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浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷（困难）（含答案解析）
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这是一份浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷（困难）（含答案解析），共36页。
浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷
考试范围：第四单元；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a、最高销售限价b(b>a)以及实数x(0
2. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是( )
A. S1>S2 B. S1
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
4. 如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD=4DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC的值是( )
A. 3：2 B. 4：3 C. 2：1 D. 2：3
5. 如图，已知双曲线y=kx(k>0)的一支经过△OAB的顶点A，交边AB于点C，AD平分∠OAB交OB于点D，若OA=AC=2BC，S△ABD=12，则k的值为( )
A. 5 B. 6 C. 10 D. 12
6. 如图，等边△ABC，AB=3，CD=13AC，P为BC边上一点，则△APD周长的最小值为( )
A. 2+13
B. 33+42
C. 313
D. 213
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为( )
A. 14
B. 15
C. 83
D. 65
8. 已知C为线段AB外一点．假设尺规作图作四边形ABCD，使得CD//AB，且CD=2AB，四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，则M，P，N三点间关系为( )
A. 共圆 B. 共线 C. 重合 D. 相离
9. 某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4小时，逆水航行需6小时，水流速度是2千米/小时，求两个码头之间距离x的方程是( )
A. x−24=x+26 B. x4−2=x6+2 C. x4−x6=2 D. 2x4+6=x4−2
10. 如图，有一块直角边AB=4cm，BC=3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为( )
A. 67 B. 3037 C. 127 D. 6037
11. 如图所示，菱形ABCD∽菱形AEFG，若∠E=60∘，BG=6，AH=7，则AB的长为( )
A. 8 B. 9 C. 83 D. 93
12. 如图，正方形A1B1C1D1可看成是以O为位似中心将正方形ABCD放大一倍得到的图形(正方形ABCD的边长放大到原来的3倍)，由正方形ABCD到正方形A1B1C1D1，我们称之作了一次变换，再将正方形A1B1C1D1作一次变换就得到正方形A2B2C2D2，⋯，依此下去，作了2019次变换后得到正方形A2019B2019C2019D2019，若正方形ABCD的面积是1，则正方形A2019B2019C2019D2019的面积是( )
A. 32018 B. 32019 C. 34038 D. 34040
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是______．
14. 如图，在矩形ABCD中，P是AD上的动点，连接BP，CP，若AD上存在三个不同位置的点P，使△ABP与△CDP相似，设ABBC =d，则d的取值范围是 ．
15. 如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E，F，D在同一条直线上，AE=2，则DF=______，BE=______．
16. 如图是某路灯的示意图，立柱OE与水平地面垂直，两盏路灯挂在灯杆OE的异侧(灯臂AB，CD近似看作线段，AB=CD)，AE⊥OE，∠ABO=∠DCO=120°.小丽(身高1.5米)站在点P处时，点F，D，E在同一直线上，向后移动4.5米到达点Q，点G，D，B，A在同一直线上．测得OP=6米，则OE= 米，AB= 米．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图，线段AB的长为1．
(1)线段AB上的点C满足关系式AC2=BC·AB，求线段AC的长度；
(2)线段AC上的点D满足关系式AD2=CD·AC，求线段AD的长度；
(3)线段AD上的点E满足关系式AE2=DE·AD，求线段AE的长度．
上面各小题的结果反映了什么规律？
18. (本小题8.0分)
如图，直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N.P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；
(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．
19. (本小题8.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx−4经过点C(−1,0)，点B(4,0)，交y轴于点A，点H是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE⊥x轴于点E，交线段AB于点D，HQ⊥y轴，交y轴于点Q．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)若四边形HQOE是正方形，求该正方形的面积．
(3)连接OD、AC，抛物线上是否存在点H，使得以点O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
20. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点G在边DC的延长线上，AG交边BC于点E，交对角线BD于点F．
(1)求证：AF2=EF⋅FG；
(2)如果EF=32，FG=83，求BEEC的值．
21. (本小题8.0分)
如图，Rt△ADE与⊙O交于C、D点，∠AED=90°，AB是⊙O的直径，AC=BC.过D点作DF⊥AB于H点，交⊙O于F点，连结AF、BD．
(1)求证：∠ADE=∠EAF；
(2)过点F作FM⊥AD于点M，交AC于点N，连结DN.若DN//AB，DM=3，试求出AM的长度．
22. (本小题8.0分)
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
(1)如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
(2)如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；
(3)如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求ABBC的值．
23. (本小题8.0分)
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=60米，DC=30米，EC=25米．求两岸间的大致距离AB．
24. (本小题8.0分)
根据相似多边形的定义，我们把四个角分别对应相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比．
(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．
①四条边对应成比例的两个凸四边形相似;( 命题)
②三个角分别相等的两个凸四边形相似;( 命题)
③两个大小不同的正方形相似.( 命题)
(2)如图 ①在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1.求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似;
(3)如图 ②，在四边形ABCD中，AB//CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF//AB，分别交AD，BC于点E，F.记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求S2S1的值．
25. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)、B(−3,2)、C(−1,4)．
(1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
(2)画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查比例中项的应用，解题时要注意一元二次方程的求解方法．
根据题设条件，由(c−a)是(b−c)和(b−a)的比例中项，知[x(b−a)]2=(b−a)2−x(b−a)2，由此能求出最佳乐观系数x的值．
【解答】
解：∵c−a=x(b−a)，b−c=(b−a)−x(b−a)，
(c−a)是(b−c)和(b−a)的比例中项，
∴[x(b−a)]2=(b−a)2−x(b−a)2，
∴x2+x−1=0，
解得x=−1±52，
∵0
故选A．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理和正方形的性质，能熟记正方形的性质是解此题的关键，注意：正方形的每个角都是90°，正方形的四边都相等．设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出BE，求出EF，求出AF，再根据面积公式求出S1、S2即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAB=90°，
设正方形ABCD的边长为2a，
∵E为AD的中点，
∴AE=a，
在Rt△EAB中，由勾股定理得：BE=AE2+AB2=a2+(2a)2=5a，
∵EF=BE，
∴EF=5a，
∴AF=EF−AE=5a−a=(5−1)a，
即AF=AH=(5−1)a，
∴S1=AF×AH=(5−1)a×(5−1)a=6a2−25a2，
S2=S正方形ABCD−S长方形ADIH=2a×2a−2a×(5−1)a=6a2−25a2，
即S1=S2，
故选C．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中档题．
由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF=S△ADF，故①正确，由BE=EC=12BC=12AD，AD//EC，推出ECAD=CFAF=EFDF=12，可得S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，故②③错误④正确，由此即可判断．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB=45°，
在△AFD和△AFB中，
AF=AF∠FAD=∠FABAD=AB，
∴△AFD≌△AFB，
∴S△ABF=S△ADF，故①正确；
∵BE=EC=12BC=12AD，AD//EC，
∴ECAD=CFAF=EFDF=12，
∴S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，
故②③错误④正确，
故选：C．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
作DH//BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH=HC，根据平行线分线段成比例定理得到AFFH=AEED=3，计算得到答案．
【解答】
解：作DH//BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH=HC，
∵AD=4DE，
∴AE=3ED，
∵DH//BF，
∴AFFH=AEED=3，
∴AF：FC=3：2，
故选A．
5.【答案】C
【解析】解：连接OC、CD，作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
∵AC=2BC，S△ABD=12，
∴S△ACD=23S△ABD=8，
∵AD平分∠OAB交OB于点D，
∴∠OAD=∠CAD，
在△AOD和△ACD中，
OA=CA,∠OAD=∠CAD,AD=AD,
∴△AOD≌△ACD(SAS)，
∴S△AOD=S△ACD=8，
∴S△AOB=S△AOD+S△ABD=20，
∴S△AOC=23S△AOB=403，
∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴CF//AE，
∴△BCF∽△BAE，
∴CFAE=BCAB=13，
∴CF=13AE，
设A(m,km)，则C(3m,k3m)，
∵S△AOC=S梯形ACFE+S△AOE−S△COF，
S△AOE=S△COF=12|k|，
∴S△AOC=S梯形ACFE=12(km+k3m)(3m−m)= 403，解得k=10．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
如图，作点A关于BC的对称点A′，作A′H⊥BC于H，连接PA′，连接A′D交BC于P′.因为△APD周长=PA+PD+AD=PA+PD+2，又PA+PD=PA′+PD≥DA′，推出PA+PD的最小值为DA′的长．
本题考查轴对称、等边三角形的性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：如图，作点A关于BC的对称点A′，作A′H⊥BC于H，连接PA′，连接A′D交BC于P′．
∵CD//A′B，
∴CP′P′B=CDA′B=P′DP′A′=13，
∴BP′=94，
在Rt△A′BH中，BH=32，A′H=332，
∴HP′=34，P′A′=P′H2+A′H2=3134，
∴DP′=134，
∴DA′=13，
∵△APD周长=PA+PD+AD=PA+PD+2，
∵PA+PD=PA′+PD≥DA′，
∴PA+PD的最小值为13，
∴△PAD的周长的最小值为2+13，
故选：A．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质和勾股定理等知识．
如图，连接EC，CH.设AB交CR于J.证明△ECP∽△HCQ，推出PCCQ=CECH=EPHQ=12，由PQ=15，可得PC=5，CQ=10，由EC：CH=1：2，推出AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB=CQ=10，根据AC2+BC2=AB2，构建方程求出a即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接EC，CH.设AB交CR于J．
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE=∠BCH=45°，
∵∠ACB=90°，∠BCI=90°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BCH=180°，∠ACB+∠BCI=90°
∴B，C，H共线，A，C，I共线，
∵DE//AI//BH，
∴∠CEP=∠CHQ，
∵∠ECP=∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴PCCQ=CECH=EPHQ=12，
∵PQ=15，
∴PC=5，CQ=10，
∵EC：CH=1：2，
∴AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，
∵PQ⊥CR，CR⊥AB，
∴CQ//AB，
∵AC//BQ，CQ//AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB=CQ=10，
∵AC2+BC2=AB2，
∴5a2=100，
∴a=25(负根已经舍弃)，
∴AC=25，BC=45，
∵12·AC·BC=12·AB·CJ，
∴CJ=25×4510=4，
∵JR=AF=AB=10，
∴CR=CJ+JR=14，
故选A．
8.【答案】B
【解析】解：如图，四边形ABCD即为所求；
∵CD//AB，
∴∠ABP=∠CDP，∠BAP=∠DCP，
∴△ABP∽△CDP，
∴ABCD=APCP，
∵AB，CD的中点分别为M，N，
∴AB=2AM，CD=2CN，
∴AMCN=APCP，
连接MP，NP，
∵∠BAP=∠DCP，
∴△APM∽△CPN，
∴∠APM=∠CPN，
∵点P在AC上，
∴∠APM+∠CPM=180°，
∴∠CPN+∠CPM=180°，
∴M，P，N三点在同一条直线上．
故选：B．
利用尺规作图作CD//AB，且CD=2AB，即可作出四边形ABCD；根据相似三角形的判定与性质即可证明M，P，N三点在同一条直线上．
本题考查了作图−复杂作图、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
此题的关键是弄清静水速、顺水速、水流速、逆水速这四个量之间的关系．
首先要理解题意找出题中存在的等量关系：顺水时的路程=逆水时的路程，根据此列方程即可．
【解答】
解：设两个码头之间距离为x，则要首先理解两个公式：静水速=顺水速−水流速，静水速=逆水速+水流速．
静水速即轮船自身的速度是保持不变的，
因此可列方程为x4−2=x6+2，
故选B．
10.【答案】D
【解析】解：如图，Rt△ABC中，AB=4cm，BC=3cm，
可知AC=5cm，
过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC=12⋅AB⋅BC=12⋅AC⋅BP，
∴BP=AB⋅BCAC=3×45=125．
∵DE//AC，
∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BQBP．
设DE=x，则有：x5=125−x125，
解得x=6037，
故选：D．
Rt△ABC中，求出AC，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．
本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．
11.【答案】B
【解析】解：如图，连结AC．
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B=∠E=∠AGF=60∘，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60∘，设AB=BC=AC=a，则BH=a−7，
∵∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG+∠CAG，
又易知∠AGH=∠ACG=60∘，
∴∠BGH=∠CAG．
∵∠B=∠ACG=60∘，
∴△BGH∽△CAG，
∴BGAC=BHCG，
∴6a=a−7a−6，解得a=9或a=4，
经检验，a=9是分式方程的解且符合题意，
∴AB=9，故选B．
12.【答案】C
【解析】略
13.【答案】x2−6x+4=0
【解析】解：设雕像的上部高x m，则题意得：
x2−x=2−x2，
整理得：x2−6x+4=0，
故答案为：x2−6x+4=0
设雕像的上部高x m，则下部长为(2−x)m，然后根据题意列出方程即可．
本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．
14.【答案】0
【分析】
本题考查矩形的性质，相似三角形的性质，根据已知条件若令BC=1=AD，则AB=d，分两种情况讨论：当P为AD的中点时，显然△ABP≌△DCP，有d>0，当P不是AD的中点时，△ABP∽△DPC，根据相似三角形的性质列出方程，由方程解的情况得出d的取值范围即可．
【解答】
解：设ABBC =d，
若令BC=1=AD，则AB=d，
分情况讨论：
当P为AD的中点时，显然△ABP≌△DCP，
即有△ABP∽△DCP，此时d>0即可；
当P不是AD的中点时，△ABP∽△DPC，
∴ABDP=APCD，
∴AB·CD=AP·DP，
即d2=AP·DP，
设AP=x，则DP=AD−AP=1−x，
∴x(1−x)=d2，
x2−x+d2=0，
∵AD上存在三个不同位置的点P，
∴x2−x+d2=0有两个不等的实数根，
∴Δ=(−1)2−4d2>0，
∴4d2<1，
∴d2<14，
∵d>0，
∴0
15.【答案】2；5−1
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据矩形的性质得到AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，根据折叠的性质得到CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，根据全等三角形的性质得到DF=AE=2；根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，
∴CF=AD，∠CFD=90°，
∴∠ADE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ADF=∠DCF，
∴△ADE≌△FCD(ASA)，
∴DF=AE=2；
∵∠AFE=∠CFD=90°，
∴∠AFE=∠DAE=90°，
∵∠AEF=∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴AEEF=DEAE，
∴2EF=2+EF2，
∴EF=5−1(负值舍去)，
∴BE=EF=5−1，
故答案为2；5−1．
16.【答案】43+1.5；3
【解析】
【分析】
本题主要考查了相似三角形的应用，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过作辅助线，构造相似三角形，掌握利用相似三角形求线段长的思路与方法；过点D作DM⊥BC于M，连接GF并延长交OE于H，则四边形OPFH和四边形PQGF都是矩形，得出OH=PF=QG=1.5米，FH=OP=6米，FG=PQ=4.5米，证明出△DCB是等边三角形，DB=DC=BC，在Rt△ABE中，利用含30°角的直角三角形的性质得出AB=2BE，设BE=k(k>0)，则AB=2k，AE=3k，得出DB=DC=BC=2k，在等边△BCD中，DM⊥BC于M，根据等边三角形的性质得出BM=CM=12BC=k，∠DMB=90°，进一步得出EM=BE+BM=2k，DM=3k，根据∠AEB=∠EMD=∠BHG=90°，得出AE//MD//HG，进而得出△DGF∽△DAE，△EDM∽△EFH，利用相似三角形的性质得出DFDE=GFAE，EDEF=DMFH，进而得出DMFH=AEGF+AE，即3k6=3k4.5+3k，求出k的值，得出AB=2k=2×32=3(米)，根据△EDM∽△EFH，得出EMEH=DMFH，求出EH=43(米)，即可求解．
【解答】
解：过点D作DM⊥BC于M，连接GF并延长交OE于H，如图：
则四边形OPFH和四边形PQGF都是矩形，
∴OH=PF=QG=1.5米，FH=OP=6米，FG=PQ=4.5米，
∵∠ABO=∠DCO=120°，
∴∠ABE=180°−∠ABO=180°−120°=60°，∠DCB=180°−∠DCO=180°−120°=60°，
根据对顶角的性质可得∠DBC=∠ABE=60°，
∴∠DCB=∠DBC=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∴DB=DC=BC，
∵AE⊥OE，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=60°，∠BAE=30°，
∴AB=2BE，
设BE=k(k>0)，则AB=2k，AE=AB2−BE2=2k2−k2=3k，
∵AB=CD，
∴DB=DC=BC=2k，
在等边△BCD中，DM⊥BC于M，
∴BM=CM=12BC=12×2k=k，∠DMB=90°，
∴EM=BE+BM=k+k=2k，DM=DB2−BM2=2k2−k2=3k，
∵∠AEB=∠EMD=∠BHG=90°，
∴AE//MD//HG，
∴△DGF∽△DAE，△EDM∽△EFH，
∴DFDE=GFAE，EDEF=DMFH，
由DFDE=GFAE可得DFDE+1=GFAE+1，即DF+DEDE=GF+AEAE，
∴EFDE=GF+AEAE，
∴EDEF=AEGF+AE，
∴DMFH=AEGF+AE，即3k6=3k4.5+3k，
解得k1=32，k2=0(舍去)，
∴AB=2k=2×32=3(米)，EM=2k=2×32=3(米)，DM=3k=3×32=32(米)，
∵△EDM∽△EFH，
∴EMEH=DMFH，即3EH=326，
∴EH=43(米)，
∴OE=EH+OH=43+1.5米.
综上所述，OE=43+1.5米，AB=3米.
故答案为：43+1.5；3．
17.【答案】解：(1)设线段AC的长度为x(0
由AC2=BC·AB， 可列方程x2=(1−x)×1.
整理，得x2+x−1=0.
解得x1=5−12，x2=−5−12(不合题意，舍去).
所以线段AC的长度为5−12．
(2)设线段AD的长度为y，
则CD=AC−AD=AC−y.
由AD2=CD·AC， 可列方程y2=AC(AC−y).
整理，得y2+ACy−AC2=0.
解得y1=5−12AC，y2=−5−12AC(不合题意，舍去).
所以线段AD的长度为5−12AC．
(3)设线段AE的长度为z，
则DE=AD−AE=AD−z.
由AE2=DE·AD， 可列方程z2=AD(AD−z)，
整理，得z2+ADz−AD2=0.
解得z1=5−12AD，z2=−5−12AD(不合题意，舍去).
所以线段AE的长度为5−12AD．
上面各小题反映的规律：若C为线段AB上一点，AC>BC，且满足AC2=BC·AB，则AC=(5−1)2AB．
【解析】见答案
18.【答案】解：(1)∵AQ=3−t，
∴CN=4−(3−t)=1+t．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42，
∴AC=5．
∵NM//AB，
∴BCAC=NCMC=45，CM=5+5t4；
(2)由于四边形PCDQ构成平行四边形，
∴PC=QD，即4−t=t，
解得t=2．
(3)不存在．
理由：如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：
MC+NC=AM+BN+AB，
即：54(1+t)+1+t=12(3+4+5)，
解得：t=53.
而MN=34NC=34(1+t)，
∴S△MNC=12×34(1+t)2=38(1+t)2，
当t=53时，S△MNC=38(1+t)2=83≠12×12×4×3．
∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分；
(4)①当MP=MC时；则有：NP=NC，
即PC=2NC，
∴4−t=2(1+t)，
解得：t=23；
②当CM=CP时；则有：54(1+t)=4−t，
解得：t=119；
③当PM=PC时；则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2，
而MN=34NC=34(1+t)，
PN=|PC−NC|=|(4−t)−(1+t)|=|3−2t|，
∴[34(1+t)]2+(3−2t)2=(4−t)2，
解得：t1=10357，t2=−1(舍去)，
∴当t=23，t=119，t=10357时，△PMC为等腰三角形．
【解析】本题考查平行四边形及等腰三角形性质以及数学的动点问题．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
(1)根据动点移动与t的关系分别表示出NC和MC的长即可；
(2)四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4−t=t即解；
(3)可先根据QN平分△ABC的周长，得出MC+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．
(4)由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：
①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．
②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．
③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．
综上所述可得出符合条件的t的值．
19.【答案】解：(1)将点C(−1,0)，点B(4,0)代入y=ax2+bx−4中，
得a−b−4=016a+4b−4=0，
解得a=1b=−3，
∴函数的解析式为y=x2−3x−4．
(2)设正方形的边长为c(c>0)，则H(c,−c)，
把H(c,−c)代入y=x2−3x−4，
得−c=c2−3c−4，
解得c=1+5，
∴S正方形HQOE=c2=(1+5)2=6+25．
(3)存在．
如图，过点D作DM⊥y轴于点M．
∵OA=OB=4，
∴∠OAD=∠CBA=45∘，DM=22AD．
若△OAD∽△CBA，
则OABC=ADBA，
即45=AD42，
解得AD=1625，
∴DM=165，
即H点横坐标为165．
将x=165代入y=x2−3x−4中，
得y=−8425，
∴点H坐标为(165,−8425).
若△OAD∽△ABC，
则OAAB=ADBC，
即442=AD5，
解得AD=522，
∴DM=52，
即H点横坐标为52．
将x=52代入y=x2−3x−4中，得y=−214，
∴点H坐标为(52,−214).
则点H的坐标为(165,−8425)或(52,−214).
【解析】本题主要考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象上点的坐标，正方形的性质，相似三角形的性质等有关知识．
(1)利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
(2)设正方形的边长为c(c>0)，则H(c,−c)，将C代入二次函数的解析式求出c，然后利用正方形的面积公式进行求解即可；
(3)过点D作DM⊥y轴于点M.然后分若△OAD∽△CBA，若△OAD∽△ABC讨论求解即可．
20.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AD//BC，
∴△GDF∽△ABF，△AFD∽△EFB，
∴FDFB=FGFA，AFEF=FDFB，
∴FGFA=AFEF，
∴AF2=EF·FG．
(2)由(1)得出AF2=EF·FG=32×83=4，
∴AF=2，
∵△AFD∽△EFB，
∴BEAD=EFAF=322=34，
∴BEEC=34−3=3．
【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等量代换等知识，把证明FGFA=AFEF转化为证明FDFB=FGFA，AFEF=FDFB是解决本题的关键．
(1)由四边形ABCD是平行四边形可得AB//DC，AD//BC，从而可得△GDF∽△ABF，△AFD∽△EFB，则有FDFB=FGFA，AFEF=FDFB，就有FGFA=AFEF，即AF2=EF·FG；
(2)根据比例的性质解答即可．
21.【答案】解：(1)证明：如图1中，连接CD．
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
∵∠DCE+∠ACD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠DCE=∠ABD，
∵∠CDE+∠DCE=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CDE=∠BAD，
∵AB⊥DF，AB是直径，
∴BD=BF，
∴∠BAD=∠BAF，
∴∠CDE=∠BAF，
∵∠ADE=∠ADC+∠CDE=45°+∠CDE，∠EAF=∠CAB+∠BAE=45°+∠BAF，
∴∠ADE=∠EAF；
(2)解：如图2中，延长AE交FD的点T，设AB交FN于点J，交DF于点K，连接DJ．
∵AB垂直平分线段DF，
∴JD=JF，
∴∠BJF=∠BJD，
∵FN⊥AD，BD⊥AD，
∴FN // BD，
∴∠BJF=∠DBJ，
∴∠DJB=∠DBJ，
∴DJ=DB，
∵DK⊥JB，
∴JK=BK，
设KJ=KB=x，AJ=y，则AK=KT=x+y，
∵DN // BJ，JN // BD，
∴四边形JBDN是平行四边形，
∴DN=BJ=2x，
∵ // TND=∠CAB=45°，∠TDN=∠AKD=90°，
∴DN=DT=2x，
∴DK=KT−DT=x+y−2x=y−x，
∵∠AKD=∠DKB，∠DAK=∠BDK，
∴△AKD∽△DKB，
∴DK2=AK⋅KB，
∴(y−x)2=(x+y)⋅x，
∴y=3x，
∵DN // AJ，
∴DMAM=DNAJ=2x3x=23，
∵DM=3，
∴AM=92．
【解析】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
(1)如图1中，连接CD.证明∠CDE=∠BAF，可得结论；
(2)如图2中，延长AE交FD的点T，设AB交FN于点J，交DF于点K，连接DJ.证明JK=BK，设KJ=KB=x，AJ=y，则AK=KT=x+y，由DN // BJ，JN // BD，推出四边形JBDN是平行四边形，推出DN=BJ=2x，证明DN=DT=2x，推出DK=KT−DT=x+y−2x=y−x，证明△AKD∽△DKB，推出DK2=AK⋅KB，可得(y−x)2=(x+y)⋅x，推出y=3x，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
22.【答案】解：(1)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，
∵BC=2AB，
∴BF=2AB，
∴∠AFB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF=30°，
∴∠CBE=12∠FBC=15°；
(2)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，
又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠AFB=∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴AFDE=ABDF，
∴AF⋅DF=AB⋅DE，
∵AF⋅DF=10，AB=5，
∴DE=2，
∴CE=DC−DE=5−2=3，
∴EF=3，
∴DF=EF2−DE2=32−22=5，
∴AF=105=25，
∴BC=AD=AF+DF=25+5=35．
(3)过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF=AN+FD，
∴NF=12AD=12BC，
∵BC=BF，
∴NF=12BF，
∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴NGAB=FGFA=NFBF=12，
设AN=x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN=NG=x，AB=BG=2x，
设FG=y，则AF=2y，
∵AB2+AF2=BF2，
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，
解得y=43x.
∴BF=BG+GF=2x+43x=103x.
∴ABBC=ABBF=2x103x=35．
【解析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．
(1)由折叠的性质得出BC=BF，∠FBE=∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB=30°，可求出答案；
(2)证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出AFDE=ABDF，可求出DE=2，求出EF=3，由勾股定理求出DF=5，则可求出AF，即可求出BC的长；
(3)过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，NGAB=FGFA=NFBF=12，设AN=x，设FG=y，则AF=2y，由勾股定理得出(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解出y=43x，则可求出答案．
23.【答案】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴AB//CE，
∴△ABD∽△ECD，
∴ABCE=BDCD，即AB25=6030，
∴AB=50(m)，
答：两岸间的大致距离AB为50m．
【解析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算AB的长即可．
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度(测量距离)；借助标杆或直尺测量物体的高度．
24.【答案】解：(1)①假；②假；③真；
(2)证明：如图1中，连接BD，B1D1．
∵∠BCD=∠B1C1D1，且BCB1C1=CDC1D1，
∴△BCD∽△B1C1D1，
∴∠CDB=∠C1D1B1，∠C1B1D1=∠CBD，BDB1D1=BCB1C1=CDC1D1，
∵BCB1C1=ABA1B1，
∴BDB1D1=ABA1B1，
∵∠ABC=∠A1B1C1，∠CBD=∠C1B1D1，
∴∠ABD=∠A1B1D1，
∴△ABD∽△A1B1D1，
∴ADA1D1=ABA1B1，∠A=∠A1，∠ADB=∠A1D1B1，
∴ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1=ADA1D1，∠ADC=∠A1D1C1，∠A=∠A1，
又∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似；
(3)如图2中，
∵四边形ABFE与四边形EFCD相似．
∴DEAE=EFAB，
∵EF=OE+OF，
∴DEAE=OE+OFAB，
∵AB//CD，EF//AB，
∴EF//AB//CD，
∴DEAE=OCOA，
∴DEAD=OCAC，
∵EF//AB，
∴△DEO∽△DAB，△COF∽△CAB，
∴DEAD=OEAB，OCAC=OFAB，
∴DEAD=OFAB，
∴DEAD+DEAD=OEAB+OFAB，
∴2DEAD=EFAB=DEAE，
又AD=DE+AE，
∴2DEDE+AE= DEAE，
即2DE+AE=1AE，
解得：AE=DE，
又 CFBF=CDEF=EFAB=DEAE =1，
∴S1=S2，
∴S2S1=1．
【解析】
【分析】
本题属于相似形综合题，涉及相似四边形的定义和性质，考查的知识点有相似三角形的判定和性质，相似四边形的定义和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
(1)根据相似多边形的定义即可判断．
(2)根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可．
(3)四边形ABFE与四边形EFCD相似，证明相似比是1即可解决问题，即证明DE=AE即可．
【解答】
(1)解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假；假；真．
(2)见答案；
(3)见答案．
25.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B，C的对应点A2、B2、C2即可得到△A 2 B 2C2．
本题考查了作图−位似变换以及旋转变换，正确掌握图形变换的性质是解题关键．
浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷
考试范围：第四单元；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a、最高销售限价b(b>a)以及实数x(0
2. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是( )
A. S1>S2 B. S1
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
4. 如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD=4DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC的值是( )
A. 3：2 B. 4：3 C. 2：1 D. 2：3
5. 如图，已知双曲线y=kx(k>0)的一支经过△OAB的顶点A，交边AB于点C，AD平分∠OAB交OB于点D，若OA=AC=2BC，S△ABD=12，则k的值为( )
A. 5 B. 6 C. 10 D. 12
6. 如图，等边△ABC，AB=3，CD=13AC，P为BC边上一点，则△APD周长的最小值为( )
A. 2+13
B. 33+42
C. 313
D. 213
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为( )
A. 14
B. 15
C. 83
D. 65
8. 已知C为线段AB外一点．假设尺规作图作四边形ABCD，使得CD//AB，且CD=2AB，四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，则M，P，N三点间关系为( )
A. 共圆 B. 共线 C. 重合 D. 相离
9. 某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4小时，逆水航行需6小时，水流速度是2千米/小时，求两个码头之间距离x的方程是( )
A. x−24=x+26 B. x4−2=x6+2 C. x4−x6=2 D. 2x4+6=x4−2
10. 如图，有一块直角边AB=4cm，BC=3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为( )
A. 67 B. 3037 C. 127 D. 6037
11. 如图所示，菱形ABCD∽菱形AEFG，若∠E=60∘，BG=6，AH=7，则AB的长为( )
A. 8 B. 9 C. 83 D. 93
12. 如图，正方形A1B1C1D1可看成是以O为位似中心将正方形ABCD放大一倍得到的图形(正方形ABCD的边长放大到原来的3倍)，由正方形ABCD到正方形A1B1C1D1，我们称之作了一次变换，再将正方形A1B1C1D1作一次变换就得到正方形A2B2C2D2，⋯，依此下去，作了2019次变换后得到正方形A2019B2019C2019D2019，若正方形ABCD的面积是1，则正方形A2019B2019C2019D2019的面积是( )
A. 32018 B. 32019 C. 34038 D. 34040
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是______．
14. 如图，在矩形ABCD中，P是AD上的动点，连接BP，CP，若AD上存在三个不同位置的点P，使△ABP与△CDP相似，设ABBC =d，则d的取值范围是 ．
15. 如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E，F，D在同一条直线上，AE=2，则DF=______，BE=______．
16. 如图是某路灯的示意图，立柱OE与水平地面垂直，两盏路灯挂在灯杆OE的异侧(灯臂AB，CD近似看作线段，AB=CD)，AE⊥OE，∠ABO=∠DCO=120°.小丽(身高1.5米)站在点P处时，点F，D，E在同一直线上，向后移动4.5米到达点Q，点G，D，B，A在同一直线上．测得OP=6米，则OE= 米，AB= 米．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图，线段AB的长为1．
(1)线段AB上的点C满足关系式AC2=BC·AB，求线段AC的长度；
(2)线段AC上的点D满足关系式AD2=CD·AC，求线段AD的长度；
(3)线段AD上的点E满足关系式AE2=DE·AD，求线段AE的长度．
上面各小题的结果反映了什么规律？
18. (本小题8.0分)
如图，直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N.P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；
(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．
19. (本小题8.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx−4经过点C(−1,0)，点B(4,0)，交y轴于点A，点H是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE⊥x轴于点E，交线段AB于点D，HQ⊥y轴，交y轴于点Q．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)若四边形HQOE是正方形，求该正方形的面积．
(3)连接OD、AC，抛物线上是否存在点H，使得以点O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
20. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点G在边DC的延长线上，AG交边BC于点E，交对角线BD于点F．
(1)求证：AF2=EF⋅FG；
(2)如果EF=32，FG=83，求BEEC的值．
21. (本小题8.0分)
如图，Rt△ADE与⊙O交于C、D点，∠AED=90°，AB是⊙O的直径，AC=BC.过D点作DF⊥AB于H点，交⊙O于F点，连结AF、BD．
(1)求证：∠ADE=∠EAF；
(2)过点F作FM⊥AD于点M，交AC于点N，连结DN.若DN//AB，DM=3，试求出AM的长度．
22. (本小题8.0分)
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
(1)如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
(2)如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；
(3)如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求ABBC的值．
23. (本小题8.0分)
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=60米，DC=30米，EC=25米．求两岸间的大致距离AB．
24. (本小题8.0分)
根据相似多边形的定义，我们把四个角分别对应相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比．
(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．
①四条边对应成比例的两个凸四边形相似;( 命题)
②三个角分别相等的两个凸四边形相似;( 命题)
③两个大小不同的正方形相似.( 命题)
(2)如图 ①在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1.求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似;
(3)如图 ②，在四边形ABCD中，AB//CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF//AB，分别交AD，BC于点E，F.记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求S2S1的值．
25. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)、B(−3,2)、C(−1,4)．
(1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
(2)画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查比例中项的应用，解题时要注意一元二次方程的求解方法．
根据题设条件，由(c−a)是(b−c)和(b−a)的比例中项，知[x(b−a)]2=(b−a)2−x(b−a)2，由此能求出最佳乐观系数x的值．
【解答】
解：∵c−a=x(b−a)，b−c=(b−a)−x(b−a)，
(c−a)是(b−c)和(b−a)的比例中项，
∴[x(b−a)]2=(b−a)2−x(b−a)2，
∴x2+x−1=0，
解得x=−1±52，
∵0
故选A．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理和正方形的性质，能熟记正方形的性质是解此题的关键，注意：正方形的每个角都是90°，正方形的四边都相等．设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出BE，求出EF，求出AF，再根据面积公式求出S1、S2即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAB=90°，
设正方形ABCD的边长为2a，
∵E为AD的中点，
∴AE=a，
在Rt△EAB中，由勾股定理得：BE=AE2+AB2=a2+(2a)2=5a，
∵EF=BE，
∴EF=5a，
∴AF=EF−AE=5a−a=(5−1)a，
即AF=AH=(5−1)a，
∴S1=AF×AH=(5−1)a×(5−1)a=6a2−25a2，
S2=S正方形ABCD−S长方形ADIH=2a×2a−2a×(5−1)a=6a2−25a2，
即S1=S2，
故选C．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中档题．
由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF=S△ADF，故①正确，由BE=EC=12BC=12AD，AD//EC，推出ECAD=CFAF=EFDF=12，可得S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，故②③错误④正确，由此即可判断．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB=45°，
在△AFD和△AFB中，
AF=AF∠FAD=∠FABAD=AB，
∴△AFD≌△AFB，
∴S△ABF=S△ADF，故①正确；
∵BE=EC=12BC=12AD，AD//EC，
∴ECAD=CFAF=EFDF=12，
∴S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，
故②③错误④正确，
故选：C．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
作DH//BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH=HC，根据平行线分线段成比例定理得到AFFH=AEED=3，计算得到答案．
【解答】
解：作DH//BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH=HC，
∵AD=4DE，
∴AE=3ED，
∵DH//BF，
∴AFFH=AEED=3，
∴AF：FC=3：2，
故选A．
5.【答案】C
【解析】解：连接OC、CD，作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
∵AC=2BC，S△ABD=12，
∴S△ACD=23S△ABD=8，
∵AD平分∠OAB交OB于点D，
∴∠OAD=∠CAD，
在△AOD和△ACD中，
OA=CA,∠OAD=∠CAD,AD=AD,
∴△AOD≌△ACD(SAS)，
∴S△AOD=S△ACD=8，
∴S△AOB=S△AOD+S△ABD=20，
∴S△AOC=23S△AOB=403，
∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴CF//AE，
∴△BCF∽△BAE，
∴CFAE=BCAB=13，
∴CF=13AE，
设A(m,km)，则C(3m,k3m)，
∵S△AOC=S梯形ACFE+S△AOE−S△COF，
S△AOE=S△COF=12|k|，
∴S△AOC=S梯形ACFE=12(km+k3m)(3m−m)= 403，解得k=10．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
如图，作点A关于BC的对称点A′，作A′H⊥BC于H，连接PA′，连接A′D交BC于P′.因为△APD周长=PA+PD+AD=PA+PD+2，又PA+PD=PA′+PD≥DA′，推出PA+PD的最小值为DA′的长．
本题考查轴对称、等边三角形的性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：如图，作点A关于BC的对称点A′，作A′H⊥BC于H，连接PA′，连接A′D交BC于P′．
∵CD//A′B，
∴CP′P′B=CDA′B=P′DP′A′=13，
∴BP′=94，
在Rt△A′BH中，BH=32，A′H=332，
∴HP′=34，P′A′=P′H2+A′H2=3134，
∴DP′=134，
∴DA′=13，
∵△APD周长=PA+PD+AD=PA+PD+2，
∵PA+PD=PA′+PD≥DA′，
∴PA+PD的最小值为13，
∴△PAD的周长的最小值为2+13，
故选：A．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质和勾股定理等知识．
如图，连接EC，CH.设AB交CR于J.证明△ECP∽△HCQ，推出PCCQ=CECH=EPHQ=12，由PQ=15，可得PC=5，CQ=10，由EC：CH=1：2，推出AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB=CQ=10，根据AC2+BC2=AB2，构建方程求出a即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接EC，CH.设AB交CR于J．
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE=∠BCH=45°，
∵∠ACB=90°，∠BCI=90°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BCH=180°，∠ACB+∠BCI=90°
∴B，C，H共线，A，C，I共线，
∵DE//AI//BH，
∴∠CEP=∠CHQ，
∵∠ECP=∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴PCCQ=CECH=EPHQ=12，
∵PQ=15，
∴PC=5，CQ=10，
∵EC：CH=1：2，
∴AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，
∵PQ⊥CR，CR⊥AB，
∴CQ//AB，
∵AC//BQ，CQ//AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB=CQ=10，
∵AC2+BC2=AB2，
∴5a2=100，
∴a=25(负根已经舍弃)，
∴AC=25，BC=45，
∵12·AC·BC=12·AB·CJ，
∴CJ=25×4510=4，
∵JR=AF=AB=10，
∴CR=CJ+JR=14，
故选A．
8.【答案】B
【解析】解：如图，四边形ABCD即为所求；
∵CD//AB，
∴∠ABP=∠CDP，∠BAP=∠DCP，
∴△ABP∽△CDP，
∴ABCD=APCP，
∵AB，CD的中点分别为M，N，
∴AB=2AM，CD=2CN，
∴AMCN=APCP，
连接MP，NP，
∵∠BAP=∠DCP，
∴△APM∽△CPN，
∴∠APM=∠CPN，
∵点P在AC上，
∴∠APM+∠CPM=180°，
∴∠CPN+∠CPM=180°，
∴M，P，N三点在同一条直线上．
故选：B．
利用尺规作图作CD//AB，且CD=2AB，即可作出四边形ABCD；根据相似三角形的判定与性质即可证明M，P，N三点在同一条直线上．
本题考查了作图−复杂作图、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
此题的关键是弄清静水速、顺水速、水流速、逆水速这四个量之间的关系．
首先要理解题意找出题中存在的等量关系：顺水时的路程=逆水时的路程，根据此列方程即可．
【解答】
解：设两个码头之间距离为x，则要首先理解两个公式：静水速=顺水速−水流速，静水速=逆水速+水流速．
静水速即轮船自身的速度是保持不变的，
因此可列方程为x4−2=x6+2，
故选B．
10.【答案】D
【解析】解：如图，Rt△ABC中，AB=4cm，BC=3cm，
可知AC=5cm，
过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC=12⋅AB⋅BC=12⋅AC⋅BP，
∴BP=AB⋅BCAC=3×45=125．
∵DE//AC，
∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BQBP．
设DE=x，则有：x5=125−x125，
解得x=6037，
故选：D．
Rt△ABC中，求出AC，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．
本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．
11.【答案】B
【解析】解：如图，连结AC．
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B=∠E=∠AGF=60∘，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60∘，设AB=BC=AC=a，则BH=a−7，
∵∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG+∠CAG，
又易知∠AGH=∠ACG=60∘，
∴∠BGH=∠CAG．
∵∠B=∠ACG=60∘，
∴△BGH∽△CAG，
∴BGAC=BHCG，
∴6a=a−7a−6，解得a=9或a=4，
经检验，a=9是分式方程的解且符合题意，
∴AB=9，故选B．
12.【答案】C
【解析】略
13.【答案】x2−6x+4=0
【解析】解：设雕像的上部高x m，则题意得：
x2−x=2−x2，
整理得：x2−6x+4=0，
故答案为：x2−6x+4=0
设雕像的上部高x m，则下部长为(2−x)m，然后根据题意列出方程即可．
本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．
14.【答案】0
【分析】
本题考查矩形的性质，相似三角形的性质，根据已知条件若令BC=1=AD，则AB=d，分两种情况讨论：当P为AD的中点时，显然△ABP≌△DCP，有d>0，当P不是AD的中点时，△ABP∽△DPC，根据相似三角形的性质列出方程，由方程解的情况得出d的取值范围即可．
【解答】
解：设ABBC =d，
若令BC=1=AD，则AB=d，
分情况讨论：
当P为AD的中点时，显然△ABP≌△DCP，
即有△ABP∽△DCP，此时d>0即可；
当P不是AD的中点时，△ABP∽△DPC，
∴ABDP=APCD，
∴AB·CD=AP·DP，
即d2=AP·DP，
设AP=x，则DP=AD−AP=1−x，
∴x(1−x)=d2，
x2−x+d2=0，
∵AD上存在三个不同位置的点P，
∴x2−x+d2=0有两个不等的实数根，
∴Δ=(−1)2−4d2>0，
∴4d2<1，
∴d2<14，
∵d>0，
∴0
15.【答案】2；5−1
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据矩形的性质得到AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，根据折叠的性质得到CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，根据全等三角形的性质得到DF=AE=2；根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，
∴CF=AD，∠CFD=90°，
∴∠ADE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ADF=∠DCF，
∴△ADE≌△FCD(ASA)，
∴DF=AE=2；
∵∠AFE=∠CFD=90°，
∴∠AFE=∠DAE=90°，
∵∠AEF=∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴AEEF=DEAE，
∴2EF=2+EF2，
∴EF=5−1(负值舍去)，
∴BE=EF=5−1，
故答案为2；5−1．
16.【答案】43+1.5；3
【解析】
【分析】
本题主要考查了相似三角形的应用，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过作辅助线，构造相似三角形，掌握利用相似三角形求线段长的思路与方法；过点D作DM⊥BC于M，连接GF并延长交OE于H，则四边形OPFH和四边形PQGF都是矩形，得出OH=PF=QG=1.5米，FH=OP=6米，FG=PQ=4.5米，证明出△DCB是等边三角形，DB=DC=BC，在Rt△ABE中，利用含30°角的直角三角形的性质得出AB=2BE，设BE=k(k>0)，则AB=2k，AE=3k，得出DB=DC=BC=2k，在等边△BCD中，DM⊥BC于M，根据等边三角形的性质得出BM=CM=12BC=k，∠DMB=90°，进一步得出EM=BE+BM=2k，DM=3k，根据∠AEB=∠EMD=∠BHG=90°，得出AE//MD//HG，进而得出△DGF∽△DAE，△EDM∽△EFH，利用相似三角形的性质得出DFDE=GFAE，EDEF=DMFH，进而得出DMFH=AEGF+AE，即3k6=3k4.5+3k，求出k的值，得出AB=2k=2×32=3(米)，根据△EDM∽△EFH，得出EMEH=DMFH，求出EH=43(米)，即可求解．
【解答】
解：过点D作DM⊥BC于M，连接GF并延长交OE于H，如图：
则四边形OPFH和四边形PQGF都是矩形，
∴OH=PF=QG=1.5米，FH=OP=6米，FG=PQ=4.5米，
∵∠ABO=∠DCO=120°，
∴∠ABE=180°−∠ABO=180°−120°=60°，∠DCB=180°−∠DCO=180°−120°=60°，
根据对顶角的性质可得∠DBC=∠ABE=60°，
∴∠DCB=∠DBC=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∴DB=DC=BC，
∵AE⊥OE，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=60°，∠BAE=30°，
∴AB=2BE，
设BE=k(k>0)，则AB=2k，AE=AB2−BE2=2k2−k2=3k，
∵AB=CD，
∴DB=DC=BC=2k，
在等边△BCD中，DM⊥BC于M，
∴BM=CM=12BC=12×2k=k，∠DMB=90°，
∴EM=BE+BM=k+k=2k，DM=DB2−BM2=2k2−k2=3k，
∵∠AEB=∠EMD=∠BHG=90°，
∴AE//MD//HG，
∴△DGF∽△DAE，△EDM∽△EFH，
∴DFDE=GFAE，EDEF=DMFH，
由DFDE=GFAE可得DFDE+1=GFAE+1，即DF+DEDE=GF+AEAE，
∴EFDE=GF+AEAE，
∴EDEF=AEGF+AE，
∴DMFH=AEGF+AE，即3k6=3k4.5+3k，
解得k1=32，k2=0(舍去)，
∴AB=2k=2×32=3(米)，EM=2k=2×32=3(米)，DM=3k=3×32=32(米)，
∵△EDM∽△EFH，
∴EMEH=DMFH，即3EH=326，
∴EH=43(米)，
∴OE=EH+OH=43+1.5米.
综上所述，OE=43+1.5米，AB=3米.
故答案为：43+1.5；3．
17.【答案】解：(1)设线段AC的长度为x(0
由AC2=BC·AB， 可列方程x2=(1−x)×1.
整理，得x2+x−1=0.
解得x1=5−12，x2=−5−12(不合题意，舍去).
所以线段AC的长度为5−12．
(2)设线段AD的长度为y，
则CD=AC−AD=AC−y.
由AD2=CD·AC， 可列方程y2=AC(AC−y).
整理，得y2+ACy−AC2=0.
解得y1=5−12AC，y2=−5−12AC(不合题意，舍去).
所以线段AD的长度为5−12AC．
(3)设线段AE的长度为z，
则DE=AD−AE=AD−z.
由AE2=DE·AD， 可列方程z2=AD(AD−z)，
整理，得z2+ADz−AD2=0.
解得z1=5−12AD，z2=−5−12AD(不合题意，舍去).
所以线段AE的长度为5−12AD．
上面各小题反映的规律：若C为线段AB上一点，AC>BC，且满足AC2=BC·AB，则AC=(5−1)2AB．
【解析】见答案
18.【答案】解：(1)∵AQ=3−t，
∴CN=4−(3−t)=1+t．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42，
∴AC=5．
∵NM//AB，
∴BCAC=NCMC=45，CM=5+5t4；
(2)由于四边形PCDQ构成平行四边形，
∴PC=QD，即4−t=t，
解得t=2．
(3)不存在．
理由：如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：
MC+NC=AM+BN+AB，
即：54(1+t)+1+t=12(3+4+5)，
解得：t=53.
而MN=34NC=34(1+t)，
∴S△MNC=12×34(1+t)2=38(1+t)2，
当t=53时，S△MNC=38(1+t)2=83≠12×12×4×3．
∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分；
(4)①当MP=MC时；则有：NP=NC，
即PC=2NC，
∴4−t=2(1+t)，
解得：t=23；
②当CM=CP时；则有：54(1+t)=4−t，
解得：t=119；
③当PM=PC时；则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2，
而MN=34NC=34(1+t)，
PN=|PC−NC|=|(4−t)−(1+t)|=|3−2t|，
∴[34(1+t)]2+(3−2t)2=(4−t)2，
解得：t1=10357，t2=−1(舍去)，
∴当t=23，t=119，t=10357时，△PMC为等腰三角形．
【解析】本题考查平行四边形及等腰三角形性质以及数学的动点问题．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
(1)根据动点移动与t的关系分别表示出NC和MC的长即可；
(2)四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4−t=t即解；
(3)可先根据QN平分△ABC的周长，得出MC+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．
(4)由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：
①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．
②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．
③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．
综上所述可得出符合条件的t的值．
19.【答案】解：(1)将点C(−1,0)，点B(4,0)代入y=ax2+bx−4中，
得a−b−4=016a+4b−4=0，
解得a=1b=−3，
∴函数的解析式为y=x2−3x−4．
(2)设正方形的边长为c(c>0)，则H(c,−c)，
把H(c,−c)代入y=x2−3x−4，
得−c=c2−3c−4，
解得c=1+5，
∴S正方形HQOE=c2=(1+5)2=6+25．
(3)存在．
如图，过点D作DM⊥y轴于点M．
∵OA=OB=4，
∴∠OAD=∠CBA=45∘，DM=22AD．
若△OAD∽△CBA，
则OABC=ADBA，
即45=AD42，
解得AD=1625，
∴DM=165，
即H点横坐标为165．
将x=165代入y=x2−3x−4中，
得y=−8425，
∴点H坐标为(165,−8425).
若△OAD∽△ABC，
则OAAB=ADBC，
即442=AD5，
解得AD=522，
∴DM=52，
即H点横坐标为52．
将x=52代入y=x2−3x−4中，得y=−214，
∴点H坐标为(52,−214).
则点H的坐标为(165,−8425)或(52,−214).
【解析】本题主要考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象上点的坐标，正方形的性质，相似三角形的性质等有关知识．
(1)利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
(2)设正方形的边长为c(c>0)，则H(c,−c)，将C代入二次函数的解析式求出c，然后利用正方形的面积公式进行求解即可；
(3)过点D作DM⊥y轴于点M.然后分若△OAD∽△CBA，若△OAD∽△ABC讨论求解即可．
20.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AD//BC，
∴△GDF∽△ABF，△AFD∽△EFB，
∴FDFB=FGFA，AFEF=FDFB，
∴FGFA=AFEF，
∴AF2=EF·FG．
(2)由(1)得出AF2=EF·FG=32×83=4，
∴AF=2，
∵△AFD∽△EFB，
∴BEAD=EFAF=322=34，
∴BEEC=34−3=3．
【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等量代换等知识，把证明FGFA=AFEF转化为证明FDFB=FGFA，AFEF=FDFB是解决本题的关键．
(1)由四边形ABCD是平行四边形可得AB//DC，AD//BC，从而可得△GDF∽△ABF，△AFD∽△EFB，则有FDFB=FGFA，AFEF=FDFB，就有FGFA=AFEF，即AF2=EF·FG；
(2)根据比例的性质解答即可．
21.【答案】解：(1)证明：如图1中，连接CD．
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
∵∠DCE+∠ACD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠DCE=∠ABD，
∵∠CDE+∠DCE=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CDE=∠BAD，
∵AB⊥DF，AB是直径，
∴BD=BF，
∴∠BAD=∠BAF，
∴∠CDE=∠BAF，
∵∠ADE=∠ADC+∠CDE=45°+∠CDE，∠EAF=∠CAB+∠BAE=45°+∠BAF，
∴∠ADE=∠EAF；
(2)解：如图2中，延长AE交FD的点T，设AB交FN于点J，交DF于点K，连接DJ．
∵AB垂直平分线段DF，
∴JD=JF，
∴∠BJF=∠BJD，
∵FN⊥AD，BD⊥AD，
∴FN // BD，
∴∠BJF=∠DBJ，
∴∠DJB=∠DBJ，
∴DJ=DB，
∵DK⊥JB，
∴JK=BK，
设KJ=KB=x，AJ=y，则AK=KT=x+y，
∵DN // BJ，JN // BD，
∴四边形JBDN是平行四边形，
∴DN=BJ=2x，
∵ // TND=∠CAB=45°，∠TDN=∠AKD=90°，
∴DN=DT=2x，
∴DK=KT−DT=x+y−2x=y−x，
∵∠AKD=∠DKB，∠DAK=∠BDK，
∴△AKD∽△DKB，
∴DK2=AK⋅KB，
∴(y−x)2=(x+y)⋅x，
∴y=3x，
∵DN // AJ，
∴DMAM=DNAJ=2x3x=23，
∵DM=3，
∴AM=92．
【解析】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
(1)如图1中，连接CD.证明∠CDE=∠BAF，可得结论；
(2)如图2中，延长AE交FD的点T，设AB交FN于点J，交DF于点K，连接DJ.证明JK=BK，设KJ=KB=x，AJ=y，则AK=KT=x+y，由DN // BJ，JN // BD，推出四边形JBDN是平行四边形，推出DN=BJ=2x，证明DN=DT=2x，推出DK=KT−DT=x+y−2x=y−x，证明△AKD∽△DKB，推出DK2=AK⋅KB，可得(y−x)2=(x+y)⋅x，推出y=3x，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
22.【答案】解：(1)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，
∵BC=2AB，
∴BF=2AB，
∴∠AFB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF=30°，
∴∠CBE=12∠FBC=15°；
(2)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，
又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠AFB=∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴AFDE=ABDF，
∴AF⋅DF=AB⋅DE，
∵AF⋅DF=10，AB=5，
∴DE=2，
∴CE=DC−DE=5−2=3，
∴EF=3，
∴DF=EF2−DE2=32−22=5，
∴AF=105=25，
∴BC=AD=AF+DF=25+5=35．
(3)过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF=AN+FD，
∴NF=12AD=12BC，
∵BC=BF，
∴NF=12BF，
∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴NGAB=FGFA=NFBF=12，
设AN=x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN=NG=x，AB=BG=2x，
设FG=y，则AF=2y，
∵AB2+AF2=BF2，
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，
解得y=43x.
∴BF=BG+GF=2x+43x=103x.
∴ABBC=ABBF=2x103x=35．
【解析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．
(1)由折叠的性质得出BC=BF，∠FBE=∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB=30°，可求出答案；
(2)证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出AFDE=ABDF，可求出DE=2，求出EF=3，由勾股定理求出DF=5，则可求出AF，即可求出BC的长；
(3)过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，NGAB=FGFA=NFBF=12，设AN=x，设FG=y，则AF=2y，由勾股定理得出(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解出y=43x，则可求出答案．
23.【答案】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴AB//CE，
∴△ABD∽△ECD，
∴ABCE=BDCD，即AB25=6030，
∴AB=50(m)，
答：两岸间的大致距离AB为50m．
【解析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算AB的长即可．
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度(测量距离)；借助标杆或直尺测量物体的高度．
24.【答案】解：(1)①假；②假；③真；
(2)证明：如图1中，连接BD，B1D1．
∵∠BCD=∠B1C1D1，且BCB1C1=CDC1D1，
∴△BCD∽△B1C1D1，
∴∠CDB=∠C1D1B1，∠C1B1D1=∠CBD，BDB1D1=BCB1C1=CDC1D1，
∵BCB1C1=ABA1B1，
∴BDB1D1=ABA1B1，
∵∠ABC=∠A1B1C1，∠CBD=∠C1B1D1，
∴∠ABD=∠A1B1D1，
∴△ABD∽△A1B1D1，
∴ADA1D1=ABA1B1，∠A=∠A1，∠ADB=∠A1D1B1，
∴ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1=ADA1D1，∠ADC=∠A1D1C1，∠A=∠A1，
又∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似；
(3)如图2中，
∵四边形ABFE与四边形EFCD相似．
∴DEAE=EFAB，
∵EF=OE+OF，
∴DEAE=OE+OFAB，
∵AB//CD，EF//AB，
∴EF//AB//CD，
∴DEAE=OCOA，
∴DEAD=OCAC，
∵EF//AB，
∴△DEO∽△DAB，△COF∽△CAB，
∴DEAD=OEAB，OCAC=OFAB，
∴DEAD=OFAB，
∴DEAD+DEAD=OEAB+OFAB，
∴2DEAD=EFAB=DEAE，
又AD=DE+AE，
∴2DEDE+AE= DEAE，
即2DE+AE=1AE，
解得：AE=DE，
又 CFBF=CDEF=EFAB=DEAE =1，
∴S1=S2，
∴S2S1=1．
【解析】
【分析】
本题属于相似形综合题，涉及相似四边形的定义和性质，考查的知识点有相似三角形的判定和性质，相似四边形的定义和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
(1)根据相似多边形的定义即可判断．
(2)根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可．
(3)四边形ABFE与四边形EFCD相似，证明相似比是1即可解决问题，即证明DE=AE即可．
【解答】
(1)解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假；假；真．
(2)见答案；
(3)见答案．
25.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B，C的对应点A2、B2、C2即可得到△A 2 B 2C2．
本题考查了作图−位似变换以及旋转变换，正确掌握图形变换的性质是解题关键．
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