2021-2022学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷

1.     设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知a，且，则“”是“”的(    )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

3.     函数其中e为自然对数的底数图象的大致形状是(    )

A.  B.
C.  D.

4.     已知，，，则a，b，c的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

5.     已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.     设，且，则(    )

A. 6 B.  C.  D.

7.     已知抛物线上一点到焦点的距离为3，准线为l，若l与双曲线C：的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线C的离心率为(    )

A. 3 B.  C.  D.

8.     将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是(    )
   ①函数的最小正周期为；
   ②是函数图象的一个对称中心；
   ③函数图象的一个对称轴方程为；
   ④函数在区间上单调递增

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9.     已知，设函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知向量，向量，则向量在方向上的投影向量为______.
11. 过点的直线l被圆截得的弦长为2，则直线l的斜率为__________.
12. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则__________.
13. 已知x，，，则的最小值__________.
14. 设是数列的前n项和，，，则______.
15. 如图，在菱形ABCD中，，，E、F分别为BC、CD上的点，，，点M在线段EF上，且满足，则__________；若点N为线段BD上一动点，则的取值范围为__________.

16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积为，，
    求a和的值；
    求的值．
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面ABCD，M为PD的中点．
    求证：平面ACM；
    求直线BM与平面PAD所成角的正弦值；
    求平面PAC与平面PAD夹角的余弦值．

18. 已知等比数列的公比，前3项和是等差数列满足，
    求数列，的通项公式；
    求；
     
19. 已知椭圆C：的离心率为，且椭圆上动点P到右焦点最小距离为
    求椭圆C的标准方程；
    点M，N是曲线C上的两点，O是坐标原点，，求面积的最大值.
20. 已知函数其中a为参数
    求函数的单调区间；
    若对任意，都有成立，求实数a的取值集合；
    证明：其中，e为自然对数的底数
    

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查交集与补集的混合运算，是基础题．
由已知利用补集运算求，再由交集运算得答案．

【解答】

解：，或，
又，

故选：

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题．
根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可．

【解答】

解：由得：，
则或或，
故“”是“”的既非充分又非必要条件，
故选：

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了函数图象的判断，考查函数奇偶性的应用，属于中档题．
判断的奇偶性，再根据在上的函数值的符号得出答案．

【解答】

解：，

为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；
当时，，，
，排除D，
故选：

4.【答案】B 

【解析】解：，，，
故
故选：
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 

5.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查正四棱柱外接球的体积，属于中档题．
正四棱柱体对角线恰好是该球的一条直径，得球半径，根据球的体积公式计算即可．

【解答】

解：正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，
正四棱柱体对角线的长为，
又正四棱柱的顶点在同一球面上，
正四棱柱体对角线恰好是该球的一条直径，得球半径，
则该球的体积
故选：

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查指对互化，对数的运算法则，考查运算求解能力，是基础题．
推导出，，从而，由此能求出m的值．

【解答】

解：设，则，，
，
，
，且，解得
故选：

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的性质及双曲线的性质和三角形面积的应用，属于基础题．
由抛物线的定义求出抛物线的准线l的方程，再由双曲线的方程求出渐近线的方程，与准线l联立求出交点的纵坐标，进而求出三条直线围成的面积，由题意可得a，b的关系，求出双曲线的离心率．

【解答】

解：由抛物线的方程可知准线方程为，
再由抛物线的定义可知，解得：，
所以准线l：，
由双曲线的方程可知渐近线的方程为：，
联立准线l与渐近线的方程可得，
所以准线l与两条渐近线所围成的三角形的面积，
由题意可知，
所以双曲线的离心率，
故选：

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用三角函数的关系式的变换和函数图象的平移变换和伸缩变换，进一步利用三角函数的性质的应用判断①②③④的结论．

【解答】

解：函数的图象向右平移个单位，得到的图象，
再将函数的图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的函数关系式；
对于①函数的最小正周期为，故①错误；
对于②当时，，故是函数图象的一个对称中心，故②正确；
对于③令，整理得，函数图象的对称轴方程不为，故③错误；
对于④由于，所以，故函数在区间上单调递增，故④正确．
故选

9.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的零点与方程根的问题，涉及到分类讨论思想，考查了学生的分析问题的能力与运算能力，属于较难题．
假设方程在时无解，得到，由此分别讨论时根的情况，进而可以求解．

【解答】

解：当时，令，则，
因为为增函数，
所以当该方程在时无实数根时，，所以，
①时，时有一个解，
所以时，有一个解，
即方程有一个解，
当时，单调递减，且，
所以时有一个解，
所以时，满足方程恰有两个互异的实数解；
②时，在时无解，
但在时只有一个解1，
所以时不成立；
③时，在时无解，
则当时，方程有两个互异的实数解，
即方程在上有两个互异的实数解，
，解得，
综上，a的范围为，
故选：

10.【答案】 

【解析】解：向量，向量，
，，
设与的夹角为，
则夹角的余弦值为，方向上的单位向量，
所以：在方向上的投影向量为，
故答案为：
求出各自的模长以及对应的夹角，再代入投影向量得计算公式求解即可．
本题考查平面向量数量积的含义及物理意义，解答本题的关键是熟练掌握投影的概念及公式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，结合弦长分析可得直线l经过圆的圆心，由斜率计算公式计算可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，注意分析弦长与半径的关系，属于基础题．

【解答】

解：根据题意，圆的标准方程为，其圆心为，半径，
过点的直线l被圆截得的弦长为2，则直线l经过圆的圆心，
故直线l的斜率；
故答案为：

12.【答案】2 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．
求出的导数，从而求出切线方程，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可．

【解答】

解：
曲线在点处的切线方程是，即
直线与直线垂直
，即
故答案为：2

13.【答案】4 

【解析】

【分析】

本题考查了利用基本不等式求解最值，“乘1法”的应用是求解问题的关键．
利用乘1法进行配凑，然后结合基本不等式即可求解．

【解答】

解：因为x，，，
所以
，
当且仅当且，
即，时取等号，此时的最小值
故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】
根据，可得，，再利用等差数列的通项公式即可得出答案．
本题考查数列递推关系、等差数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：，
，
，
又，
数列是等差数列，首项为，公差为
，
解得
故答案为：  

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的线性运算，向量的数量积，解题关键是用基底，表示其他向量，属于中档题．
由题意得出E，F分别是BC，DC的一个三等分点，设，然后把用，表示可得，再设，用基底，表示，，然后求数量积，再由函数性质得出取值范围．

【解答】

解：因为，，
所以E，F分别是BC，DC的一个三等分点，，，
设，



，
又，
所以，解得，
所以，
设，，
，
所以，
，
所以

，
因为，所以，
故答案为：；

16.【答案】解：在三角形ABC中，由，可得，的面积为，可得：，
可得，又，解得，，由，可得，
，解得；
 

【解析】通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解的值；
利用两角和的余弦函数化简，然后直接求解即可．
本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．
 

17.【答案】证明：连接BD，与AC交于O，在中，

，M分别为BD，PD的中点，
，
平面ADE，平面CAM，
平面
解：连接PE，设E是AB的中点，
是正方形，为正三角形，
又面面ABCD，交线为AB，
平面
过E作，与CD交于以E为原点，分别以EB，EF，EP所在直线为x，y，z轴，
如图，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
，，
设平面PAD的法向量为，则，
令则，得
设直线BM与平面PAD所成角为，

即直线BM与平面PAD所成角的正弦值
解：由可知，设平面PAC的法向量为，
则，令则，，
设面PAC与面PAD夹角为，

面PAC与面PAD夹角的余弦值为 

【解析】连接BD交AC于O，进而证明，然后根据线面平行的判定定理证明问题；
建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量，进而通过空间向量的夹角公式求得答案；
求出平面PAC的法向量，结合，进而通过空间向量的夹角公式求得答案
本题考查利用空间向量来解决立体几何问题，考查学生的综合能力，属于难题．
 

18.【答案】解：，且等比数列的公比，
，解得，
数列的通项公式为，
解得，，则，又，
等差数列的公差，
等差数列的通项公式为；
设数列前n项和为，
，
，
；
设数列的前n项和为，
，
，
，
两式做差得：
，
，即 

【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了利用裂项相消法与错位相减法求数列的前n项和，考查运算求解能力，属于中档题．
由已知求得，即可得到数列的通项公式，求得，的值，即可求得等差数列的公差，则可求；
设数列前n项和为，可得，由裂项相消法求得；
设数列的前n项和为，可得，再由错位相减法求
 

19.【答案】解：依据题意得，
解得，，
所以椭圆C的方程为
①当MN的斜率不存在时，即直线轴，
不妨设，则，
所以，
②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，
，得，
则，
设，，
则，，
因为，
所以，，
点O到直线MN的距离，




，
令，，
令，
，
所以在上，单调递减，
所以，
所以，
所以 

【解析】依据题意离心率为，且椭圆上动点P到右焦点最小距离为1，列方程组，解得a，b，即可得出答案．
分两种情况：①当MN的斜率不存在时，②当直线MN的斜率存在时，写出直线MN的方程，计算的面积最值，即可．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，，
当时，，在，
当时，令，得，
时，单调递减，
时，单调递增；
综上：时，在上递增，无减区间，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
由得：
对任意，都有恒成立，

，解得，
实数a的取值集合为
证明：设数列，数列，
由，得：，，
因此只需证数列单调递增且数列单调递减，
①证明数列单调递增：
，
数列单调递增．
②证明数列单调递减：
令，换元
，
由①得关于t单调递增，而关于n单调递减，
由复合函数的单调性知，单调递减，
 

【解析】求出，，再讨论a的取值范围，从而求出其单调区间；
求出由此求出；
设数列，数列，由，得：，由已知条件推导出数列单调递增且数列单调递减，由此能证明结论成立．
本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造成法、导数和极限性质的合理运用．