2021-2022学年辽宁省五校（辽宁省实验中学、东北育才学校、鞍山一中、大连八中、大连二十四中）高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年辽宁省五校（辽宁省实验中学、东北育才学校、鞍山一中、大连八中、大连二十四中）高三（上）期末数学试卷

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知复数z满足，(    )

A.  B.  C.  D.

3.     已知，，，则a，b，c的大小顺序为(    )

A.  B.  C.  D.

4.     “关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是(    )

A.  B.  C.  D.

5.     2020年8月11日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，触目惊心，令人痛心!“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据．据统计此次问卷调查的得分满分：100分服从正态分布，则(    )
   若随机变量，则，

A.  B.  C.  D.

6.     若的二项展开式中的系数是，则实数a的值是(    )

A.  B.  C. 1 D. 2

7.     已知抛物线C：的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

8.     “迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12cm，外层底面直径为16cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为
   20cm的球面上．此模型的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.     下列说法中错误的是(    )

A. 已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底
B. 若与共线，则在方向上的投影为
C. 若两非零向量，满足，则
D. 平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形

10. 有一组样本数据，，…，，另一组样本数据，，…，，其中…，，c为非零常数，则(    )

A. 两组样本数据平均数相同
B. 两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等
C. 两组样本数据方差相同
D. 两组样本数据极差相同

11. 下列结论正确的是(    )

A. 直线恒过定点
B. 直线的倾斜角为
C. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
D. 与圆相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线有两条

12. 函数，分别为R上的偶函数和奇函数，且，若，函数有唯一零点，则实数的值可以为(    )

A.  B.  C. 1 D.

13. 若双曲线的右焦点与圆的圆心重合，则__________.
14. 已知，则的值为__________.
15. 设是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，，都有，若，，则数列的前n项和__________.
16. 若函数上相异的点，满足如下条件：①；②函数关于点对称；③函数在点处的切线与其相交于点；则__________.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且
    求角A的大小；
    若，，求面积．
18. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且______，在①，②，③中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题．
    求数列的通项公式；
    若，求数列的前n项和
19. 如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，，，，
    求点C到平面BDE的距离；
    是线段AE的中点，求DF与平面BDE所成角正弦值．

20. 已知椭圆C的方程为，长轴长为，且离心率为
    求椭圆C的方程；
    过椭圆C上任意一点A作两条直线，与椭圆的另外两个交点为M，N，O为坐标原点，若直线AM和直线AN的斜率存在且分别为和证明：M，O，N三点共线的充要条件是
21. 国家对待疫情的态度和采取的举措令人敬佩，展示了负责任大国的担当，其中疫情防控的措施之一为：要求与新冠肺炎确诊患者的密切接触者集中医学观察14天，在医学观察期结束后发现密切接触者中60岁以上的老年人感染病毒的比例较大．对某市200个不同年龄段的结束医学观察的密切接触者样本进行感染病毒情况统计，得到下面的列联表：

是否有的把握认为密切接触者感染病毒与年龄有关；
以样本中结束医学观察的密切接触者感染病毒的频率估计概率，现从某市所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染病毒人数统计，求其中至少有3人感染病毒的概率；
某市现有一个中风险小区，政府决定对小区内所有住户进行排查，在排查期间，发现一户4口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行“核酸”检测，每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为，当时，最大，求m的值．
附：

22. 材料：在现行的数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的．如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数，根据以上材料：
    直接写出初等函数极值点
    对于初等函数，有且仅有两个不相等实数，满足：
    求k的取值范围；
    求证：
    注：题中e为自然对数的底数，即
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．

【解答】

解：，，

故选：

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，属于基础题．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．

【解答】

解：，
，
，

故选

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数和对数函数的单调性应用，考查数学运算能力，属于基础题．
根据指数函数和对数函数的单调性求出，，，可解决此题．

【解答】

解：，
，
，
故选：

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查充分、必要条件的判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
由“关于x的不等式对恒成立”解出a的取值范围，即可解决此题．

【解答】

解：由“关于x的不等式对恒成立”，
可得，解得：，
而，
故选

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．

【解答】

解：此次问卷调查的得分满分：100分服从正态分布，
，，


故选：

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得实数a的值．

【解答】

解：的二项展开式的通项为，
令，
解得，
则，
解得，
故选：

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义和标准方程，属于一般题.
根据点M在抛物线上和列方程组可解得和p，即可得到答案．

【解答】

解：画出图形如图所示，作，垂足为D，

由题意得点，在抛物线上，则，①
由抛物线的性质，可知，
因为，
所以，
所以，解得，②
由①②解得舍去或
故抛物线C的方程为
故选：

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了空间几何体的理解与应用，主要考查了圆柱和球的几何性质的应用，圆柱的体积公式的运用，解题的关键是求出内层圆柱和外层圆柱的体积，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．
由题意，实心模型由两个圆柱构成，实心模型的体积=内层圆柱的体积+外层几何体的体积，利用圆柱与球的几何性质，求出内层圆柱的体积和外层圆柱的体积，从而求出外层几何体的体积，求出模型的体积．

【解答】

解：由题意可知，实心模型由两个圆柱构成，
实心模型的体积=内层圆柱的体积+外层几何体的体积，
因为内层圆柱的底面直径，所以，
所以内层圆柱的底面积为，
外层底面直径为，所以，
所以外层圆柱的底面面积为，
又内外层的底面圆周都在一个直径为20cm的球上，即，
如图，以内层圆柱为例，

因为内层圆柱的底面圆周在球面上，
所以球心O与内层圆柱的底面圆心的连线垂直于底面圆，即，
所以，
根据球的对称性可得，内层圆柱的高为，
所以内层圆柱的体积为，
同理可得，外层圆柱的高为，
所以外层圆柱的体积为，
由题意可得，外侧几何体的体积等于外层圆柱体的体积减去高为12的内层圆柱体的体积，
故，
所以该几何体的体积为
故本题选

9.【答案】ABD 

【解析】解：对于A：由于，，则，故不可以作为平面内所有向量的一组基底，故A错误；
对于B：若与共线，当和的方向相同时，则在方向上的投影为，故B错误；
对于C：两非零向量，满足，所以，整理得，则，故C正确；
对于D：平面直角坐标系中，，，，则，，，，，
故，，，由于，所以B为钝角，故为钝角三角形，故D错误．
故选：
直接利用向量的基底，向量垂直的充要条件，向量的模，向量的数量积的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：向量的基底，向量垂直的充要条件，向量的模，向量的数量积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

10.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题主要考查统计的知识，考查极差，方差，平均数的定义，属于基础题．
根据已知条件，结合极差，方差，平均数的定义，即可求解．

【解答】

解：设样本数据，，…，的平均数为，则样本数据，，…，，其中…，的平均数为，故A错误，
…，，c为非零常数，
样本的全部数据都减少2c，两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等，故B正确，
设样本数据，，…，的平均数为，则样本数据，，…，，其中…，的方差为，故C正确，
一组样本数据，，…，，另一组样本数据，，…，，其中…，，c为非零常数，
则样本数据，，…，中最小值与最大值变化的量相同，
故两组样本数据极差相同．
故选：

11.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：定点的直线系，圆的方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．
直接利用定点的直线系，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用判断A、B、C、D的结论．

【解答】

解：对于A：直线整理得：，
故，解得，故该直线恒过定点，故A错误；
对于B：直线的斜率，由于直线的倾斜角
故，所以直线的倾斜角，故B正确；
对于C：圆的圆心为到的距离，
由于该圆的半径为2，所以有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故C正确；
对于D：设过原点的直线与圆相切，
则，解得，即直线与圆相切，且在x轴、y轴上的截距相等;
当直线不过原点，且在x轴、y轴上的截距相等时，设直线方程为，，
则，解得，
故在x轴、y轴上的截距相等的直线有三条，故D错误．
故选

12.【答案】AB 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性及应用，考查函数零点的判定，考查运算求解能力，是中档题．
由已知求解的解析式，再由，函数有唯一零点，且函数与均关于直线对称，可得，结合求解的值．

【解答】

解：函数，分别为R上的偶函数和奇函数，
，，
，①
，②
①+②并整理得：，
，函数有唯一零点，
且函数与均关于直线对称，
，
则
，
又，
，解得或
故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的简单性质以及圆的性质的应用，是基础题．
求出圆的圆心，利用已知条件求解a即可．

【解答】

解：圆的圆心，双曲线的右焦点，
双曲线的右焦点与圆的圆心重合，
可得，解得
故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角的三角函数及诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
利用二倍角的余弦可得，再利用诱导公式，可求得答案．

【解答】

解：，
，
又，
，
故答案为：

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了等比数列的定义与通项公式、前n项和公式的应用问题，是综合性题目．
根据函数的关系式，求出数列的通项公式，判断数列是等比数列，求出它的前n项和

【解答】

解：令，，
，；
又，，
，
，
，

；
数列是首项为，公比的等比数列，
其前n项和为
故答案为：

16.【答案】6 

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究函数的切线方程，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
根据条件①得到，根据条件②得到，根据条件③得到，有这三个结论即可求解．

【解答】

解：因为，
所以，，为的三个不同的解，
所以

，
所以，即
因为，
又因为关于点对称，
所以为的对称轴，
所以
，
在处的切线为，
因为函数在点处的切线与其相交于点，
所以在切线上，
即，
展开化简
，
因为，所以，
即，
从而可得
综上，，，
所以
故答案为：

17.【答案】解：由得，，
由正弦定理可得：，
即，则，
由，可得：，
又，
可得：；
由已知及正弦定理得，即，可得，
，，则，故，
所以的面积 

【解析】本题考查解三角形，涉及正弦定理、三角形面积公式、向量坐标运算性质等知识点，属于中档题．
由向量平行的坐标运算性质结合正弦定理可得，整理后即可求得，进而得到A；
利用正弦定理求出，即可解出B，C，利用三角形面积公式即可求得面积．
 

18.【答案】解：选①②时，由于数列为等差数列，，，
所以，
解得，，
故；
选①③时，由于数列为等差数列，，
所以，
解得，，
故；
选②③时，由于数列为等差数列，，
所以，
解得，，
故，
由得：，
所以
 

【解析】本题考查数列的通项公式及裂项相消法求数列的和，考查学生的运算能力，属于中档题．
直接利用等差数列的通项公式的应用求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式；
利用裂项相消法求出数列的和．
 

19.【答案】解：如图所示，取AB中点O，连结OE，OD，
直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，则EO垂直于平面ABCD，
，则，，，，
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则：，，，，

据此可得，，
设平面BDE的一个法向量为，
则，令可得，
从而，又，
故点C到平面BDE的距离
是线段AE的中点，由知，
，
设DF与平面BDE所成的角为，
则，
与平面BDE所成角正弦值为 

【解析】本题主要考查点面距离的求解，立体几何中的探索性问题，空间向量的应用等知识，属于中等题．
由题意建立空间直角坐标系，求得平面向量的法向量和相应点的坐标，利用点面距离公式即可求得点面距离；
求出DF的方向向量，利用向量法求DF与平面BDE所成角正弦值．
 

20.【答案】解：由题意知，，
所以，，
所以，
故椭圆C的标准方程为
证明：必要性：若M，O，N三点共线，则M与N关于原点对称，
不妨设，，则，
所以，，所以，
因为，在椭圆上，
所以，①
，②
①②两式相减得，，
故，必要性得证；
充分性：设，，，
因为，在椭圆上，
所以，①
，②
①②两式相减得，，
又因为，
所以，
整理得，，
则点，，三点共线，
又因为点在椭圆上，所以与N重合，
而关于原点的对称点为M，即M，O，三点共线．
所以M，O，N三点共线，充分性得证，
综上所述，M，O，N三点共线的充要条件是 

【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，分别证明充分性与必要性，灵活运用椭圆的方程，直线的斜率公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
根据长轴长及离心率可求解；
分别证明充分性与必要性，设出相关点的坐标，再利用点在椭圆上及斜率的公式进行计算，即可证明．
 

21.【答案】解：依题意有，
故有的把握认为密切接触者感染病毒与年龄有关；
由题意得：该地区每名密切接触者感染病毒的概率为，
设随机抽取的4人中至少有3人感染病毒为事件A，则；
设事件B 为：检测了3名成员确定为“感染高危家庭”；事件C为：检测了4名成员确定为“感染高危家庭”；
则，
即
设，则，
因为，，
由基本不等式可知：
当且仅当，即时等号成立，即 

【解析】本题考查独立性检验与相互独立事件的概率，利用基本不等式求最值，属于中档题．
根据题中所给的公式进行运算，结合题中所给的表格数据进行判断即可；
根据独立重复事件概率公式进行求解即可；
根据独立重复事件的概率公式，结合换元法、基本不等式进行求解即可．
 

22.【答案】解：极小值点为，无极大值点；
由题意得：，即，
问题转化为在内有两个零点，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
若有两个零点，则必有，解得，
若，当时，，无法保证有两个零点，
若，，又，，
故存在使得，存在使得，
综上可知，；
设，则，将代入，可得，，
欲证：，需证，即证，将代入，
则有，则只需要证明：，即，
构造，则，
令，
则，
令，则，
所以，则因此在内单调递减，
又，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，因此，
即，
综上所述，命题得证． 

【解析】本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性，极值和最值之间的关系，解决本题的关键一是读懂中信息，充分理解材料所给的内容与思想；二是在解决多元问题时，要注意换元，要构造函数再去研究单调性，从而从最值或极值对问题给出解答，属于难题．
根据材料的信息可求得极小值点为；
将问题转化为求函数的最小值问题，同时要注意边界；
通过换元，将问题转化为求函数的最值问题，从而获得证明．