浙教版初中数学九年级上册期末测试卷（困难）（含答案解析）

这是一份浙教版初中数学九年级上册期末测试卷（困难）（含答案解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙教版初中数学九年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 对于二次函数y=−5x2+8x−1，下列说法中正确的是(    )
A. 有最小值2.2 B. 有最大值2.2 C. 有最小值−2.2 D. 有最大值−2.2
2. 小伟在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−15x2+3.5的一部分(如图所示).若命中篮圈中心，则他与篮筐底部的距离l是(    )

A. 3m B. 3.5m C. 4m D. 4.5m
3. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1,0)和B(3,0)，点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1>x2+2时，S1>S2；②当x1<2−x2时，S1|x2−2|>1时，S1>S2；④当|x1−2|>|x2+2|>1时，S1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 书架上有a本经济类书，7本数学书，b本小说，5本电脑游戏类书．现某人随意从架子上抽取一本书，若得知取到经济类或者数学书的机会为12，则a，b的关系为(    )
A. a=b−2 B. a=b+12 C. a+b=10 D. a+b=12
5. 电脑福利彩票中有两种方式“22选5”和“29选7”，若选种号码全部正确则获一等奖，你认为获一等奖机会大的是(    )
A. “22选5” B. “29选7” C. 一样大 D. 不能确定
6. 小明在一天晚上帮妈妈洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，这时突然停电了，小明只好将茶杯和杯盖随机搭配在一起，那么三个茶杯颜色全部搭配正确的概率是(    )
A.  13 B. 16 C. 19 D. 127
7. 如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为(    )
A. 4+233πa B. 8+433πa C. 4+33πa D. 4+236πa
8. 如图所示，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB//CD//EF，AB=10，CD=6，EF=8.则图中阴影部分的面积是．(    )
A. 252π B. 10π C. 24+4π D. 24+5π
9. 如图所示，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，P，Q.若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长是(    )


A. 92 B. 907 C. 13 D. 16
10. 两张菱形贺卡如图所示叠放，其中菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD=60∘，菱形A′B′C′D′可以看作是由菱形ABCD沿CA方向平移23cm得到，AD交C′D′于点E，则重叠部分的面积为cm2．(    )
A. 83 B. 93 C. 103 D. 113
11. 如图(1)所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分)，则下列结论： ①AD=BE=5; ②cos∠ABE=45; ③当0
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A、B重合)，对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N.下列结论：
①△APE≌△AME；
②PM+PN=AC；
③PE2+PF2=PO2；
④△POF∽△BNF；
⑤点O在M、N两点的连线上．
其中正确的是(    )


A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①②③④⑤ D. ③④⑤
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−k)2+h.已知球与点O的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与点O的水平距离为9m，高度BC为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m，则下列判断正确的序号是          ．

 ①y与x的关系式为y=−160(x−6)2+2.6; ②球会过网; ③球会过球网但不会出界．

14. 如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现任意选取一个白色的小方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是      ．
15. 如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为______．


16. 如图，在直角坐标系中，直线y=−x+4交矩形OACB于点F，G，交x轴于点D，交y轴于点E.若∠FOG=45∘，则矩形OACB的面积为          ．


三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
发石车是古代远程攻击的武器，现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运行，距离发射点20米时达到最大高度10米，如图所示，现将发石车至于与山坡底部O处，山坡上有一点A，距离O的水平距离为30米，垂直高度3米，AB是高度为3米的防御墙．
(1)求石块运行的函数关系式；
(2)计算说明石块能否飞越防御墙AB；
(3)石块飞行时与坡面OA之间的最大距离是多少？
(4)如果发石车想恰好击中点B，那么发石车应向后平移多远？

18. (本小题8.0分)
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m.据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．

素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．

问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．

19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，B(0,2)，在第一象限内取一点C，使得∠BAC=90∘，且AB=AC，抛物线y=12x2+bx−2的图象过点C．


(1)求出点C的坐标和抛物线的表达式;
(2)当该抛物线的对称轴直线l平移至直线x=m后，恰好将△ABC的面积分成相等的两部分，求m的值．

20. (本小题8.0分)
小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2m和3m的同心圆(如图)，然后每人蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分小红胜，否则小明胜，未掷入圈内或掷中两圆的边界线则重掷．


(1)如果你来当裁判，你认为游戏公平吗?为什么?
(2)游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算某一不规则图形的面积呢?”.请你设计方案，解决这一问题.(要求补充完整图形，说明设计步骤、原理，写出估算公式)
21. (本小题8.0分)
在一个不透明的布袋里装有4个分别标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同.小明从布袋里随机取出一个小球，记下球上的数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下球上的数字为y，这样就确定了点Q的坐标(x,y)．
(1)画树状图或列表，写出点Q所有可能的坐标;
(2)求点Q(x,y)在函数y=−x+5的图象上的概率;
(3)小明和小红约定做一个游戏，其规则如下：若x、y满足xy>6，则小明胜;若x、y满足xy<6，则小红胜.这个游戏公平吗?说明理由;若不公平，请写出公平的游戏规则．
22. (本小题8.0分)
如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．
(1)判断△DEC的形状，并说明理由；
(2)求∠ADB的度数．

23. (本小题8.0分)
【问题原型】如图1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB=90°，BC=8.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为______．
【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD.用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．
【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，求△BCD的面积(用含a的代数式表示)．

24. (本小题8.0分)
三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．
已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线．



求证：ABAC=BDDC．
25. (本小题8.0分)
如图1，在正方形ABCD中，AB=6，M为对角线BD上任意一点(不与点B，D重合)，连结CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．

(1)求证：MN=MC;
(2)若DM:DB=2:5，求证：AN=4BN;
(3)如图2，连结NC交BD于点G.若BG:MG=3:5，求NG⋅CG的值．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】略

2.【答案】C 
【解析】略

3.【答案】A 
【解析】解：不妨假设a>0．
①如图1中，P1，P2满足x1>x2+2，

∵P1P2//AB，
∴S1=S2，故①错误．
②当x1=−2，x2=−1，满足x1<2−x2，
则S1>S2，故②错误，
③∵|x1−2|>|x2−2|>1，
∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，
∴S1>S2，故③正确，
④如图2中，P1，P2满足|x1−2|>|x2+2|>1，但是S1=S2，故④错误．


不妨假设a>0，利用图象法一一判断即可．
本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

4.【答案】A 
【解析】解：由已知可得a+7=a+7+b+52，解得a+2=b，即a=b−2.故选A．
由取到经济类或者数学书的机会为12，可知经济类和数学书的本数占全部的12，列出代数式即可求出ab的关系．
解答此题的关键是根据概率公式列出代数式．

5.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先计算出“22选5”和“29选7”获奖的可能性，再进行比较，即可得出答案．
【解答】
解：从22个号码中选5个号码能组成数的个数有22×21×20×19×18=3160080，选出的这5个号码能组成数的个数为5×4×3×2×1=120，这5个号码全部选中的概率为120÷3160080≈3.8×10−5；
从29个号码中选5个号码能组成数的个数有29×28×27×26×25×24×23=7866331200，选出的这5个号码能组成数的个数为7×6×5×4×3×2×1=5040，这5个号码全部选中的概率为5040÷7866331200≈6×10−7；
因为3.8×10−5>6×10−7，
所以获一等奖机会大的是“22选5”，
故选A．
  
6.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题考查了列举法求概率的知识．此题难度不大，注意不重不漏的表示出所有等可能的结果是解此题的关键，首先把三个茶杯和三个杯盖分别编号为A1、B1、C1和A2、B2、C2，然后又列举法即可表示出所有等可能的结果，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：把三个茶杯和三个杯盖分别编号为A1、B1、C1和A2、B2、C2，搭配的所有情况如下表，

从表中列举可知，所有可能出现的结果有6种，这些结果出现的可能性相等，全部搭配正确的只有一种，
所以颜色搭配正确的概率=16．
故选B．  
7.【答案】A 
【解析】本题考查了弧长公式：l=nπr180，也考查了正六边形的性质以及旋转的性质，难度一般． 
连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，利用正六边形的性质分别计算出A1A4=2a，A1A5=A1A3=3a，而当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以a，3a，2a，3a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．
【解答】
解：如图，连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，

∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴A1A4=2a，∠A1A6A5=120°，
∴∠CA1A6=30°，
∴A6C=12a，A1C=32a，
∴A1A5=A1A3=3a，
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，
以a，3a，2a，3a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长=60⋅π⋅a180+60⋅π⋅3a180+60⋅π⋅2a180+60⋅π⋅3a180+60⋅π⋅a180，
=4+233πa．
故选A．

8.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查扇形面积的计算，圆周角定理．本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关键．
作直径CG，连接OD、OE、OF、DG，则根据圆周角定理求得DG的长，证明DG=EF，则S扇形ODG=S扇形OEF，然后根据三角形的面积公式证明S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，则S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆，即可求解．
【解答】
解：作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．

∵CG是圆的直径，
∴∠CDG=90°，则DG=CG2−CD2=102−62=8，
又∵EF=8，
∴DG=EF，
∴DG=EF，
∴S扇形ODG=S扇形OEF，
∵AB//CD//EF，
∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，
∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=12π×52=252π.
故选A．
  
9.【答案】C 
【解析】如图.连结OP，OQ，分别交AC，BC于点H，I．


∵P，Q分别为AC，BC的中点，
∴PH⊥AC，且H为AC的中点，
∴四边形DMHC为矩形．
∴MH⊥AC，又PH⊥AC，
∴M，P，H，O四点在同一条直线上．
同理可证O，I，Q，N四点在同一条直线上．
∴MH=DC=AC，NI=BC．
∵O为AB的中点，H为AC的中点，
∴OH为△ACB的中位线，
∴OH=12BC．
同理OI为△ABC的中位线，
∴OI=12AC．
∵AC+BC=18．
∴OI+OH=9．
∵MP+NQ=14，
∴PH+QI=(AC+BC)−(MP+NQ)=18−14=4．
设圆的半径为R，则OH+OI+PH+IQ=OP+OQ=2R=13，
即AB=13．
故选C．


10.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查平移的基本性质，菱形的性质．
连接AC，BD交于点O，连接EF交AC于点M，分别求出EF和AC′的长，利用菱形的面积公式计算即可．
【解答】
解：连接AC，BD交于点O，连接EF交AC于点M，

由平移可知，点A，C，C′共线，CC′=23cm，四边形AEC′F为菱形，
∵∠BAD=60∘，菱形ABCD的边长为6cm，
∴BD=6，OD=OB=3，
∴AO=CO=33，AC=63，
∵CC′=23cm，
∴AC′=43，AM=C′M=23cm，CM=43，
∵EF//BD
∴△AEF∽△ADB，
∴EFBD=AMAO，即EF6=2333，
∴EF=4，
∴S阴影=12×EF×AC′=12×4×43=83．  
11.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定，锐角三角函数等知识，根据图(2)判断出点P到达点E时点Q到达点C是解题的关键．
根据图(2)可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时，点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各结论分析解答即可．
【解答】
解：在矩形ABCD中，AD//BC，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C=90°，
根据图(2)可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故①正确；
∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD−ED=5−2=3，
在Rt△ABE中，AB=BE2−AE2=52−32=4，
∴cos∠ABE=ABBE=45，故②正确；
过点P作PF⊥BC于点F，

∵AD//BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=ABBE=45，
∴PF=PBsin∠PBF=45t，
∴当0 当t=294时，点P在CD上，点Q在点C处，如图，

此时，PD=294−BE−ED=294−5−2=14，
PQ=CD−PD=4−14=154，
∵ABAE=43，BQPQ=5154=43，
∴ABAE=BQPQ，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④正确．
综上所述，正确的有① ②③④4个．  
12.【答案】B 
【解析】略

13.【答案】 ① ② 
【解析】略

14.【答案】513 
【解析】 白色的小正方形有13个，而涂黑一个能构成一个轴对称图形的情况有5种(如图所示)，
所以使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是513．



15.【答案】π12+32−34 
【解析】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，
∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴AM=32BC=32×2=3，
∵AD=AE=1，
∴AD=BD，AE=CE，
∴CD⊥AB，EN=12AM=32，
∴CD=CF=AM，∠DCF=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△ABC−S扇形ADE−S△CEF−(S△BCD−S扇形DCF)=12×2×3−60⋅π×1360−12×3×32−(12×12×2×3−30⋅π×3360)=π12+32−34，
故答案为：π12+32−34．
过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质得到AM=32BC=32×2=3，求得EN=12AM=32，CD=CF=AM，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

16.【答案】8 
【解析】解析：∵直线y=−x+4与x轴、y轴分别交于点D，点E，
∴OD=OE=4，
∴∠ODE=∠OED=45∘，
∴∠OGE=∠ODF+∠DOG=45∘+∠DOG．
∵∠GOF=45∘，
∴∠DOF=∠GOF+∠DOG=45∘+∠DOG，
∴∠DOF=∠OGE，
∴△DOF∽△EGO，
∴DFOE=ODEG，
∴DF⋅EG=OE⋅OD=16．
过点F作FM⊥x轴于点M，过点G作GN⊥y轴于点N．
∴△DMF和△ENG是等腰直角三角形．
设NG=AC=a，FM=BC=b，则DF=2b，GE=2a，
∴DF·GE=2ab，
∴2ab=16，
∴ab=8，
∴矩形OACB的面积=ab=8．


17.【答案】解：(1)设石块运行的函数关系式为y=a(x−20)2+10，
把(0,0)代入解析式得：400a+10=0，
解得：a=−140，
∴解析式为：y=−140(x−20)2+10，即y=−140x2+x(0≤x≤40)；
(2)石块能飞越防御墙AB，理由如下：
把x=30代入y=−140x2+x得
y=−140×900+30=7.5，
∵7.5>6，
∴石块能飞越防御墙AB；
(3)设OA的解析式为y=kx，
把(30,3)代入得：3=30k，
∴k=110，
∴OA的解析式为y=110x，
如图，设抛物线上一点P(t,−140t2+t)，过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q(t,110t)，

∴PQ的长d=−140t2+t−110t
=−140t2+910t.
∵二次项系数为负，
∴图象开口向下，d有最大值．
当t=−9102×(−140)=18时，dmax=−140×182+910×18=8.1．
∴石块飞行时与坡面OA之间的最大距离是8.1米．
(4)设向左平移后的解析式为y=−140(x−h)2+10，
把(30,6)代入解析式，得−140(30−h)2+10=6，
解得h1=30−410，h2=30+410(舍)．
∴20−(30−410)=410−10．
∴如果发石车想恰好击中点B，那么发石车应向后平移(410−10)米． 
【解析】(1)设石块运行的函数关系式为y=a(x−20)2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
(2)把x=30代入y=−140x2+x，求得y的值，与6作比较即可；
(3)用待定系数法求得OA的解析式为y=110x，设抛物线上一点P(t,−140t2+t)，过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q(t,110t)，用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案；
(4)设向左平移后的解析式为y=−140(x−h)2+10，把(30,6)代入解析式求得h即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

18.【答案】解：任务1：
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为(0,0)，且过点B(10,−5)，

设抛物线的解析式为：y=ax2，
把点B(10,−5)代入得：100a=−5，
∴a=−120，
∴抛物线的函数表达式为：y=−120x2；
任务2：
∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，
∴当悬挂点的纵坐标y≥−5+1.8+1+0.4=−1.8，
即悬挂点的纵坐标的最小值是−1.8m，
当y=−1.8时，−120x2=−1.8，
∴x=±6，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：−6≤x≤6；
任务3：
方案一：如图2(坐标轴的横轴)，从顶点处开始悬挂灯笼，

∵−6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4>6，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3<6，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：−1.6×3=−4.8；
方案二：如图3，

∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×(5−1)>6，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×(4−1)<6，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：−0.8−1.6×3=--5.6． 
【解析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．
任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
任务2：根据该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，计算悬挂点的纵坐标的最小值是−1.8m；
任务3：介绍两种方案：分别挂7盏和8盏．

19.【答案】解：(1)∵A(1,0)，B(0,2)，
∴OA=1，OB=2，
如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，

则∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠BAC=90°
∴∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，
在△AOB与△CDA中，
∵∠AOB=∠CDA∠OAB=∠DCAAB=CA,
∴△AOB≌△CDA(AAS)，
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C(3,1)，
∵点C(3,1)在抛物线y=12x2+bx−2上，
∴1=12×9+3b−2，解得：b=−12，
∴抛物线的解析式为：y=12x2−12x−2；
(2)在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，
由勾股定理得：AB=5，
∴S△ABC=12AB2=(5)22=52，
设直线BC的解析式为y=kx+b1，
∵B(0,2)，C(3,1)，
∴b1=23k+b1=1，解得k=−13b1=2,
∴直线BC的解析式为y=−13x+2，
同理求得直线AC的解析式为：y=12x−12，
设直线l平移至直线x=m后与BC、AC分别交于点F、E，则点E的坐标为(m,12m−12)，点F的坐标为(m,−13m+2)

则EF=(−13m+2)−(12m−12)=52−56m，
在△CEF中，FE边上的高h=OD−m=3−m，
由题意得：S△CEF=12S△ABC，
即：12 EF⋅h=12S△ABC， 
∴12(52−56m)⋅(3−m)=12×52，
整理得：(3−m)2=3，
解得m=3−3或m=3+3(不合题意，舍去)，
∴当直线l解析式为m=3−3时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分； 
【解析】本题考查一次函数与二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、三角形全等的性质和判定、三角形的面积等知识．
(1)证明△AOB≌△CDA，则CD=OA=1，AD=OB=2，可得点C(3,1)，代入抛物线解析式即可； 
(2)先求△ABC的面积，分别求BC和AC的解析式，表示EF的长，根据面积一半列等式即可求解.

20.【答案】解：(1)不公平．
∵P(阴影)=9π−4π9π=59，即小红获胜的概率为59，小明获胜的概率为49．
∴游戏对双方不公平．
(2)能利用频率估计概率的试验方法估算非规则图形的面积．
设计方案： ①设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来(如正方形，其面积为S).如图所示：
 ②往图形中掷点(如蒙上眼往图形中随意掷石子，掷在图外不作记录)．
 ③当掷点数充分大(如1万次)，记录并统计结果，设掷入正方形内m次，其中n次掷图形内．
 ④设非规则图形的面积为S1，用频率估计概率，即频率P′(掷入非规则图形内)=nm≈概率P(掷入非规则图形内)=S1S，故nm≈S1S．
∴S1≈nSm．

 
【解析】见答案

21.【答案】解：
(1)画树状图如下：

则点Q所有可能的坐标为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
(2)由(1)知，共有12种等可能的结果，其中点Q在函数y =−x+5的图象上的有4种，相应的点Q的坐标分别为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
∴点Q(x,y)在函数y=−x+5的图象上的概率为412=13．
(3)这个游戏不公平．
理由：∵x、y满足xy>6的有x=2,y=4,x=3,y=4,x=4,y=2,x=4,y=3,共4种情况;x、y满足xy<6的有x=1,y=2,x=1,y=3,x=1,y=4,x=2,y=1,x=3,y=1,x=4,y=1,共6种情况，
∴P(小明胜)=412=13，P(小红胜)=612=12，
∵13≠12，
∴这个游戏不公平．
公平的游戏规则：若x，y满足xy≥6，则小明胜;若x，y满足xy<6，则小红胜.(答案不唯一)
 
【解析】见答案

22.【答案】解：(1)根据图形的旋转不变性，
AD=EC，
BD=BE，
又因为∠DBE=∠ABC=60°，
所以△ABC和△DBE均为等边三角形，
于是DE=BD=3，
EC=AD=4，
又因为CD=5，
所以DE2+EC2=32+42=52=CD2；
故△DEC为直角三角形．

(2)因为△DEC为直角三角形，
所以∠DEC=90°，
又因为△BDE为等边三角形，
所以∠BED=60°，
故∠BEC=90°+60°=150°，
即∠ADB=150°． 
【解析】(1)根据旋转的性质，证出△ADB≌△CEB，根据全等三角形的性质，得到AD=CE，再结合△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△BDE为等边三角形，再根据勾股定理逆定理，判断出△DEC为直角三角形．
(2)根据△ADB≌△CEB，得到∠BDA=∠BEC，求出∠BEC的度数即可．
此题考查了图形的旋转不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，
综合性较强，是一道好题．解答(2)时要注意运用(1)的结论．

23.【答案】解：【问题原型】32;
【初步探究】△BCD的面积为12a2．
理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与CB的延长线交于点E．

∴∠BED=∠ACB=90°
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴AB=BD，∠ABD=90°．
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°．
∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
∠ACB=∠BED∠A=∠DBEAB=BD，
∴△ABC≌△BDE(AAS)
∴BC=DE=a．
∵S△BCD=12BC⋅DE
∴S△BCD=12a2；
【简单应用】如图3中，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，

∴∠AFB=∠E=90°，BF=12BC=12a.
∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，
∴∠ABF+∠DBE=90°，
∴∠FAB=∠EBD．
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，
∴AB=BD．
在△AFB和△BED中，
∠AFB=∠E∠FAB=∠EBDAB=BD，
∴△AFB≌△BED(AAS)，
∴BF=DE=12a.
∵S△BCD=12BC⋅DE，
∴S△BCD=12⋅12a⋅a=14a2．
∴△BCD的面积为14a2． 
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的面积公式，解答时证明三角形全等是关键．
【问题原型】如图1中，△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8.进而由三角形的面积公式得出结论．
【初步探究】如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a.进而由三角形的面积公式得出结论．
【简单应用】如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=12BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【解答】
解：【问题原型】如图1中，

如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．
∴∠BED=∠ACB=90°，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，
∴AB=BD，∠ABD=90°．
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°．
∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
∠ACB=∠BED∠A=∠DBEAB=BD，
∴△ABC≌△BDE(AAS)
∴BC=DE=8．
∵S△BCD=12BC⋅DE
∴S△BCD=32，
故答案为32．
【初步探究】见答案；
【简单应用】见答案．  
24.【答案】证明：如图，过点C作CE//DA，交BA的延长线于点E．

∴∠1=∠E，∠2=∠3.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2.
∴∠3=∠E.
∴AC=AE．
又∵AD//CE，
∴ABAE=BDDC．
∴ABAC=BDDC．
 
【解析】见答案

25.【答案】解：(1)证明：如图1，过点M分别作ME//AB交BC于点E，MF//BC交AB于点F，则四边形BEMF是平行四边形．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90∘，∠ABD=∠CBD=∠BME=45∘，
∴ME=BE，
∴平行四边形MEBF是正方形，
∴ME=MF．
∵CM⊥MN，
∴∠CMN=90∘．
∵∠FME=90∘，
∴∠CME=∠FMN，
∴△MFN≌△MEC，
∴MN=MC．
(2)证明：由(1)得：FM//AD，EM//CD，
∴AFAB=CEBC=DMBD=25，
∴AF=2.4，CE=2.4．
∵△MFN≌△MEC，
∴FN=EC=2.4，
∴AN=4.8，BN=6−4.8=1.2，
∴AN=4BN．
(3)把△DMC绕点C逆时针旋转90∘得到△BHC，连结GH，如图2．

∵△DMC≌△BHC，∠BCD=90∘．
∴MC=HC，DM=BH，∠CDM=∠CBH=45∘，∠DCM=∠BCH，
∴∠MBH=90∘，∠MCH=90c．
∵MC=MN，MC⊥MN，
∴△MNC是等腰直角三角形，
∴∠MNC=∠MCN=45∘，
∴∠NCH=45∘，
∴△MCG≌△HCG，
∴MG=HG．
∵BG:MG=3:5，
设BG=3a，则MG=GH=5a，
在Rt△BGH中，BH=GH2−GB2=4a，则MD=4a．
∵正方形ABCD的边长为6，
∴BD=62，
∴DM+MG+BG=12a=62，
∴a=22，
∴BG=322，MG=522．
∵∠MGC=∠NGB，∠MCG=∠GBA=45∘，
∴△MGC∽△NGB，
∴GCGB=MGNG，
∴NG⋅CG=BG⋅MG=152． 
【解析】略