第07讲 有理数运算的实际应用（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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第07讲 有理数运算的实际应用（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 有理数加减的实际应用
典例1（2021秋•濮阳期末）如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（上周末该农产品的批发价格为2.7元/斤）．
星期
一
二
三
四
五
六
日
与前一天的价格涨跌情况（元）
+0.2
﹣0.3
+0.5
+0.2
﹣0.3
+0.4
﹣0.1
注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌．
（1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元/斤？本周哪天该农产品的批发价格最低，批发价格是多少元/斤？
（2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？
思路引领：（1）根据有理数的加法，可得每天的价格，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）求出本周末的价格即可．
解：（1）星期一的价格：2.7+（+0.2）＝2.9（元）；
星期二的价格：2.9+（﹣0.3）＝2.6（元）；
星期三的价格：2.6+（+0.5）＝3.1（元）；
星期四的价格：3.1+（+0.2）＝3.3（元）；
星期五的价格：3.3+（﹣0.3）＝3（元）；
星期六的价格：3+（+0.4）＝3.4（元）；
星期日的价格：3.4+（﹣0.1）＝3.3（元）；
故本周星期六，该农产品的批发价格最高，批发价格是3.4元；
本周星期二，该农产品的批发价格最低，批发价格是2.6元．
（2）由（1）可知，星期日的价格为3.3元，3.3＞2.7，3.3﹣2.7＝0.6（元），
答：与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了，上升了0.6元．
解题秘籍：本题考查正数和负数及有理数的加减法，理解数据变化情况是得出正确答案的前提．
针对训练1
1．（2022春•泾阳县月考）登山队员王叔叔以某营地为基准，向距该营地500米的顶峰冲击，由于天气骤变，攀岩过程中不得不几次下撤躲避强高空风记王叔叔向上爬升的海拔高度为正数，向下撤退时下降的海拔高度为负数，这次登山的行进过程记录如下：（单位：米）
+260，﹣50，+90，﹣20，+80，﹣25，+105．
（1）这次登山王叔叔有没有登上顶峰？若没有，最终距顶峰还有多少米？
（2）这次登山过程中，每上升或下降1米，平均消耗8千卡的能量，求王叔叔这次登山过程中共消耗了多少能量？
思路引领：（1）直接根据有理数的加减运算法则进行计算即可得出答案．
（2）先计算出上升和下降的距离，再根据有理数乘法可得答案．
解：（1）260﹣50+90﹣20+80﹣25+105＝440（米）．
500﹣440＝60（米）．
∴这次登山王叔叔没有登上顶峰，最终矩顶峰还有60米．
（2）|+260|+|﹣50|+|+90|+|﹣20|+|+80|+|﹣25|+|+105|＝630（米），
630×8＝5040（千卡）．
所以王叔叔这次登山过程中共消耗5040千卡的能量．
解题秘籍：本题考查了有理数的加减运算，掌握其运算法则是解此题的关键．

类型二 绝对值的实际应用
典例2（2021秋•乌兰浩特市期末）某检修小组开汽车从A地出发，检修南北走向的供电线路．向南记为正，向北记为负．一天所走路程（单位：千米）为﹣10，﹣3，+4，﹣2，﹣8，+16，﹣2，+12，+8，﹣5．问：
（1）最后他们是否回到出发点A？若没有，则他们停留在A地的什么方向？距离A地多远？
（2）若每千米耗油0.08升，则今天共耗油多少升？
思路引领：（1）把一天走的路程相加，再根据有理数加减混合运算的法则计算，若计算结果是正数，则是离开A地向南；若是负数，则是离开A地向北；等于0，则是回到A地；
（2）求出这一组数据的绝对值的和，再乘每千米耗油量即可．
解：（1）（﹣10）+（﹣3）+（+4）+（﹣2）+（﹣8）+（+16）+（﹣2）+（+12）+（+8）+（﹣5）
＝﹣10﹣3+4﹣2﹣8+16﹣2+12+8﹣5
＝﹣10+4+16+12+8﹣3﹣2﹣8﹣2﹣5
＝40﹣30
＝10（千米）．
所以没有回到出发点A，在A地南方10千米处；
（2）|﹣10|+|﹣3|+|+4|+|﹣2|+|﹣8|+|+16|+|﹣2|+|+12|+|+8|+|﹣5|
＝10+3+4+2+8+16+2+12+8+5
＝70（千米）．
70×0.08＝5.6（升）．
所以今天共耗油5.6升．
解题秘籍：本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，需要注意第二问中的总路程是所有路程的绝对值的和．
针对训练2
2．（2021秋•越城区校级月考）文具店，小明家和书店依次坐落在一条东西走向的大街上，已知文具店位于小明家西边200米处，书店位于小明家东边100米处，一天小明从家里出发先去书店购书，然后再去文具店选购学习用品，最后回家学习．
（1）以小明家为原点，向东为正方向，取适当的长度为单位长度画一条数轴，在数轴上表示文具店和书店的位置，并写出文具店和书店所表示的数字；
（2）用求绝对值和的方法计算小明这一天所走的路程．
思路引领：（1）根据数轴是表示数的一条直线，可用数轴上的点表示数；
（2）根据行走就是距离，可得所走的路程，根据有理数的加法，可得答案．
解：（1）如图：，文具店是﹣200，书店100；
（2）100+100+|﹣200|+|﹣200|＝600（米），
答：小明这一天所走的路程600米．
解题秘籍：本题考查了绝对值，（1）先用数轴上的点表示数，再写出文具店、书店表示的数；（2）路程就是距离．
类型三 有理数混合运算的实际应用
典例3（2021秋•蚌山区校级月考）温度的变化与高度有关：高度每增加1km，气温大约下降5.8℃．
（1）若夏季某天的地表温度为37℃，则此时高度为5km的山陂的温度是多少？
（2）如果A山顶温度是﹣50.3℃，B山顶温度是﹣38.7℃，此时地表温度是﹣1℃，那么A山比B山高多少千米？
思路引领：（1）根据题意，列出算式进行计算；
（2）先分别求出A山与B山的高度，再相减即可．
解：（1）依题意，得37﹣5×5.8＝37﹣29＝8（℃）．
答：山顶温度为8℃．
（2）A山的高度为：[﹣1﹣（﹣50.3）]÷5.8＝49.3÷5.8＝8.5（千米），
B山的高度为：[﹣1﹣（﹣38.7）]÷5.8＝37.7÷5.8＝6.5（千米），
A山比B山高：8.5﹣6.5＝2（千米）．
答：A山比B山高2千米．
解题秘籍：本题考查了有理数的混合运算．关键是根据题意列出算式．
针对训练3
3．（2021•安徽模拟）某饮品店推出A、B两款新口味饮品，经统计发现上周两款饮品销量一致，本周A款饮品销量减少了10%，但总销量却增加了5%，则本周B款饮品销量比上周增加了多少？
思路引领：把上周两款饮品销量都看作单位1，先求出本周A款饮品销量，总销量，进一步求得本周B款饮品销量，依此即可求解．
解：把上周两款饮品销量都看作单位1，则
本周A款饮品销量为1×（1﹣10%）＝0.9，
总销量为（1+1）×（1+5%）＝2.1，
（2.1﹣0.9﹣1）÷1×100%＝20%．
故本周B款饮品销量比上周增加了20%．
解题秘籍：本题考查了有理数的混合运算，关键是求出本周B款饮品销量．
第二部分 专题提优训练
1．（2021秋•莱西市期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．
停靠
站
起点站
中间
第1站
中间
第2站
中间
第3站
中间
第4站
中间
第5站
中间
第6站
终点
站
上下车
人数
+21
﹣3
+8
﹣4
+2
0
+4
﹣7
+1
﹣9
+6
﹣7
0
﹣12
（1）中间第4站上车人数是 　 　人，下车人数是 　 　人；
（2）中间的6个站中，第 　 　站没有人上车，第 　 　站没有人下车；
（3）中间第2站开车时车上人数是 人，第5站停车时车上人数是 　 　人；
（4）从表中你还能知道什么信息？
思路引领：（1）用正负数来表示意义相反的两种量：上车记为正数，则下车就记为负数；通过统计表可以获取信息，即可得解；
（2）0表示既没有人上车，也没有人下车，看出中间3站上车4人，下车0；中间6站下车7人，上车0；因此得解；
（3）根据上车记为正数，则下车就记为负数；通过统计表可以获取信息，即可得解；
（4）从表中可以知道：第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多．
解：（1）中间第1站上车8人、下车3人；
中间第2站上车2人、下车4人；
中间第3站上车4人，没有人下车；
中间第4站上车1人、下车7人；
中间第5站上车6人、下车9人；
中间第6站没有人上车，下车7人；
（2）中间第6站没有人上车，中间第3站没有人下车；
（3）中间第2站开车时车上人数是为：21﹣3+8﹣4+2＝24（人），第5站停车时车上人数是：21﹣3+8﹣4+2﹣0+4﹣7+1＝22（人）；
（4）从表中可以知道：第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多．
故答案为：（1）1，7； （2）6，3； （3）24，22； （4）如起点站上车21人（答案不唯一）．
解题秘籍：此题考查了简单的统计表，要求学会通过统计表获取信息，进一步认识负数的意义，理解正负数的意义是解题的关键．
2．（2021秋•玉门市期末）随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭，小亮家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”．

第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程（km）
﹣7
﹣12
﹣13
0
﹣17
+40
+9
（1）请求出这7天中平均每天行驶多少千米？
（2）若每行驶50km需用汽油4升，汽油价6.8元/升，计算小亮家这7天的汽油费用大约是多少元？
思路引领：（1）根据有理数的加法，可得超出或不足部分的路程平均数，再加上50，可得平均路程；
（2）先求出平均一天的耗油量，根据总价＝单价×数量可求一天的需要的钱数，再乘天数7，可得答案．
解：（1）17×（﹣7﹣12﹣13+0﹣17+40+9）＝0，
∴50+0＝50（千米）．
答：这七天平均每天行驶50千米；
（2）50×450×6.8＝27.2（元），
27.2×7＝190.4（元）．
答：小亮家这7天的汽油费用大约是190.4元．
解题秘籍：本题主要考查了正数和负数，利用有理数的运算得出平均一天的耗油量是解题关键．
3．（2021秋•云浮期末）为了有效控制酒后驾驶，广州交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，约定向东为正方向，从出发点A开始所走的路程为（单位：千米）：+14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5．
（1）请你帮忙确定交警最后所在地相对于A地的方位？
（2）若汽车每千米耗油0.2升，如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）共耗油多少升？
思路引领：（1）把这些数值相加，结果为正，在东方，反之在西方；
（2）不论向那边走，都要耗油，所以与方向无关，算这些数的绝对值的和加上返回的20千米即为所走的路程，进而求出耗油量．
（1）+14+（﹣9）+（+8）+（﹣7）+（+13）+（﹣6）+（+12）+（﹣5）＝20（千米），
答：交警最后所在地在A地的东方20千米处．
（2）14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12+|﹣5|+20＝94（千米），
94×0.2＝18.8（升），
答：这次巡逻（含返回））共耗油18.8升．
解题秘籍：本题考查了有理数的加法的应用，考核学生的应用意识，第（2）问中给数值加绝对值号是解题的关键．
4．（2021秋•岚皋县校级月考）七年级（1）班在一次联欢活动中，把全班分成5个队参加活动，游戏结束后，5个队的得分如下：A队﹣50分；B队150分；C队﹣300分；D队0分；E队100分．
（1）画数轴，将每个队的得分表示在数轴上，同时将代表该队的字母也标上．
（2）把这些队的得分从低分到高分排序，并用“＜”连接．
（3）从数轴上看，A队与B队的差距是多少？C队与A队的差距是多少？C队与D队的差距是多少？
思路引领：（1）准确画出数轴，然后在数轴上找到各数对应的点即可；
（2）根据各数在数轴上对应点的位置判断即可；
（3）根据题意用分数较高的减去分数较低即可求出两队的差距．
解：（1）在数轴上表示如图所示：

（2）﹣300＜﹣50＜0＜100＜150；
（3）A队与B队的差距是：
150﹣（﹣50）＝200分，
C队与A队的差距是：
﹣50﹣（﹣300）＝250分，
C队与D队的差距是：
0﹣（﹣300）＝300分，
答：A队与B队的差距是200分，C队与A队的差距是250分，C队与D队的差距是300分．
解题秘籍：本题考查了数轴，有理数的大小比较，准确在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．
5．（2021秋•永年区期中）一条南北走向的大道上，由南向北依次坐落着甲、乙、丙、丁四个村庄，其中甲、乙相距3千米，甲、丙相距5千米，乙、丁相距4千米，若以乙村庄为原点，向北为正方向，1千米为单位长度．
（1）将四个村庄所处的位置在数轴上表示出来；
（2）若设甲、乙、丙、丁四个村庄表示的数分别为A、B、C、D，比较四个数的大小；
（3）若改为以丙村为原点，向南为正方向，其他条件不变，试将四个村庄所处的位置在数轴上表示出来．
思路引领：（1）根据数轴的定义在数轴上表示各数即可；
（2）根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜”号把各数连接起来即可；
（3）根据数轴的定义解答即可．
解：（1）如图所示：
；
（2）由（1）得：﹣3＜0＜2＜4；
（3）如图所示：
．
解题秘籍：本题考查了数轴以及有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．
6．（2021秋•荔城区期中）武汉百步亭小区交警每天都骑摩托车沿南北街来回巡逻，早晨从A地出发，晚上最后到达B地．假定向北为正方向，当天巡逻记录如下（单位：km）：14，﹣9，18，﹣7，13，﹣6，10，﹣6，问：
（1）B地在A地什么位置？
（2）若摩托车每千米耗油0.1升，则一共需耗油多少升？
思路引领：根据绝对值的意义求解．
解：（1）B在A正北27km
（2）|14|+|﹣9|+|18|+|﹣7|+|13|+|﹣6|+|10|+|﹣6|＝83
83×0.1＝8.3 （升 ）
答：一共需耗油8.3升．
解题秘籍：本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．
7．（2021秋•沙河口区期末）如图为大连市地铁二号线地图的一部分．某天，小王参加志愿者服务活动，从西安路站出发，到A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东行驶为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：﹣4，+3，﹣6，﹣1，+9，﹣2，﹣5，+4．
（1）请通过计算说明A站是哪一站？小明服务期间距离西安路站最远的站是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均距离为1.8千米，求小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？


思路引领：（1）通过计算各数据的代数和，依据题意可得A站的站名；通过依次计算每相邻两站的代数和，找出绝对值最大的数即为距离西安路站最远的站；
（2）计算各个数据的绝对值的和即可得到行走的总站数，再乘以1.8即可得出结论．
解：（1）∵﹣4+3﹣6﹣1+9﹣2﹣5+4＝﹣2，东行驶为正，向西为负，
∴A站在西安路站向西两站即辽师大站；
∵﹣4+3＝﹣1，﹣1﹣6＝﹣7，﹣7﹣1＝﹣8，﹣8+9＝1，1﹣2＝﹣1，﹣1﹣5＝﹣6，﹣6+4＝﹣2，
∴﹣8的绝对值最大，可知小王服务期间距离西安路站最远在西安路站西侧8站，即机场站；
（2）∵|﹣4|+|3|+|﹣6|+|﹣1|+|+9|+|﹣2|+|﹣5|+|+4|＝34，
∴小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进34站．
∵相邻两站之间的平均距离为1.8千米，
∴34×1.8＝61.2（千米）．
答：小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是61.2千米．
解题秘籍：本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的意义，正数和负数，准确理解数据的实际意义是解题的关键．
8．（2021秋•北京期中）树袋熊每天的睡眠时间是16小时，是狮子每天睡眠时间的89，狮子每天睡多少小时？
思路引领：根据有理数的除法法则计算即可．
解：16÷89
＝16×98
＝18（小时），
答：狮子每天睡18小时．
解题秘籍：本题考查了有理数的除法，掌握除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数是解题的关键．
9．（2021秋•绿园区期末）某村共有8块小麦试验田，每块试验田今年的收成与去年相比情况如下（增产为正，减产为负，单位：kg）：55，﹣40，10，﹣16，27，﹣5，﹣23，38．那么今年的小麦总产量与去年相比是增加了还是减少了？增加或减少了多少？
思路引领：把8个数据相加，再利用有理数的加法运算的法则，先把同号相加，再把异号相加．
解：55﹣40+10﹣16+27﹣5﹣23+38
＝（55+10+27+38）﹣（40+16+5+23）
＝130﹣84
＝46（kg）．
答：今年的小麦总产量与去年相比是增加了，增产46kg．
解题秘籍：此题主要考查正数和负数，有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．（2021秋•江州区期末）某服装店购进10件羊毛衫，实际销售情况如表所示：（售价超出成本为正，不足记为负）
件数（件）
3
2
2
1
2
钱数（元）
﹣10
﹣20
+20
+30
+40
（1）这批羊毛衫销售中，最高售价的一件与最低售价的一件相差多少元？
（2）通过计算求出这家服装店在这次销售中盈利或者亏损多少元？
思路引领：（1）用最大的数减去最小的数即可：
（2）首先由进货量和进货单价计算出进货的成本，然后再根据售价计算出赚了多少钱．
解：（1）40﹣（﹣20）＝60（元），
答：最高售价的一件与最低售价的一件相差60元；
（2）3×（﹣10）+2×（﹣20）+2×20+1×30+2×40
＝80（元），
答：该这家服装店在这次销售中是盈利了，盈利80元．
解题秘籍：本题考查正数和负数以及有理数的减法，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中表示的实际意义．
11．（2021秋•宽城县期末）为了加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车在学校旁边的一条东西方向的公路上执行治安巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程（单位：千米）为：
+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，﹣2．
（1）此时，这辆巡逻车司机如何向警务处描述他现在的位置？
（2）已知每千米耗油0.25升，如果警务处命令其巡逻车马上返回出发点，这次巡逻共耗油多少升？
思路引领：（1）求出这些数的和，即可得出答案；
（2）求出这些数的绝对值的和，再乘以0.25升即可．
解：（1）根据题意得：+2+（﹣3）+2+1+（﹣2）+（﹣1）+（﹣2）＝﹣3．
由此时巡边车出发地的西边3km处．

（2）依题意得：
0.25×（|+2|+|﹣3|+|+2|+|+1|+|﹣2|+|﹣1|+|﹣2|）＝0.25×13＝3.25，
答：这次巡逻共耗油3.25升．
解题秘籍：本题考查了正数和负数，能根据题意列出算式是解此题的关键．
12．（2021秋•文山市期末）检修工乘汽车沿东西方向检修电路，规定向东为正，向西为负，某天检修工从A地出发，到收工时行程记录为（单位：千米）
+8，﹣9，+4，﹣7，﹣2，﹣10，+11，﹣3，+7，﹣5；
（1）收工时，检修工在A地的哪边？距A地多远？
（2）若每千米耗油0.3升，从A地出发到收工时，共耗油多少升？
思路引领：（1）根据表格中的数据，将各个数据相加看最后的结果，即可解答本题；
（2）根据表格中的数据将它们的绝对值相加，然后乘以0.3即可解答本题．
解：（1）（+8）+（﹣9）+（+4）+（﹣7）+（﹣2）+（﹣10）+（+11）+（﹣3）+（+7）+（﹣5）
＝8﹣9+4﹣7﹣2﹣10+11﹣3+7﹣5＝8+4+11+7﹣9﹣7﹣2﹣10﹣3﹣5＝30﹣36＝﹣6（千米），
答：收工时，检修工在A地的西边，距A地6千米；
（2）|+8|+|﹣9|+|+4|+|﹣7|+|﹣2|+|﹣10|+|+11|+|﹣3|+|+7|+|﹣5|
＝8+9+4+7+2+10+11+3+7+5＝66（千米）
66×0.3＝19.8（升）
答：从A地出发到收工时，共耗油19.8升．
解题秘籍：本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中的实际含义．