【高考一轮复习，二级结论高效解题】专题2 函数的性质试卷

这是一份【高考一轮复习，二级结论高效解题】专题2 函数的性质试卷，共11页。

【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D，则f(0)=0．
【应用场景】这个结论通过奇函数的图象的对称性可以得到，因图象关于原点对称，其最大值和最小值对应的点关于原点必对称，利用中点坐标公式即可得到结论．适合与函数解析复杂且不易判断函数单调性，通过构造函数后，借助新的函数的奇偶性来求解原函数的最值．
【典例指引1】
1．函数在区间上的最大值为10，则函数在区间上的最小值为（ ）
A．-10B．-8C．-26D．与a有关
【典例指引2】
2．已知函数的最大值为，最小值为，则____
【针对训练】
3．若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和（ ）
A．B．6C．D．5
4．已知在区间上有最大值5，那么在上的最小值为（ ）
A．5B．1C．3D．5
5．已知函数和均为奇函数， 在区间上有最大值，那么在上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．定义：函数满足（，C为常数），则称为中心对称函数，已知中心对称函数在上的最大值和最小值分别为M，m，则（ ）
A．B．C．D．2
7．设函数的最大值为，最小值为，则_________.
二级结论2：函数周期性问题
【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D，则f(0)=0． 已知定义在R上的函数f(x)，若对任意x∈R，总存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期．除周期函数的定义外，还有一些常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a．
(2)如果f(x+a)=(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a．
(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a．
(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=6a．
【应用场景】这个结论通过周期函数的定义得到，用代换等式中的构造出来的形式，然后利用周期函数的定义即可得到结论．解题时，要注意观察给定的抽象等式和函数的奇偶性，对称性等性质，结合图象明确函数的周期性．
【典例指引1】
8．定义在R偶函数满足，对，，都有，则有（ ）
A．B．
C．D．
【典例指引2】
9．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①任意，当时，都有；②；③是偶函数；若，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【针对训练】
10．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
11．设是上的奇函数且满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知定义在R上的函数是奇函数，且是偶函数，若当时，，则的值是（ ）
A．B．C．2D．3
13．定义在上的偶函数满足当时, ,则
A．B．
C．D．
14．已知是在R上的奇函数，满足，且时，函数，函数恰有3个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
参考答案：
1．C
【解析】先设，利用关系，求在区间上的最大值18，再利用是奇函数，判断在区间上的最小值-18，再利用关系，得到在区间上的最小值即可.
【详解】设，则，即，故在区间上的最大值为，
又易见，即是奇函数，图象关于原点中心对称，故在区间上的最小值为，故在区间上的最小值为.
故选：C.
【点睛】有关奇函数最值问题的解决方法：
（1）奇函数关于原点中心对称，因此在对称区间上最大值与最小值互为相反数；
（2）一个函数有部分是奇函数，可以先令这部分为，有，利用是奇函数，其在对称区间上最值的特征，推出在对称区间上的最值的关系.
2．2
【分析】对函数进行化简可得，构造函数，可判断为奇函数，则，由奇函数的对称性即可求解.
【详解】，
令，则，
即为奇函数，图象关于原点对称，
，
，，且，
，则．
故答案为：2．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用奇函数的对称性求解函数的最值，解题的关键是构造函数并灵活利用奇函数的对称性，属于中档题．
3．B
【分析】首先根据题中对函数的性质计算出特殊值，再判断的奇偶性，由此判断出为奇函数，最后根据奇函数关于原点对称的性质得出结果.
【详解】在中，令得，即，令得，即，∴是奇函数，令，则，是奇函数，∴在对称区间上，当时，，，∴．
故选:B
4．B
【分析】中为奇函数,故分析的对称点,再根据对称性判断即可.
【详解】因为中为奇函数关于对称,
故关于对称,
又在区间上有最大值5,故在上的最小值为
故选B
【点睛】本题主要考查奇函数的对称性与运用,属于基础题型.
5．B
【分析】根据条件构造函数，判断函数的奇偶性，结合函数奇偶性和最值之间的关系建立方程进行求解即可．
【详解】由得，
令，
则，
∴函数为奇函数．
∵在区间上有最大值5，
∴，
∴，即．
∵是奇函数，
∴，
∴．
故选：B．
6．D
【分析】变形给定的函数式，再借助奇函数最大值与最小值的关系计算作答.
【详解】函数，令，则，
函数是R上的奇函数，而，依题意，，
又，所以.
故选：D
7．2
【解析】可考虑向左平移2个单位对函数解析式进行化简，根据左右平移值域不变求解.
【详解】
，
令，则定义域为R，且，
故是奇函数，故其最大值与最小值的和为零，
所以函数的最大值与最小值的和为2，
故在函数中，.
8．B
【解析】首先判断函数的周期，并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值，再比较大小.
【详解】，，即，
的周期，
由条件可知函数在区间单调递增，
，，
，
函数在区间单调递增，，
即.
故选：B
【点睛】结论点睛：本题的关键是判断函数是周期函数，一般涉及周期的式子包含，则函数的周期是，若函数，或 ，则函数的周期是，或是，则函数的周期是.
9．C
【分析】由条件①确实单调性，条件②确定周期性，条件③确定对称性，由对称性和周期性化自变量到区间上，再由单调性得大小关系、
【详解】因为任意，当时，都有，所以在上是增函数，
因为，所以，是周期函数，周期是8；
由是偶函数，得的图象关于直线对称，
，，
又，所以．
故选：C．
【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性．解题方法一般是利用周期性把自变量化小，再由周期性（或对称性）化自变量到同一个单调区间上，然后由单调性得函数值大小．
10．D
【解析】由周期性和奇偶性进行计算．
【详解】∵，∴是周期函数，周期为，
又是奇函数，，
∴．
故选：D．
11．D
【解析】由题意可知，是以为周期的周期函数，进而可得出，再利用奇函数的性质可求得结果.
【详解】对任意的，，即，
所以，函数是以为周期的周期函数，，
由于函数为的奇函数，且当时，，
因此，.
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
12．B
【分析】根据奇偶性证明函数的周期为，再结合周期性得出.
【详解】因为是偶函数，所以
又函数是奇函数，所以
所以
所以，即函数的周期为
所以
因为，所以
故
故选：B
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用奇偶性的定义证明函数的周期为，再结合周期的性质得出.
13．B
【详解】分析：先根据得周期为2，由时单调性得单调性，再根据偶函数得单调性，最后根据单调性判断选项正误.
详解：因为，所以周期为2，
因为当时, 单调递增，所以 单调递增，
因为，所以 单调递减，
因为， ,
所以, , ,,
选B.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行.
14．D
【解析】根据题意可知是在R上的奇函数且关于x=1对称，函数恰有3个零点，等价于和有3个交点，当时，函数的解析式已知，用数形结合的方法可求得a的取值范围。
【详解】由题得，令，定义域为，恰有3个零点，即和的图像在定义域内有3个交点，，故函数的一个周期是4，又时，函数，且图像关于轴x=1对称，由此可做出函数图像如图，若两个函数有3个交点，则有，解得，则a的取值范围是.
故选：D
【点睛】对数函数和指数函数有交点，无法直接求出交点坐标，采用数形结合的方法求参数是此类题的核心解题思路，有一定的难度。