第2章平面解析几何初步2.6直线与圆圆与圆的位置关系2.6.2圆与圆的位置关系同步练习（湘教版选择性必修第一册）

2.6.2　圆与圆的位置关系

A级必备知识基础练

1.(2022甘肃庆阳宁县期末)已知圆C1:x2+y2=1和C2:x2+y2-5x+4=0,则两圆的位置关系是(　　)

A.内切 B.相交 

C.外切 D.相离

2.若圆C1:(x+1)2+y2=2与圆C2:x2+y2-4x+6y+m=0内切,则实数m=(　　)

A.-8 B.-19 

C.-5 D.6

3.圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程为(　　)

A.x2+y2-x+7y-32=0

B.x2+y2-x+7y-16=0

C.x2+y2-4x+4y+9=0

D.x2+y2-4x+4y-8=0

4.(2022四川广安高二期末)设圆C1:(x-1)2+(y-1)2=9和圆C2:(x+2)2+(y+1)2=4交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为(　　)

A.3x-2y-1=0

B.2x-3y+1=0

C.2x+3y-1=0

D.3x+2y+4=0

5.若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为6,则圆D的半径为(　　)

A.5 B.2 

C.2 D.2

6.(多选题)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是(　　)

A.-3 B.3

C.2 D.-2

7.已知圆(x-a)2+y2=4与圆x2+y2=25没有公共点,则正数a的取值范围为　　　　　. 

B级关键能力提升练

8.(2022安徽宣城高二期末)已知圆A:x2+y2-2x-4y-4=0,圆B:x2+y2+2x+2y-2=0,则两圆的公切线的条数是(　　)

A.1条 B.2条 

C.3条 D.4条

9.(2022广西北海高二期末)已知半径为2的圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),则点M的坐标为(　　)

A.(-6,3) B.(3,6) 

C.(-3,-6) D.(6,3)

10.若直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切,切点分别为A,B,则|AB|=(　　)

A.1 B. 

C. D.2

11.(2022江苏常州三中等六校高二联考)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0与圆O2:x2+y2-4x+2y+3=0相交于点A,B,则四边形AO1BO2的面积是(　　)

A.1 B.2 

C.3 D.4

12.(多选题)(2022山东泰安宁阳高二期末)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则(　　)

A.|PQ|的最小值为0

B.|PQ|的最大值为7

C.两个圆心所在的直线斜率为-

D.两个圆相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=0

13.(多选题)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0相交于A,B两点,则(　　)

A.直线AB的方程为y=2x+2

B.两圆有两条公切线

C.线段AB的长为

D.圆O上点E,圆M上点F,则|EF|的最大值为+3

14.(2022河北张家口高二期中)若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x+m)2+y2=20(m>0)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则AB的直线方程为　. 

15.(2022吉林长春二十九中等校期末)已知圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0,点C1,C2分别为两圆的圆心.

(1)求圆C1和圆C2的公共弦长;

(2)过点C1的直线l交圆C2于A,B两点,且AB=,求直线l的方程.

C级学科素养创新练

16.在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1,若圆C上存在点M,使得|MA|2+|MB|2=12,则实数a的取值范围为(　　)

A.[1,1+2] 

B.[1-2,1+2] 

C.[1,1+2] 

D.[1-,1+]

17.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别为圆C1,C2上的点,P为x轴上的动点,求|PM|+|PN|的最小值.

参考答案

2.6.2　圆与圆的位置关系

1.C　根据题意,圆C1:x2+y2=1,其圆心为C1(0,0),半径为r=1,C2:x2+y2-5x+4=0,整理得+y2=,其圆心为C2,半径为R=,两圆的圆心距为|C1C2|=.

又R+r=,故两圆外切.故选C.

2.B　由题意得C1(-1,0),C2(2,-3),r1=,r2=,则|C1C2|==3.根据两圆内切得|C1C2|==3,解得m=-19.

故选B.

3.A　设所求圆的方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)=0,变形可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ=0,其圆心的坐标为.

又由圆心在直线x-y-4=0上,

则有-4=0,解得λ=-7.

则圆的方程为(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192=0,即x2+y2-x+7y-32=0.

故选A.

4.B　由题得,圆心C1的坐标为(1,1),圆心C2的坐标为(-2,-1),两圆相交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线所在直线就是直线C1C2.

因为C1(1,1),C2(-2,-1),

所以其斜率k=.

则直线C1C2的方程为y-1=(x-1),

即2x-3y+1=0.故选B.

5.D　由圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2,

可得两圆公共弦所在直线的方程为2x-6y=4-R2.

又由圆C的方程为x2+(y-4)2=18,其圆心的坐标为(0,4),半径r=3,

两圆的公共弦长为6,则点C(0,4)在直线2x-6y=4-R2上,

则有2×0-6×4=4-R2,解得R2=28,则圆D的半径为2.故选D.

6.CD　根据题意,圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0,即(x-a)2+y2=1,其圆心为(a,0),半径为R=1,圆D:x2+y2=4,其圆心的坐标为D(0,0),半径为r=2.若两个圆有且仅有两条公共切线,则两圆相交,则有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3,结合选项可知符合条件的是2,-2,故选CD.

7.(0,3)∪(7,+∞)　根据题意,圆(x-a)2+y2=4的圆心的坐标为(a,0),半径为R=2,圆x2+y2=25圆心的坐标为(0,0),半径r=5,则两圆的圆心距d=|a|=a.若两个圆没有公共点,则有a>R+r=7或a<R-r=3,即正数a的取值范围为(0,3)∪(7,+∞).

8.B　根据题意,圆A:x2+y2-2x-4y-4=0,即(x-1)2+(y-2)2=9,其圆心A(1,2),半径R=3,圆B:x2+y2+2x+2y-2=0,即(x+1)2+(y+1)2=4,其圆心B(-1,-1),半径r=2,则圆心距|AB|=.

因为3-2<<3+2,则两圆相交,故两圆有2条公切线.故选B.

9.B　设圆M的圆心坐标为M(a,b).

因为圆x2+y2=5的圆心为O(0,0),半径r=.

由圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),得M,P,O三点共线,且|OM|=3,

即

解得(不合题意,舍去)

所以点M的坐标为(3,6).故选B.

10.C　如图所示,设直线l交x轴于点M.

由于直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切,切点分别为A,B,

则AC1⊥l,BC2⊥l,∴AC1∥BC2.

∵|BC2|=2=2|AC1|,由中位线定理得C1为线段MC2的中点,则A为线段BM的中点,

∴|MC1|=|C1C2|=2.

由勾股定理可得|AB|=|MA|=.故选C.

11.B　由题得,O1(1,0),O2(2,-1),所以|O1O2|=,圆O1的半径为2.圆O1:x2+y2-2x-3=0与圆O2:x2+y2-4x+2y+3=0相交于点A,B,直线AB的方程为2x-2y-6=0,整理得x-y-3=0.点O1到直线AB的距离为,

则|AB|=2=2.因为O1O2⊥AB,所以四边形AO1BO2的面积为|AB||O1O2|=×2=2.故选B.

12.BC　根据题意,圆C1:x2+y2=1,其圆心的坐标为C1(0,0),半径R=1.

圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0,即(x-3)2+(y+4)2=1,其圆心的坐标为C2(3,-4),半径r=1,则两圆的圆心距为|C1C2|==5,即圆C1与圆C2外离,则|PO|的最小值为|C1C2|-R-r=3,最大值为|C1C2|+R+r=7,故A错误,B正确;

圆心C1(0,0),圆心C2(3,-4),则两个圆心所在的直线斜率k==-,故C正确;两圆圆心距|C1C2|=5,有|C1C2|>R+r=2,两圆外离,不存在公共弦,D错误.故选BC.

13.BD　圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0作差得4x-2y+4=-4,整理得y=2x+4,即直线AB的方程为y=2x+4,故A错误;因为两圆相交于A,B两点,则两圆有两条公切线,故B正确;

圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),半径为2,

则圆心O到直线AB的距离d=,故AB=2,故C错误;

圆M:x2+y2+4x-2y+4=0的圆心为M(-2,1),半径为1,|OM|=,

则|EF|的最大值为|MO|+1+2=+3,故D正确.故选BD.

14.x=-1　根据题意,圆O1:x2+y2=5,其圆心O1(0,0),半径r=,

圆O2:(x+m)2+y2=20,其圆心O2(-m,0),半径R=2.

若两圆在交点A处的切线互相垂直,则O1A⊥O2A,

则有|O1O2|2=R2+r2,

即m2=5+20=25,则m=5.

故圆O2的方程为(x+5)2+y2=20,

即x2+y2+10x+5=0.

联立得方程组

①-②,得-10x-10=0,整理得x+1=0,即x=-1,故公共弦AB所在的直线方程为x=-1.

15.解(1)由题知,圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0,两式相减可得公共弦所在的直线为2x+y+1=0.

圆C1的圆心为(-1,0),半径为1,则圆心到直线的距离d=,

故圆C1和圆C2的公共弦长=2.

(2)圆C2的圆心为(1,1),半径为2,圆心到直线l的距离为.

设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,则,解得k=1或.

故直线l的方程为y=x+1或y=(x+1).

16.B　设M(x,y),∵|MA|2+|MB|2=12,

∴(x-2)2+y2+x2+(y-2)2=12,

∴(x-1)2+(y-1)2=4.

∵圆C上存在点M,满足|MA|2+|MB|2=12,

∴两圆相交或相切.

∴1≤≤3,

∴1-2≤a≤1+2.故选B.

17.解由圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1知圆C1的圆心坐标为(2,3),半径为1,由圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,知圆C2的圆心坐标为(3,4),半径为3.如图所示,设点C1关于x轴的对称点为C3,则C3(2,-3),且|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-3=|PC3|-1+|PC2|-3≥|C2C3|-4.

而|C2C3|==5,所以|PM|+|PN|≥5-4,即|PM|+|PN|的最小值为5-4.