,连接CP,则BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE,故选B.7.A　∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴∠A=90°-∠ABC=60°,AB=4,BC=2.∵CA=CA1,∴△ACA1是等边三角形,AA1=AC=BA1=2,∴∠BCB1=∠ACA1=60°.∵CB=CB1,∴△BCB1是等边三角形,∴BB1=2,∴BD=DB1=,又∵BA1=2,∠A1BB1=90°,∴A1D=.故选A.8.B　∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠DAC+∠DCA=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ECB+∠DCA=90°,∴∠DAC=∠ECB,又∵AC=CB,∴△ACD≌△CBE,∴CE=AD=3,CD=BE=1,∴DE=CE-CD=3-1=2,故选B.9.C　∠B=60°,故菱形由两个等边三角形组合而成,当点P是BC的中点时,此时△ABP为直角三角形;当点P到达点C时,此时△ABP为等边三角形;当点P是CD的中点时,△ABP为直角三角形;当点P与点D重合时,此时△ABP为等腰三角形.10.,0　设CE交x轴于点F,因为△ACE是等边三角形,所以∠CAD=30°,那么CF=AC=1.由勾股定理求得AF=.易得∠CDF=60°,在Rt△CDF中,可求得DF=.由“HL”定理易知△ABO与△DCF全等,所以AO=DF=.所以OD=AF-AO-DF=,即点D的坐标为,0.11.解:(1)证明:在△ADB和△ADC中,∴△ADB≌△ADC(SAS),∴∠B=∠ACB.(2)在Rt△ADB中,BD==3,∴BD=CD=3,AC=AB=CE=5,∴BE=2BD+CE=2×3+5=11,在Rt△ADE中,AE==4,∴△ABE的周长=AB+BE+AE=5+11+4=16+4,S△ABE=×11×4=22.12.解:(1)∵∠ABC=80°,BD=BC,∴∠BDC=∠BCD=×(180°-80°)=50°,∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°,∴∠ACB=180°-40°-80°=60°,∵CE=BC,∴△BCE是等边三角形,∴∠EBC=60°,∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°.(2)∠BEC与∠BDC之间的关系:∠BEC+∠BDC=110°.理由:设∠BEC=α,∠BDC=β,在△ABE中,α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE,∵CE=BC,∴∠CBE=∠BEC=α,∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE,∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=β,∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°,∴β=70°-∠ABE,∴α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE=110°,∴∠BEC+∠BDC=110°.13.解:(1)(方法一):∵AB=AC,∠C=42°,∴∠B=∠C=42°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-42°=96°.∵AD⊥BC,∴∠BAD=∠BAC=×96°=48°.(方法二):∵AB=AC,∠C=42°,∴∠B=∠C=42°.∵AD⊥BC于点D,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=180°-90°-42°=48°.(2)证明:∵EF∥AC,∴∠CAF=∠F,∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠CAF=∠BAF,∴∠F=∠BAF,∴AE=FE.14.D　过点A作AF⊥CE于点F,设AB与CD的交点为M,过点M作MN⊥AC于点N,如图所示.∵△ECD为等腰直角三角形,CE=CD,∴∠E=45°.∵AE=,AD=,∴AF=EF=1,CE=CD==1+,∴CF=,∴AC==2,∠ACF=30°,∴∠ACD=60°.设MN=x,∵△ABC为等腰直角三角形,CA=CB,∴∠CAB=45°,∴AN=MN=x,又∵CN=x,∴AC=AN+CN=x+x=2,解得x=3-,∴S阴影=S△ACM=×AC×MN=3-.故选D.15.解:【问题解决】证明:在CD上截取CH=CE,如图①所示.∵△ABC是等边三角形,∴∠ECH=60°,∴△CEH是等边三角形,∴EH=EC=CH,∠CEH=60°,∵△DEF是等边三角形,∴DE=FE,∠DEF=60°,∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,∴∠DEH=∠FEC.在△DEH和△FEC中,∴△DEH≌△FEC(SAS),∴DH=CF,∴CD=CH+DH=CE+CF,∴CE+CF=CD.【类比探究】线段CE,CF与CD之间的等量关系是FC=CD+CE.理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=60°,过D作DG∥AB,交AC的延长线于点G,如图②所示.∵GD∥AB,∴∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°,∴∠GDC=∠DGC=60°,∴△GCD为等边三角形,∴DG=CD=CG,∠GDC=60°.∵△EDF为等边三角形,∴ED=DF,∠EDF=∠GDC=60°,∴∠EDG=∠FDC,在△EGD和△FCD中,∴△EGD≌△FCD(SAS),∴EG=FC,∴FC=EG=CG+CE=CD+CE.