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第06讲 有理数的乘方及有理数运算技巧（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）
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这是一份第06讲 有理数的乘方及有理数运算技巧（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版），文件包含第6讲有理数的乘方及有理数运算技巧解析版docx、第6讲有理数的乘方及有理数运算技巧原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
第6讲 有理数的乘方及有理数运算技巧（解析版）
模块一 有理数的乘方
题型一 基本计算
典例1 （1）＝__________；（2）＝__________；（3）＝__________
（4）＝__________；（5）＝__________；（6）－＝__________；
解：（1）＝ 16 ； （2）＝16； （3）＝-16
（4）＝ 1 ； （5）＝-1； （6）－＝－1；
典例2选择：下列各式正确的个数是（ ）
①； ②； ③； ④； ⑤.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解：B
题型二 混合运算
典例3
1．（2022•钦州一模）计算：−22+(1−13)÷3×14．
思路引领：先算乘方和括号内的式子，然后计算出乘除法，最后再算加法即可．
解：−22+(1−13)÷3×14
＝﹣4+（﹣12）÷3×14
＝﹣4+（﹣4）×14
＝﹣4+（﹣1）
＝﹣5．
解题秘籍：本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．（2022•钦北区一模）计算：|13−12|÷(−112)−18×(−2)3．
思路引领：原式先算绝对值及乘方，再算乘除，最后算加减即可求出值．
解：原式＝（12−13）×（﹣12）−18×（﹣8）
=12×（﹣12）−13×（﹣12）−18×（﹣8）
＝﹣6+4+1
＝﹣1．
解题秘籍：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2022春•东方期末）计算
﹣12﹣2×（﹣3）+（﹣4）÷12
思路引领：利用有理数的混合运算法则进行运算即可．
解：原式＝﹣1﹣（﹣6）+（﹣8）
＝﹣1+6﹣8
＝﹣3．
解题秘籍：本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的意义，正确利用有理数的混合运算法则进行运算是解题的关键．
4．（2022春•龙凤区期末）计算：
﹣14﹣（−13）2×（﹣3）3﹣（﹣1）2．
思路引领：先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．
解：﹣14﹣（−13）2×（﹣3）3﹣（﹣1）2
＝﹣1−19×（﹣27）﹣1
＝﹣1+3﹣1
＝1．
解题秘籍：本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
5．（2022春•杨浦区校级期末）计算：16÷(−223)2−(−12)×16−1.75．
思路引领：先计算乘方和后面的乘法，再将除法转化为乘法，继而计算乘法，最后计算加减即可．
解：原式＝16÷649+112−74
＝16×964+112−74
=94+112−74
=2712+112−2112 =712．
解题秘籍：本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则．
题型三 探究规律
典例4（2019秋•铁西区期中）观察下面三行数：
2、﹣4、8、﹣16、32、﹣64、……①
0、﹣6、6、﹣18、30、﹣66、……②
2、﹣10、14、﹣34、62、﹣130、……③
（1）第①行第7个数是 ；
（2）第①行第n个数是 ；
（3）请说出第②行数与第①行相对应的数有什么关系？
（4）第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为﹣20，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由．
思路引领：（1）根据各数之间的关系即可求解；
（2）根据各数之间的关系找出规律即可；
（3）找出各行之间对应数的规律即可；
（4）由题意列出方程2×[（﹣1）n+1•2n+（﹣1）n+1•2n﹣2]＝1020，判断方程是否有实数根即可得．
解：（1）根据题意可得：第①行第7个数为：（﹣1）7+1×27＝128；
故答案为：128；
（2）∵2＝（﹣1）1+1×21，
﹣4＝（﹣1）2+1×22，
8＝（﹣1）3+1×23，
﹣16＝（﹣1）4+1×24，
…
∴第①行第n个数为：（﹣1）n+1•2n；
故答案为：（﹣1）n+1•2n；
（3）2﹣2＝0，﹣4﹣2＝﹣6，8﹣2＝6，…
则：第②行数等于第①行相应数减去2；
（4）不存在这样的三个数，理由如下：
∵同一列的数符号相同，
∴这三个数都是正数，
∴这一列三个数的和为：x+（x﹣2）+（x﹣2+x）＝1020，
x＝256，
∴这3个数为256、254、510．
∵（﹣1）n+1×2n＝256，
解得：n＝8，
而第8列数是负数，
∴不存在这样的数．
解题秘籍：本题考查的是数字的变化类，根据题意找出各行之间数的变化规律是解答此题的关键．
针对练习1
1.对任意实数a，下列式子不成立的是（ ）
A. B. C. D.
解：C
2.填空：
（1）（－3）2＝_________；（2）（－3）3＝_________；（3）－（－3）2＝____________.
（4）下列各式中：①－（－5）；②－；③（－5）2；④－5²；⑤－（－5）4；⑥－（－5）3，其中结果为正数的有：____________（填序号）.
解：（1）9 （2）-27 （3）-9 （4）①③⑥
3.计算：
（1）－3²－（－2）²； （2）（－2）²＋（－2²）－（－3²）＋（－3）²
解：原式=-9-4=-13 解：原式=18
（3）； （4）.
解：原式=22 解：原式=-11
（5）； （6）.
解：原式=-6 解：原式=-11
4．观察下面三行数
3，﹣9，27，﹣81，243，﹣729，…；①
6，﹣6，30，﹣78，246，﹣726，…；②
1，﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…③
（1）第①行按什么规律排列？
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系；
（3）写出每行第9个数，并计算这三个数的和；
（4）第②行中是否存在连续的三个数，使得这三个数的和为﹣5094？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由．
（5）是否存在一列数，使得其中的三个数的和为5106？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由．
思路引领：（1）第①行是按3的次幂排列，且奇次项为正，偶次项为负；
（2）观察即可得到第②③行与第①行的关系；
（3）找出每行第9个数字，相加即可得到结果；
（4）根据第②行数据关系分别表示出3个连续的数，进而求出它们的和；
（5）分别表示三行同一列的三个数，相加探讨得出结论即可．
解：（1）第①行的规律为（﹣1）n+13n；
（2）第②行是第①行每一个数加上3；第③行是第①行每一个数除以3；
（3）每行的第9个数分别为39，39+3，38，
则三个数之和为39+39+3+38＝7×38+3；
（4）存在，
第②行中连续的三个数的和（﹣1）n+13n+（﹣1）n+13n+1+（﹣1）n+13n+2，
当第一个数为正：9+3n﹣3n+1+3n+2＝9+7×3n为正，不存在；
当第一个数为负：9﹣3n+3n+1﹣3n+2＝9﹣7×3n＝﹣5094，则n＝6；
存在，这三个数分别为﹣726，2190，﹣6558；
（5）存在，
同一列的符号相同，同一列的三个数的和为5106，只考虑奇数位置，
三个数的和为3n+3n+3+3n﹣1＝5106，
7×3n﹣1＝5103，
解得：n＝7，
这三个数分为2187，2190，729．
解题秘籍：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题．
模块二 科学记数法与近似数
知识导航
1.科学计数法:把一个数写成a×10n(其中1≤|a|＜10，n为正整数)的记数方法叫做科学记数法.
注意点:①1≤|a|＜10;②n＝整数位数－1.(等于小数点向左移动的位数)
2.近似数:接近真实数值的一个数.取近似值的方法有三种:四舍五入法、进一法、去尾法.一般采取四舍五入的方法取近似值.一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
题型一 科学记数法
典例5（2022春•金沙县期末）截止北京时间2022年6月11日全球新冠肺炎确诊病例超过5.32亿例，5.32亿用科学记数法表示为（ ）
A．5.32×108 B．53.2×107 C．0.532×109 D．5.32×107
思路引领：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：5.32亿＝532000000＝5.32×108，
故选：A．
解题秘籍：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
典例6（2022•兰考县二模）河南省人民济困最“给力”！据报道，2020年河南省人民在济困方面捐款达到2.94亿元．数据“2.94亿”用科学记数法表示为2.94×10n．则n的值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
思路引领：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：2.94亿＝294000000＝2.94×108，
所以n＝8．
故选：D．
解题秘籍：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
题型二 近似数
典例7（龙岗区校级月考）用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似值．
（1）349995（精确到百位）；（2）349995（精确到千位）
（3）3.4995（精确到0.01）；（4）0.003584（精确到千分位）
思路引领：精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入．当1≤|a|＜10时，n取非负整数；当0≤|a|＜1时，n取非正整数．
解：（1）原式≈350000＝3.500×105；
（2）原式≈350000＝3.50×105；
（3）原式≈3.50；
（4）原式≈0.004．
解题秘籍：精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．比如这里（1）对百位的9入了后，千位的是9，满了10后要进1．
典例8（2022春•杨浦区期中）如果近似数1.00是由四舍五入法得，那么它所表示的准确数A的范围是（ ）
A．1.000≤A＜1.005 B．1.00＜A＜1.05
C．0.95＜A≤1.05 D．0.995≤A＜1.005
思路引领：近似值是通过四舍五入得到的，1.00可以由大于或等于0.995的数，0后面的一位数字，满5进1得到．或由小于1.005的数，舍去0后的数字得到，因而求得A的范围．
解：近似数1.00表示的精确数A的范围是0.995≤A＜1.005．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了近似数和有效数字，比较简单，容易掌握．
针对练习 2
1．（2013秋•宜宾县期中）用四舍五入法，对下列各数按括号中的要求取近似数：
（1）0.6328（精确到0.01）
（2）7.9122（精确到个位）
（3）130.96（精确到十分位）
（4）46021（精确到百位）
思路引领：（1）把3后面的2四舍五入即可；
（2）将9按要求四舍五入即可得到答案；
（3）十分位就是数字9所表示的数位；
（4）首先用科学记数法表示，然后按要求精确即可．
解：（1）0.6328（精确到0.01）≈0.63；
（2）7.9122（精确到个位）≈8
（3）130.96（精确到十分位）≈131.0
（4）46021≈4.60×104．
解题秘籍：本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数．
2．（2022春•任丘市期末）为阻断新冠疫情传播，我国政府积极开展新冠疫苗接种工作．截止到2022年3月5日，全国接种疫苗累计超过31亿剂次．把31亿用科学记数法表示为（ ）
A．3.1×109 B．3.1×108 C．31×109 D．0.31×1010
思路引领：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
解：31亿＝3100000000＝3.1×109．
故选：A．
解题秘籍：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（2022春•碑林区校级月考）已知1平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108千克煤所产生的能量，那么我国约960万平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤所产生的能量？
思路引领：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
解：1.3×108×960万＝1.3×108×9.6×106＝1.248×1015（千克），
答：相当于燃烧1.248×1015千克煤所产生的能量．
解题秘籍：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．（2021秋•玉屏县期中）我国是一个严重缺水的国家，大家都应珍惜水资源，节约用水．拧不紧的水龙头每秒滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．小明在洗过手后，没有把水龙头拧紧，当小明离开4小时后，水龙头滴水多少毫升？（结果用科学记数法表示）
思路引领：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：根据题意得出：4×60×60×0.05×2＝1.44×103（毫升）．
答：水龙头滴水1.44×103毫升．
解题秘籍：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（2018秋•商水县期中）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到2.60m，一根为2.56m，另一根为2.62m，怎么不合格？”
（1）图纸要求精确到2.60m，原轴的范围是多少？
（2）你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？
思路引领：（1）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位；
（2）根据原轴的范围是2.595m≤x＜2.605m，于是得到轴长为2.56m与2.62m的产品不合格．
解：（1）车间工人把2.60m看成了2.6m，近似数2.6m的要求是精确到0.1m；而近似数2.60m的要求是精确到0.01m，所以轴长为2.60m的车间工人加工完原轴的范围是2.595m≤x＜2.605m，
（2）由（1）知原轴的范围是2.595m≤x＜2.605m，故轴长为2.56m与2.62m的产品不合格．
解题秘籍：本题考查了近似数及有效数字，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同．
模块三 定义新运算与规律探究
典例10 （2021秋•沐川县期末）我们平常用的数是十进制数，如：8537＝8×103+5×102+3×10+7，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如：二进制数101等于十进制的数1×22+0×2+1＝5，二进制数1011等于十进制的数1×23+0×22+1×2+1＝11．那么二进制数10110等于十进制的数 ．
思路引领：根据题意得出二进制与十进制的转换方法，计算即可得到结果．
解：10110＝1×24+0×23+1×22+1×21+0
＝16+0+4+2+0
＝22．
故答案为：22．
解题秘籍：此题考查了有理数的乘方，弄清题中的转换方法是解本题的关键．
典例11（宣城期末）我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果ab＝N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，例如：因为53＝125，所以log5125＝3；因为112＝121，所以log11121＝2
（1）填空：log66＝ ，log61＝ ；
（2）如果log2（m﹣2）＝3，求m的值．
思路引领：（1）根据新定义由61＝6、60＝1可得log66＝1，log61＝0；
（2）根据定义知23＝m﹣2，解之可得．
解：（1）∵61＝6，60＝1，
∴log66＝1，log61＝0，
故答案为：1，0；
（2）∵log2（m﹣2）＝3，
∴23＝m﹣2，解得：m＝10．
解题秘籍：本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解对数的定义是解题的关键．
针对练习3
1．（2017秋•江岸区期中）计算机是用二进制进行记数的，如下表
十进制
0
1
2
3
4
5
6
……
二进制
0
1
10
11
100
101
110
……
请将二进制数：10101换成十进制数： 21 ．
思路引领：根据表格中的数据，可以发现它们之间的关系，从而可以解答本题．
解：10101换成十进制数是：1×24+0×23+1×22+0×21+1×20＝21，
故答案为：21．
解题秘籍：本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
2．十进制的自然数可以写成2的方幂的降幂的多项式，如：21（10）＝16+4+1＝1×24+0×23+1×22+0×21+1×20＝10101（2），即十进制的数21对应二进制的数10101，按照上述规则，解答下列问题：
（1）二进制的数11111对应的十进制的数为多少？
（2）十进制的数73对应的二进制的数为多少？
思路引领：（1）根据题目中的计算方法可以求得二进制的数11111对应的十进制的数；
（2）根据题目中的计算方法可以求得十进制的数73对应的二进制的数．
解：（1）11111（2）＝1×24+1×23+1×22+1×21+1×20＝16+8+4+2+1＝31（10），
即二进制的数11111对应的十进制的数为：31；
（2）73（10）＝64+8+1＝1×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝1001001（2），
即十进制的数73对应的二进制的数为：1001001．
解题秘籍：本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确题目中二进制与十进制之间相互转化的方法．
3．（2018秋•内乡县期中）探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9＝25＝52
（1）试猜想1+3+5+7+9+..+19＝ ；
试猜想12+32+52+72+⋯+992= ；
（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）＝ ；
（3）写出过程，请用上述规律计算出最后数值并用科学记数法表示
1001+1003+1005+..+1997+1999．
思路引领：（1）根据题目中数字的特点，可以求得所求式子的值；
（2）根据题目中式子的特点可以求得所求式子的值；
（3）根据题目中的例子和式子的特点可以求得所求式子的值．
解：（1）1+3+5+7+9+..+19＝102＝100，
12+32+52+72+⋯+992=1+3+5+⋯+992=5022=1250，
故答案为：100，1250；
（2）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）＝（2n+3+12）2＝（n+2）2，
故答案为：（n+2）2；
（3）1001+1003+1005+..+1997+1999
＝（1+3+5+…+1999）﹣（1+3+5+…+999）
＝（1999+12）2﹣（999+12）2
＝10002﹣5002
＝（1000+500）×（1000﹣500）
＝1500×500
＝750000
＝7.5×105．
解题秘籍：本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、科学记数法，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．
模块四 有理数的计算技巧
计算是数学的核心和根本，计算能力的强弱将直接影响到数学成绩的好坏，抓数学必先抓计算学习有
理数的运算，除了要熟练掌握基夲的运算法则外，若能根据题目的结构特点，采用适当的计算技巧，不仅能够提高计算速度，而且还能提高正解率，达到事半功倍的效果.
方法一 对消法
将相加得零的数结合计算
典例12 计算:8＋(－4)＋6＋4＋12＋(－8)＋(－2)
原式=16
方法二 凑整法
将和为整数的数结合计算
典例13 计算:36.54＋22.57＋63.46＋(－10.57)
原式=112
方法三 归类法
将同类数(如正数或负数)归类计算
典例14 计算:16＋(－25)＋24＋(－35)
原式=-20
方法四 组合法
将分母相同或易于通分的数结合计算
典例15 计算:
原式=
方法五 观察法
根据0，1，－1在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0，1或－1的部分优先计算.
典例16 计算:(－2019)2÷(－2018)×(3.75－3)＋(－1)2018
原式=1
方法六 变序法
运用运算律改变运算顺序
典例17 计算:
原式=
方法七 逆用法
正难则反，逆用运算律改变次序
典例18 计算:(－128)÷(－)＋62÷＋187÷(－)
原式=7
方法八 拆项法
将复杂的项拆开来算
典例19 计算:(－133)÷(－7)
原式=
方法九 “两定“法
进行乘除运算时，先定符号，再定积．第一步一般可同时完两件事：一是先确定最终的符号：二是把所有带分数化成假分数并把所有除法变为乘法；第二步约分
典例20计算：
原式=-10
方法十 裂项法
常见的裂项一般是将一项拆分成两項或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，其中分数的裂项是重要考点
“裂项”型运算： “裂差”的基本类型：
① ②③
典例21计算：
原式=
典例22计算：
原式=
针对练习4
1．计算：
（1）（－0.8）＋2.1＋（－0．7）＋（－2.1）＋0.8＋3.5； （2）
解：原式=2.8 解：原式=-3
2．计算：（1） (2)
解：原式=-1 解：原式=14
3．计算：（1）17.48×80＋174.8×1.9＋0.874×20；(2)
解：原式=14 解：原式=1748
4计算：
解：原式=
第6讲 有理数的乘方及有理数运算技巧（解析版）
模块一 有理数的乘方
题型一 基本计算
典例1 （1）＝__________；（2）＝__________；（3）＝__________
（4）＝__________；（5）＝__________；（6）－＝__________；
解：（1）＝ 16 ； （2）＝16； （3）＝-16
（4）＝ 1 ； （5）＝-1； （6）－＝－1；
典例2选择：下列各式正确的个数是（ ）
①； ②； ③； ④； ⑤.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解：B
题型二 混合运算
典例3
1．（2022•钦州一模）计算：−22+(1−13)÷3×14．
思路引领：先算乘方和括号内的式子，然后计算出乘除法，最后再算加法即可．
解：−22+(1−13)÷3×14
＝﹣4+（﹣12）÷3×14
＝﹣4+（﹣4）×14
＝﹣4+（﹣1）
＝﹣5．
解题秘籍：本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．（2022•钦北区一模）计算：|13−12|÷(−112)−18×(−2)3．
思路引领：原式先算绝对值及乘方，再算乘除，最后算加减即可求出值．
解：原式＝（12−13）×（﹣12）−18×（﹣8）
=12×（﹣12）−13×（﹣12）−18×（﹣8）
＝﹣6+4+1
＝﹣1．
解题秘籍：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2022春•东方期末）计算
﹣12﹣2×（﹣3）+（﹣4）÷12
思路引领：利用有理数的混合运算法则进行运算即可．
解：原式＝﹣1﹣（﹣6）+（﹣8）
＝﹣1+6﹣8
＝﹣3．
解题秘籍：本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的意义，正确利用有理数的混合运算法则进行运算是解题的关键．
4．（2022春•龙凤区期末）计算：
﹣14﹣（−13）2×（﹣3）3﹣（﹣1）2．
思路引领：先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．
解：﹣14﹣（−13）2×（﹣3）3﹣（﹣1）2
＝﹣1−19×（﹣27）﹣1
＝﹣1+3﹣1
＝1．
解题秘籍：本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
5．（2022春•杨浦区校级期末）计算：16÷(−223)2−(−12)×16−1.75．
思路引领：先计算乘方和后面的乘法，再将除法转化为乘法，继而计算乘法，最后计算加减即可．
解：原式＝16÷649+112−74
＝16×964+112−74
=94+112−74
=2712+112−2112 =712．
解题秘籍：本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则．
题型三 探究规律
典例4（2019秋•铁西区期中）观察下面三行数：
2、﹣4、8、﹣16、32、﹣64、……①
0、﹣6、6、﹣18、30、﹣66、……②
2、﹣10、14、﹣34、62、﹣130、……③
（1）第①行第7个数是 ；
（2）第①行第n个数是 ；
（3）请说出第②行数与第①行相对应的数有什么关系？
（4）第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为﹣20，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由．
思路引领：（1）根据各数之间的关系即可求解；
（2）根据各数之间的关系找出规律即可；
（3）找出各行之间对应数的规律即可；
（4）由题意列出方程2×[（﹣1）n+1•2n+（﹣1）n+1•2n﹣2]＝1020，判断方程是否有实数根即可得．
解：（1）根据题意可得：第①行第7个数为：（﹣1）7+1×27＝128；
故答案为：128；
（2）∵2＝（﹣1）1+1×21，
﹣4＝（﹣1）2+1×22，
8＝（﹣1）3+1×23，
﹣16＝（﹣1）4+1×24，
…
∴第①行第n个数为：（﹣1）n+1•2n；
故答案为：（﹣1）n+1•2n；
（3）2﹣2＝0，﹣4﹣2＝﹣6，8﹣2＝6，…
则：第②行数等于第①行相应数减去2；
（4）不存在这样的三个数，理由如下：
∵同一列的数符号相同，
∴这三个数都是正数，
∴这一列三个数的和为：x+（x﹣2）+（x﹣2+x）＝1020，
x＝256，
∴这3个数为256、254、510．
∵（﹣1）n+1×2n＝256，
解得：n＝8，
而第8列数是负数，
∴不存在这样的数．
解题秘籍：本题考查的是数字的变化类，根据题意找出各行之间数的变化规律是解答此题的关键．
针对练习1
1.对任意实数a，下列式子不成立的是（ ）
A. B. C. D.
解：C
2.填空：
（1）（－3）2＝_________；（2）（－3）3＝_________；（3）－（－3）2＝____________.
（4）下列各式中：①－（－5）；②－；③（－5）2；④－5²；⑤－（－5）4；⑥－（－5）3，其中结果为正数的有：____________（填序号）.
解：（1）9 （2）-27 （3）-9 （4）①③⑥
3.计算：
（1）－3²－（－2）²； （2）（－2）²＋（－2²）－（－3²）＋（－3）²
解：原式=-9-4=-13 解：原式=18
（3）； （4）.
解：原式=22 解：原式=-11
（5）； （6）.
解：原式=-6 解：原式=-11
4．观察下面三行数
3，﹣9，27，﹣81，243，﹣729，…；①
6，﹣6，30，﹣78，246，﹣726，…；②
1，﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…③
（1）第①行按什么规律排列？
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系；
（3）写出每行第9个数，并计算这三个数的和；
（4）第②行中是否存在连续的三个数，使得这三个数的和为﹣5094？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由．
（5）是否存在一列数，使得其中的三个数的和为5106？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由．
思路引领：（1）第①行是按3的次幂排列，且奇次项为正，偶次项为负；
（2）观察即可得到第②③行与第①行的关系；
（3）找出每行第9个数字，相加即可得到结果；
（4）根据第②行数据关系分别表示出3个连续的数，进而求出它们的和；
（5）分别表示三行同一列的三个数，相加探讨得出结论即可．
解：（1）第①行的规律为（﹣1）n+13n；
（2）第②行是第①行每一个数加上3；第③行是第①行每一个数除以3；
（3）每行的第9个数分别为39，39+3，38，
则三个数之和为39+39+3+38＝7×38+3；
（4）存在，
第②行中连续的三个数的和（﹣1）n+13n+（﹣1）n+13n+1+（﹣1）n+13n+2，
当第一个数为正：9+3n﹣3n+1+3n+2＝9+7×3n为正，不存在；
当第一个数为负：9﹣3n+3n+1﹣3n+2＝9﹣7×3n＝﹣5094，则n＝6；
存在，这三个数分别为﹣726，2190，﹣6558；
（5）存在，
同一列的符号相同，同一列的三个数的和为5106，只考虑奇数位置，
三个数的和为3n+3n+3+3n﹣1＝5106，
7×3n﹣1＝5103，
解得：n＝7，
这三个数分为2187，2190，729．
解题秘籍：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题．
模块二 科学记数法与近似数
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1.科学计数法:把一个数写成a×10n(其中1≤|a|＜10，n为正整数)的记数方法叫做科学记数法.
注意点:①1≤|a|＜10;②n＝整数位数－1.(等于小数点向左移动的位数)
2.近似数:接近真实数值的一个数.取近似值的方法有三种:四舍五入法、进一法、去尾法.一般采取四舍五入的方法取近似值.一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
题型一 科学记数法
典例5（2022春•金沙县期末）截止北京时间2022年6月11日全球新冠肺炎确诊病例超过5.32亿例，5.32亿用科学记数法表示为（ ）
A．5.32×108 B．53.2×107 C．0.532×109 D．5.32×107
思路引领：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：5.32亿＝532000000＝5.32×108，
故选：A．
解题秘籍：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
典例6（2022•兰考县二模）河南省人民济困最“给力”！据报道，2020年河南省人民在济困方面捐款达到2.94亿元．数据“2.94亿”用科学记数法表示为2.94×10n．则n的值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
思路引领：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：2.94亿＝294000000＝2.94×108，
所以n＝8．
故选：D．
解题秘籍：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
题型二 近似数
典例7（龙岗区校级月考）用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似值．
（1）349995（精确到百位）；（2）349995（精确到千位）
（3）3.4995（精确到0.01）；（4）0.003584（精确到千分位）
思路引领：精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入．当1≤|a|＜10时，n取非负整数；当0≤|a|＜1时，n取非正整数．
解：（1）原式≈350000＝3.500×105；
（2）原式≈350000＝3.50×105；
（3）原式≈3.50；
（4）原式≈0.004．
解题秘籍：精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．比如这里（1）对百位的9入了后，千位的是9，满了10后要进1．
典例8（2022春•杨浦区期中）如果近似数1.00是由四舍五入法得，那么它所表示的准确数A的范围是（ ）
A．1.000≤A＜1.005 B．1.00＜A＜1.05
C．0.95＜A≤1.05 D．0.995≤A＜1.005
思路引领：近似值是通过四舍五入得到的，1.00可以由大于或等于0.995的数，0后面的一位数字，满5进1得到．或由小于1.005的数，舍去0后的数字得到，因而求得A的范围．
解：近似数1.00表示的精确数A的范围是0.995≤A＜1.005．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了近似数和有效数字，比较简单，容易掌握．
针对练习 2
1．（2013秋•宜宾县期中）用四舍五入法，对下列各数按括号中的要求取近似数：
（1）0.6328（精确到0.01）
（2）7.9122（精确到个位）
（3）130.96（精确到十分位）
（4）46021（精确到百位）
思路引领：（1）把3后面的2四舍五入即可；
（2）将9按要求四舍五入即可得到答案；
（3）十分位就是数字9所表示的数位；
（4）首先用科学记数法表示，然后按要求精确即可．
解：（1）0.6328（精确到0.01）≈0.63；
（2）7.9122（精确到个位）≈8
（3）130.96（精确到十分位）≈131.0
（4）46021≈4.60×104．
解题秘籍：本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数．
2．（2022春•任丘市期末）为阻断新冠疫情传播，我国政府积极开展新冠疫苗接种工作．截止到2022年3月5日，全国接种疫苗累计超过31亿剂次．把31亿用科学记数法表示为（ ）
A．3.1×109 B．3.1×108 C．31×109 D．0.31×1010
思路引领：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
解：31亿＝3100000000＝3.1×109．
故选：A．
解题秘籍：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（2022春•碑林区校级月考）已知1平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108千克煤所产生的能量，那么我国约960万平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤所产生的能量？
思路引领：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
解：1.3×108×960万＝1.3×108×9.6×106＝1.248×1015（千克），
答：相当于燃烧1.248×1015千克煤所产生的能量．
解题秘籍：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．（2021秋•玉屏县期中）我国是一个严重缺水的国家，大家都应珍惜水资源，节约用水．拧不紧的水龙头每秒滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．小明在洗过手后，没有把水龙头拧紧，当小明离开4小时后，水龙头滴水多少毫升？（结果用科学记数法表示）
思路引领：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：根据题意得出：4×60×60×0.05×2＝1.44×103（毫升）．
答：水龙头滴水1.44×103毫升．
解题秘籍：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（2018秋•商水县期中）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到2.60m，一根为2.56m，另一根为2.62m，怎么不合格？”
（1）图纸要求精确到2.60m，原轴的范围是多少？
（2）你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？
思路引领：（1）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位；
（2）根据原轴的范围是2.595m≤x＜2.605m，于是得到轴长为2.56m与2.62m的产品不合格．
解：（1）车间工人把2.60m看成了2.6m，近似数2.6m的要求是精确到0.1m；而近似数2.60m的要求是精确到0.01m，所以轴长为2.60m的车间工人加工完原轴的范围是2.595m≤x＜2.605m，
（2）由（1）知原轴的范围是2.595m≤x＜2.605m，故轴长为2.56m与2.62m的产品不合格．
解题秘籍：本题考查了近似数及有效数字，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同．
模块三 定义新运算与规律探究
典例10 （2021秋•沐川县期末）我们平常用的数是十进制数，如：8537＝8×103+5×102+3×10+7，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如：二进制数101等于十进制的数1×22+0×2+1＝5，二进制数1011等于十进制的数1×23+0×22+1×2+1＝11．那么二进制数10110等于十进制的数 ．
思路引领：根据题意得出二进制与十进制的转换方法，计算即可得到结果．
解：10110＝1×24+0×23+1×22+1×21+0
＝16+0+4+2+0
＝22．
故答案为：22．
解题秘籍：此题考查了有理数的乘方，弄清题中的转换方法是解本题的关键．
典例11（宣城期末）我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果ab＝N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，例如：因为53＝125，所以log5125＝3；因为112＝121，所以log11121＝2
（1）填空：log66＝ ，log61＝ ；
（2）如果log2（m﹣2）＝3，求m的值．
思路引领：（1）根据新定义由61＝6、60＝1可得log66＝1，log61＝0；
（2）根据定义知23＝m﹣2，解之可得．
解：（1）∵61＝6，60＝1，
∴log66＝1，log61＝0，
故答案为：1，0；
（2）∵log2（m﹣2）＝3，
∴23＝m﹣2，解得：m＝10．
解题秘籍：本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解对数的定义是解题的关键．
针对练习3
1．（2017秋•江岸区期中）计算机是用二进制进行记数的，如下表
十进制
0
1
2
3
4
5
6
……
二进制
0
1
10
11
100
101
110
……
请将二进制数：10101换成十进制数： 21 ．
思路引领：根据表格中的数据，可以发现它们之间的关系，从而可以解答本题．
解：10101换成十进制数是：1×24+0×23+1×22+0×21+1×20＝21，
故答案为：21．
解题秘籍：本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
2．十进制的自然数可以写成2的方幂的降幂的多项式，如：21（10）＝16+4+1＝1×24+0×23+1×22+0×21+1×20＝10101（2），即十进制的数21对应二进制的数10101，按照上述规则，解答下列问题：
（1）二进制的数11111对应的十进制的数为多少？
（2）十进制的数73对应的二进制的数为多少？
思路引领：（1）根据题目中的计算方法可以求得二进制的数11111对应的十进制的数；
（2）根据题目中的计算方法可以求得十进制的数73对应的二进制的数．
解：（1）11111（2）＝1×24+1×23+1×22+1×21+1×20＝16+8+4+2+1＝31（10），
即二进制的数11111对应的十进制的数为：31；
（2）73（10）＝64+8+1＝1×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝1001001（2），
即十进制的数73对应的二进制的数为：1001001．
解题秘籍：本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确题目中二进制与十进制之间相互转化的方法．
3．（2018秋•内乡县期中）探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9＝25＝52
（1）试猜想1+3+5+7+9+..+19＝ ；
试猜想12+32+52+72+⋯+992= ；
（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）＝ ；
（3）写出过程，请用上述规律计算出最后数值并用科学记数法表示
1001+1003+1005+..+1997+1999．
思路引领：（1）根据题目中数字的特点，可以求得所求式子的值；
（2）根据题目中式子的特点可以求得所求式子的值；
（3）根据题目中的例子和式子的特点可以求得所求式子的值．
解：（1）1+3+5+7+9+..+19＝102＝100，
12+32+52+72+⋯+992=1+3+5+⋯+992=5022=1250，
故答案为：100，1250；
（2）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）＝（2n+3+12）2＝（n+2）2，
故答案为：（n+2）2；
（3）1001+1003+1005+..+1997+1999
＝（1+3+5+…+1999）﹣（1+3+5+…+999）
＝（1999+12）2﹣（999+12）2
＝10002﹣5002
＝（1000+500）×（1000﹣500）
＝1500×500
＝750000
＝7.5×105．
解题秘籍：本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、科学记数法，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．
模块四 有理数的计算技巧
计算是数学的核心和根本，计算能力的强弱将直接影响到数学成绩的好坏，抓数学必先抓计算学习有
理数的运算，除了要熟练掌握基夲的运算法则外，若能根据题目的结构特点，采用适当的计算技巧，不仅能够提高计算速度，而且还能提高正解率，达到事半功倍的效果.
方法一 对消法
将相加得零的数结合计算
典例12 计算:8＋(－4)＋6＋4＋12＋(－8)＋(－2)
原式=16
方法二 凑整法
将和为整数的数结合计算
典例13 计算:36.54＋22.57＋63.46＋(－10.57)
原式=112
方法三 归类法
将同类数(如正数或负数)归类计算
典例14 计算:16＋(－25)＋24＋(－35)
原式=-20
方法四 组合法
将分母相同或易于通分的数结合计算
典例15 计算:
原式=
方法五 观察法
根据0，1，－1在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0，1或－1的部分优先计算.
典例16 计算:(－2019)2÷(－2018)×(3.75－3)＋(－1)2018
原式=1
方法六 变序法
运用运算律改变运算顺序
典例17 计算:
原式=
方法七 逆用法
正难则反，逆用运算律改变次序
典例18 计算:(－128)÷(－)＋62÷＋187÷(－)
原式=7
方法八 拆项法
将复杂的项拆开来算
典例19 计算:(－133)÷(－7)
原式=
方法九 “两定“法
进行乘除运算时，先定符号，再定积．第一步一般可同时完两件事：一是先确定最终的符号：二是把所有带分数化成假分数并把所有除法变为乘法；第二步约分
典例20计算：
原式=-10
方法十 裂项法
常见的裂项一般是将一项拆分成两項或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，其中分数的裂项是重要考点
“裂项”型运算： “裂差”的基本类型：
① ②③
典例21计算：
原式=
典例22计算：
原式=
针对练习4
1．计算：
（1）（－0.8）＋2.1＋（－0．7）＋（－2.1）＋0.8＋3.5； （2）
解：原式=2.8 解：原式=-3
2．计算：（1） (2)
解：原式=-1 解：原式=14
3．计算：（1）17.48×80＋174.8×1.9＋0.874×20；(2)
解：原式=14 解：原式=1748
4计算：
解：原式=
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