2021-2022学年北京市丰台区高三上学期期末考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年北京市丰台区高三上学期期末考试数学试卷（含答案解析），共16页。试卷主要包含了5B，【答案】B，【答案】A，18+x−8090−80×0，【答案】D，【答案】C等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市丰台区高三上学期期末考试数学试卷     若集合，或，则(    )A.  B.
C.  D.     在复平面内，复数对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限    已知等差数列的前n项和为若，则(    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4    下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是(    )A.  B.  C.  D.     已知，是两个不同的平面，直线，那么“”是“”的(    )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件    已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上．若O是坐标原点，，则(    )A. 8 B. 12 C.  D.     为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛．根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．若要对成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为(    )A. 65
B. 75
C. 85
D. 95    已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数k的取值范围是(    )A.  B.  C.  D.     声强级单位：由公式给出，其中I为声强单位：人在正常说话时，声强级大约在之间，声强级超过60dB的声音会对人的神经系统造成不同程度的伤害．给出下列四个声强，其声强级在之间的是(    )A.  B.  C.  D. 已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；
②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增．
其中所有正确结论的序号是(    )A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④在的展开式中，的系数为__________用数字作答在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，它的终边与以原点O为圆心的单位圆交于点，则__________.已知双曲线的离心率为，C的焦点到其渐近线的距离为5，则__________.设是等比数列，能够说明“若，则”是假命题的一组和公比q的值依次为__________.已知点和圆O：上两个不同的点M，N，满足，Q是弦MN的中点，给出下列四个结论：
①的最小值是4；
②点Q的轨迹是一个圆；
③若点，点，则存在点Q，使得；
④面积的最大值是
其中所有正确结论的序号是__________.在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
求；
求的面积．
条件①：；
条件②：如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，Q为棱PD的中点，，
求证：平面ABCD；
求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值；
求直线PB到平面ACQ的距离．
为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验．为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表：传统艺术活动第1天第2天第3天第4天第5天书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数8045552045高二体验人数4060608040高三体验人数1550407530从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；
通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况，现随机选择3项传统艺术活动，设选择的3项活动中体验人数超过该校学生人数的有X项，求X的分布列和数学期望；
为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈．设这3名学生均选择了第k天传统艺术活动的概率为，写出，，，，的大小关系．已知函数且
当时，求曲线在点处的切线方程；
若恒成立，求a的取值范围．已知椭圆过点，离心率为
求椭圆C的方程；
设椭圆C的右顶点为A，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，均异于点，直线AM，AN分别与直线交于点P，求证：为定值．若有穷数列且满足，则称为M数列．
判断下列数列是否为M数列，并说明理由；
①1，2，4，
②4，2，8，
已知M数列中各项互不相同．令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；
已知M数列是且个连续正整数1，2，⋯，m的一个排列．若，求m的所有取值．
答案和解析 1.【答案】B 【解析】【分析】本题考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．
进行交集的运算即可．【解答】解：，或，

故选：  2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应的坐标得答案．【解答】解：，
在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：  3.【答案】A 【解析】【分析】由已知结合等差数列的求和公式先求出首项及公差，然后结合等差数列的求和公式可求．
本题主要考查了等差数列的求和公式及通项公式的应用，属于基础题．【解答】解：因为等差数列中，，
所以，
解得，，，
则
故选：  4.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性的概念对四个选项逐一判断即可．
本题考查函数奇偶性与单调性的性质及其判定，属于基础题．【解答】解：对于A，是奇函数，但在区间上单调递减，故A错误；
对于B，，为奇函数，且在R上单调递增，故B正确；
对于C，在单调递增，在单调递减，故C错误；
对于D，的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，故D错误；
故选：  5.【答案】A 【解析】【分析】由题意分别判断充分性和必要性是否成立即．
本题主要考查线面之间的位置关系，充分性与必要性的判定等知识，属于基础题．【解答】解：若，则l与没有交点，故，即充分性成立，
反之，若，有可能，相交，而l与交线平行，故必要性不成立，
综上可得，“”是“”的充分不必要条件．
故选：  6.【答案】A 【解析】【分析】本题考查抛物线的的性质的应用及数量积的应用，属于基础题．
由抛物线的方程可得焦点F的坐标及准线方程，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，由的值求出M的横坐标，进而求出的值．【解答】解：抛物线C：的方程可得焦点为准线方程为，
设，
由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以，可得，
则，
故选：  7.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题．
根据已知条件，结合频率分布直方图，即可求解．【解答】解：设获奖学生的最低成绩为x元，
，解得
故选：  8.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了函数的零点、作图能力及数形结合思想，属于基础题．
作出函数的图象，结合图象即可求解．【解答】解：作出的图象如图所示：

因为有2个交点，所以，
故选：  9.【答案】C 【解析】【分析】
将四个选项的值代入公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．【解答】解：对于A，，故A错误，
对于B，，故B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D错误．
故选：  10.【答案】B 【解析】【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④．
本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的综合能力，属于中档题．【解答】解：由函数，
令，则
函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，
由，得，则，1，2，3，
即，，故③正确；
对于①，，，
当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；
对于②，周期，由，，故②正确；

对于④，，又
又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．
故正确序号为：②③，
故选：  11.【答案】80 【解析】【分析】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
利用二项式定理即可求解．【解答】解：二项式的展开式中含项的系数为，
故答案为：  12.【答案】 【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，计算求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，
它的终边与以原点O为圆心的单位圆交于点，
则
故答案为：  13.【答案】 【解析】【分析】本题考查双曲线的简单几何性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
由双曲线的离心率公式，双曲线的渐近线方程，及点到直线的距离公式即可求得a即可．【解答】解：由双曲线的离心率，，
双曲线的渐近线方程l：，焦点为，
则焦点到渐近线的距离，
由，解得：，所以
故答案为：  14.【答案】；答案不唯一 【解析】【分析】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
根据已知条件，结合特殊值法，即可求解．【解答】解：令，，
则，
若，
则，满足题意．
故答案为：；答案不唯一  15.【答案】①②④ 【解析】【分析】本题考查了轨迹方程问题，属于中档题．
①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出，找到等量关系，建立方程，求出点Q的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点Q；④当PM，PN斜率分别为1和时，此时面积最大，求出最大值．【解答】解：点M在圆O：上，设，则，
当时，取得最小值，最小值为4，①正确；
设点，则由题意得，
则，
整理得：，
所以点Q的轨迹是一个圆，②正确；
以AB为直径的圆，圆心为，半径为1，
方程为：，
由于，两圆相离，
下面判断此圆与点Q的轨迹方程是否有交点，
故不存在点Q，使得，③错误；
当PM，PN斜率分别为1和时，此时为等腰直角三角形，面积最大，
此时，④正确．
故答案为：①②④．  16.【答案】解：若选①，，
由余弦定理可得，
，
；
；
若选②，，
，
由正弦定理可得，
，
为钝角，
，
；
，
 【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式，属于基础题．
若选①，根据余弦定理求出角A，根据三角形的面积公式即可求出；
若选②，根据正弦定理求出角A，根据三角形的面积公式即可求出；
 17.【答案】证明：因为平面平面ABCD，平面平面，
又因为，所以平面
解：因为底面ABCD为正方形，所以，由知平面ABCD，
所以AB、AD、AP两两垂直，建系如图，
，，，
，，
令，
因为，，所以是平面ACQ的法向量，
是平面ABCD的法向量，
所以平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为
解：，，，
由知是平面ACQ的法向量，
因为，所以平面ACQ，所以直线PB到平面ACQ的距离等于点B到平面QAC的距离，
因为，所以直线PB到平面ACQ的距离为 【解析】只要证明PA垂直于平面PAD与平面ABCD的交线即可；用向量数量积计算二面角的余弦值；转化为点到平面距离问题，用向量数量积计算即可．
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，考查了直线与平面的距离问题，属于中档题．
 18.【答案】解：由题意知，样本中学生共有人，其中体验戏曲活动的学生共人，
设事件A为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，
故所求概率为
由题意知，体验人数超过该校学生人数的传统艺术活动有3项，
X的所有可能值为1，2，
，
，
，
所以X的分布列为：X123P   故X的数学期望
即比较这5列三个数的乘积大小 【解析】由古典概型概率公式求解即可；
的所有可能值为1，2，3，分别求出对应的概率，可得分布列及数学期望；
比较这5列三个数的乘积大小即可得结论．
本题主要考查古典概型概率公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
 19.【答案】解：当时，，，，
，，
曲线在点处的切线方程为：，化为；
，，
，
时，，此时函数在上单调递增，
时，，，不符合题意，舍去．
时，，
此时函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，
恒成立，
化为：，
解得，
综上可得：a的取值范围是 【解析】当时，，，，利用导数运算法则可得，可得切线斜率，利用点斜式即可得出切线方程．
，，，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 20.【答案】解：由题意知，，解得，，
所以椭圆C的方程为
证明：由题意知，直线l的斜率不可能为0，故设其方程为，
设点，点，
联立，得，
所以，，
因为，
所以直线AM的方程为，令，则，
直线AN的方程为，令，则，
所以
，
故为定值． 【解析】由题意知，，解之，即可；
设，，利用点斜式写出直线AM和AN的方程，并求出点P和Q的纵坐标，设直线l的方程为，将其与椭圆方程联立，再结合韦达定理，对的表达式进行化简，即可得证．
本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 21.【答案】解：①因为，所以该数列不是M数列；
②因为，所以该数列是M数列．
证明：必要性：若数列是等差数列，设公差为d，
则
所以数列是常数列．
充分性：若数列是常数列，
则，即…，
所以或
因为数列的各项互不相同，
所以
所以数列是等差数列．
当时，因为，所以，不符合题意；
当时，数列为3，2，4，此时，符合题意；
当时，数列为2，3，4，5，此时，符合题意；
下证当时，不存在m满足题意．
令，
则，且，
所以有以下三种可能：
①；②；③
当时，因为，
由知：，，⋯，是公差为或的等差数列．
当公差为1时，由得或，所以或，与已知矛盾．
当公差为时，同理得出与已知矛盾．
所以当时，不存在m满足题意．
其它情况同理．
综上可知，m的所有取值为4或 【解析】直接利用定义进行判断即可，
从充分性和必要性两方面进行证明即可，
对m取不同的值进行判断，再对分情况讨论即可．
本题考查数列的应用，考查学生的综合能力，属于难题．