河南省信阳市罗山县2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份河南省信阳市罗山县2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省信阳市罗山县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）我国冬奥会将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）

A．①② B．①③ C．② D．②④
2．（3分）把方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（　　）
A．3，8 B．3，10 C．﹣3，3 D．﹣3，10
3．（3分）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
4．（3分）关于x的方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤5 B．k＜5且k≠3 C．k≤5且k≠3 D．k≥5且k≠3
5．（3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．4.8 B．10 C．12 D．8或10
6．（3分）如图，∠AOB＝90°，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转20°得到△COD，则∠COB的度数是（　　）

A．20° B．70° C．90° D．110°
7．（3分）二次函数y＝x2+bx+c（b、c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
0
2
3
…
y＝x2+bx+c
…
m
﹣2
﹣2
n
…
下列判断正确的是（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．
8．（3分）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点D的坐标为（　　）

A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10）
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：　 　．
12．（3分）一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的解是 　 　．
13．（3分）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB＝3，AE＝5，∠D＝90°，则AC＝　 　．

14．（3分）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x5，则有y′＝5x4．已知函数y＝x3，y′＝12，则x的值是 　 　．
15．（3分）如图函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 　 　．
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．

三、解答题（8小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣45＝0；
（2）x（2x+3）＝2x+3．
17．（8分）先化简，再求值：，其中x2﹣3x+2＝0．
18．（9分）如图，已知△ABC中，A（﹣2，3），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A′B′C′．
（2）画出△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°后的图形A1B1C1．
（3）写出A1的坐标．

19．（9分）已知关于x的一元二次方程号mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）解原方程．
20．（9分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
21．（10分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．
解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1
＝（x+3）2﹣10
∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．
∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．
即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．
问题：
（1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数．
知识迁移：
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值．

22．（10分）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．

求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据：≈1.73）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b（m、b均为常数）交于点A（2，0）和点B．
（1）求m和b的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；
（3）点M是直线AB上的一个动点，点N在点M正下方（即MN∥y轴），且MN＝2，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．


2022-2023学年河南省信阳市罗山县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）我国冬奥会将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）

A．①② B．①③ C．② D．②④
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：图形①③④均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
图形②能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）把方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（　　）
A．3，8 B．3，10 C．﹣3，3 D．﹣3，10
【分析】方程移项整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可确定出m与n的值．
【解答】解：方程移项得：x2﹣6x＝1，
配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，
∵方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，
∴m＝﹣3，n＝10．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（3分）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．
【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，
x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
4．（3分）关于x的方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤5 B．k＜5且k≠3 C．k≤5且k≠3 D．k≥5且k≠3
【分析】讨论：当k﹣3＝0，即k＝3，方程为一元一次方程，有一个解；当k﹣3≠0时，利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）×2≥0，解得k≤5且k≠3，然后综合两种情况得到k的范围．
【解答】解：当k﹣3＝0，即k＝3，方程化为﹣4x+2＝0，解得x＝；
当k﹣3≠0时，Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）×2≥0，解得k≤5且k≠3，
综上所述，k的范围为k≤5．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．4.8 B．10 C．12 D．8或10
【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∵2+2＝4，
∴等腰三角形的腰长只能为4，底边长为2，
则其周长为：4+4+2＝10．
故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解法解方程以及三角形三边关系，正确得出方程的根是解题关键．
6．（3分）如图，∠AOB＝90°，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转20°得到△COD，则∠COB的度数是（　　）

A．20° B．70° C．90° D．110°
【分析】由旋转的性质可得∠BOD＝∠AOC＝20°，即可求解．
【解答】解：∵将Rt△AOB绕点O顺时针旋转20°得到△COD，
∴∠BOD＝∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
7．（3分）二次函数y＝x2+bx+c（b、c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
0
2
3
…
y＝x2+bx+c
…
m
﹣2
﹣2
n
…
下列判断正确的是（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．
【分析】根据表格中数据和二次函数的性质，可以得到b、c的值，从而可以直接求出m、n的值，即可判断．
【解答】解：当x＝0时，y＝x2+bx+c＝0+c＝﹣2，
∴c＝﹣2，
把（2，﹣2）代入y＝x2+bx﹣2中，得b＝﹣2．
∴该二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣2．
当x＝﹣2时，m＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣2＝6；
当x＝3时，n＝32﹣2×3﹣2＝1．
∴m＞n．
故A正确，B、C、D皆错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解本题关键是求出二次函数解析式．
8．（3分）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
【分析】利用该地92号汽油五月底的价格＝该地92号汽油三月底的价格×（1+该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的感觉．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
10．（3分）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点D的坐标为（　　）

A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10）
【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定D（﹣3，10），由于70＝4×505，所以第2020次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转0次，每次旋转90°，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可得到旋转后的点D的坐标．
【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4），
∴AB＝3+3＝6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝6，
∴D（﹣3，10），
∵2020＝4×505，
∴每4次一个循环，第2020次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转0次，每次旋转90°，
∴点D的坐标为（﹣3，10）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：　y＝x2　．
【分析】根据形如y＝ax2或y＝ax2+c二次函数的性质直接写出即可．
【解答】解：∵图象的对称轴是y轴，
∴函数表达式y＝x2（答案不唯一），
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记形如y＝ax2的二次函数的性质是解答本题的关键．
12．（3分）一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的解是 　x1＝﹣1，x2＝3　．
【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x+1）﹣3（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，
可得x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB＝3，AE＝5，∠D＝90°，则AC＝　2　．

【分析】根据中心对称得出AC＝CD，DE＝AB＝3，根据勾股定理求出AD即可得出AC的长度．
【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC＝CD，DE＝AB＝3，
∵AE＝5，∠D＝90°，
∴AD＝＝4，
∴AC＝AD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的性质及勾股定理是解题的关键．
14．（3分）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x5，则有y′＝5x4．已知函数y＝x3，y′＝12，则x的值是 　±2　．
【分析】根据题目中的新定义，可以得到相应的方程，从而可以求得相应的x的值．
【解答】解：∵y＝x3，
∴y′＝3x2，
∵y′＝12，
∴3x2＝12，
解得，x＝±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开平方法、新定义，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用解方程的方法解答．
15．（3分）如图函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 　①③④　．
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．

【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为﹣＝1，进而可得2a+b＝0，由图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，由抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，对称轴位置和抛物线与y轴交点位置可得abc的符号，求出二次函数y＝﹣ax2+bx+c的顶点式，可得图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点
【解答】解：∵图象经过（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故①正确；
∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，
∴c＝﹣3＜0，
故②错误；
∵a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，
故③正确；
设抛物线y＝﹣ax2+bx+c的解析式为y＝﹣a（x+1）（x﹣3），
代入（0，3）得：3＝3a，
解得：a＝1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
三、解答题（8小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣45＝0；
（2）x（2x+3）＝2x+3．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x﹣9＝0或x+5＝0，然后解一次方程即可；
（2）先移项得到x（2x+3）﹣（2x+3）＝0，再利用因式分解法把方程转化为2x+3＝0或x﹣1＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣45＝0，
（x﹣9）（x+5）＝0，
x﹣9＝0或x+5＝0，
所以x1＝9，x2＝﹣5；
（2）x（2x+3）＝2x+3，
x（2x+3）﹣（2x+3）＝0，
（2x+3）（x﹣1）＝0，
2x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17．（8分）先化简，再求值：，其中x2﹣3x+2＝0．
【分析】原式先计算括号内的，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
∵x2﹣3x+2＝0，
∴解得x＝1或2，
∵x+1≠0，
∴x≠1，
∴当x＝2时，
原式＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值和解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（9分）如图，已知△ABC中，A（﹣2，3），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A′B′C′．
（2）画出△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°后的图形A1B1C1．
（3）写出A1的坐标．

【分析】（1）先利用关于原点对称的点的坐标特征写出A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点格旋转的性质画出A、B、C的对应点即可；
（3）利用（2）所画图形得到点A1的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）如图，△A1B1C1为所作；

（3）A1的坐标为（﹣3，﹣2）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19．（9分）已知关于x的一元二次方程号mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）解原方程．
【分析】（1）根据题意得到：Δ＝0，由此列出关于m的方程并解答；
（2）利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4×m×（m﹣1）＝0，且m≠0，
解得m＝；
（2）由（1）知，m＝，则该方程为：x2+x+＝0，
解得x1＝x2＝﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
20．（9分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量＝425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系．
21．（10分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．
解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1
＝（x+3）2﹣10
∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．
∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．
即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．
问题：
（1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数．
知识迁移：
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值．

【分析】（1）配方求最值．
（2）先求s，再配方求最值．
【解答】证明：（1）y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3
＝（x﹣2）2+3．
∵（x﹣2）2≥0．
∴y≥0+3＝3．
∴y＞0．
∴y是正数．
（2）由题意：AP＝2t，CQ＝t，PC＝6﹣2t．（0≤t≤）
∴S＝PC•CQ．
＝（6﹣2t）•t
＝﹣t2+3t
＝﹣（t2﹣3t）
＝﹣（t﹣）2+．
∵（t﹣）2≥0．
∴当t＝时，S有最大值．
【点评】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键．
22．（10分）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．

求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据：≈1.73）
【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE的长可得出结论．
【解答】解：（1）∵OA＝4，且点A在y轴正半轴，
∴A（0，4）．
（2）∵抛物线最高点B的坐标为（4，12），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+12，
∵A（0，4），
∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a＝﹣．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+12．
（3）在Rt△CDE中，＝，CD＝2.5，
∴CE＝1.5，DE＝2．
∴点D的纵坐标为﹣1.5，
令﹣（x﹣4）2+12＝﹣1.5，
解得，x＝4+3≈9.19或x＝4﹣3≈﹣1.19（不合题意，舍去），
∴D（9.19，﹣1.5）．
∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．
∴OC的长约为7.2米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关内容，得出点D的坐标是解题关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b（m、b均为常数）交于点A（2，0）和点B．
（1）求m和b的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；
（3）点M是直线AB上的一个动点，点N在点M正下方（即MN∥y轴），且MN＝2，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点B的坐标为（﹣1，3），再观察函数图象即可求解；
（3）根据题意确定出m2﹣2m≥﹣m且m2﹣2m≤﹣m+2，根据二次函数与不等式的关系求出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4+2m，解得：m＝﹣2，
将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣2+b，解得b＝2；
故m＝﹣2，b＝2；

（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y＝﹣x+2，y＝x2﹣2x，
联立上述两个函数表达式并解得，或（不符合题意，舍去），
即点B的坐标为（﹣1，3），
从图象看，不等式 x2+mx＞﹣x+b 的解集为x＜﹣1或x＞2；

（3）由题意设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N（m，﹣m），
∵线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴，
解得：1≤m≤2或﹣1≤m≤0，
∴点M的横坐标xM的取值范围为1≤xM≤2或﹣1≤xM≤0．
【点评】本题是二次函数综合题，考查一次函数的性质、二次函数的性质、不等式的性质等，其中（3），求不等式组的解集是解题的关键．