第21讲 直线、射线与线段（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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第21讲 直线、射线与线段（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
【模块一】直线，射线，线段的有关概念与作图
考点一 直线，射线，线段的表示法及基本作图
1．（2021春•肇源县期末）如图有三点A、B、C，请按照下列语句画出图形．
（1）画直线AB；
（2）画射线AC；
（3）连接BC．

思路引领：根据直线、射线、线段的特点画出图形即可．
解：如图所示：

解题秘籍：本题主要考查的是直线、射线、线段，掌握线、射线、线段的特点是解题的关键．
2．（2018秋•定州市期末）如图，平面上有射线AP和点B、点C，按下列语句要求画图：
（1）连接AB；
（2）用尺规在射线AP上截取AD＝AB；
（3）连接BC，并延长BC到E，使CE＝BC；
（4）连接DE．

思路引领：（1）根据要求连接AB即可；
（2）射线AP上截取线段AD＝AB即可；
（3）延长线部分画虚线；
（4）连接两点D、E．
解：如图所示：（1）连接AB；
（2）用尺规在射线AP上截取AD＝AB；
（3）连接BC，并延长BC到E，使CE＝BC；（4）连接DE．

解题秘籍：本题主要考查了直线，射线及线段，解题的关键是利用直线，射线及线段的定义画图．

考点二 直线，线段的基本性质
3．（2021秋•滦州市期末）在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案．
解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识．
故选：C．
解题秘籍：此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．
4．（2021秋•青山区期末）下列说法：①画射线AB＝6cm；②设a表示一个数，则﹣a一定不是正数；③射线AB与射线BA是同一条射线；④用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是两点确定一条直线．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：根据直线，射线，线段，有理数，两点确定一条直线对各小题进行逐一分析即可．
解：①因射线无长度，故画射线AB＝6cm说法错误；
②设a表示一个数，若是负数，则﹣a一定是正数，故错误；
③射线AB与射线BA不是同一条射线，故错误；
③用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是两点确定一条直线，故正确．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了直线，射线，线段，有理数，两点确定一条直线，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
5．（2022春•香坊区期末）如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近C处搭顺风车．他选择第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是（　　）

A．两点确定一条直线 B．两点之间，直线最短
C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线
思路引领：依据线段的性质进行判断即可．两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
解：他选择第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是：两点之间，线段最短．
故选：C．
解题秘籍：本题主要考查了线段的性质，简单说成：两点之间，线段最短．
6．（2022•滦南县二模）如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，发现剩下的四边形纸片的周长小于原三角形纸片的周长，下列语句能正确解释这一现象的是（　　）

A．四边形的周长小于三角形周长
B．两点确定一条直线
C．折线比线段长
D．两点之间，线段最短
思路引领：根据两点之间，线段最短进行解答．
解：将三角形纸片沿虚线剪去一个角，发现剩下的四边形纸片的周长小于原三角形纸片的周长，正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
故选：D．
解题秘籍：此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短的知识点．
考点三 计数问题及其应用
7．已知如图，

（1）如图①，两条直线相交，最多有 　1　个交点；
如图②，三条直线相交，最多有 　3　个交点；
如图③，四条直线相交，最多有 　6　个交点；
如图④，五条直线相交，最多有 　10　个交点；
（2）归纳，猜想，30条直线相交，最多有 　435　个交点．
思路引领：（1）仔细观察图形数出各有多少个交点即可；
（2）要求30条直线相交最多有多少个交点，就需要找出直线交点的规律；当三条直线相交交点最多时，是用第三条直线穿过前两条直线多出2个交点；当四条直线相交交点最多时，是用第四条直线穿过前三条直线多出3个交点；同理可推后面的更多直线相交的情况，分析可得出规律公式，进而得到30条直线相交得到的最多的交点个数．
解：（1）由图可知：
两条两条直线相交最多有1个交点；
三条直线相交最多有1+2＝3个交点；
四条直线相交最多有1+2+3＝6个交点；
五条直线相交最多有1+2+3+4＝10个交点；
故答案为：1，3，6，10；
（2）由（1）可推出当n条线相交时最多有：n(n−1)2个交点．
∴当30条直线相交，最多有30×(30−1)2=435个交点．
故答案为：435．
解题秘籍：此题主要考查了相交线探索规律．此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法是解题的关键．
8．（2021秋•岳麓区校级月考）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示：两条直线相交，最多有一个交点，三条直线相交，最多有三个交点，四条直线相交，最多有6个交点，像这样，10条直线相交，最多交点的个数是（　　）

A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
思路引领：根据直线的条数与相交时交点最多时的个数之间的关系得出答案．
解：2条直线相交，最多有1个交点，即0+1＝1（条），
3条直线相交，最多有3个交点，即1+2＝3（个），
4条直线相交，最多有6个交点，即1+2+3＝6（个），
5条直线相交，最多有10个交点，即1+2+3+4＝10（个），
…
10条直线相交，最多有45个交点，即1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45（个），
故选：B．
解题秘籍：本题考查相交线，理解平面内直线的条数与交点最多的个数的变化规律是解决问题的关键．
9．往返于甲、乙两地的客车，中途要停靠三个站．如果站与站之间的路程及站与甲、乙两地之间的路程都不相等．问：
（1）有多少种不同的票价？
（2）要准备多少种车票？
思路引领：先求出线段的条数，再计算票价和车票的种数．
解：根据线段的定义：可知图中共有线段有AC，AD，AE，AB，CD、CE、CB、DE、DB、EB共10条，
（1）有10种不同的票价；
（2）因车票需要考虑方向性，如，“A→C”与“C→A”票价相同，但车票不同，故需要准备20种车票．
解题秘籍：本题考查了线段，运用数学知识解决生活中的问题．解题的关键是需要掌握正确数线段的方法．
10．（2021秋•漳州月考）公共汽车往返于A、B两地之间，中途有4个停靠点（共6个站点），若相邻各站之间距离互相不相等，那么（1）有　 　种不同的票价，（2）要准备　 　种不同的车票．
思路引领：两站之间的往返车票各一种，即两种，n个车站每两站之间有两种，则n个车站的票的种类数＝n（n﹣1）种，n＝6时，即6个车站，代入上式即可求得票的种数．
解：两站之间的往返车票各一种，即两种，则6个车站的票的种类数＝6×5＝30种；
（1）有 15种不同的票价，（2）要准备 30种不同的车票．
故答案为：15，30．
解题秘籍：此题主要考查了线段的数法应用，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．
【模块二】线段的比较与运算
考点一 线段的大小比较
11．如图，按下面语句继续画图．
（1）分别延长线段AD和BC，使它们相交于M；
（2）延长AB至N，使BN＝CD，再连接DN交线段BC于P；
（3）用刻度尺比较线段DP和PN的大小．

思路引领：（1）根据题意画出图形即可．
（2）根据题意画出图形即可．
（3）用刻度尺量出线段的长度，再比较即可．
解：（1）如图．

（2）如图．

（3）DP＝PN．
解题秘籍：本题考查了比较线段的长度的应用，主要考查学生的理解能力和画图能力．
12．（2021春•上海期中）按照要求完成下列问题：
如图，直线AB和CD相交于点O，点P为CD上一点．
（1）过点P作AB的垂线，交AB于点M；
（2）过点P作CD的垂线，交AB于点N；
（3）比较线段PM和PN的大小：PM　 　PN．

思路引领：（1）根据垂线的定义，画出图形即可．
（2）根据垂线的定义画出图形即可．
（3）根据垂线段最短，可得结论．
解：（1）如图，直线PM即为所求作．
（2）如图，直线PN即为所求作、

（3）根据垂线段最短可知，PM＜PN，
故答案为：＜．
解题秘籍：本题考查作图﹣基本作图，点到直线的距离，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考点 二 线段的和差运算
13．（2013秋•沙河市期中）如图，点C，D，E都在线段AB上，已知AD＝BC，E是线段AB的中点，则CE　＝　DE（填“＞”“＜”或“＝”）

思路引领：根据AD＝BC求出AC＝BD，根据线段中点求出AE＝BE，相减即可求出答案．
解：∵AD＝BC，
∴AD﹣CD＝BC﹣CD，
∴AC＝BD，
∵E是线段AB的中点，
∴AE＝BE，
∴AE﹣AC＝BE﹣BD，
∴CE＝DE，
故答案为：＝．
解题秘籍：本题考查了比较线段的长短的应用，关键是求出AC＝BD和AE＝BE．
14．（2021秋•大同期末）如图，点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB，点E是线段AB的中点．若AD＝8，则CE的长为 　2　．

思路引领：根据线段中点的定义，可得AC＝CD＝DB＝4，代入数据进行计算即可得解求出AB的长；再求出AE的长，最后CE＝AE﹣AC．
解：∵AC＝CD＝DB，点E是线段AB的中点，
∴AD＝AC+CD＝8．
AC＝CD＝DB＝4，
∴AB＝12，AE=12AB＝6，
则CE＝AE﹣AC＝6﹣4＝2．
故答案为：2．
解题秘籍：本题考查了线段的和差，两点间的距离，主要利用线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键．
考点三 线段的等分点
15．（2009秋•长沙期末）画线段AB＝5厘米，延长AB至C，使AC＝2AB，反向延长AB至E，使AE=13CE，再计算：
（1）线段CE的长；
（2）线段AC是线段CE的几分之几；
（3）线段CE是线段BC的几倍．
思路引领：仔细读题从中理清各线段之间的关系，按要求求解．
解：如图所示：

（1）∵CE＝3AE
∴AC＝2AE
∵AB＝5，AC＝2AB
∴AC＝10（厘米）
∴AE＝5（厘米）
∴CE＝15（厘米）；

（2）ACCE=2AB3AB=23；

（3）CE＝3AB＝3BC．
答：线段CE的长15厘米；线段AC是线段CE的23；线段CE是线段BC的3倍．
解题秘籍：借助图形来计算这样才直观形象，便于思维．
16．（2021秋•濮阳期末）画图并计算：已知线段AB＝0.5cm，延长线段AB至点C，使得BC＝5AB，再反向延长AC至点D，使得AD＝AC．
（1）准确地画出图形，并标出相应的字母；
（2）线段DC的中点是　 　；
（3）求线段AB的长是线段DC长的几分之几？
（4）求出线段BD的长度．
思路引领：（1）根据已知条件画出即可；
（2）根据已知求出A点是DC的中点；
（3）求出DC＝12AB，即可得出答案；
（4）求出AD长度，和AB相加即可求出DB．
解：（1）如图：；
（2）线段DC的中点是点A，
故答案为：点A；
（3）∵BC＝5AB，
∴AC＝6AB，
∴DC＝2AC＝12AB，
∴AB=112DC；
（4）∵AB＝0.5cm，
∴AD＝AC＝6AB＝3cm，
∴BD＝AD+AB＝3.5cm．
解题秘籍：本题考查了求两点之间的距离，能正确画出图形是解此题的关键．
17．（2021秋•万州区期末）如图，长度为24cm的线段AB上有两点C、D，这两点将线段AB分成AC：CD：DB＝3：1：2．
（1）求线段CD的长；
（2）点M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点，求线段MN的长度．

思路引领：（1）根据题意AC：CD：DB＝3：1：2，可得CD＝24计算即可得出答案；
（2）根据题意先计算出AC，BD的长度，再根据M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点可计算出MN，DN的长度，则根据MN＝CM+CD+DN即可得出答案．
解：（1）CD＝24×16=4（cm）；
（2）∵AC：CD：DB＝3：1：2，
∴AC=36×24＝12（cm），BD=26×24＝8（cm），
∵M为线段AC的中点，点N为线段BD 的中点，
∴CM=12AC＝6（cm），DN=12BD＝4（cm），
∴MN＝CM+CD+DN＝6+4+4＝14（cm）．
∴线段MN的长度14cm．
解题秘籍：本题主要考查两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．
18．在线段AB上顺次取三点C、D、E．
（1）若C、D、E是AB的四个等分点，画出图形，并求图中所有线段条数；
（2）若AB＝12，求（1）中所有线段的长度；
（3）当C、D、E是线段上顺次三点时，若AB＝12．CE＝2，求图中所有线段的长度和．
思路引领：（1）找到线段AB的四等分点，即可作出；
（2）根据线段之间的关系即可求出所有线段的长度；
（3）所有线段的长度和为：AC+AD+AE+AB+CD+CE+CB+DE+DB+EB，把这些线段转化成AB、CE的关系，即可求出所有线段的长度和．
解：（1）共10条线段，
；
（2）所有线段的和为：3+6+9+12+3+6+9+3+6+9＝60．
（3）图中所有线段的长度和为：AC+AD+AE+AB+CD+CE+CB+DE+DB+EB，
＝（AC+CD+DE+EB）+AB+CE+（AD+DB）+（AE+CB），
＝AB+AB+CE+AB+（AB﹣BE+CB），
＝2AB+CE+2AB+CE，
＝4AB+2CE，
＝4×12+2×2，
＝52．
解题秘籍：本题主要考查比较线段的长短的知识点，能够根据中点的概念，用几何式子表示线段的关系，还要注意线段的和差表示方法．
第二部分 专题提优训练
1．（2021秋•花都区期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．画一条长3cm的射线
B．直线、线段、射线中直线最长
C．延长线段BA到C，使AC＝BA
D．延长射线OC到C
思路引领：分别利用直线、射线、线段的性质分析得出答案．
解：A、画一条长3cm的射线，射线没有长度，故此选项错误；
B、直线、线段、射线中直线最长，错误，射线、直线都没有长度，故此选项错误；
C、延长线段BA到C，使AC＝BA，正确；
D、延长射线OC到点C，错误．
故选：C．
解题秘籍：此题主要考查了直线、射线、线段，正确把握相关性质是解题关键．
2．（2021秋•涞水县期末）如图所示四幅图中，符合“射线PA与射线PB是同一条射线”的图为（　　）
A． B．
C． D．
思路引领：表示射线可以用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．
解：A、射线PA和射线PB不是同一条射线，故此选项错误；
B、射线PA和射线PB不是同一条射线，故此选项错误；
C、射线PA和射线PB是同一条射线，故此选项正确；
D、射线PA和射线PB不是同一条射线，故此选项错误；
故选：C．
解题秘籍：此题主要射线的表示方法，关键是要注意射线用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
3．（2020秋•清河区校级期末）如图，下列说法正确的是（　　）

A．图中共有5条线段
B．直线AB与直线AC是指同一条直线
C．射线AB与射线BA是指同一条射线
D．点O在直线AC上
思路引领：图中有线段AB、AC、BC、AO、OB、OC，共6条故A错误；直线表示方法是用直线上两个点表示，没有先后顺序，故B正确；射线表示方法是端点字母在前，故C错误；根据点与直线关系可得D错误．
解：A、图中共有5条线段，说法错误，应是6条；
B、直线AB与直线AC是指同一条直线，说法正确；
C、射线AB与射线BA是指同一条射线，说法错误；
D、点O在直线AC上，说法错误，点O在直线AC外；
故选：B．
解题秘籍：此题主要考查了直线、射线、线段，以及点与直线的位置关系，关键是掌握三线的表示方法．
4．（2021秋•佳木斯期末）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
思路引领：先确定两点确定一条直线；不同三点最多可确定3条直线；不同4点最多可确定（1+2+3）条直线，不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线，于是可根据此规律得到平面上不同的8个点最多可确定（1+2+3+4+5+6+7）＝28条直线．
解：两点确定一条直线；不同三点最多可确定3条直线；不同4点最多可确定（1+2+3）条直线，不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线，
因为1+2+3+4+5+6+7＝28，
所以平面上不同的8个点最多可确定28条直线．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了直线、射线、线段：正确理解直线、射线和线段的定义．
5．（2020春•金牛区校级月考）由成都到重庆的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：成都﹣资阳﹣资中﹣内江﹣隆昌﹣永川﹣重庆，那么要为这次列车制作的火车票有（　　）
A．6种 B．12种 C．21种 D．42种
思路引领：根据“数线段”的方法，结合方向性得出答案．
解：这次列车制作的火车票为（6+5+4+3+2+1）×2＝42（种），
故选：D．
解题秘籍：本题考查线段、射线、直线，掌握数线段条数的方法是正确解答的关键．
5．（2020秋•奉化区校级期末）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：


两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……
像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（　　）
A．100个 B．135个 C．190个 D．200个
思路引领：根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=12n（n﹣1）个交点，据此解答即可．
解：2条直线相交最多有1个交点，1=12×1×2，
3条直线相交最多有3个交点，3＝1+2=12×2×3，
4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+3=12×3×4，
5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+4=12×4×5，
…
n条直线相交最多有交点的个数是：12n（n﹣1）．
20条直线相交最多有交点的个数是：12n（n﹣1）=12×20×19＝190．
故选：C．
解题秘籍：此题主要考查了相交线探索规律．此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法是解题的关键．
6．如图，已知直线上四点A，B，C，D．则AC＝　 　+BC，CD＝AD﹣　 　，AD﹣AB＝　 　，CD+BC＝　 　．

思路引领：根据线段的和差即可得到结论．
解：由图可知各线段的关系为：AC＝AB+BC，CD＝AD﹣AC，AD﹣AB＝BD，CD+BC＝BD．
故答案为AB，AC，BD，BD．
解题秘籍：本题考查了比较线段长短的知识，属于基础题，难度不大，直接从图上可以看出各线段的关系．
7．如图所示，已知M，Ⅳ是线段AB上的两点，且MN＝NB，则点N是线段　MB　的中点，AM＝AB﹣　2　MN．

思路引领：先根据MN＝NB，则点N是线段BM的中点，故可得出BM＝2MN，由此即可得出结论．
解：∵MN＝NB，
∴点N是线段BM的中点，
∴BM＝2MN，
∴AM＝AB﹣2MN．
故答案为：MB，2．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
8．（2021秋•玄武区期末）如图，线段AB＝BC＝CD＝DE＝1cm，图中所有线段的长度之和为　20　cm．

9．（2021秋•靖江市期末）如图，点C是线段AB上一点，点D、E分别是线段AC、BC的中点．如果AB＝a，AD＝b，其中a＞2b，那么CE＝　　．

10．（2021秋•惠山区期中）两两相交的三条公路经过A、B、C三个村庄．
（1）要建一个水电站P到三个村庄的距离相等，请通过画图确定点P的位置．
（2）要建一个加油站Q，使加油站Q到三条公路的距离相等，这样的加油站Q的位置有　4　处．

思路引领：（1）根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，作出线段AB、BC、CA的垂直平分线，其交点即为点P的位置；
（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出三个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点．
解：（1）如图，由于“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，
分别作AB、BC、CA边的垂直平分线，相交于P，P即为所求．
（2）如图，由于“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，
分别作∠ABC、∠BCA、∠CAB的平分线相交于P1，
∠IAE和∠DCA的平分线相交于P2，
∠ECB和∠FBC的平分线相交于P3，
∠HAB和∠GBH的平分线相交于P4．
故加油站Q的位置有4处．

解题秘籍：解答此题的关键是充分利用垂直平分线的性质和角平分线的性质．画图时要全面考虑，不要漏掉外角平分线的交点．
11．（2021秋•青山区期末）如图，已知A、B、C、D四点，请按要求作图，并解答．
（1）画直线AB；
（2）画射线DB；
（3）连接AC与射线DB交于点P；
（4）若点M是线段BD的中点，BP＝3，DP＝7，则MP＝　 　．

思路引领：（1）（2）（3）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可；
（4）求出DM，根据PM＝DP﹣DM，即可．
解：（1）如图，直线AB即为所求；
（2）如图，射线DB即为所求；
（3）如图，线段AC，点P即为所求；

（4）∵BP＝3，DP＝3，
∴DB＝DP+PB＝10，
∵DM＝MB，
∴DM＝BM＝5，
∴MP＝PD﹣DM＝7﹣5＝2，
故答案为：2．
解题秘籍：本题考查作图﹣复杂作图，直线，线段，射线的定义等知识，解题的关键是掌握直线，射线，线段的定义，属于中考常考考点．
12．（2021秋•法库县期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
（1）在图①中，画线段AC、BD交于E点；
（2）在图①中作射线BC；
（3）在图②中取一点P，使点P既在直线AB上又在直线CD上．


思路引领：分别根据直线、射线、线段的定义作出图形即可．
解：（1）如图所示：
；

（2）如图所示，


（3）如图所示，
．
解题秘籍：本题考查了直线、射线、线段，是基础题，主要是对语言文字转化为图形语言的能力的考查．
13．已知线段AB，根据下列步骤作图，然后回答：
（1）延长AB至C，使BC=32AB；
（2）再反向延长线段AB至D，使AD=12AB；
（3）线段CD是线段AD的多少倍？

思路引领：设AB＝x，根据题意表示出CD的长度继而可得出答案．
解：设AB＝x，则BC=32x，AD=12x，
∴CD＝AD+AB+BC＝3x，
∴线段CD是线段AD的6倍．
解题秘籍：本题考查比较线段的长短，比较简单，注意正确理解题意．
14．（2019秋•陆川县期末）已知：如图，B，C两点把线段AD分成2：4：3三部分，M是AD的中点，若CD＝6，求：线段MC的长．

思路引领：先由B、C两点把线段AD分成2：4：3的三部分，知CD=13AD，即AD＝3CD，求出AD的长，再根据M是AD的中点，得出MD=12AD，求出MD的长，最后由MC＝MD﹣CD，求出线段MC的长．
解：∵B、C两点把线段AD分成2：4：3的三部分，2+4+3＝9，
∴AB=29AD，BC=49AD，CD=13AD，
又∵CD＝6，
∴AD＝18，
∵M是AD的中点，
∴MD=12AD＝9，
∴MC＝MD﹣CD＝9﹣6＝3．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离，利用中点及其它等分点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
15．（2020秋•海珠区校级月考）已知线段AB＝8（点A在点B的左侧）．
（1）若在直线AB上取一点C，使得AC＝3CB，点D是CB的中点，求AD的长；
（2）若M是线段AB的中点，点P是线段AB延长线上任意一点，点N是线段BP的中点，求PM+ANMN的值．
思路引领：（1）①当点C在线段AB上时，如图1，②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，③当点C在BA的延长线上时，明显，次情况不存在；列方程即可得到结论；
（2）如图3，根据题意得出BM=12AB，BN=12PB，即可得出MN=12AP，因为PM+ANMN=AP+MNMN=APMN+1，代入即可得到结论．
解：（1）①当点C在线段AB上时，如图1，
∵AC＝3BC，
设BC＝x，则AC＝3x，
∵AB＝AC+BC，
∴8＝3x+x，
∴x＝2，
∴BC＝2，AC＝6，
∵点D是CB的中点，
∴CD＝BD=12BC＝1，
∴AD＝AC+CD＝6+1＝7；
②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，
设BC＝x，AC＝3BC＝3x，
∵AB＝AC﹣BC＝2x＝8，
∴x＝4，
∴BC＝4，AC＝12，AB＝8，
∵点D是CB的中点，
∴BD＝CD=12BC＝2，
∴AD＝AB+BD＝8+2＝10；
③当点C在BA的延长线上时，明显，此情况不存在；
综上所述，AD的长为7或10；
（2）如图3，∵M是线段AB的中点，点N是线段BP的中点，
∴BM=12AB，BN=12PB，
∴MN＝BM+BN=12AB+12PB=12（AB+PB）=12AP，
∴PM+ANMN=AP+MNMN=APMN+1＝2+1＝3．



解题秘籍：本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，正确的作出图形是解题的关键．