2021-2022学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷

1.     已知集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是(    )

A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数

3.     为了得到函数的图像，只需把函数的图像(    )

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

4.     六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有(    )

A. 15种 B. 90种 C. 540种 D. 720种

5.     传说古希腊毕达哥拉斯派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们将1，3，6，10，15，⋯，，⋯，称为三角形数；将1，4，9，16，25，⋯，，⋯，称为正方形数．现从小于100的三角形数中，随机抽取一个数，则这个数是正方形数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.     已知抛物线C：的焦点为F，，是C上两点，若，则(    )

A.  B.  C.  D. 2

7.     设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.     已知圆柱的侧面积为，其外接球的表面积为S，则S的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.     已知复数且，是z的共轭复数，则下列命题中的真命题是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是(    )

A. 点P的轨迹方程为 B. 以PM为直径的圆过定点
C. 的最小值为6 D. 若直线PA与圆M切于点A，则

11. 为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：逐份检测；混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式参考数据：

A.  B.  C.  D.

12. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为AB的中点，将沿DE所在的直线翻折，使A与重合，得到四棱锥，则在翻折的过程中(    )

A.
B. 存在某个位置，使得
C. 存在某个位置，使得
D. 存在某个位置，使四棱锥的体积为1

13. 等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则__________.
14. 中，D为BC的中点，，，则__________.
15. 已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为__________.
16. 已知函数，b，c分别是的极大值点与极小值点，若且，则__________.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
    求角C；
    求的取值范围．
18. 已知是数列的前n项和，，且
    证明：为常数列；
    若，求数列的前n项和
19. 如图，四棱锥的底面是矩形，，侧面底面
    求证：底面OBCD；
    若，二面角的大小为，求四棱锥的体积．

20. 某统计部门依据《中国统计年鉴》提供的数据，对我国年的国内生产总值进行统计研究，作出了两张散点图：图1表示年我国的国内生产总值，图2表示年我国的国内生产总值
    
    用表示第i张图中的年份与GDP的线性相关系数，，依据散点图的特征分别写出的结果：
    分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据一一决定系数的数值，部分结果如表所示：

①将表中的数据补充完整结果保留3位小数，直接写在答题卡上；
②若估计2017年的GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来估计，2020年的GDP能否突破100万亿元？事实上，2020年的GDP刚好突破了100万亿元，估计与事实是否吻合？结合散点图解释说明．

21. 已知圆O：，点M是圆O上任意一点，M在x轴上的射影为N，点P满足，记点P的轨迹为
    求曲线E的方程；
    已知，过F的直线m与曲线E交于A，B两点，过F且与m垂直的直线n与圆O交于C，D两点，求的取值范围．
22. 过点可以作出曲线的两条切线，切点分别为A，B两点．
    证明：；
    线段AB的中点M的横坐标为，比较与a的大小关系．
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查集合的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
求出集合A，B，利用交集定义能求出

【解答】

解：集合，
，，

故选：

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性的性质以及判断，注意函数奇偶性的性质，属于基础题．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数为奇函数，为偶函数，
则、公共定义域必定关于原点对称，
依次分析选项：
对于，，既不是奇函数也不是偶函数，A，B错误；
对于，，是奇函数，C正确，D错误；
故选：

3.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查了诱导公式和函数的图象变换，属于基础题．
由题意利用诱导公式和函数的图象变换即可求解．

【解答】

解：因为，
所以把函数的图像向右平移个单位即可得到函数的图像．
故选：

4.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查简单的计数问题，属于基础题．
利用组合公式直接进行计算即可．

【解答】

解：到北京的有种，到延庆的有，剩余2人到张家口，
共有种.
故选
 

5.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型的概率计算公式，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题．
由已知列出从1到100个整数中所有的三角形数和正方形数，由古典概型的概率计算公式即可求解．

【解答】

解：由题意可得，从1到100个整数中，所有的三角形数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，共13个，
从1到100个整数中，所有的正方形数依次为1，4，9，16，25，36，49，64，81，共9个，
所以从1到100 个整数中，既是三角形数又是正方形数的为1，36，共2个，
故所求的概率为，
故选：
 

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离的性质的应用，属于基础题．
由抛物线的方程可得焦点F的坐标及准线方程，将A，B的坐标代入抛物线的方程可得A，B的横坐标的关系，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，求出的值．

【解答】

解：因为抛物线C：的焦点，准线方程为，
将A，B的坐标代入抛物线的方程可得，
可得，
而，可得，
即，
由抛物线的性质可得，
故选：
 

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用对数函数的性质比较大小，属于基础题．
利用对数函数的性质和换底公式即可求解．

【解答】

解：，
，
故选：
 

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查几何体的外接球的表面积的求法，基本不等式的应用，属于基础题．
设出圆柱的底面半径与高，通过圆柱的侧面积，求解关系式，表示出外接球的表面积，然后求解最小值．

【解答】

解：设圆柱的底面半径为r，高为h，
可得圆柱的侧面积为，所以，
圆柱的外接球的半径为：，
外接球的表面积为：，
当且仅当，时，外接球的表面积取得最小值
故选：

9.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算，考查共轭复数，属于基础题．
求出z的共轭复数，根据复数的运算，对各个选项进行判断即可．

【解答】

解：且，
，
，故A正确，
，故B错误，
，故C正确，
，故D错误，
故选：

10.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查点的轨迹问题，过定点问题，距离的最小值问题，属于中档题．
圆M：关于直线对称，点M在直线上，可得，可判断A；以PM为直径的圆N的方程为，把点Q的坐标代入方程可判断B；的最小值即为点M到直线的距离，求出d可判断C，进而可判断

【解答】

解：由圆M：得，
所以圆心，半径，
由圆M：关于直线对称，
所以M在直线上，所以
所以，所心点P的轨迹方程为，故A正确；
以PM为直径的圆N的方程为，
把点代入圆的方程的左边，
有，所以点Q在圆N上，故B正确；
的最小值为即为点M到直线的距离，又，故C错误；
若直线PA与圆M切于点A，则，故D正确.
故选

11.【答案】CD 

【解析】

【分析】

本题考查离散随机变量分布列，均值，属中档题．
计算混合检测方式，样本需要检测的总次数Y的期望，又逐份检测方式，样本需要检测的总次数X，，知，利用求解可得p的范围，即可得出结论．

【解答】

解：设混合检测方式，样本需要检测的总次数Y可能取值主1，11，
，，
故Y的分布列为：

，
设逐份检测方式，样本需要检测的总次数X，则，
要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需，
即，即，即，
又，，，

故选：

12.【答案】AB 

【解析】

【分析】

本题考查了立体几何中线与线、线与面的位置关系的判断及棱锥的体积，考查了学生空间想象能力，属于中档题．
过作，垂足为O，证得平面，可判定A正确；取DC的中点G，连接EG，，当在平面ABCD上的投影在EG上时，可判定B正确；连接，由直线与DE是异面直线，可判定C错误；求得，结合棱锥的体积公式即可判定D错误．

【解答】

解：对于A中，如图所示，过作，垂足为O，延长AO交BC于点F，
因为，且，AO，平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以A正确；
对于B中，取DC的中点G，连接EG，，
当在平面ABCD上的投影在EG上时，此时平面，
从而得到，所以B正确；
对于C中，连接，因为平面ABE，平面ABE，
所以直线与DE是异面直线，
所以不存在某个位置，使得，所以C错误；
对于D中，由，解得，
由作，可得，
即此时四棱锥的高此时，
所以不存在某个位置，使四棱锥的体积为1，所以D错误．
故选：
 

13.【答案】4 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列，考查学生的运算能力，属于基础题．
由题意可以得到，进而将式子化为基本量解出答案即可．

【解答】

解：由题意，
故答案为：

14.【答案】5 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，属于基础题．
根据题意，把所求向量转化，结合数量积即可求解结论．

【解答】

解：中，D为BC的中点，，，
，



 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆锥的结构特征，圆锥的体积，属于基础题.
根据圆锥的侧面展开图及母线长求出圆锥底面半径，从而可求圆锥的高，再圆锥的体积公式求解即可.

【解答】

解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，
圆的弧长为：，即圆锥的底面周长为：，
设圆锥的底面半径是r，
则得到，
解得：，
圆锥的高为
所以圆锥的体积为：，
故答案为：

16.【答案】2 

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究函数的极值，考查转化与化归思想，函数与方程思想及综合运算能力，属于拔高题．
先求导，令，求得极大值点与极小值点，得到b，c；再由且，求得d，得到d与c的关系式，从而可得答案．

【解答】

解：，
令，，
当时，，
故在，上单调递增，
当时，，在单调递减，
在时取得极大值，在时取得极小值，
，c分别是的极大值点与极小值点，
，，
又且，
，即，又，
，即，
解得，
，
故答案为：

17.【答案】解：，
，
，由余弦定理得，
，

根据正弦定理可得，
又，则，
所以，
则的取值范围是 

【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理和三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
由已知利用正弦定理可得，由余弦定理得，结合范围，可得C的值．
根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得，由，可得范围，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．
 

18.【答案】解：证明：，且
时，，
相减可得：，
化为：，
……，
数列为常数列；
由可得：，
，
数列的前n项和…… 

【解析】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由，且，可得时，，相减化简整理即可证明结论．
由可得：，可得，进而得出数列的前n项和
 

19.【答案】证明：因为侧面底面OBCD，
侧面底面，
又因为四边形OBCD是矩形，所以，
平面OBCD，所以平面AOD，
因为平面AOD，所以，
又因为，，BO，平面OBCD，
所以平面
解：由知OB、OD、OA两两垂直，建系如图，

设，，
，，，
，，，
令，，
因为，，所以是平面ABC的法向量，
因为，，所以是平面ACD的法向量，
因为二面角的大小为，
所以，解得，
所以四棱锥的体积为 

【解析】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，考查了四棱锥体积计算问题，属于中档题．
只要证明AO垂直于平面OBCD内两相交直线即可；
用向量数量积计算二面角的余弦值，列方程求OA，再用棱锥体积公式计算即可．
 

20.【答案】解：越接近于1，则相关性越强，
又图2的散点图更加接近或在线性直线上，
图2的线性相关性大于图1的线性相关性，
，
，
①由题知，，
则上表中需要补充的数据为
②由图2中的线性回归模型得到的决定系数为，是所有回归模型的决定系数中数值最大的，
而且2017年是最近的年份，因此选择图2中的线性回归模型来估计2017年的GDP，是比较精准的.
按照图2中的线性回归模型来估计延长回归直线可发现，2020年不能突破100万亿元，估计与事实不吻合.
综合两张图来考虑，我国的GDP随年份的增长整体上呈现指数增长的趋势，而且2020年比2016年又多发展了4年，指数回归趋于明显，因此，按照线性回归模型得到的估计值与实际数据有偏差、不吻合，属于正常现象. 

【解析】本题考查线性相关系数的求解以及相关指数的求解，考查散点图，考查回归模型，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
根据图中的散点图求出相关系数即可；
①由题中的数据和公式求出表中的决定系数即可；
②结合散点图及线性回归模型中的决定系数分析我国的GDP发展情况即可.
 

21.【答案】解：设点，由，得，
由点M在圆O：上，所以，
整理得，
所以曲线E的方程是，
当直线m的斜率为0时，，，，
当直线m的斜率不存在时，，，，
当直线m的斜率存在且不为0时，设m：，则n：，
点O到直线n的距离，所以，
将代入曲线E的方程，
整理得，
设，，
则，，
则，
所以，
令，
则，，
令，，
则，所以在上单调递减，
所以，即
综上所述，的取值范围是 

【解析】设出点P坐标，根据题意求出M点坐标，代入圆O方程即可求出曲线E的方程；
对直线m的斜率分类讨论，利用弦长公式结合导数法求出的取值范围．
本题主要考查曲线方程的求解，圆锥曲线中的最值与范围问题等知识．
 

22.【答案】证明：令，则，设，，
则，，则方程有两根，，
令，则有两个零点．
若，则单调递增，至多一个零点，不合题意；
因此，此时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当时，取得最小值为
若要使有两个零点，则需，即
；
解：依题设，只需比较与2a的大小关系，
由知，，，
两式相减，得，即，
则
不妨设，则，
取，则，，
令，，则
于是在上单调递减，
故，即 

【解析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，属于中档题．
令，求其导函数，设出A，B的坐标，由斜率相等可得有两个零点，若，则单调递增，至多一个零点；因此，再由导数求其最小值，由最小值小于0证明；
问题转化为比较与2a的大小关系，由知，，，两式相减，得，可得，换元后再由导数求最值，即可证得，即