第26讲 四种数学思想方法在求角的度数中的运用（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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类型一 用整体思想求角
典例1 如图所示，OC、OE分别是∠AOD、∠BOD的平分线，且∠AOB＝150°，求∠COE的度数．
思路引领：由角平分线的定义可求得∠DOE=12∠BOD，∠COD=12∠AOD，再利用角的和差可求得答案．
解：
∵OC、OE分别是∠AOD、∠BOD的平分线，
∴∠DOE=12∠BOD，∠COD=12∠AOD，
∴∠COE＝∠DOE+∠COD=12∠BOD+12∠AOD=12（∠BOD+∠AOD）=12∠AOB=12×150°＝75°．
解题秘籍：本题主要考查角平分线的定义，掌握角平分线把角分成两个相等的角是解题的关键．
针对训练1
1．（2021秋•太原期末）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 题
A：如图1，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB外部，且∠BOC＝30°，若射线OD平分∠BOC．求∠AOD的度数．
B：如图2，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB的内部，射线OD在∠COB内部，且∠COD＝10°，若射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，求∠MON的度数．
思路引领：A、根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
B、根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．
解：若选择A题，
A、∵射线OD平分∠BOC，
∴∠BOD=12∠BOC=12×30°＝15°，
∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，
∴∠AOD＝90°+15°＝105°；
若选择B题，
B、∵射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，
∴∠MON=12∠AOC，∠NOD=12∠BOD，
∵∠MON＝∠MOC+∠NOD+∠COD，
∴∠MON=12∠AOC+12∠BOD+∠COD，
∴∠MON=12（∠AOC+∠BOD）+∠COD，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOD+∠COD，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣10°＝80°，
∴∠MON=12×80°+10°＝50°．
解题秘籍：本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是正确的识别图形．
类型二 运用方程思想求角
典例2（2021秋•武昌区期末）如图，∠AOC与∠BOC互余，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE．
（1）若∠AOD＝75°，求∠AOE的度数．
（2）若∠DOE＝54°，求∠EOC的度数．
思路引领：设∠AOE＝x，表示出∠EOC，从而得到∠AOC和∠BOC，再根据角平分线的定义表示出∠COD，（1）根据∠AOD＝∠AOC+∠COD列方程求解即可；
（2）根据∠DOE＝∠EOC+∠COD列方程求出x的值，再求解即可．
解：设∠AOE＝x，
∵∠EOC＝2∠AOE，
∴∠EOC＝2x，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝3x，
∵∠AOC与∠BOC互余，
∴∠BOC＝90°﹣3x，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD=12∠BOC＝45°−32x，
（1）若∠AOD＝75°，则∠AOD＝∠AOC+∠COD＝75°，
即3x+45°−32x＝75°，
解得x＝20°，
即∠AOE的度数为20°；
（2）若∠DOE＝54°，则∠DOE＝∠EOC+∠COD＝54°，
即2x+45°−32x＝54°，
解得x＝18°，
2x＝36°，
即∠EOC的度数是36°．
解题秘籍：本题考查了余角和补角，角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于表示出∠COD．
针对训练2
2．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝18°，求∠AOC的度数为 ．
思路引领：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2∠AOC＝2x，∠AOB＝3x．由OD平分∠AOB，根据角平分线定义得出∠AOD＝1.5x，于是由∠COD＝∠AOD﹣∠AOC列出方程1.5x﹣x＝18°，解方程求出x的值即可．
解：设∠AOC＝x，
∵∠BOC＝2∠AOC，
∴∠BOC＝2x．
∴∠AOB＝3x．
又∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝1.5x．
∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，
∴1.5x﹣x＝18°，
解得x＝36°，
∴∠AOC＝36°；
故答案为：36°．
解题秘籍：本题考查了角平分线的定义，要设恰当的未知数，用同一个未知数表示相关的角，根据已知的角列方程进行计算是解此题的关键．
类型三 运用分类讨论思想求角
典例4如图，已知∠AOB＝90°，以O为顶点，OB为一边画∠BOC，若∠BOC＝α（0°＜α＜90°），∠AOC与∠BOC的平分线分别是OM，ON，求∠MON的度数．
思路引领：（1）如图1，根据题意，易得∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，进而结合∠MON＝∠MOC+∠NOC的关系，易得答案；
（2）如图2，根据题意，易得∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，进而结合∠MON＝∠MOC﹣∠NOC的关系，易得答案；
解：如图1，若射线OC在∠AOB的内部，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC
=12∠AOC+12∠BOC
=12∠AOB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠MON＝45°．
如图2，若射线OC在∠AOB的外部，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
=12∠AOC−12∠BOC
=12∠AOB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠MON＝45°．
解题秘籍：本题考查角平分线的定义与运用，注意结合图形，发现角与角之间的关系，利用角的和差关系解题．
针对训练3
3．已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，求∠COF的度数．
思路引领：由OE平分∠AOB，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，可得∠AOD的值，再由OD平分∠AOC，可得出∠COD＝∠AOD，由OF平分∠BOC，即可得出∠COF的值．
解：①如图1，
∵OE平分∠AOB，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，
∴∠AOD＝30°+30°+20°＝80°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠AOD＝80°，
∴OF平分∠BOC，
∴∠COF＝（80°+20°）÷2＝50°．
②如图2，
∵OE平分∠AOB，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，
∴∠AOD＝30°+30°﹣20°＝40°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠AOD＝40°，
∴OF平分∠BOC，
∴∠COF＝（40°﹣20°）÷2＝10°．
解题秘籍：本题主要考查了角的计算及角平分线的定义，解题的关键是角平分线的灵活运用．
类型四 运用化归思想求角
典例4 如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，OE是∠BOD的三等分线，求∠COE的度数．
思路引领：先根据∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB求出∠AOC＝∠BOC＝45°，故可得出∠BOD＝45°，再由OE是∠BOD的三等分线得出∠BOE的度数，根据∠COE＝∠BOC+∠BOE即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，
∠AOC＝∠BOC＝45°，
∴∠BOD＝45°．
∵OE是∠BOD的三等分线，
∴∠BOE=23∠BOD=23×45°＝30°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝45°+30°＝75°．
解题秘籍：本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
针对训练4
4．（2021秋•永登县期末）如图，∠AOB＝110°，∠COD＝70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小．
思路引领：由∠AOB＝110°，∠COD＝70°，易得∠AOC+∠BOD＝40°，由角平分线定义可得∠AOE+∠BOF＝40°，那么∠EOF＝∠AOB+∠AOE+BOF．
解：∵∠AOB＝110°，∠COD＝70°
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝40°
∵OA平分∠EOC，OB平分∠DOF
∴∠AOE＝∠AOC，∠BOF＝∠BOD
∴∠AOE+∠BOF＝40°
∴∠EOF＝∠AOB+∠AOE+∠BOF＝150°．
故答案为：150°．
解题秘籍：解决本题的关键利用角平分线定义得到所求角的两边的角的度数．
专题提优训练
1．（2021秋•金乡县期末）如图所示，∠AOB：∠BOC：∠COD＝4：5：3，OM平分∠AOD，∠BOM＝20°，求∠AOD和∠MOC．
思路引领：设∠AOB＝4x，∠BOC＝5x，∠COD＝3x，得到∠AOD＝12x，根据角平分线的定义得到∠AOM=12∠AOD＝6x，根据题意列出方程，解方程即可．
解：设∠AOB＝4x，∠BOC＝5x，∠COD＝3x，
∴∠AOD＝12x，
∵OM平分∠AOD，
∴∠AOM=12∠AOD＝6x，
由题意得，6x﹣4x＝20°，
解得，x＝10°，
∴∠AOD＝12x＝120°，∠BOC＝5x＝50°，
∴∠MOC＝∠BOC﹣∠BOM＝30°．
解题秘籍：本题考查的是角平分线的定义，掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解题的关键．
2．（221秋•江汉区期末）已知∠AOB．
（1）如图，OC是∠AOB的平分线，D是∠BOC内一点，若∠AOC＝5∠BOD，∠AOB＝150°，求∠AOD的度数；
（2）OE是∠AOB的三等分线，T是∠AOB内部的一点，且∠BOT+∠EOA＝∠AOT，求∠AOB：∠TOB的值．
思路引领：（1）设∠BOD＝x°，则∠AOC＝5x°，根据角平分线的定义得到∠BOC＝∠AOC＝5x°，求得∠COD＝4x°，于是得到结论；
（2）如图1，设∠BOT＝x，∠EOT＝y，则∠BOT+∠EOT＝x+y，由OE是∠AOB的三等分线，得到∠AOB＝3∠BOE＝3x+3y，解得x＝y，于是得到结论；如图2，由OE是∠AOB的三等分线，得到∠AOE=13∠AOB，推出∠BOT=13∠AOB，于是得到结论．
解：（1）∵∠AOC＝5∠BOD，
设∠BOD＝x°，则∠AOC＝5x°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠BOC＝∠AOC＝5x°，
∴∠COD＝4x°，
∴∠AOB＝10x°＝150°，
解得x＝15，
则∠AOD＝∠AOC+∠COD＝9x＝135°；
（2）如图1，设∠BOT＝x，∠EOT＝y，
则∠BOT+∠EOT＝x+y，
∵OE是∠AOB的三等分线，
∴∠AOB＝3∠BOE＝3x+3y，
∴∠AOE＝2x+2y，
∵∠BOT+∠EOA＝∠AOT，
∴x+2x+2y＝2x+3y，
解得x＝y，
∴∠AOB＝6x，
∴∠AOB：∠TOB＝6：1；
如图2，
∵OE是∠AOB的三等分线，
∴∠AOE=13∠AOB，
∵∠BOT+∠EOA＝∠AOT，∠AOT＝∠AOE+∠TOE，
∴∠TOE＝∠BOT，
∴∠BOT=13∠AOB，
∴∠AOB：∠TOB＝3：1．
解题秘籍：本题考查了角平分线的定义，角的计算，正确的画出图形是解题的关键．
3．（2021秋•溧水区期末）在同一平面内，若∠AOB＝50°，∠AOC＝40°，∠BOD＝30°，则∠DOC的度数是 40或20或120或60 °．
思路引领：先画出图形，再根据角的和差关系即可求解．
解：如图所示：
如图1，∠DOC＝∠AOB﹣∠AOC+∠BOD＝40°，
如图2，∠DOC＝∠BOD﹣（∠AOB﹣∠AOC）＝20°，
如图3，∠DOC＝∠AOB+∠AOC+∠BOD＝120°，
如图4，∠DOC＝∠AOB+∠AOC﹣∠BOD＝60°．
故∠DOC的度数是40或20或120或60°．
故答案为：40或20或120或60．
解题秘籍：考查了角的计算，关键是熟练掌握角的和差关系，难点是正确画出图形，做到不重复不遗漏．
4．（2021秋•丹江口市期末）如图，已知∠AOB＝α°，∠COD在∠AOB内部且∠COD＝β°．
（1）若α，β满足|α﹣2β|+（β﹣60）2＝0，则①α＝ ；
②试通过计算说明∠AOD与∠COB有何特殊关系；
（2）在（1）的条件下，如果作OE平分∠BOC，请求出∠AOC与∠DOE的数量关系；
（3）若α°，β°互补，作∠AOC，∠DOB的平分线OM，ON，试判断OM与ON的位置关系，并说明理由．
思路引领：（1）①根据非负数的性质列方程即可得到结论；
②根据角的和差和平角的定义即可得到结论；
（2）设∠AOC＝θ°，则∠BOC＝120°﹣θ°，根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义和补角的性质即可得到结论．
解：（1）①∵|α﹣2β|+（β﹣60）2＝0，
∴α﹣2β＝0，β﹣60＝0，
∴α＝120；
故答案为：120；
②∵∠AOB＝α°＝120°，∠COD＝β°＝60°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝120°﹣∠DOB，
∠COB＝∠COD+∠DOB＝60°+∠DOB，
∴∠AOD+∠COB＝180°，即∠AOD与∠COB互补；
（2）设∠AOC＝θ°，则∠BOC＝120°﹣θ°，
∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC=12（120°﹣θ°）＝60°−12θ°
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝60°﹣60°+12θ°=12θ°=12∠AOC；
（3）OM⊥ON．理由如下：
∵OM，ON分别平分∠AOC，∠DOB，
∴∠COM=12∠AOC，
∴∠DON=12∠BOD，
∴∠MON＝∠COM+∠COD+∠DON
=12∠AOC+12∠BOD+∠COD
=12（∠AOC+∠BOD）+∠COD
=12（∠AOB﹣∠COD）+∠COD
=12（∠AOB+∠COD）
=12（α°+β°）
∵α°，β°互补，
∴α°+β°＝180°，
∴∠MON＝90°，
∴OM⊥ON．
解题秘籍：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是运用角的和差关系进行计算．解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
5．（2021秋•北仑区期末）如图，已知OA⊥OD，∠FOD＝2∠COD，OB平分∠AOC，OE平分∠COF．
（1）若∠COD＝30°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOE＝85°，求∠COD的度数．（提示：设∠COD＝x°）
思路引领：（1）根据∠COD＝30°，OA⊥OD，可求出∠AOC，根据OB平分∠AOC和∠FOD＝2∠COD，可求出∠FOD，再根据OE平分∠COF，求出∠COE，即可求出∠BOE；
（2）设∠COD＝x°，根据已知条件可得∠BOC=12(90−x)，∠COE=32x，然后列方程，解方程即可求出答案．
解：（1）∵∠COD＝30°，OA⊥OD，∴∠AOC＝60°，
∵OB平分∠AOC，∴∠BOC＝30°，
∵∠FOD＝2∠COD，∴∠FOD＝60°，
∵OE平分∠COF，∴∠COE＝45°，
∴∠BOE＝30+45＝75°；
（2）设∠COD＝x°，由已知可得：
∠BOC=12(90−x)，∠COE=32x，
∴12(90−x)+32x=85，解之x＝40
答：∠COD＝40°．
解题秘籍：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，此题涉及到方程思想，有一定拔高难度，属于中档题．