2023湖北十一校高三第一次联考（12.7）数学试题含答案

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2023届高三湖北十一校第一次联考

数学试题

命题学校：黄石二中 命题人：吕学武 彭方芳 审题学校：武汉二中 审题人：赖海燕

考试时间：2022年12月7日15：00—17：00

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合,则（  ）

A. B.  C.  D. 

2.复数满足,则（  ）

A.  B.   C. D.5 

3.随机掷两个质地均匀的正方体骰子,散子各个面分别标记有16共六个数字,记事件“骰子向上的点数是1和3",事件"“骰子向上的点数是3和6",事件“骰子向上的点数含有3",则下列说法正确的是（  ）

A.事件与事件是相互独立事件  B.事件与事件是互斥事件 

C.              D.

4.在平行四边形中,、分别在边、上,,与相交于点,记,则（  ）

A. B. 

C. D.

5.则三棱锥中,平面,则三棱锥的外接球半径为（  ）

A.3   B. C.   D.6

6.已知函数在上恰好取到一次最大值与一次最小值,则的取值范围是（  ）

A.   B. C.    D. 

7.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:,该数列从第三项起,每一项都等于前两项的和,即递推关系式为,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列的通项公式为,其中A、B的值可由和得到,比如兔子数列中代入解得.利用以上信息计算表示不超过的最大整数

A.10     B.11    C.12   D.13 

8.已知(其中为自然常数),则、、的大小关系为（   ）

A.  B.   C. D.

二、多选题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题列出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.

9.某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量,图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本,并算得样本的平均数为5,方差为9;图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本,并算得样本的平均数为7,方差为16.若将两个样本合在一起组成一个容量为20的新样本,则新样本数据的（  ）

A.平均数为6   B.平均数为   C.方差为  D.方差为 

10.如图,在边长为2的正方体中,在线段上运动(包括端点),下列选项正确的有(   )

A.

B. 

C.直线与平面所成角的最小值是 

D.的最小值为

11.已知、,下列说法正确的是（  ）

A.存在使得是奇函数 

B.任意、的图像是中心对称图形 

C.若为的两个极值点,则 

D.若在上单调,则 

12.已知、分别为双曲线的左、右焦点,过点的直线与双曲线的右支交于、两点,记的内切圆的半径为的内切圆的半径为,若,则（  ）

A.、在直线上         B.双曲线的离心率 

C.内切圆半径最小值是 D.的取值范围是

三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13.的展开式中含项的系数为________.

14.已知正项等差数列满足,且是与的等比中项,则的前项和________.

15.过点作圆的两条切线,切点分别为、,则的直线方程为________.

16.若函数只有一个极值点,则的取值范围是_______.

17.(本小题满分10分)

已知在中,边、、所对的角分别为、、.

(1)证明:、、成等比数列;

(2)求角的最大值.

18.(本小题满分12分)

已知正项数列,其前项和满足.

(1)求的通项公式;

(2)证明:.

19.(本小题满分12分)

如图,在三棱柱中,为的中点,为等边三角形,直线与平面所成角大小为.

(1)求证:平面;

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

20.(本小题满分12分)

某学校为了迎接党的二十大召开,增进全体教职工对党史知识的了解,组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中,甲箱有5个选择题和3个填空题,乙箱中有4个选择题和3个填空题,比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答,答完后题目不放回纸箱中,再抽取第二题作答,两题答题结束后,再将这两个题目放回原纸箱中.

(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目,求第2题抽到的是填空题的概率;

(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目,答题结束后错将题目放入了乙箱中,接着第三支部答题,第三支部抽取第一题时,从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题,求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.

21.(本小题满分12分)

已知点在抛物线上,过动点作抛物线的两条切线,切点分别为、,且直线与直线的斜率之积为.

(1)证明:直线过定点;

(2)过、分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为、,问：是否存在一点使得、、、四点共圆?若存在,求所有满足条件的点;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分12分)

已知函数.

(1)若且函数在上是单调递增函数,求的取值范围;

(2)设的导函数为,若满足,证明:.