【高考一轮复习，二级结论高效解题】专题6 平面向量试卷

专题6  平面向量

二级结论1：极化恒等式

【结论阐述】

（1）极化恒等式：；

（2）极化恒等式平行四边形型：在平行四边形中，，即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的；

（3）极化恒等式三角形模型：在中，为边中点，则；.

说明：（1）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；

（2）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.

【应用场景】极化恒等式常用于解决与平面向量数量积有关的求值（定值）､最值､范围等问题.

【典例指引1】

（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）

1．如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是_______.           

【典例指引2】

2．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　

A． B． C． D．

【针对训练】

（2022·山东日照市·高三二模）】

3．如图，在平行四边形中，已知，则的值是（    ）

A．44 B．22 C．24 D．72

（2022·河北武强中学高三月考）

4．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若－7，则的值是________．

（2022·全国福建省漳州市高三期末）

5．在中，为的三等分点，则

A． B． C． D．

（2022·海南海口·二模）

6．在正三角形中，点是线段的中点，点在直线上，若三角形的面积为，则的最小值是___________

（2022•南通期末）

7．在面积为2的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是______.

（天津高考）

8．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

二级结论2：三角形“四心”向量形式的充要条件

【结论阐述】设为所在平面上一点，内角，，所对的边分别为，，，则

（1）为的外心.

（如图1）

（2）如图2，为的重心.

（3）如图2，为的垂心.

（4）如图3，为的内心.

说明：三角形“四心”——重心，垂心，内心，外心

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.

【应用场景】主要用于有关向量与三角形“四心”问题的判断与研究.

【典例指引1】

9．在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．满足，则点是的外心

B．满足，则点是的重心

C．满足，则点是的垂心

D．满足，且，则为等边三角形

【典例指引2】

10．已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ）

A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心

【针对训练】

11．在△中，，，，O为△的内心，若，则（    ）

A． B． C． D．

12．已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ）

A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心

13．设G为的重心，若，，，则___________

14．设O为的外心，若，，则___________.

15．设I为的内心，若，，，则___________

二级结论3：奔驰定理

【结论阐述】奔驰定理：设是内一点，，，的面积分别记作，，则.

说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.

奔驰定理在三角形四心中的具体形式：

①是的重心.

②是的内心.

③是的外心.

④是的垂心.

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.

【应用场景】奔驰定理常用于解答与三角形内任意一点有关的三角形面积问题.

【典例指引1】

（2022·四川西昌·高二期末）

16．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【典例指引2】

17．设G是△ABC重心，且，则_________．

【针对训练】

一､单选题

18．若是平面上的定点，，，是平面上不共线的三点，且满足（），则点的轨迹一定过的（    ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

19．若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点P满足+λ(λ∈(0，+∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（    ）

A．外心 B．内心

C．重心 D．垂心

20．已知是平面内一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则点的轨迹一定通过的（　　）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

21．在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（    ）

A．重心 B．内心

C．外心 D．垂心

二､多选题

（2022·重庆实验外国语学校高一期中）

22．对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．若三点共线，则存在实数使

（2022·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）

23．点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ）

A．若，则点O是的重心．

B．若，则点O是的内心．

C．若，则点O是的外心．

D．若，则点O是的垂心．

三､填空题

24．已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的________(填序号）．①内心  ②垂心   ③ 重心   ④外心

参考答案：

1．

【详解】因为，

，

因此，

【考点】向量数量积

【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．

2．B

【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．

【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，

则，，，

设，则，，，

则

当，时，取得最小值，

故选：．

3．B

【分析】以为基底分别表示出，再利用平面向量数量积的运算律即可解出．

【详解】因为，所以，，而，所以，

，化简得：，即．

故选：B．

4．9

【解析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用,求出，再利用，运算可求出结果.

【详解】在平面四边形中，O为BD的中点，且若，则 ，，， .

故答案为：9

【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算，考查了转化思想和运算能力，属于中档题.

5．B

【详解】试题分析：因为，所以，以点为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，设，又为的三等分点所以，，所以，故选B.

考点：平面向量的数量积.

【一题多解】若，则，

即有，为边的三等分点，则

,故选B．

6．##

【分析】取中点，由题意，计算得，的高为，数形结合可知，的最小值为的高，利用向量的基底表示与线性运算将问题转化为，代值计算.

【详解】取中点，由正的面积为，

，

的高为，

数形结合得，的最小值为的高，即，

所以，所以

.

故答案为：

7．

【分析】由平面几何的知识结合三角形面积公式可得，由平面向量数量积的运算可得，由余弦定理结合基本不等式可得，进而可得，令，利用导数求得的最小值后即可得解.

【详解】因为、分别是、的中点，

所以到的距离等于点到的距离的一半，

所以，

又，所以，

因此，所以；

又由余弦定理可得：

，

当且仅当时，取等号；

所以，

令，，；

又，

由得，所以；由得，所以；

所以在上单调递减，在上单调递增；

所以，

因此的最小值是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了基本不等式、余弦定理、导数的应用及向量数量积的最值问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.

8．         

【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.

【详解】，，，

，

解得，

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,

∵，∴的坐标为,

∵又∵,则，设，则（其中），

，，

，

所以，当时，取得最小值.

故答案为：；.

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

9．ABCD

【分析】根据三角形外心、重心和垂心的定义逐一用向量判断ABC，用向量的数量积和运算律判断D即可.

【详解】解：对于，因为，所以点到的三个顶点的距离相等，所以为的外心，故正确；

对于B，如图所示，为的中点，由得：，所以，所以是的重心，故B正确；

对于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以点是的垂心，故C正确；

对于D，由得：角的平分线垂直于，所以；

由得：，所以，所以为等边三角形，故D正确．

故选：ABCD．

10．A

【分析】设边的中点为，则，进而结合题意得，再根据向量共线判断即可.

【详解】解：根据题意，设边的中点为，则，

因为点满足，其中

所以，，即，

所以，点的轨迹为的中线，

所以，点的轨迹一定经过的重心.

故选：A

11．C

【分析】根据向量的减法法则化简题中的等量关系，结合三角形内心的性质得到系数的关系求解.

【详解】由得，

则，

因为O为△的内心，所以，

从而，

解得，，所以.

故选：C.

12．C

【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点轨迹.

【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，

则的方向与的角平分线一致，

由，可得，

即，

所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，

故点P的轨迹一定经过的内心.

故选：C.

13．4

【分析】由G为的重心，易得又，结合数量积运算律即可得到结果.

【详解】由已知可得是以B为直角顶点的直角三角形，

因为G为的重心，所以

，∴，

故答案为：4

14．

【分析】根据条件和几何意义，将  转化为相应的向量投影即可求解.

【详解】如图，

设D､E分别为的中点，则，

所以

,

故答案为：-2    .

15．

【分析】利用向量的数量积运算求解或根据投影的几何意义求解.

【详解】解法1：不难发现，是以B为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I与､､分别相切于点D､E､F，设圆I的半径为r，则，显然四边形是正方形，所以，从而，，易证，，所以，，故，从而，，

.

故答案为: .

解法2：按解法1求得的内切圆半径，由图可知在上的投影即为，

所以.

故答案为: .

16．B

【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。

【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.

故选：B

17．

【分析】将重心G满足的向量关系式代入已知向量等式，消去一个向量，得到两向量间的关系，再由平面向量基本定理，得到对应系数为0，最后利用正、余弦定理求解.

【详解】如图，设三边AB中点为D，是的重心，

，

同理可得，，，

，即，

又与不共线，由平面基本定理得，，

由正弦定理得，，即，

由余弦定理得， ，

又B为的内角，.

故答案为：.

【点睛】关于四心的向量关系式：

O是的外心；

O是的重心；

O是的垂心；

O是的内心.(其中为的三边)

18．C

【分析】由（），得到，再根据经过在的重心判断.

【详解】因为（），

所以，

所以在的边AB上的中线所在直线上，

则在的中线所在直线上，

所以点的轨迹一定过的重心，

故选：C

19．C

【分析】设的中点为，通过向量的线性运算求得，由此判断出的轨迹经过三角形的重心.

【详解】设线段BC的中点为D，则有)，

因此由已知得+λ，即=λ，于是=λ，则，

因此P点在直线AD上，又AD是△ABC的BC边上的中线，

因此点P的轨迹一定经过三角形ABC的重心．

故选：C

20．B

【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点轨迹.

【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，

则的方向为∠BAC的平分线的方向，

又，所以λ的方向与的方向相同.

而＝＋λ可得，

所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过的内心.

故选：.

21．A

【分析】过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，所以，根据向量的线性运算法则，化简可得，根据三角形的性质，分析即可得答案.

【详解】过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：

根据三角函数定义可得，

因为，

所以，即，

即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，

所以点的轨迹一定通过的重心.

故选：A

22．AD

【分析】直接利用三角形的内心，外心，垂心，重心的相关关系，向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．

【详解】解：对于A：给定的，其外心为，所以，故A正确；

对于B：由于点为给定的的重心，故，故B错误；

对于C：点为给定的的垂心，所以，因为重心为G，则有，，所以，若，则点H为重心，与题意矛盾，因为故C错误；

对于D：由于点在的平分线上，所以为单位向量，所以在的平分线上，所以存在实数使，故D正确．

故选：AD．

23．ABCD

【分析】对A，通过判断为边上中线的三等分点可得；对B，通过判断点O在三角形各个角的平分线上可得；对C，通过判断可得；对D，通过判断，可得.

【详解】对A，设为中点，由于，所以为边上中线的三等分点（靠近点D），所以点O是的重心，故A正确；

对B，向量分别表示在边AC和AB上的单位向量和 ，记它们的差为向量 ，则当时，即时，点O在的平分线上，同理由可得点O在的平分线上，所以点O是的内心，故B正确；

对C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是另一条对角线，则由可得该平行四边形为菱形，即，同理由可得 ，所以点O是的外心，故C正确；

对D，由得，则，所以，同理可得，所以点O是的垂心，故D正确.

故选：ABCD.

24．④

【分析】设BC的中点为D，两端同时点乘，由可得答案.

【详解】设BC的中点为D，

∵，

∴，

即，两端同时点乘，

∵= ===0，

所以，

所以点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心

故答案为：④.