第4讲 探求多边形边数及角度问题（原卷+解析）-2022-2023学年八年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

第4讲 探求多边形边数及角度问题（原卷版）

第一部分 典例剖析+针对训练

类型一  剪去一个角问题

典例1（2021秋•余干县月考）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°．

（1）求六边形ABCDEF的内角和；

（2）求∠BGD的度数．

典例2 （2021春•江都区期中）【课本引申】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

【尝试探究】

（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？

【拓展运用】

（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，若∠1+∠2＝230°，则剪掉的∠C＝　 　；

（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请直接写出答案　    　．

（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）

针对训练1

1．（2021秋•韶关期末）探索归纳：

（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝　 　．

（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　．

（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 　    　．

（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．

2．（2020春•淮阳区期末）将一个凸n边形剪去一个角得到一个新的多边形，其内角和为1620°，求n的值．

类型二  多算、漏算、错算一个角问题

典例3 （2022春•宝应县校级月考）小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍

（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？

（2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？

典例4（2022•石家庄模拟）看图回答问题：

（1）内角和为2014°，小明为什么说不可能？

（2）小华求的是几边形的内角和？

针对训练2

3．（2021秋•海阳市期末）小东在计算多边形的内角和时不小心多计算一个内角，得到的和为1350°，则这个多边形的边数是（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

4．（2021秋•通山县校级月考）某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是1125°，老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？

第二部分   专题提优训练

1．（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（　　）

A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0 

C．α﹣β＞0 D．无法比较α与β的大小

2．（2021秋•寻乌县期末）将一个四边形ABCD的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（　　）

A．180°        B．180°或360°      C．360°或540°     D．180°或360°或540°

3．（2021秋•黄石期末）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（　　）

A．360° B．540° C．720° D．730°

4．（2021秋•通道县期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　）

A．135° B．270° C．300° D．315°

5．（2021春•兴化市期中）将一个五边形沿着某条直线剪开，得到两个新多边形，如果两个新多边形的内角和分别为α，β，那么α+β＝　      　°．

6．（2021秋•交城县期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是 　    　边形．

7．（2021春•常熟市期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝120°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝　　°．

8．（2021春•嵩县期末）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为　 　．

9．（2020秋•临西县月考）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．

（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD＝　 　°．

（2）如图3，将长方形纸片剪三刀．剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD＝　 　°．

（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD＝　   °．

（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出（n+1）个角，那么这（n+1）个角的和是　   　°．

10．（2021秋•鲁甸县期中）一个多边形沿一条对角线剪去一个内角后，得到一个内角和为1080°的新多边形，求原多边形的边数．

11．（2021春•常州期末）如图，从四边形ABCD的纸片中只剪一刀，剪去一个三角形，剩余的部分是几边形，请画出示意图，并在图形下方写上剩余部分多边形的内角和．

12．（2021秋•孝昌县期中）小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2620°．

（1）求这个多加的外角的度数；

（2）求这个多边形的边数．

13．（2021秋•荣昌区校级期中）小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？

14．（2021春•耒阳市校级期中）某同学在计算多边形的内角和时少加了一个内角的度数，得到的答案是1125°，求这个多边形的边数是多少？少加的那个内角的度数是多少？

15．（2021春•桥西区期末）[尝试探究]

如图1，在一张三角形纸片上，剪去△ABC，得到四边形BCHG，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角

（1）请你试着说明：∠1+∠2＝180°+∠A

（2）如图2，如果沿着EF再剪一刀，∠3与∠4分别为△AEF的两个外角，那么∠1+∠2和∠3+∠4的数量关系为　            　

（3）如图3，EP，FP分别平分外角∠FEG、∠EFH，求∠EPF与∠A的数量关系：

[拓展提升]

如图4，在四边形BCFE中，EP、FP分别平分外分∠FEG、∠EFH，请写出∠EPF，∠1、∠2这三个角的数量关系，并说明理由．