第05讲 全等三角形的常见辅助线（原卷+解析）-2022-2023学年八年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）

第05讲 全等三角形的常见辅助线（原卷版）

第一部分 典例剖析+针对训练

类型一 倍长中线和类倍长中线

1．（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；

（2）探究应用：

如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

针对训练1

1．（2016秋•宁都县期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　）

A．2＜AD＜8 B．0＜AD＜8 C．1＜AD＜4 D．3＜AD＜5

2．（2021秋•江州区期末）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，那么边AB的取值范围为（　　）

A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13 C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜13

3．（2021秋•微山县期中）【发现问题】

小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：

如图1，AD是△ABC的中线，若AB＝8，AC＝6，求AD的取值范围．

【探究方法】

小强所在学习小组探究发现：延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE．可证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到同一个△ABE中，进而求出AD的取值范围．

方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做倍长中线法．

【应用方法】

（1）请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AD的取值范围的过程；

【拓展应用】

（2）已知：如图2，AD是△ABC的中线，BA＝BC，点E在BC的延长线上，EC＝BC．写出AD与AE之间的数量关系并证明．

类型二  过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形

典例2如图，D为CE的中点，F为AD上一点，且EF＝AC．求证：∠DFE＝∠DAC．

针对练习2

4．如图．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F

（1）求证：点F是ED的中点；

（2）求证：S△ABC＝2S△BEF．

类型三 中点加平行线构造8字全等

典例3如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，E为CD的中点，若用S1、S2、S3分别表示△ADE、△EBC、△ABE的面积，则S1、S2、S3的关系是（　　）

A．S1+S2＞S3 B．S1+S2＝S3 C．S1+S2＜S3 D．以上都不对

针对训练3

5．（2021•行唐县模拟）如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，

请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；

类型四 截长补短法构造全等

典例4 已知：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．求证：BC＝AB＋CD．

针对训练4

6．（2021秋•阳谷县期末）如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：AD+BC＝AB．

第二部分 专题提优训练

1．（2021秋•肥西）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（　　）

A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7

2．（2022春•绥宁县期中）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，则下列说法正确的有（　　）

①AB∥CD；②AE平分∠DAB；③△EBA≌△DCE；④AB+CD＝AD；⑤AE⊥DE．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

3．（2021秋•确山县期末）已知：如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝6，中线AD＝4．则AC的取值范围是 　 　．

4．（2021春•大庆期末）如图．AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM．

5．（2010春•林州市）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE．求证：AD+BC＝DC．

6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点．

（1）求证：S△CED＝S△ADE+S△BCE．

（2）当CE＝DE时，判断BC与CD的位置关系，并说明理由．

7．（2021秋•南召县期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：

（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是　 　．

（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长．

8．（2020•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE+CD．

9．（2020秋•岫岩县期中）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．

已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．

求证：AB＝CD．

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．

（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．

①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；

②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．

（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．