2021-2022学年北京市门头沟区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年北京市门头沟区高三（上）期末数学试卷（含答案解析），共14页。试卷主要包含了4B，6，76D，【答案】A，【答案】C，【答案】D，【答案】B等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市门头沟区高三（上）期末数学试卷     复数(    )A.  B.  C.  D.     集合，，则(    )A.  B.
C.  D.     在的展开式中，的系数是(    )A. 20 B. 10 C.  D.     “角，的终边关于x轴对称”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件    下列函数中，在为增函数的是(    )A.  B.  C.  D.     如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是(    )A.  B.
C.  D.     等差数列的公差，数列的前n项和，则(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，    点P在抛物线上，则P到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为(    )A. 4 B. 3 C. 2 D. 1    在函数的图像上存在两个不同点A，B，使得A，B关于直线的对称点，在函数的图像上，则实数a的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标．分值权重表如下：总分技术商务报价技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的．报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价，则在基准分的基础上扣分，最低得分48分；若报价每低于基准价，则在基准分的基础上加分，最高得分为80分．若报价低于基准价以上不含每再低，在80分在基础上扣分．在某次招标中，若基准价为万元甲、乙两公司综合得分如下表：公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司报价为万元，乙公司的报价为万元则甲，乙公司的综合得分，分别是(    ) A. 73， B. 73，80
C. ，76 D. ，双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为______.已知P为平面上的动点，，为平面上两个定点，且，则动点P的轨迹方程为______.函数的图像向左平移______个长度单位得到函数的图像，若函数在区间单调递增，则a的最大值为______.在梯形ABCD中，，，，，P是BC的中点，则______.
 已知函数为奇函数，且，当时，，给出下列四个结论：
①图像关于对称；
②图像关于直线对称；
③；
④在区间单调递减．
其中所有正确结论的序号是______.在中，
求A；
若，从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知，使存在并唯一确定，并求c的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点．
判断直线AE与BF的位置关系，并说明理由；
求二面角的余弦值；
求点E到平面PBC的距离．
第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办．为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级共六个班答题优秀的学生中随机抽查了20名，得到这20名优秀学生的统计如下：高一班级一一一一一一人数454331从这20名学生中随机抽取两名学生参加区里冬奥知识比赛．
恰好这2名学生都来自同一班级的概率是多少？
设这2名学生中来自高一的人数为，求的分布列及数学期望；
如果该校高中生的优秀率为，从该校中随机抽取2人，这两人中优秀的人数为，求的期望．已知函数
求在点处的切线方程；
证明：在区间存在唯一极大值点；
证明：当，已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为，
求C的方程；
设直线与C分别相交于，两点，直线与相交于点试问：当m变化时，点P是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．若集合满足：对任意i，，均存在k，，使得，则称A具有性质
判断集合，是否具有性质P；只需写出结论
已知集合具有性质
求；
证明：
答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：，
故选：
根据复数的运算性质求出答案即可．
本题考查了复数的运算，熟练掌握复数的运算性质是解题的关键，是基础题．
 2.【答案】C 【解析】解：集合，
，

故选：
求出集合A，利用交集定义能求出
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 3.【答案】B 【解析】解：展开式的通项公式为，
令，则，所以展开式中的系数为，
故选：
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
 4.【答案】A 【解析】解：由角，的终边关于x轴对称，可知，故，所以，
若，取，，则角，的终边不关于x轴对称，
所以“角，的终边关于x轴对称”是“”的充分不必要条件．
故选：
由充分必要条件的定义即可判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数角的对称关系是解决本题的关键．
 5.【答案】D 【解析】解：函数在区间上为增函数，故A不满足要求；
函数的图象关于直线对称，故B不满足要求；
函数在递减，故C不满足要求；
函数，在恒成立，故D满足要求
故选：
根据正切函数，函数图象的对折变换，对数函数的图象和性质，分别判断四个答案中函数的单调性可得答案．
本题考查函数的单调性，考查学生的逻辑思维能力，属简单题．
 6.【答案】D 【解析】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，
由中位线定理可得它们平行于面对角线，
连接另一条面对角线，如图，

由三垂线定理可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得平面MNQ，故A中直线AB与平面MNQ垂直；
对于B，AB为前面的侧面的对角线，则AB垂直于MN，
与AB相对的侧面的平行于AB的对角线与MQ垂直，，如图，

，平面MNQ，故B中直线AB与平面MNQ垂直；
对于C，AB为前面的侧面的对角线，则AB垂直于MN，
与AB相对的侧面的平行于AB的对角线与MQ垂直，，如图，

，平面MNQ，故B中直线AB与平面MNQ垂直；
对于D，AB为前面的侧面的对角线，MN上面的平行与对角线的线段，如图，

作出等边三角形，得到 AB与MN所成角为，
直线AB与平面MNQ不垂直，故D中直线AB与平面MNQ不垂直．
故选：
由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．
本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于中档题．
 7.【答案】C 【解析】解：等差数列的公差，数列的前n项和，
则，
，，
，，
，，，
，，成等差数列，，
解得，
故选：
推导出，，，再由，，成等差数列，得到，由此能求出结果．
本题考查等差数列的公差、首项的求法，考查数列的前n项和公式和第n项的关系式、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 8.【答案】B 【解析】解：是抛物线的准线，
到的距离等于，
抛物线的焦点，
过P作：的垂线和抛物线的交点就是P，
点P到直线的距离和到直线的距离之和的最小值就是到直线的距离，
点P到直线：的距离与到直线：的距离之和的最小值为
故选：
首先确定抛物线的准线方程，然后结合抛物线的定义等价转化即可求得最值．
本题主要考查抛物线的定义及其应用，抛物线中的最值问题等知识，属于中等题．
 9.【答案】C 【解析】解：在函数的图像上存在两个不同点A，B，使得A，B关于直线的对称点，在函数的图像上，
转化为函数与函数有两个交点，
函数恒过，直线与的切点为，
可得，所以切线的斜率为：，解得，切线的斜率为：e，
所以
故选：
题目转化为：函数与函数有两个交点即可．
本题考查函数的导数的应用，函数与方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 10.【答案】A 【解析】【分析】
本题考查了函数值的计算，属于中档题．
根据定义计算甲，乙两公司的报价得分，注意乙公司报价低于基准价以上，要选取正确的计分方式，最后计算综合得分．
【解答】解：甲公司的报价分数，
乙公司的报价分数，
甲公司的综合得分为分，
乙公司的综合得分为分．
故选：  11.【答案】4 【解析】解：由双曲线方程可得，，
双曲线C的一条渐近线，
，得，
，
得，即双曲线C的焦距为
故答案为：
由已知求得b，再由渐近线方程求得a，利用隐含条件求得c，则答案可求．
本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的渐近线方程，是基础题．
 12.【答案】 【解析】解：设，
因为，，
所以，
所以，
整理得，
故答案为：
设，根据条件列出关于x，y的方程，整理可得结果．
本题考查了轨迹方程的求解，属于基础题．
 13.【答案】  【解析】解：函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，
令，
整理得，
由于函数在区间单调递增，
故；
故a的最大值为；
故答案为：
直接利用函数的关系式的平移变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 14.【答案】14 【解析】解：在梯形ABCD中，，，，，P是BC的中点，
，
故答案为：
把所求向量转化，再结合数量积的运算即可求解结论．
本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．
 15.【答案】①②④ 【解析】解：根据题意，因为为奇函数，
所以的图像关于对称，即，
因为，
所以函数的图像关于对称，，
，即，
故函数是周期的周期函数，
依次分析4个结论：
对于①，的图像关于对称，且的周期为4，则的图像关于对称，正确；
对于②，满足且，变形可得，则图像关于直线对称，正确；
对于③，是周期的周期函数，则，错误；
对于④，当时，，易得在为增函数，
而图像关于直线对称，在在区间上为减函数，
又由是周期的周期函数，且，，则在区间单调递减，正确；
故答案为：①②④
根据题意，分析函数的对称性，由此可得的周期性，据此依次分析4个结论，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，涉及函数的对称性分析，属于中档题．
 16.【答案】解：由正弦定理得，
，
即，
即，
因为，故，
所以；
选条件①，，又，，
由正弦定理，可得，解得，
因为，
所以或，
此时三角形不唯一，故选择条件①不符合题意；
选条件②，
由正弦定理得：，
由，
，
所以由，
选条件③，
，
，
由正弦定理 【解析】根据正弦定理将条件进行转化可得A；
分别选择三个条件结合正弦定理进行求解．
本题考查了解三角形的相关知识，属于基础题．
 17.【答案】解：，理由如下：
连结EF，因为E，F分别是PD，PC的中点，所以，，
又因为，，所以，，
所以四边形ABFE为平行四边形，故
由已知DP，DC，DA两两垂直，建立如图所示坐标系，
，，，，
设平面PBC法向量为，，
平面ABC的法向量为，
，
二面角的余弦值为
，，
设点E到平面PBC的距离为d，则 【解析】只要证明四边形ABFE是平行四边形即可；用向量数量积计算二面角的余弦值；用向量数量积计算点到平面距离．
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，考查了点到平面的距离问题，属于中档题．
 18.【答案】解：名学生中随机抽取两名学生共有，…………………………分
设恰好2名学生都来自同一班级共有，…………分
，………………………………………………………………分
可取0，1，2，……………………………………………………………分
，，………分
的分布列为：012P……………………………分
的期望………………………………………．………分
可取0，1，2，…………………………………………………………………分
，所以………………………………………分 【解析】利用古典概型概率公式求解即可．可取0，1，2，求出概率，得到的分布列，然后求解期望．
可取0，1，2，满足，然后求解期望即可．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，古典概型概率的求法，是中档题．
 19.【答案】解：，………………………………………．……………．………分
，，得切线方程为………………………………分
证明：由得，时，…………………分
时，单调递减，，，…………分
由零点存在定理可得，在存在唯一一个零点，…………分
且当，，，，
所以，在区间存在唯一极大值点．………………………………分
证明：由可知，在区间上单调递增，在单调递减，……．分
，，所以，当时，，…………．…分
当时，…………………分 【解析】求出导函数，求解切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．
求解导函数判断函数的单调性，结合零点判断定理证明即可．
利用函数的单调性结合函数的最值推出结果即可．
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的单调性以及函数的最值的求法，是中档题．
 20.【答案】解：由题意得：………………………．………分
若，l：与椭圆相交于………．…分
直线：，直线…………………………分……………………………………………．…………分
由椭圆的对称性若可得交点为………………分
当m变化时，点P恒在定直线上．…………………………………………分
若时，……………………………分
设交点为，，由韦达定理得：………．分
直线：与定直线相交于，得…．分
同理直与直线相交于，得…分……分
式代入得，所以当m变化时，点P恒在一条定直线上．………分 【解析】利用已知条件推出a，b，即可得到椭圆方程．
求解直线：，直线，然后求解P的坐标，联立直线与椭圆方程，设交点为，，结合韦达定理，推出点P恒在一条定直线上．
本题考查椭圆方程的求法，直线与同样的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
 21.【答案】解：集合M具有性质P；集合N不具有性质P；
取，由题知存在k，，使得成立，即，
又，故必有
又因为，所以
证明：由得，当时，存在k，使得成立，
又因为，故，即所以
又，所以，
故，，⋯，，，
相加得：，即 【解析】直接进行判断即可，
取，判断出，得出所以
利用累加法，进行运算即可得出．
本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．