模块综合测评（湘教版选择性必修第一册）

模块综合测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2022湖南长沙开福高二期中)过点(1,-1)且方向向量为(-2,3)的直线的方程为(　　)

A.3x-2y-5=0 B.2x-3y-5=0 

C.3x+2y-1=0 D.2x+3y+1=0

2.(2022天津静海一中高二期中)若直线l1:ax-y+1=0与l2:x-ay-1=0平行,则l1与l2之间的距离为(　　)

A. B. C. D.2

3.已知数列{an}的通项公式an=,则它的前n项和Sn是(　　)

A. B. C. D.

4.(2022湖北宜昌等四市高二期末)某县现招录了5名大学生,其中3名男生,2名女生,计划全部派遣到A,B,C三个乡镇参加乡村振兴工作,每个乡镇至少派遣1名大学生,乡镇A只派2名男生.则不同的派遣方法总数为(　　)

A.9 B.18 C.36 D.54

5.(2022黑龙江八校高二期中)过点(1,3)作圆x2+y2=10的切线,则切线方程为(　　)

A.x+3y-10=0 

B.x=1或3x-y-10=0

C.3x-y-10=0 

D.y=3或x+3y-10=0

6.(2022江苏徐州高二期中)已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象.上、下底面与地面平行.现测得下底面直径AB=20 m,上底面直径CD=20 m,AB与CD间的距离为80 m,与上下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分的直径为(　　)

A.20 m B.10 m C.10 m D.10 m

7.(2022河北邯郸八校高二期中)如图,把椭圆C:=1的长轴AB分成6等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1,P2,P3,P4,P5,F是椭圆C的右焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=(　　)

A.20 B.15 C.36 D.30

8.设抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,过点F的直线交抛物线C于M,N两点,交直线l于点P,且,则|MN|=(　　)

A.2 B. C.5 D.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3=0,a4=8,则(　　)

A.Sn=2n2-6n B.Sn=n2-3n

C.an=4n-8 D.an=2n

10.(2022浙江宁波效实中学高二期中)以下说法正确的是(　　)

A.若A(1,2),B(3,4),则以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)(x-2)+(y-3)(y-4)=0

B.已知A(1,2),B(3,4),则线段AB的垂直平分线方程为x+y-5=0

C.抛物线y2=2x上任意一点到M,0的最小值为

D.双曲线C:=1的焦点到渐近线的距离为

11.(2022浙江A9协作体高二期中)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+9=0上,则(　　)

A.两圆有且仅有两条公切线

B.|PQ|的最大值为10

C.两个圆心所在直线的斜率为-

D.两个圆相交弦所在直线方程为3x-4y-5=0

12.已知椭圆C1:=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线相互垂直,则椭圆C1的离心率可以是(　　)

A. B. C. D.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.在x-n的展开式中,所有项的系数和为64,则n=　　　　. 

14.(2022江苏常州三中等六校高二期中)若方程x2+y2+λxy+kx+3y+k+λ=0表示圆,则k的取值范围是　　　　　. 

15.(2022江苏海安高二期中)已知等比数列{an}的首项为-2,公比为q.试写出一个实数q=　　,使得an<. 

16.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作圆x2+y2=a2的切线,交双曲线左支于点M,若∠F1MF2=45°,则双曲线的渐近线方程为　　　　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)(2022福建三明三地三校高二期中)在2x2-n的展开式中,第3项的二项式系数为28.

(1)求第5项的系数(要算出具体数值).

(2)展开式中是否含有常数项?若有,请求出来;若没有,说明理由.

18.(12分)在①已知数列{an}满足:an+1-2an=0,a3=8,②等比数列{an}的公比q=2,数列{an}的前5项和Sn为62这两个条件中任选一个,并解答下列问题.(注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分)

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,若2Tn>m-2 022对n∈N*恒成立,求正整数m的最大值.

19.(12分)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点到直线l:x-y-2=0的距离为.

(1)求抛物线的标准方程;

(2)设点C是抛物线上的动点,若以点C为圆心的圆在x轴上截得的弦长均为4,求证:圆C恒过定点.

20.(12分)已知曲线C:x2-y2=1和直线l:y=kx-1.

(1)若直线l与曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;

(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.

21.(12分)(2022重庆名校联盟高二联考)已知双曲线C与椭圆=1有相同的焦点,P(-3,)是双曲线C上一点.

(1)求双曲线C的方程;

(2)记双曲线C的右顶点为M,与x轴平行的直线l与C交于A,B两点,求证:以AB为直径的圆过点M.

22.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,=3Sn+2,n∈N+.

(1)证明:数列{Sn+1}为等比数列;

(2)已知曲线Cn:x2+(19-an)y2=1,若Cn为椭圆,求n的值;

(3)若bn=×log3,求数列{bn}的前n项和Tn.

参考答案

模块综合测评

1.C　过点(1,-1)且方向向量为(-2,3)的直线方程为y+1=-(x-1),整理得3x+2y-1=0.故选C.

2.C　当a=0时,直线l1:y=1,直线l2:x=1,显然不平行.当a≠0时,由直线l1:ax-y+1=0与l2:x-ay-1=0平行,可得≠-1,解得a=1,

所以直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0,所以l1与l2之间的距离d=,故选C.

3.B　因为数列{an}的通项公式an=,所以Sn=1-+…+=1-.故选B.

4.B　依题意分两步,第一步,乡镇A派2名男生有=3种;第二步,剩下3人派给乡镇B,C有=6种,由分步乘法计数原理可知共有3×6=18种派遣方法,故选B.

5.A　因为12+32=10,所以点(1,3)在圆x2+y2=10上.由切线与圆心(0,0)和点(1,3)的连线垂直,可得切线的斜率为-,则切线的方程为y-3=-(x-1),即x+3y-10=0.故选A.

6.A　建立如图的坐标系,

由题意可知C(10,20),B(10,-60),

设双曲线方程为=1,a>0,b>0,

∴解得a2=100,b2=400,

∴|EF|=2a=20.故选A.

7.D　由题意可知P1与P5,P2与P4分别关于y轴对称,设椭圆的左焦点为F1,则|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理|P2F|+|P4F|=2a,而|P3F|=a,

所以|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=30.故选D.

8.D　如图所示,过点M作MD垂直于准线l,由抛物线定义得|MF|=|MD|,

因为,所以|PM|=2|MD|,所以∠DPM=30°,则直线MN方程为x=(y-1),

联立消去x得3y2-10y+3=0,Δ=(-10)2-4×3×3=64>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),所以y1+y2=,

所以|MN|=y1+y2+2=+2=,故选D.

9.AC　设公差为d,依题意解得所以an=4n-8,Sn=·n=2n2-6n.故选AC.

10.BCD　对于A,以线段AB为直径的圆的圆心为(2,3),半径r=|AB|=,故圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=2,故A错误.

对于B,直线AB的斜率为=1,所以线段AB的垂直平分线的斜率为-1.又线段AB中点为(2,3),所以线段AB的垂直平分线方程为y-3=-(x-2),整理得x+y-5=0,故B正确.

对于C,设抛物线y2=2x上任意一点P,y,

所以|PM|=,

当y2=时,()min=2,所以|PM|min=,故C正确.

对于D,由双曲线方程可得a=2,b=,根据双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴的长可知D正确.故选BCD.

11.BC　根据题意,圆C1:x2+y2=1,其圆心C1(0,0),半径R=1,

圆C2:x2+y2-6x+8y+9=0,即(x-3)2+(y+4)2=16,其圆心C2(3,-4),半径r=4,圆心距|C1C2|==5=4+1,两个圆相外切,两圆有且仅有3条公切线,所以A错误;|PQ|的最大值为1+5+4=10,所以B正确;

对于C,圆心C1(0,0),圆心C2(3,-4),则两个圆心所在的直线斜率k==-,所以C正确;对于D,因为两圆外切,所以不存在公共弦,所以D错误.故选BC.

12.AD　设两切点分别为A,B,连接OA,OB,OP,依题意,O,P,A,B四点共圆.

∵∠APB=90°,∴四边形OAPB为正方形,

∴|OP|=b,∴b<|OP|≤a,即b<b≤a,

∴2b2≤a2,即2(a2-c2)≤a2,∴a2≤2c2,即e=.

又0<e<1,∴≤e<1,∴椭圆C1的离心率的取值范围是,1.故选AD.

13.6　令x=1,可得所有项系数之和为(-2)n=64,解得n=6.

14.(-∞,1)∪(9,+∞)　由方程x2+y2+λxy+kx+3y+k+λ=0表示圆可知λ=0,

因此x2+y2+λxy+kx+3y+k+λ=0化为x+2+y+2=k2-k+,

所以k2-k+>0,解得k<1或k>9,即k的取值范围为(-∞,1)∪(9,+∞).

15.(答案不唯一,满足0<q<1即可)　依题意等比数列{an}的首项为-2,公比为q.∵an<,∴数列{an}为递增数列,∴a2<a3,∴-2q<-2q2,解得0<q<1,则q可以取.答案不唯一,满足0<q<1即可.

16.y=±x　如图所示,设切点为A,连接OA,作F1B⊥MF2,垂足为B.

由|OA|=a,且OA为△F1F2B的中位线,可得|F1B|=2a,|F2A|==b,即|F2B|=2b,

在直角三角形BMF1中,因为∠F1MB=45°,所以|MF1|=2a,|MF2|=2b+2a,

由双曲线的定义可得|MF2|-|MF1|=2b+2a-2a=2a,可得b=a,即双曲线的渐近线方程为y=±x.

17.解(1)因为2x2-n的展开式第3项的二项式系数为28.

可得=28,即=28,

解得n=8或n=-7(舍去),故n的值为8.

第5项的系数为·24·(-1)4=1120.

(2)没有.理由如下,因为2x2-n的展开式中,二项展开式的通项Tr+1=·(2x2)8-r·-r=(-1)r··28-r·,

当16-=0时,解得r=∉N,所以展开式中没有常数项.

18.解(1)选择条件①:由an+1-2an=0得=2,{an}为等比数列,公比q=2,所以an=a3qn-3=2n.

选择条件②,数列{an}的前5项和S5==62,解得a1=2,所以an=a1qn-1=2n.

(2)bn=,则Tn=+2×2+…+n·n,

Tn=2+2×3+…+(n-1)·n+n·n+1,

两式相减得Tn=+2+…+n-n·n+1=-n·n+1,即Tn=2-(2+n)n.

因为Tn+1-Tn=(n+1)n+1>0,

所以数列{Tn}为递增数列,最小值为T1=.

2Tn>m-2022对n∈N*恒成立,即m<2Tn+2022对n∈N*恒成立,所以m<2023,m的最大值是2022.

19.(1)解因为x2=2py的焦点坐标为,

由点到直线的距离公式可得,

解得p=2或p=-10(舍去),

所以抛物线的标准方程是x2=4y.

(2)证明设圆心C的坐标为,半径为r,

又圆C在x轴上截得的弦长为4,

所以r2=4+,所以圆C的标准方程为(x-x0)2+=4+,

化简得-2xx0+(x2+y2-4)=0,

对于任意的x0∈R,上述方程均成立,故有解得x=0,y=2,所以圆C恒过定点(0,2).

20.解(1)联立消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.

∵直线l与双曲线C有两个不同的交点,

∴解得-<k<,且k≠±1,

∴实数k的取值范围为(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).

由(1)可知x1+x2=-,x1x2=,

∴|AB|=|x1-x2|=.

∵点O到直线l的距离d=,∴S△AOB=·|AB|·d=,

即2k4-3k2=0,∴k=0或k=±.

∴实数k的值为0,,-.

21.(1)解设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),

由已知得a2+b2=12-6=6,且=1,解得a2=b2=3,∴双曲线C的方程为=1.

(2)证明设直线l的方程为y=m(m≠0),

与x2-y2=3联立解得x=或x=-,

不妨设A(-,m),B(,m),

由(1)知点M(,0),∴AM,BM的斜率存在且分别为kAM=-,kBM=,

∴kAM·kBM=-=-1,

∴AM⊥BM,故以AB为直径的圆过点M.

22.(1)证明∵=3Sn+2,∴+1=3Sn+3=3(Sn+1).

又S1+1=a1+1=3,∴{Sn+1}是以3为首项,以3为公比的等比数列.

(2)解由(1)可知Sn+1=3n,即Sn=3n-1,

当n≥2时,an=Sn-=3n-=2·.

显然当n=1时,上式也成立,故an=2·(n∈N+).

∵曲线Cn:x2+(19-an)y2=1表示椭圆,

∴19-an>0且19-an≠1.

∴

又n∈N+,故n=1或n=2.

(3)解bn=·log33n=n·.

∴Tn=1·30+2·3+3·32+4·33+…+n·, ①

两边同乘3,可得3Tn=1·3+2·32+3·33+4·34+…+n·3n, ②

①-②可得:-2Tn=1+3+32+33+…+-n·3n=-n·3n=-n·3n-,

∴Tn=·3n+.