第04讲 有理数的五大概念（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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第4讲 有理数的五大概念（解析版）
第一部分 典例剖析及针对训练
概念一 正数和负数
考点1 正数和负数的意义
典例1 用正数和负数表示下列具有相反意义的量．
（1）股市涨100点和跌20点；（股市涨记为正）
（2）节约水5m3，浪费水2m3；（节约水记为正）
（3）2019年女排世界杯共有12支队伍参赛．东道主日本11场比赛中6胜5负；中国女排11场全胜，夺得本届世界杯冠军．（胜记为正）
思路引领：（1）根据涨记为“+”，跌记为“﹣”进行解答；
（2）根据节约记为“+”，浪费记为“﹣”进行解答；
（3）根据胜记为“+”，负记为“﹣”进行解答．
解：（1）股市涨100点为+100；跌20点为﹣20；
（2）节约水5m3为+5；浪费水2m3为﹣2；
（3）东道主日本11场比赛中6胜为+6，5负为﹣5；中国女排11场全胜记为+11．
解题秘籍：此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
针对训练1
1．用正数和负数表示下列具有相反意义的量：
（1）向东走500m和向西走300m；
（2）运出320t和运进240t；
（3）盈利13万元和亏损8千元；
（4）气温上升8℃和气温下降6℃．
思路引领：（1）根据向东走记为“+”，向西走记为“﹣”进行解答；
（2）根据运进记为“+”，运出记为“﹣”进行解答；
（3）根据盈利记为“+”，亏损记为“﹣”进行解答；
（4）根据上升记为“+”，下降记为“﹣”进行解答．
解：（1）向东走500m记为“+500m”，向西走300m记为“﹣300m”；
（2）运出320t记为“﹣320t”，运进240t记为“﹣240t”；
（3）盈利13万元记为“+130000元”，亏损8千元记为“﹣8000元”；
（4）气温上升8℃记为“+8℃”，气温下降6摄氏度记为“﹣6℃”．
解题秘籍：此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
考点2 判断数的正负
典例2（1）（2021秋•瓦房店市期末）在﹣2，3，13，0，﹣1.7五个数中，正数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）（2022•梁山县模拟）在数﹣1，0，﹣3.05，﹣π，+2，−12中，负数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：（1）根据正数大于0，负数小于0判断即可．（2）根据负数小于0判断即可．
（1）解：在﹣2，3，13，0，﹣1.7五个数中，正数有3，13，共2个．
故选：B．
（2）解：在数﹣1，0，﹣3.05，﹣π，+2，−12中，负数有﹣1，﹣3.05，﹣π，−12，共4个．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义是解答本题的关键．
针对练习2
2．（2021秋•瓦房店市期末）在﹣2，3，13，0，﹣1.7五个数中，正数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：根据正数大于0，负数小于0判断即可．
解：在﹣2，3，13，0，﹣1.7五个数中，正数有3，13，共2个．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义是解答本题的关键．
3．（2022•梁山县模拟）在数﹣1，0，﹣3.05，﹣π，+2，−12中，负数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：根据负数小于0判断即可．
解：在数﹣1，0，﹣3.05，﹣π，+2，−12中，负数有﹣1，﹣3.05，﹣π，−12，共4个．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了正数与负数，理解正负数的意义是判断的前提．
概念二 有理数
考点3 有理数的概念及分类
典例3（2022•南京模拟）把下列各数填入到它所属的集合中．
+8，+34，﹣（﹣0.275），﹣|﹣2|，0，﹣1.04，−227，13，﹣（﹣10），﹣（﹣7）．
正数：{　 }；
负数：{　 　}；
负整数：{　 　 }；
正分数：{　　 }．
思路引领：根据有理数的分类方法进行求解即可．
解：+8是正数；+34是正数，是正分数；
﹣（﹣0.275）＝0.275是正数，是正分数；
﹣|﹣2|＝﹣2是负数，负整数；
0既不是正数，也不是负数；
﹣1.04是负数；−227是负数；13是正数，正分数；
﹣（﹣10）＝10是正数；
﹣（﹣7）＝7是正数；
∴正数：{+8，+34，﹣（﹣0.275），13，﹣（﹣10），﹣（﹣7）……}；
负数：{﹣|﹣2|，﹣1.04，−227⋯⋯}；
负整数：{﹣|﹣2|……}；
正分数：{+34，﹣（﹣0.275），13⋯⋯}．
故答案为：+8，+34，﹣（﹣0.275），13，﹣（﹣10），﹣（﹣7）；﹣|﹣2|，﹣1.04，−227；﹣|﹣2|；+34，﹣（﹣0.275），13．
解题秘籍：本题主要考查了有理数的分类，化简多重符号，熟知有理数的分类方法是解题的关键．
针对训练3
3．（2018秋•灵石县月考）将下列各数填相应的集合圈内：20，﹣0.08，﹣213，4.5，3.14，﹣1，+43，+5．

探索：这四个集合合并在一起是不是全体有理数集合？若不是，缺少的是哪一个数？
思路引领：按照有理数的分类填写：．
解：分类如下：
，
这四个集合合并在一起不是全体有理数集合，缺少的是0．
解题秘籍：此题考查的是有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
考点4 探究数的规律
典例4（2021秋•东莞市月考）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…，将这列数排成下列形式．按照上述规律排下去，那么数﹣2021是第 　 行从左边数第 　 　个数．

思路引领：由题可得每一行最后一个数是（﹣1）n×n2，第n行n个数，又由442＜2021＜452，即可确定﹣2021的位置．
解：第一行1个数，第二行3个数，第三行5个数，…，第n行n个数，
∵每一行最后一个数的绝对值是对应行数的平方，
∴每一行最后一个数是（﹣1）n×n2，
∵442＜2021＜452，
∴﹣2021在第45行，
∵45行第一个数是﹣1937，
∴﹣2021时第85个数，
故答案为：45，85．
解题秘籍：本题考查数字的变化规律，能够通过所给数，探索出数字的排列规律是解题的关键．
针对训练4
4．（2021秋•东台市月考）已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7…，将这列数排成如下形式：

按照上述规律排下去，那么第100行从左边数到第4个数是（　　）
A．4906 B．﹣4954 C．﹣5004 D．5046
思路引领：通过观察发现每一行最后一个数的绝对值是n(n+1)2，符号每两行正负交替出现，求出第99行的最后一个数，再求第100行的数即可．
解：每一行最后一个数的绝对值是n(n+1)2，
∴第99行最后一个数是﹣4950，
∴第100行第一个数是4951，
∴第100行从左边数到第4个数是﹣4954，
故选：B．
解题秘籍：本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每行数最后一个数的规律是解题的关键．
概念三 数轴
考点5 用数轴上的点表示数
典例5（全椒县期中）点A、B在数轴上的位置如图所示：
（1）点A表示的数是 　 　，点B表示的数是 　 　；
（2）在原图中分别标出表示+1.5的点C、表示﹣3.5的点D；
（3）在上述条件下，B、C两点间的距离是 　　，A、C两点间的距离是 　 ．
思路引领：（1）根据数轴，即可解答；
（2）根据数轴上的点与实数的一一对应关系，即可解答；
（3）根据两点间的距离，即可解答．
解：（1）点A表示的数是﹣2，点B表示的数是3．故答案为：﹣2，3；
（2）如图，

（3）在上述条件下，B、C两点间的距离是：3﹣1.5＝1.5，A、C两点间的距离是：1.5﹣（﹣2）＝3.5，
故答案为：1.5，3.5．
解题秘籍：本题考查了数轴，解决本题的关键是明确数轴上的点与实数的一一对应关系．
针对训练5
5．已知数轴上的点A、B、C、D分别表示﹣3、﹣1.5、0、4．
（1）请在数轴上标出A、B、C、D四个点；
（2）B、C两点之间的距离是　 　；
（3）如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点A、C、D表示的数分别是　 　．

思路引领：（1）在数轴上描出四个点的位置即可；
（2）根据两点之间的距离公式可求B、C两点的距离；
（3）原点取在B处，相当于将原数加上1.5，从而计算即可．
解：（1）如图所示．

（2）由图知，B、C两点之间的距离为0﹣（﹣1.5）＝1.5，
故答案为：1.5；
（3）把数轴的原点取在点B处，则各点均需要向右移动1.5个单位长度，
此时点A表示的数为﹣3+1.5＝﹣1.5，点C表示的数为0+1.5＝1.5，点D表示的数为4+1.5＝5.5，
故答案为：﹣1.5，1.5，5.5．
解题秘籍：本题考查了数轴的知识，注意数轴上的点与实数一一对应．
概念四 相反数
考点6 根据相反数的定义求相反数
典例6（1）（2022春•嘉鱼县期末）﹣2π的相反数是 　 　．
（2）（2021秋•新昌县期末）a的相反数是2022，则a＝　 　．
思路引领：（1）直接根据相反数的意义进行解答．（2）根据相反数的概念解答即可．
（1）解：∵﹣（﹣2π）＝2π．
∴﹣2π的相反数是2π．
故答案为：2π．
（2）解：若a的相反数是2022，则a＝﹣2022．
故答案为：﹣2022．
解题秘籍：本题考查了一个数相反数的求法，求一个数的相反数就是在这个数的前面添加一个负号．
本题考查了相反数，掌握相反数的概念是解答本题的关键．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
针对训练6
6．（2022•奉贤区二模）如果实数a与3互为相反数，那么a是（　　）
A．13 B．−13 C．3 D．﹣3
思路引领：根据相反数的定义可得结论．
解：∵3的相反数是﹣3，
∴a＝﹣3．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解决本题的关键．
考点7 根据相反数的几何意义比较数的大小
典例7（2021秋•岱岳区期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，﹣a，﹣b的大小关系正确的是（　　）

A．﹣b＞a＞﹣a＞b B．﹣b＞b＞a＞﹣a C．a＞﹣b＞b＞﹣a D．a＞﹣b＞﹣a＞b
思路引领：先表示a和b的相反数，利用数轴比较大小即可．
解：如图，

∴﹣b＞a＞﹣a＞b，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了数轴，实数的大小比较，相反数，掌握在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键．
针对训练7
7．（2017秋•甘井子区期末）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则﹣a，﹣b的大小关系是﹣a　 　﹣b（填“＞”“＝”或“＜”）

思路引领：可根据相反数的意义，把a、b的相反数表示在数轴上，再比较﹣a、﹣b的大小，也可利用不等式的性质得到结论．
解：法一：根据相反数的意义，在数轴上做出﹣a、﹣b，如图所示，
根据在数轴上表示的数，右边的总大于左边的，
所以﹣a＞﹣b．
故答案为：＞
法二：由数轴知：a＜b
不等式的两边都乘以﹣1，得﹣a＞﹣b．
故答案为：＞

解题秘籍：本题考查了数轴、相反数及有理数的大小比较．利用特殊值法也可以解决本题．
考点8 根据相反数的定义化简
典例8（1）（2021秋•灵宝市期中）化简：﹣（﹣68）＝　 　．
（2）（2021秋•上蔡县月考）化简：﹣[﹣（﹣9）]＝　　．
思路引领：根据相反数的概念可求解．
（1）解：﹣（﹣68）＝68，
故答案为68．
（2）解：﹣[﹣（﹣9）]
＝﹣+（﹣9）
＝﹣9．
故答案为：﹣9．
解题秘籍：本题主要考查相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
针对训练8
（1）（2021秋•驻马店期中）﹣（﹣2021）的相反数是 　　．
（2）（2021秋•安阳县月考）若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，则x的相反数是 　 　．
思路引领：直接利用去括号法则以及结合相反数的定义分析得出答案．
（1）解：﹣（﹣2021）的相反数为﹣2021，
故答案为：﹣2021．
（2）解：∵﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，
∴[﹣（﹣x）]＝﹣4，
∴x＝﹣4，
则x的相反数是：4．
故答案为：4．
解题秘籍：此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
考点9 根据相反数的定义求未知数的值
典例9（1）当x＝　　时，代数式2（x+3）与3（1﹣x）互为相反数．
（2）若a＝3x﹣2，b＝2﹣4x，则当5a﹣6b＝17时，x的值为　 　．
思路引领：（1）根据互为相反数的两数之和为0列方程求解即可；
（2）将a＝3x﹣2，b＝2﹣4x代入得到关于x的方程，然后解得x的值即可．
解：（1）根据题意得：2（x+3）+3（1﹣x）＝0，
去括号得：2x+6+3﹣3x＝0，
移项得；2x﹣3x＝﹣6﹣3，
合并同类项得；﹣x＝﹣9，
系数化为1得：x＝9．
故答案为：9．
（2）将a＝3x﹣2，b＝2﹣4x代入5a﹣6b＝17得：5（3x﹣2）﹣6（2﹣4x）＝17．
去括号得：15x﹣10﹣12+24x＝17，
移项得：15x+24x＝17+10+12
合并同类项得：39x＝39
系数化为1得：x＝1．
故答案为：1．
解题秘籍：本题主要考查的是解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤和方法是解题的关键．
针对训练9
9．（2022春•封开县期末）若x﹣1与2﹣y互为相反数，则（x﹣y）2022＝　 　．
思路引领：根据互为相反数的两个数的和为0求出x﹣y＝﹣1，代入代数式求值即可．
解：∵x﹣1与2﹣y互为相反数，
∴x﹣1+2﹣y＝0，
∴x﹣y＝﹣1，
∴原式＝（﹣1）2022＝1．
故答案为：1．
解题秘籍：本题考查了相反数，掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键．
概念五 绝对值
考点10 根据绝对值的代数意义计算
典例10（1）（2022春•武侯区校级月考）计算：|−16|=　　．
（2）（2022•海曙区校级一模）﹣79的绝对值是 　 　．
（3）（2022•泰州）若x＝﹣3，则|x|的值为 　 　．
思路引领：根据绝对值的性质，即“正数和零的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数”可知答案．
（1）解：由绝对值性质可知：|−16|=16，
故答案为：16．
（2）解：|﹣79|＝79．
故答案为：79．
（3）解：∵x＝﹣3，
∴|x|＝|﹣3|＝3．
故答案为：3．
解题秘籍：本题考查的是绝对值的代数意义，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
关键要知道绝对值的代数意义：|a|=a(a≥0)−a(a＜0)．

针对训练10
10．（2021秋•密山市期末）如果|x|＝4，则x的值是 　 　．
思路引领：直接利用绝对值的定义得出答案．
解：∵|x|＝4，
∴x＝±4．
故答案为：±4．
解题秘籍：此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
考点11 根据绝对值的意义和数轴的性质比较数的大小
典例11（2022春•闵行区期末）比较大小：﹣|﹣358|　 　﹣（﹣3.62）．
思路引领：先化简两个有理数，再根据正数大于负数进行比较即可．
解：∵﹣|﹣358|＝﹣358，﹣（﹣3.62）＝3.62，
∴﹣|﹣358|＜﹣（﹣3.62）．
故答案为：＜．
解题秘籍：本题考查了有理数大小比较，比较有理数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
针对训练11
11．（2022春•杨浦区校级期中）比较大小：﹣|−34|　 　﹣（﹣5.25）．（用“＞”或“＜”填空）
思路引领：先化简再比较大小即可．
解：∵﹣|−34|=−34，﹣（﹣5.25）＝5.25，
∴−34＜5.25，
即：﹣|−34|＜﹣（﹣5.25），
故答案为：＜．
解题秘籍：本题主要考查有理数大小的比较，熟练根据绝对值和有理数的运算将原式进行化简是解题的关键．
考点12 根据绝对值的几何意义求值
典例12（2021秋•封丘县期末）若a＝|﹣2|，|b+1|＝3，则a+5b的值为 　 　．
思路引领：直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．
解：∵a＝|﹣2|，|b+1|＝3，
∴a＝2，b+1＝±3，
解得：b＝﹣4或2，
当a＝2，b＝2时，
则a+5b＝2+5×2＝12；
当a＝2，b＝﹣4时，
则a+5b＝2+5×（﹣4）＝﹣18，
综上所述：a+5b的值为：﹣18或12．
故答案为：﹣18或12．
解题秘籍：此题主要考查了绝对值，正确得出a，b的值是解题关键．
针对训练12
12．（2021秋•姜堰区期末）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足|b|＜a，所有满足条件的b的值之和是 　0　．

思路引领：绝对值小于a的有理数又无穷多个，但是注意到绝对值小于a的有理数都是成对出现的，就不难得出结果．
解：若b满足|b|＜a，则﹣b也满足|﹣b|＜a，
而b+（﹣b）＝0，
故所有满足条件的有理数之和为0．
故答案为：0．
解题秘籍：本题考查的绝对值的定义，解题的关键在于关注到互为相反数的两个数绝对值相等．

考点13 根据绝对值的非负性求值
典例13 （2020秋•山阳区校级月考）已知|a+2|+|b﹣3|＝0，求﹣a﹣b的值．
思路引领：首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的差．
解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣2，b＝3；
因此﹣a﹣b＝2﹣3＝﹣1．
解题秘籍：本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
针对训练13
13．（2021秋•聊城期末）若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，则b﹣a−12的值是（　　）
A．﹣412 B．﹣212 C．﹣112 D．112
思路引领：利用非负数的性质得出a，b的值，代入计算即可得到答案．
解：根据题意，得
a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝3，
∴b﹣a−12=3﹣1−12=112，
∴b﹣a−12的值是112．
故选：D．
解题秘籍：此题主要考查了非负数的性质，正确把握相关定义是解题的关键．
14．（2021秋•渑池县期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3
思路引领：根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．
解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，
∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，
又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
a+b＝1+2＝3．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了非负数的性质，利用非负数互为相反数得出这两个数为零0是解题关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2019秋•吉木乃县月考）用正负数表示具有相反意义的量：
（1）高出海平面342米记为+342米，那么﹣20米表示的是　 　；
（2）某工厂增产1200吨记为+1200吨，那么减产13吨记为　 　．
思路引领：用正数、负数表示具有相反意义的量，高于为正，则低于为负，增加为正，减少为负．
解：（1）高出海平面342米记为+342米，那么低于海平面20米记作﹣20米，
故答案为：低于海平面20米．
（2）增产1200吨记为+1200吨，那么减产13吨记为﹣13吨，
故答案为：﹣13吨．
解题秘籍：考查正数、负数的意义，具有相反意义的量一个用正数表示，则另一个用负数表示．
2．（2022春•兰西县校级期末）在数﹣2018，0，﹣|﹣0.2|，﹣2.010010001…中，非正数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：根据各个数字符号的确定结果即可得到此题结果．
解：由题意得，﹣2018、﹣|﹣0.2|、﹣2.010010001…是负数，0也不是正数，
故选：D．
解题秘籍：此题考查了非正数概念问题的解决能力，关键是能对各数字的符号进行正确分类．
3．（2022•东坡区校级模拟）下列各式x、x2、1|x|、x2+2、|x+2|中，值一定是正数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可．
解：x不一定是正数；x2不一定是正数；
1|x|一定是正数；x2+2一定是正数；
|x+2|不一定是正数；
所以值一定是正数的有2个，
故选：B．
解题秘籍：本题考查了实数，非负数，绝对值．掌握非负数的性质是解题的关键．
4．（2021秋•南开区期末）在数﹣（﹣3），0，（﹣3）2，|﹣9|，﹣14中，正数的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
思路引领：根据相反数的定义，有理数的乘方和绝对值的性质化简，然后根据正数和负数的定义判定即可．
解：﹣（﹣3）＝3是正数，
0既不是正数也不是负数，
（﹣3）2＝9是正数，
|﹣9|＝9是正数，
﹣14＝﹣1是负数，
所以，正数有﹣（﹣3），（﹣3）2，|﹣9|共3个．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了正数和负数，主要利用了相反数的定义，有理数的乘方和绝对值的性质．
5．（2022春•闵行区校级期中）在（﹣5）2、﹣（﹣2.9）、﹣72、|﹣312|、0、23、﹣1中，非负数共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
思路引领：化简这些数，根据非负数的定义即可得出答案．
解：（﹣5）2＝25，
﹣（﹣2.9）＝2.9，
﹣72＝﹣49，
|﹣312|＝312，
非负数有：25，2.9，312，0，23共5个，
故选：D．
解题秘籍：本题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，有理数，掌握an表示n个a相乘是解题的关键．
6．（2018秋•广陵区校级月考）写出大于﹣4且小于3的所有整数积为　 　．
思路引领：先求出大于﹣4且小于3的所有整数，再求出积即可．
解：大于﹣4且小于3的所有整数为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
积为（﹣3）×（﹣2）×（﹣1）×0×1×2＝0，
故答案为：0．
解题秘籍：本题考查了有理数的大小比较和有理数的乘法，能求出大于﹣4且小于3的所有整数是解此题的关键．
7．把下列各数填写在相应的集合中．
3，0，﹣6，14，+4，﹣3.5，−79，﹣2008，123．

思路引领：按照有理数的分类填写即可：
有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数．
解：根据题意如图：

解题秘籍：此题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0既不是正数，也不是负数，单是整数．
8．已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，将这列数据排成下列形式：

中间方框围成的一列数，从上至下依次为1、5、13、25…，那么按照上述规律排下去，方框中的第7个数应为 　 　．
思路引领：分析可得，第n行第一个数的绝对值为n(n−1)2+1，且奇数为正，偶数为负；中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，为奇数，且每n个数比前一个大4（n﹣1）；故第7个数是85．
解：∵中间框出的一列数，从上至下依次为1，5，13，…，为奇数，且第n个数比其前一个数大4（n﹣1），
∴第4个数为13+12＝25，第5个数为25+16＝41，第6个数为41+20＝61，第7个数为61+24＝85．
故答案为：85．
解题秘籍：本题考查的是找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．本题的规律为第n行第一个数的绝对值为n(n−1)2+1，且奇数为正，偶数为负；中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，为奇数，且每n个数比前一个大4（n﹣1）．
9．在数轴上，与原点的距离是2的有几个？这些点各表示哪个数？
设a是一个正数，数轴上与原点的距离等于a的点有几个？这些点表示的数有什么关系？
思路引领：根据数轴表示的方法得到±2到与原点的距离都等于2；根据数轴表示数的方法得到表示±a的点数轴上到原点的距离都等于a，然后根据相反数的定义判断它们的关系．
解：数轴上与原点的距离是2的点有2个，这些点表示的数分别为﹣2和2；
数轴上到原点的距离等于a的点表示的数有±a两个，它们互为相反数．
解题秘籍：本题考查了与数轴相反数，掌握基本概念是解决问题的关键．
10．如图，（1）在数轴上标出数﹣3.5，﹣1，1.5，2所对应的点A，B，C，D．

（2）A，B两点间的距离＝　 　
；C，D两点间的距离＝　 　
；A，C两点间的距离＝　 　．
（3）设数轴上两点M，N，点M对应的数为xM，点N对应的数为xN，观察（2）的结论，请写出M，N间的距离公式：MN＝　 　
11．（2022•路北区二模）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为﹣4，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5cm处，点C对齐刻度尺4.5cm处．
（1）在图1的数轴上，AC＝　 　个单位长度；
（2）求数轴上点B所对应的数b为 　 　．

思路引领：（1）根据两点之间的距离即可得出答案；
（2）先求出1个单位长度是多少厘米，再求1.5厘米是几个单位长度，根据有理数的加法即可得出答案．
解：（1）5﹣（﹣4）＝9（个），
故答案为：9；
（2）4.5÷9＝0.5（厘米），
1.5÷0.5＝3（个），
b＝﹣4+3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
解题秘籍：本题考查了数轴，掌握如果数轴上两点A，B表示的数为a，b，那么A，B之间的距离＝|a﹣b|是解题的关键．
12．（2021秋•许昌期末）如果a的相反数是2，那么（a+1）2022的值为 　 　．
思路引领：直接利用相反数的定义，结合有理数的乘方运算法则得出答案．
解：∵a的相反数是2，
∴a＝﹣2，
∴（a+1）2022＝（﹣2+1）2022＝1．
故答案为：1．
解题秘籍：此题主要考查了相反数、有理数的乘方，正确掌握相反数的定义是解题关键．
13．（2022•海陵区二模）若a的相反数是﹣5，那么a＝（　　）
A．5 B．﹣5 C．0 D．10
思路引领：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
解：﹣5的相反数是5，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
14．（2021秋•宁远县期末）若a与b互为相反数，则代数式2021a+2021b﹣5＝　 　．
思路引领：根据相反数的性质解决此题．
解：∵a与b互为相反数，
∴a+b＝0．
∴2021a+2021b﹣5
＝2021（a+b）﹣5
＝2021×0﹣5
＝﹣5．
故答案为：﹣5．
解题秘籍：本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．
15．（2021秋•兰考县期末）+312与 　 互为相反数，只有 　 　的相反数是它本身．
思路引领：直接利用相反数的定义分别得出答案．
解：+312与﹣312互为相反数，只有0的相反数是它本身．
故答案为：﹣312，0．
解题秘籍：此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题的关键．
16．（2021秋•盐城月考）化简：−[−(+85)]=　　．
思路引领：根据相反数的定义解决此题．
解：根据相反数的定义，−[−(+85)]=85．
故答案为：85．
解题秘籍：本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解决本题的关键．
17．数a、b、c在数轴上的位置如图所示，在数轴上标出﹣a、﹣b、﹣c，试把a、﹣a、b、﹣b、c、﹣c按从小到大的顺序排列起来．

思路引领：根据题意可得|a|＜|b|＜|c|，a＜0，b＞0，c＜0，继而可将a、﹣a、b、﹣b、c、﹣c排序．
解：如图所示：

按从小到大的顺序排列为：c＜﹣b＜a＜﹣a＜b＜﹣c．
解题秘籍：本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是根据数轴判断出|a|＜|b|＜|c|，a＜0，b＞0，c＜0．
18．（2022•温州一模）若|a+4|＝0，则a＝　 ．
思路引领：根据绝对值的定义，0的绝对值为0，即可得到a+4＝0．
解：∵|a+4|＝0，
∴a+4＝0，
∴a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
解题秘籍：本题考查了绝对值的定义，0的绝对值为0．
19．（2022春•闵行区校级期中）若a＜0，且|a|＝4，则a+1＝　 　．
思路引领：根据绝对值的定义求出a的值，再代入计算a+1的值即可．
解：若a＜0，且|a|＝4，
所以a＝﹣4，
所以a+1＝﹣3，
故答案为：﹣3．
解题秘籍：本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提，求出a的值是解决问题的关键．
20．（2021秋•吉州区期末）|a﹣3|＝5，且a在原点左侧，则a＝　 　．
思路引领：根据数轴上到3的距离等于5的数有两个，并且在原点的左侧，即可求得a．
解：∵|a﹣3|＝5，
∴a﹣3＝5或﹣5，
∴a＝8或﹣2，
∵a在原点左侧，
∴a＜0，
∴a＝﹣2．
解题秘籍：本题考查了绝对值的几何意义，掌握绝对值的性质是解题的关键，难度不是很大．
21．（2021秋•龙泉市期末）若实数a，b满足|a|＝2，|4﹣b|＝1﹣a，则a+b＝　 　．
思路引领：根据绝对值的定义求出a、b的值，再代入计算即可．
解：∵|a|＝2，
∴a＝±2，
当a＝2时，|4﹣b|＝1﹣2＝﹣1，此时b不存在；
当a＝﹣2时，|4﹣b|＝3，
所以4﹣b＝3或4﹣b＝﹣3，
即b＝1或b＝7，
当a＝﹣2，b＝1时，a+b＝﹣1；
当a＝﹣2，b＝7时，a+b＝5，
故答案为：﹣1或5．
解题秘籍：本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．
22．（2022春•闵行区校级期中）比较大小：﹣（﹣135 ） 　 　﹣|﹣1.35|．（填“＜”、“＞”或“＝”）
思路引领：分别化简后，再根据有理数大小的比较方法进行解答即可．
解：﹣（−135）＝1.6，而﹣|﹣1.35|＝﹣1.35，
由于1.6＞﹣1.35，
所以﹣（﹣135 ）＞﹣|﹣1.35|．
故答案为：＞．
解题秘籍：本题考查绝对值，相反数，理解绝对值、相反数的定义是正确解答的关键．
23．（2022春•奉贤区校级月考）比较大小：﹣0.125 　 　−14（填“＞”、“＜”或“＝”）．
思路引领：先把分数化成小数，再根据负数比较大小即可．
解：∵14=0.25，且0.125＜0.25，
∴﹣0.125＞﹣0.25，
即﹣0.125＞−14，
故答案为：＞．
解题秘籍：本题主要考查有理数大小的比较，先把分数化成小数再比较大小是解题的关键．
24．（2021秋•晋江市校级期末）比较两数大小：﹣|﹣3|　 　2．（填“＜”，“＝”或“＞”）
思路引领：首先求出﹣|﹣3|的值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
解：∵﹣|﹣3|＝﹣3，
∴﹣|﹣3|＜2．
故答案为：＜．
解题秘籍：此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
25．（2021秋•潮阳区期末）比较大小：﹣|﹣8|　 　﹣6（填“＞”或“＜号”）．
思路引领：根据绝对值的性质以及相反数的定义可得﹣|﹣8|＝﹣8，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小判断即可．
解：﹣|﹣8|＝﹣8，
∵|﹣8|＝8，|﹣6|＝6，而8＞6，
∴﹣8＜﹣6，
∴﹣|﹣8|＜﹣6，
故答案为：＜．
解题秘籍：本题考查了绝对值，相反数以及有理数大小比较，掌握两个负数比较大小的方法是解答本题的关键．
26．（2022春•南召县期中）已知|6x﹣2|＝2﹣6x，则x的取值范围是 　 　．
思路引领：直接利用绝对值的性质结合一元一次不等式的解法得出答案．
解：∵|6x﹣2|＝2﹣6x，
∴2﹣6x≥0，
解得：x≤13．
故答案为：x≤13．
解题秘籍：此题主要考查了绝对值以及一元一次不等式的解法，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
27．（2022春•卫辉市期中）已知|2x﹣4|+|x+2y﹣8|＝0，则（x﹣y）2022＝　 　．
思路引领：根据绝对值的非负性解答即可．
解：∵|2x﹣4|≥0，|x+2y﹣8|≥0，|2x﹣4|+|x+2y﹣8|＝0，
∴2x﹣4＝0，x+2y﹣8＝0．
∴x＝2，y＝3．
∴（x﹣y）2022＝（2﹣3）2022＝1．
故答案为：1．
解题秘籍：本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键．
28．（2022春•东台市期中）|x﹣2|+9有最小值为 　 　．
思路引领：根据绝对值的非负性即可得出答案．
解：∵|x﹣2|≥0，
∴|x﹣2|+9≥9，
∴|x﹣2|+9有最小值为9．
故答案为：9．
解题秘籍：本题考查了绝对值的非负性，掌握|a|≥0是解题的关键．
29．（2020秋•山阳区校级月考）已知|a+2|+|b﹣3|＝0，求﹣a﹣b的值．
思路引领：首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的差．
解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣2，b＝3；
因此﹣a﹣b＝2﹣3＝﹣1．
解题秘籍：本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．