第02讲 数轴核心考点归纳（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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综合性强，适合尖子生日常训练或期末整体复习
第2讲 数轴核心考点归纳（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
模块一 数轴与点
题型一 数轴上点的平移
典例1（2022•宁德模拟）在数轴上，点A在点B的左侧，分别表示数a和数b，将点B向左平移4个单位长度得到点C．若C是AB的中点，则a，b的数量关系是 　 　．
思路引领：利用两点间的距离公式推导即可．
解：∵将点B向左平移4个单位长度得到点C，
∴C点表示的数就是b﹣4，
∵C是AB的中点，
∴b﹣4=a+b2，
∴b﹣a＝8．
故答案为：b﹣a＝8．
解题秘籍：本题考查的是数轴上中点的公式，解题的关键是熟练掌握中点公式，即两个点的平均数．
针对训练1
1．（2021秋•镇江期末）数轴上点A表示的数是﹣4，将点A在数轴上平移5个单位长度得到点B．则点B表示的数是 　 　．
思路引领：数轴上点的平移，根据左减右加的方法，即可得出答案．
解：如果向右平移5个单位长度，则﹣4+5＝1，
如果向左平移5个单位长度，则﹣4﹣5＝﹣9，
故答案为：1或﹣9．
解题秘籍：本题考查数轴上的点平移法则，理解左减右加是解题关键．

题型二 数轴上两点的距离
典例2（2020秋•赤壁市校级月考）我们知道数轴上点A，B分别表示数a，b，那么点A，B之间的距离AB＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上，表示3的点与表示5的点距离是　 　；表示﹣2的点与表示﹣6的点距离是　 　．
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为﹣1，则A，B两点的距离可以表示为　 　．
（3）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为3，A，B的距离是5，则x＝　 　．
（4）已知数轴上A，B两点之间的距离为1，点A到原点的距离为3，则点B表示的数是　 　．
（5）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 ．
思路引领：（1）根据数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|的表达式计算出绝对值；
（2）根据数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|的表达式计算出绝对值；
（3）根据点A，B之间的距离AB＝|a﹣b|列方程求解即可；
（4）先求出点A表示的数，再根据点A，B之间的距离AB＝|a﹣b|列方程求解即可；
（5）要去掉绝对值符号，需要抓住已知点在数轴上进行分段讨论，写出去绝对值后的表达式讨论计算即可．
解：（1）根据题意知3和5的两点之间的距离可表示为：|3﹣5|＝2；数﹣2和﹣6的两点之间的距离|﹣2﹣（﹣6）|＝4；
故答案为2，4；
（2）数轴上A、B两点间的距离可以表示为|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，
故答案为：|x+1|；
（3）由距离公式可得，|x﹣3|＝5，
解得，x＝8或﹣2，
故答案为：8或﹣2；
（4）∵点A到原点的距离为3，
∵点A表示的数为3或﹣3，
设点B表示的数为m，则有：
|m﹣3|＝1或|m+3|＝1，
解得，m＝±2或±4，即点B表示的数为±2或±4，
故答案为：±2或±4；
（5）在数轴上|x+1|+|x﹣2|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣1及到2的距离之和，所以当﹣1≤x≤2时，它的最小值为3，
故答案为：﹣1≤x≤2．
解题秘籍：本题考查的是数轴上两点之间的距离和数的绝对值计算之间的关系，去掉绝对值之后代数式的表达是解题的关键，解此类题目要学会分区间讨论和数形结合的思想方法．
针对训练2
2．（2021秋•新民市期末）如图，数轴上A，B两点之间的距离AB＝16，有一根木棒PQ沿数轴向左水平移动，当点Q移动到点B时，点P所对应的数为3，当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为 　　．

思路引领：设PQ的长度为x，然后表示出A，B，AB的中点的数，即可求出答案．
解：设PQ＝x，
则点B表示的数为x+3，点A表示的数为x+3﹣16＝x﹣13，
∵AB的中点可表示为（x+3+x﹣13）÷2＝x﹣5，
∴当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为x﹣5﹣x＝﹣5，
故答案为：﹣5．
解题秘籍：本题主要考查与数轴有关的计算，关键是要能把AB的中点用PQ的长度表示出来．
模块二 数轴与距离
题型三 数轴上两点距离的和差倍分问题
典例3（2021秋•德惠市校级月考）如图，点A，B在数轴上表示的数分别为﹣4和+16，A，B两点间的距离可记为AB

（1）点C在数轴上A，B两点之间，且AC＝BC，则C点对应的数是　 　
（2）点C在数轴上A，B两点之间，且BC＝4AC，则C点对应的数是　 　
（3）点C在数轴上，且AC+BC＝30，求点C对应的数？
（4）若点A在数轴上表示的数是a，B表示的数是b，则AB＝　 　
思路引领：（1）根据AC＝BC列出方程，解方程即可；
（2）根据BC＝4AC列出方程，解方程即可；
（3）分C在A的左边或C在B的右边两种情况进行讨论，根据AC+BC＝30列出方程即可求解；
（4）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
解：设点C对应的数为x．
（1）根据题意得
x﹣（4）＝16﹣x，
解得x＝6．
答：点C对应的数是6．
故答案为：6；
（2）根据题意得
16﹣x＝4[x﹣（﹣4）]，
解得x＝0．
答：点C对应的数是0．
故答案为：0；
（3）设C表示的数为x，当C在A左侧时AC+BC＝30，则﹣4﹣x+16﹣x＝30 x＝﹣9
当C在B右侧时，x﹣16+x﹣（﹣4）＝30 x＝21
综上，x为21或x为﹣9
（4）若点A在数轴上表示的数是a，B表示的数是b，则AB＝|a﹣b|．
故答案为：＝|a﹣b|．
解题秘籍：考查了数轴、一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
针对训练3
3．已知数轴上点A在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过32个单位长度
（1）求A，B两点所对应的数．
（2）若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，求点C对应的数．
思路引领：（1）直接根据实数与数轴上各点的对应关系求出A，B表示的数即可；
（2）设点C表示的数为c，再根据点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍列出关于c的方程，求出c的值即可．
解：（1）∵数轴上点A在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过32个单位长度，
∴点A表示﹣8，点B表示﹣8+32＝24；
（2）设点C表示的数为c，
∵点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，
∴|c﹣24|＝3|c|，
∴c﹣24＝3c或c﹣24＝﹣3c，解得c＝﹣12或c＝6．
解题秘籍：本题考查的是数轴，熟知数轴上各点与全体实数是一一对应关系是解答此题的关键．

题型四 数轴上的行程问题
典例4（2021秋•通川区校级月考）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题：
（1）请直接写出a、b、c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）在（1）的条件下，数a，b，c分别在数轴上对应的点A，B，C，有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为4个单位/秒，当两只电子蚂蚁在数轴上点M处相遇时，求点M表示的数 　 　；
（3）在（1）的条件下，点a，b，c分别对应点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动．同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

思路引领：（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；
（2）可设t秒两只电子蚂蚁在数轴上点M处相遇，根据路程和＝速度和×时间可求t，进一步可求点M表示的数；
（3）先求出BC＝3t+4，AB＝3t+2，从而得出BC﹣AB＝2．
解：（1）∵b是最小的正整数，
∴b＝1．
根据题意得：c﹣5＝0且a+b＝0，
∴a＝﹣1，b＝1，c＝5．
故答案为：﹣1；1；5；
（2）设t秒两只电子蚂蚁在数轴上点M处相遇，依题意有
（2+4）t＝5﹣（﹣1），
解得t＝1，
则点M表示的数为5﹣4×1＝1．
故答案为：1；

（3）不变．理由如下：
t秒时，点A对应的数为﹣1﹣t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5．
∴BC＝（5t+5）﹣（2t+1）＝3t+4，AB＝（2t+1）﹣（﹣1﹣t）＝3t+2，
∴BC﹣AB＝（3t+4）﹣（3t+2）＝2，
即BC﹣AB值的不随着时间t的变化而改变．
（另解）∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，
∴A、B之间的距离每秒钟增加3个单位长度；
∵点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，
∴B、C之间的距离每秒钟增加3个单位长度．
又∵BC﹣AB＝2，
∴BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
针对训练4
4．甲、乙两个昆虫分别在数轴原点O和+12的A处，以1单位/s、2单位/s速度同时运动
（1）若甲、乙两昆虫同时相向而行
①第一次相遇点在数轴上表示的数为　 　（直接写出）
②当甲到A、乙到O处时，各自迅速返回，问第二次相遇点在数轴上表示的数为　 　
（2）若两昆虫同时向左运动，乙昆虫在数轴上何处追上甲昆虫？
思路引领：（1）①设相遇时间为t，然后列出方程求出t值，再求解即可；
②设第二次相遇的时间为t，然后求出相遇点到原点的距离即可；
（2）设追上的时间为t，利用追击问题列出方程求解，再求解即可．
解：（1）①设相遇时间为t，
根据题意得，t+2t＝12，
解得t＝4，
所以相遇点在数轴上4处；
故答案是：4．

②设第二次相遇的时间为t，
根据题意得，t+2t＝2×12，
解得t＝8，
∴1×8＝8
所以第二次相遇于数轴8处．
故答案是：8；

（2）设追上的时间为t，
根据题意得，2t﹣t＝8，
解得t＝8，
所以乙昆虫在数轴上﹣8处追上甲昆虫．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用和数轴，主要涉及相遇问题，追击问题，根据行程问题的等量关系列出方程是解题的关键．
模块三 数轴与方程思想
典例5 如图，数轴上标出若干个点，每个相邻两点距离相等，点A，B，C，D对应的数分别是数a，b，c，d，a+b+c+d＝2，a﹣b+c﹣d＝﹣3，求a点位置．

思路引领：设数轴上每个距离为x，则b为a+3x，c为a+4x，d为a+7x，根据a+b+c+d＝2，a﹣b+c﹣d＝﹣3，所以4a+14x＝2，﹣6x＝﹣3，求出a，x，即可解答．
解：设每个距离为x，则b为a+3x，c为a+4x，d为a+7x，
∵a+b+c+d＝2，a﹣b+c﹣d＝﹣3，
∴4a+14x＝2，﹣6x＝﹣3，
解得：x＝0.5，a＝﹣1.25．
解题秘籍：本题考查了数轴，解决本题的关键是根据数轴上每个相邻两点距离相等，设数轴上每个距离为x，则b为a+3x，c为a+4x，d为a+7x，代入等式，求出x的值．
针对训练5
5．（2018秋•锡山区期末）【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现有许多重要的规律：
例如，若数轴上A点、B点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点M表示的数为a+b2．
【问题情境】
在数轴上，点A表示的数为﹣20，点B表示的数为10，动点P从点A出发沿数轴正方向运动，同时，动点Q也从点B出发沿数轴负方向运动，已知运动到4秒钟时，P、Q两点相遇，且动点P、Q运动的速度之比是3：2（速度单位：单位长度/秒）．

【综合运用】
（1）点P的运动速度为　 　单位长度/秒，点Q的运动速度为　3 单位长度/秒；
（2）当PQ=13AB时，求运动时间；
（3）若点P、Q在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动，但运动的方向不限，我们发现：随着动点P、Q的运动，线段PQ的中点M也随着运动．问点M能否与原点重合？若能，求出从P、Q相遇起经过的运动时间，并直接写出点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．
思路引领：（1）设动点P、Q运动的速度分别为3x、2x单位长度/秒，根据“运动到4秒钟时，P、Q两点相遇”列方程，求解即可；
（2）设运动时间为t秒，点P表示的数为﹣20+4.5t，点Q表示的数为10﹣3t，根据“PQ=13AB”，列方程，求解即可；
（3）先求出点P、Q在相遇点表示的数，设从点P、Q相遇起经过的时间为t秒时，线段PQ的中点M与原点重合，求出点P、Q表示的数，然后分四种情况列方程，求解即可．
解：（1）设动点P、Q运动的速度分别为3x、2x单位长度/秒．
则4×3x+4×2x＝30，（或﹣20+4×3x＝10﹣4×2x），
解得x＝1.5，3x＝4.5（单位长度/秒），2x＝3（单位长度/秒）
故答案为4.5，3；
（2）设运动时间为t秒．
由题意知：点P表示的数为﹣20+4.5t，点Q表示的数为10﹣3t，
则|（﹣20+4.5t）﹣（10﹣3t）|=13×|（﹣20）﹣10|
整理得|7.5t﹣30|＝10，
解得：t=163或83，
答：运动时间为163或83秒；
（3）点P、Q在相遇点表示的数为﹣20+4×4.5＝﹣2，
设从点P、Q相遇起经过的时间为t秒时，线段PQ的中点M与原点重合．
①点P、Q均沿数轴正方向运动，则：(−2+4.5t)+(−2+3t)2=0，
解得：t=815，此时点M与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为2÷815=154（单位长度/秒）；
②点P沿数轴正方向运动，点Q沿数轴负方向运动，则：(−2+4.5t)+(−2−3t)2=0，
解得：t=83，此时点M与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为2÷83=34（单位长度/秒）；
③点P沿数轴负方向运动，点Q沿数轴正方向运动，则：(−2−4.5t)+(−2+3t)2=0，
解得：t=−83（舍去），此时点M不与原点重合；
④点P沿数轴负方向运动，点Q沿数轴负方向运动，则：(−2−4.5t)+(−2−3t)2=0，
解得：t=−815，此时点M不与原点重合；
综上所述：点M与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为2÷815=154（单位长度/秒）或沿数轴正方向运动，运动速度为2÷83=34（单位长度/秒）．
解题秘籍：本题考查了数轴、绝对值与一元一次方程的应用，是一个综合问题，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，进而求解．
第二部分 专题提优训练
一．选择题
1．（2021秋•泉州期末）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a和b（b＞2），将点A向右平移2个单位长度得到点C．若OC＝OB，则a，b的关系是（　　）
A．a+b＝2 B．a﹣b＝2 C．a+b＝﹣2 D．a﹣b＝﹣2
思路引领：根据OC＝OB可得点C表示的数与b互为相反数，据此可得a+2+b＝0，即可得到答案．
解：∵点A表示数a，
∴将点A向右平移2个单位长度得到点C，则C表示的数是a+2，
∵OC＝OB，
∴a+2与b互为相反数，
∴a+2+b＝0，
∴a+b＝﹣2，
故选：C．
解题秘籍：本题考查的是数轴，根据题意列出关于a、b的方程是解决本题的关键．
2．（2021秋•沙坪坝区期末）已知点A是数轴上的一点，它到原点的距离为3，把点A向左平移7个单位后，再向右平移5个单位得到点B，则点B到原点的距离为（　　）
A．1 B．﹣5 C．﹣5或1 D．1或5
思路引领：根据绝对值的定义得到点A表示的数为±3，然后分两种情况分别计算即可．
解：∵点A到原点的距离为3，
∴点A表示的数为±3，
当点A表示的数为3时，3﹣7+5＝1，|1|＝1；
当点A表示的数为﹣3时，﹣3﹣7+5＝﹣5，|﹣5|＝5；
故选：D．
解题秘籍：本题考查了绝对值，体现了分类讨论的思想，掌握在数轴上，一个数表示的点到原点的距离是这个数的绝对值是解题的关键．
3．（2022春•昭通期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（　　）
①B对应的数是2；②点P到达点B时，t＝3；③BP＝2时，t＝2；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．

A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④
思路引领：利用数轴，结合方程及分类讨论思想求解．
解：∵已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，
∴A对应的数为：4﹣6＝﹣2；故①是不符合题意的；
∵6÷2＝3，故②是符合题意的；
∵当BP＝2时，t＝2或t＝3，故③是不符合题意的；
∵在点P的运动过程中，MN＝3，故④是符合题意的；
故选：D．
解题秘籍：本题考查了数轴，方程和分类讨论思想是解题的关键．
4．（2022•金华模拟）一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别是﹣8，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B＝4，则C点表示的数是（　　）

A．1 B．﹣1 C．1或﹣2 D．1或﹣3
思路引领：设点C表示的数为x，分两种情况：A′在线段CB的延长线上或线段CB上分别计算即可．
解：设点C表示的数为x，
当A′在线段CB的延长线上时，
∵A'B＝4，
∴点A′表示的数为6+4＝10，
∵AC＝A′C，
∴x﹣（﹣8）＝10﹣x，
解得：x＝1；
当A′在线段CB上时，
∵A'B＝4，
∴点A′表示的数为6﹣4＝2，
∵AC＝A′C，
∴x﹣（﹣8）＝2﹣x，
解得：x＝﹣3；
故选：D．
解题秘籍：本题考查了数轴，考查分类讨论，根据对折得到AC＝A′C是解题的关键，不要漏解．
5．（2022•乳山市一模）在数轴上，点A，B表示的数分别是−23和2，则线段AB的中点表示的数是（　　）
A．23 B．43 C．34 D．13
思路引领：利用数轴上中点的公式求解即可．
解：AB中点表示的数是−23+22=23．
故选：A．
解题秘籍：本题考查的是中点的距离公式，解题关键是了解中点等于两个数的平均数．
6．（2022•贵阳模拟）如图，数轴上A，B，C，D四点中，表示的数与﹣1.7最接近的是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
思路引领：与﹣1.7最接近的是﹣2，对应数轴上的点B，从而得出答案．
解：如图，与﹣1.7最接近的是﹣2，对应数轴上的点B，
故选：B．

解题秘籍：本题考查了有理数的大小比较，数轴，掌握实数与数轴上的点一一对应是解题的关键．
7．（2022•赤峰模拟）如图，一个不完整的数轴（单位长度为1）上有A，B，C三个点，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C表示的数是（　　）

A．﹣2 B．0 C．1 D．4
思路引领：根据给出的条件可求得原点的位置，然后求C表示的数即可．
解：∵点A，B表示的数互为相反数，
∴原点在图中所示位置：

∴点C表示的数1．
故选：C．
解题秘籍：本题考查的是相反数在数轴上的位置，解题的关键就是互为相反数的两个数的中点就是原点．
8．（2021秋•晋州市期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（　　）
①点B对应的数是﹣4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：①根据两点间距离进行计算即可；
②利用路程除以速度即可；
③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；
④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
解：设点B对应的数是x，
∵点A对应的数为8，且AB＝12，
∴8﹣x＝12，
∴x＝﹣4，
∴点B对应的数是﹣4，
故①正确；
由题意得：
12÷2＝6（秒），
∴点P到达点B时，t＝6，
故②正确；
分两种情况：
当点P在点B的右侧，
∵AB＝12，BP＝2，
∴AP＝AB﹣BP＝12﹣2＝10，
∴10÷2＝5（秒），
∴BP＝2时，t＝5，
当点P在点B的左侧，
∵AB＝12，BP＝2，
∴AP＝AB+BP＝12+2＝14，
∴14÷2＝7（秒），
∴BP＝2时，t＝7，
综上所述，BP＝2时，t＝5或7，
故③错误；
分两种情况：
当点P在点B的右侧，
∵M，N分别为AP，BP的中点，
∴MP=12AP，NP=12BP，
∴MN＝MP+NP
=12AP+12BP
=12AB
=12×12
＝6，
当点P在点B的左侧，
∵M，N分别为AP，BP的中点，
∴MP=12AP，NP=12BP，
∴MN＝MP﹣NP
=12AP−12BP
=12AB
=12×12
＝6，
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，
故④正确；
所以，上列结论中正确的有3个，
故选：C．
解题秘籍：本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
9．在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示．已知3a＝4b﹣3，则代数式c﹣5d的值是（　　）
A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8
思路引领：根据3a＝4b﹣3求出b的值，进而求出a，c，d的值，即可确定出所求式子的值．
解：∵a＝b﹣2，3a＝4b﹣3，
∴b＝﹣3，
∴c＝﹣2，a＝﹣5，d＝2，
则c﹣5d＝﹣2﹣5×2＝﹣12．
故选：C．
解题秘籍：此题考查了数轴和有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2021秋•余姚市期末）如图，数轴上有若干个点，每相邻两点相距1个单位长度．其中点A，B，C，D对应的数分别是a，b，c，d，且a和d互为相反数，则b+3c的值为（　　）


A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
思路引领：根据题意找出b，c对应的值，计算即可．
解：由数轴上每相邻两点相距1个单位长度且a和d互为相反数可得，b＝﹣0.5，c＝0.5，
∴b+3c＝﹣0.5+3×0.5＝1，
故选：C．
解题秘籍：本题考查了数轴，相反数，结合图形找出b，c的值是解题的关键．
11．（2017秋•南通期中）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d，且d﹣2a＝9，那么数轴的原点应是（　　）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
思路引领：由图可知C点与A点相隔4个单位长度，即d﹣a＝7；又已知d﹣2a＝9，可解得a＝﹣3，则b＝0，即B点为原点．
解：根据题意，知d﹣a＝7，即d＝a+7，
将d＝a+7代入d﹣2a＝9，得：a+7﹣2a＝9，
解得：a＝﹣2，
∴A点表示的数是﹣2，
则B点表示原点．
故选：B．
解题秘籍：此题主要考查了数轴的知识点，解题的关键根据题意求得a的值．
二．填空题
12．（2022春•让胡路区校级期末）数轴上A，B两点表示的数分别是﹣1和5，数轴上的点C是AB的中点，数轴上点D使AD＝1.5AC，则线段BD的长是 　 　．
思路引领：此题根据题意先求出AC和BC的长，然后再求出AD的长，要注意对点D的位置进行分类讨论．
解：∵A，B两点表示的数分别为﹣1和5，
∴AB＝5﹣（﹣1）＝6，
∵AC＝BC=12AB=12×6＝3，
∵AD＝1.5AC＝1.5×3＝4.5，
当点D在点A右侧时，BD＝AB﹣AD＝6﹣4.5＝1.5，
当点D在点A左侧时，BD＝AB+BD＝6+4.5＝10.5，
故答案为：1.5或10.5．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，数轴，主要利用了线段中点的定义，数轴上两点间距离的求法，要注意分类讨论．
13．（2021秋•蚌埠）如图，在数轴上有A、B两个动点，O为坐标原点．点A、B从图中所示位置同时向数轴的负方向运动，A点运动速度为每秒2个单位长度，B点运动速度为每秒3个单位长度，当运动 　 　秒时，点O恰好为线段AB的中点．

思路引领：结合数轴判断当点O恰好是线段AB的中点时要满足远动之后AO＝BO，可设时间为x秒，根据题意列一元一次方程进行求解．
解：由数轴可知：A：﹣2，B：6，
设运动x秒时，点O恰好是线段AB的中点，
由所给数轴知运动前：
AO＝|0﹣（﹣2）|＝2，BO＝|6﹣0|＝6，
所以运动x秒时，AO＝2+2x，BO＝6﹣3x，
当点O在线段AB上时，6﹣3x＞0，
得x＜2，
因为点O恰好是线段AB的中点，
所以令AO＝BO得：2+2x＝6﹣3x，
得x＝0.8，
此时x＝0.8＜2，符合题意，
故答案为：0.8．
解题秘籍：本题考查了数轴及一元一次方程的列法，解题的关键在于要认真审题列方程，注意要考虑周全．
14．（2021秋•綦江区期末）数轴上点A表示的数是2，点P从点A开始以每秒2个单位的速度在数轴上向右运动了3秒，这时点P表示的数是　 　 　．
思路引领：求出点P的运动的距离，即可解答．
解：∵点P从点A开始以每秒2个单位的速度在数轴上向右运动了3秒，
∴点P的运动的距离为：2×3＝6，
∴2+6＝8，
∴这时点P表示的数是：8，
故答案为：8．
解题秘籍：本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．
15．（2021秋•硚口区期末）如图，在数轴上点A表示a，点C表示c，且|a+20|+（c﹣30）2＝0．动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向左运动，点C向右运动，2AB﹣mBC的值不随时间t的变化而改变，则m的值是 　．


思路引领：根据题目的已知可得a＝﹣20，c＝30，然后再利用两点间距离进行计算即可解答．
解：∵|a+20|+（c﹣30）2＝0，
∴a+20＝0，c﹣30＝0，
∴a＝﹣20，c＝30，
∴点A表示﹣20，点C表示30，
∴运动时间t秒后，点A对应的数为：﹣20﹣2t，点B对应的数为：1+t，点C对应的数为：30+3t，
∴AB＝1+t﹣（﹣20﹣2t）＝21+3t，BC＝30+3t﹣（1+t）＝29+2t，
∴2AB﹣mBC
＝2（21+3t）﹣m（29+2t）
＝42+6t﹣29m﹣2mt
＝42+（6﹣2m）t﹣29m，
当6﹣2m＝0时，即m＝3时，2AB﹣mBC的值不随时间t的变化而改变，
故答案为：3．
解题秘籍：本题考查了数轴，绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．
16．（2021秋•江汉区期末）如图，A，B，C是数轴上三点，对应的数分别是1，﹣12，4，点B和点C分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，设运动的时间为t秒，若BC+n•AB﹣3n的值在某段时间内不随t的变化而变化，则n＝　 　．

思路引领：先表示出t秒时点B和点C的数，再代入BC+n•AB﹣3n中求出n即可．
解：t秒时点B表示的数为﹣12+2t，点C表示的数为4+t，
∴BC＝|4+t+12﹣2t|＝|16﹣t|，AB＝|1+12﹣2t|＝|13﹣2t|，
∴BC+n•AB﹣3n＝|16﹣t|+n|13﹣2t|﹣3n，
当t＜132时，
|16﹣t|+n|13﹣2t|﹣3n＝16﹣t+13n﹣2nt﹣3n，
∴﹣2n＝1，n=−12，
当132＜t＜16，
|16﹣t|+n|13﹣2t|﹣3n＝16﹣t﹣13n+2nt﹣3n，
∴2n＝1，n=12，
当t＞16，
|16﹣t|+n|13﹣2t|﹣3n＝t﹣16﹣13n+2nt﹣3n，
∴2n＝﹣1，n=−12，
∴t的值为−12或12，
故答案为：−12或12．
解题秘籍：本题主要考查数轴上的动点问题，关键是要能把AB和BC的长度用含t的式子表示出来．
17．（2021秋•洛川县校级期末）如图所示，数轴（不完整）上标有若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是a，b，c，d，且有一个点表示的是原点．若d+2a+5＝0，则表示原点的应是点 　　．

思路引领：此题用排除法进行分析：分别设原点是点A或B或C或D．
解：若原点为A，则a＝0，d＝7，此时d+2a+5＝12，与题意不符合，舍去；
若原点为B，则a＝﹣3，d＝4，此时d+2a+5＝﹣3，与题意不符合，舍去；
若原点为C，则a＝﹣4，d＝3，此时d+2a+5＝0，与题意符合；
若原点为D，则a＝﹣7，d＝0，此时d+2a+5＝﹣9，与题意不符合，舍去．
故答案为：C．
解题秘籍：本题考查了数轴．此类题要学会用排除法解决．
三．解答题
18．数轴上有6个点．每相邻两个点之间的距离是1个单位长，有理数a，b，c，d所对应的点是这些点中的4个，位置如图所示：
（1）完成填空：c﹣a＝　 　，d﹣c＝　 　，d﹣a＝　 ；
（2）比较a+d和b+c的大小；
（3）如果4c＝a+2b，求a+b﹣c+d的值．

思路引领：（1）根据题意求出所求式子的值即可；
（2）利用作差法比较大小即可；
（3）根据4c＝a+2b求出c的值，进而求出a，b，d的值，即可确定出所求式子的值．
解：（1）根据题意得：c﹣a＝3，c﹣b＝1，d﹣a＝5；
故答案为：3；2；5；
（2）∵（a+d）﹣（b+c）＝a+d﹣b﹣c＝（a﹣b）+（d﹣c）＝﹣2+2＝0，
∴a+d＝b+c；
（3）∵a＝c﹣3，b＝c﹣1，
∴4c＝c﹣3+2（c﹣1），
解得：c＝﹣5，a＝﹣8，b＝﹣6，d＝﹣3，
则原式＝﹣8﹣6+5﹣3＝﹣12．
解题秘籍：此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2021秋•襄州区校级月考）如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数是﹣30，点B表示的数是50．

（1）请写出线段AB中点M表示的数是 　 　．
（2）现有一只蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设两只蚂蚁在数轴上的点C相遇，求点C对应的数是多少？
思路引领：（1）利用中点公式求得点M表示的数；
（2）先设运动时间为t，然后用含有t的式子表示点P和点Q所表示的数，再令两个数相等列出方程，最后解方程求得x的值，从而得到点C对应的数．
解：（1）∵A表示数﹣30，点B表示数50，
∴点M表示的数是−30+502=10，
故答案为：10．
（2）设运动时间为t秒，由题意得，
点P表示的数为50﹣3t，点Q表示的数为﹣30+2t，
∴点P和点Q相遇时，50﹣3t＝﹣30+2t，
解得：t＝16，
此时，点P表示的数为50﹣3×16＝2，
∵点P和点Q在点C相遇，
∴点C表示的数是2．
解题秘籍：本题考查了数轴上的动点问题，解题的关键是学会用含有时间t的式子表示点P和点Q所表示的数．
20．（2022春•香坊区期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为12，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，另一点Q从原点O出发，也沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）数轴上点P表示的数为 　 　，点Q表示的数为 　 　；（用含t的代数式表示）
（2）经过多少秒点B恰为PQ的中点？
（3）当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为7个单位长度？

思路引领：（1）根据点P、Q运动的方向及速度即可找出点P、Q表示的数；
（2）根据点A表示的数利用两点间的距离公式即可求出点B表示的数，再根据点B恰为PQ的中点列出方程计算即可求解；
（3）分相遇前及相遇后两种情况考虑，根据PQ＝7，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）数轴上点P表示的数为8﹣2t，点Q表示的数为﹣t．（用含t的代数式表示）
故答案为：8﹣2t，﹣t；
（2）点B表示的数为8﹣12＝﹣4，
依题意有：8﹣2t﹣t＝﹣4×2，
解得t=163．
故经过163秒点B恰为PQ的中点；
（3）①相遇前，
根据题意，得8﹣2t+t＝7．
解得t＝1；
②相遇后，
根据题意，得﹣t﹣（8﹣2t）＝7，
解得t＝15．
答：当点P运动1或15秒时，点P与点Q间的距离为7个单位长度．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，根据数量关系找出关于t的一元一次方程是解题的关键．
21．（2021秋•两江新区期末）点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段．
（1）如图①，若点C为线段AB的“雅点”，AC＝6（AC＜BC），则AB＝　 ；
（2）如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．（写出必要的推理步骤）

思路引领：（1）由BC＝2AC即可得答案；
（2）画出图形分情况讨论即可．
解：（1）∵点C为线段AB的“雅点”，AC＝6（AC＜BC），
∴BC＝2AC，
∵AC＝6，
∴BC＝12，
∴AB＝AC+BC＝18，
故答案为：18；
（2）点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，分以下四种情况：
①G在线段EF上，EG＝2FG，如答图1：

∵EG＝2FG，EG+FG＝5，
∴EG=103，
∵E表示的数为1，
∴G点表示的数为1+103=133，
②G在线段EF上，且FG＝2EG，如答图2：

∵FG＝2EG，EG+FG＝5，
∴EG=53，
∵E表示的数为1，
∴G表示的数为1+53=83，
③G在线段EF外，且EF＝2FG，如答图3：

∵EF＝2FG，EF＝5，
∴FG＝2.5，
∴G表示的数是1+5+2.5＝8.5，
④G在EF外，且FG＝2EF，如答图4：

∵FG＝2EF，EF＝5，
∴FG＝10，
∴G表示的数为1+5+10＝16，
综上所述，G表示的数为：133或83或8.5或16．
解题秘籍：本题考查数轴相关知识，解答需要分类，解题的关键是读懂“雅点”、“雅点”伴侣线段的定义．