2023武汉部分重点中学高二上学期期中联考试题数学含答案

武汉市部分重点中学2022—2023学年度上学期期中联考

高二数学试卷

命题学校：省实验中学   命题教师：蒋天祥   审题教师：黄清燕

考试时间：2022年11月9日下午15:00—17:00

试卷满分：150分

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置．

2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．

3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内，答在试题卷上或答题卷指定区域外无效．

4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．直线在x轴上的截距是（    ）

A．1       B．        C．         D．2

2．双曲线的焦点坐标是（    ）

A．        B．        C．      D．

3．已知，，则向量与的夹角为（    ）

A．     B．     C．      D．

4．若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（    ）

A．              B．

C．               D．

5．对于直线m，n和平面，，的一个充分条件是（    ）

A．，，       B．，，

C．，，       D．，，

6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF的中点，且，则C的离心率为（    ）

A．      B．2       C．        D．3

7．已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（    ）

A．6        B．7         C．8        D．9

8．在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（    ）

A．存在某个位置，使得

B．存在某个位置，使得

C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为

D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．方程表示圆，则实数a的可能取值为（    ）

A．4     B．2      C．0      D．

10．若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（    ）

A．    B．     C．    D．

11．已知椭圆，，分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（    ）

A．的最小值为8                          B．的最小值为

C．若，则的面积为         D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值

12．如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，则下列选项中正确的是（    ）

A．存在点P满足               B．存在点P满足

C．满足的点P的轨迹长度为     D．满足的点P的轨迹长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．

14．过点做圆的两条切线，切点分别为M，N，则________．

15．两条异面直线a，b所成角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且．已知，，，则线段的长为________．

16．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此乘坐出租车时往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行进．在平面直角坐标系中，定义，之间的“出租车距离”为．已知，则到点A，B“距离”相等的点的轨迹方程为________，到A，B，C三点“距离”相等的点的坐标为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．

（1）求C的标准方程；

（2）若直线与双曲线C交于A，B两点，求．

18．（12分）

已知的顶点，重心．

（1）求线段BC的中点坐标；

（2）记的垂心为H，若B、H都在直线上，求H的坐标．

19．（12分）

如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，．

（1）求证：平面ABCD；

（2）求直线BD与平面BPC所成角的正弦值．

20．（12分）

如图，已知圆，点P为直线上一动点，过点P作圆O的切线，切点分别为M，N，且两条切线PM，PN与x轴分别交于A，B两点．

（1）当P在直线上时，求的值；

（2）当P运动时，直线MN是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

21．（12分）

已知正四棱柱中，，，E点为棱AB中点．

（1）求二面角的余弦值；

（2）连接EC，若P点为直线EC上一动点，求当P点到直线距离最短时，线段EP的长度．

22．（12分）

已知椭圆过点，过其右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若矩形MNPQ满足各边均与椭圆C相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由．

武汉市部分重点中学2022—2023学年度上学期期中联考

高二数学试卷参考答案及评分标准

一、二选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.    14.   15. 或    16. （2分）； （3分）

四、解答题：共70分.解答题：

17.（10分）解：

（1）因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，

由题意得，

又双曲线的一条渐近线为，

联立上述式子解得，，故所求方程为；        ···········4分

（2）设，，

联立，整理得，由，

所以，，

即. 

···········10分

18.（12分）解：

（1）设，且，

由重心定义得，解得，

记线段的中点为，则，即；      ···········4分

（2）设，由（1）得，

，，

解得，即，，,

，，即.                      ···········12分

19.（12分）解：

（1）由于，，所以，

由于，，，所以，

所以，由，得.

取的中点为，连接，因为底面是直角梯形，，

且，

所以四边形为正方形，所以，，

在中，，故，

所以在中，，即，

由于，，所以；·  ·······4分

（2）由（1）可知两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，

设直线与平面的夹角为，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.                  ···········12分

20.（12分）解：

（1）联立两条直线方程，解得，

设切线方程为，则圆心到切线的距离

解得，所以，

令，解得，

则；

···········4分

（2）分析知在以为圆心，为半径的圆上，设，

，，，

即在圆上，

联立，得，

所以过定点.               ···········12分

21.（12分）解：

（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

设平面的法向量为，则，即，

令，得，

设平面的法向量为，则，即，

令，得，

设二面角的平面角为，则.

···········5分

（2）设，则，

，令，

设点到直线的距离为，则，

整理得，

.      ···········12分

22.（12分）解：

（1）由题意：椭圆过点，又过点，

有，变形，得代入，

得，即，，解得，则，

所以椭圆方程；                                  ···········4分

（2）①当MN的斜率为0或不存在时，

此时，

②当MN的斜率存在且不为0时，设直线MN：，

联立消去y得，

，化简得，

所以两平行线MN和PQ的距离，

以代替k，两平行线MQ和NP的距离，

所以矩形MNPQ的对角线，

根据基本不等式，

所以当，即，矩形MNPQ面积的最大值为.    

···········12分