第08讲 全等三角形的性质和判定的应用（原卷+解析）-2022-2023学年八年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

第08讲 全等三角形的性质和判定的应用（原卷版）

第一部分 典例剖析+针对训练

名师点金：全等三角形常见基本构图类型

类型一 全等三角形的性质与判定的应用

名师点金：依据三角形全等的条件证明三角形全等从而得到边等角等

题型一   一次全等

名师点金：这类问题题目条件和结论一般都指向同一对三角形，属于全等条件比较直接的类型，一次全等便可解决问题.

典例1（2020春•文圣区期末）已知：如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，且AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．

（1）试说明：△ABC≌△DEF；

（2）判断线段AC与DF的关系，并说明理由．

针对训练1

1．（2021•碑林区校级三模）如图，已知AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．求证：BD＝CE．

题型二 两次全等

名师点金：这类问题题目条件和待求问题一般都不是指向于同一对三角形，即条件较容易得出的全等三角形，并不能直接得出要证明的边角相等，但是可以得出待求边角所在的三角形全等所缺少的条件，于是两次全等便可解决问题.

典例2如图，AD、BC相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，EF过点O，分别交AB、CD于点E、F，且∠AOE＝∠COF，求证：OE＝OF．

针对训练2

2．如图所示，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O，OD＝OE．求证：AB＝AC．

类型二   全等的简单构造

名师点金：题目条件或结论所指向的三角形不存在，或部分残缺，如果只需要连接某些线段或作适当添补便可得到全等三角形并且可以有效解决问题，这时便可运用辅助线构造全等.

方法技巧一  连线构造全等

典例3（2021秋•海门市期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC

求证：AB＝CD，AD＝BC．

针对训练3

3．（2021秋•广安期中）如图，AB＝CD，AC＝BD，求证：∠A＝∠D．

方法技巧二   已知一角和角的一边相等（SA）作垂直，构造（AAS或ASA）全等

典例4如图，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC，求证：∠ADB＝45°．

方法技巧三    已知一角和角的一边相等（SA）截取边等构造（SAS）全等

典例5（2021秋•江夏区期末）如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ADB＝45°

（1）求证：BD⊥CD；

（2）若BD＝6，CD＝2，求四边形ABCD的面积．

方法技巧四   作平行构造全等

典例5（2020秋•沿河县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF＝EF，求证：BD＝CE．

针对训练4

4．（2021•广东开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE＝BD，连接DE交BC于F．

（1）猜想DE与EF的大小关系；

（2）请证明你的猜想．

方法技巧六  补形构造全等

典例6如图所示，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于点D，求证：CDAE．

针对训练5

5．如图，五边形ABCDE中：

（1）若AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F为CD的中点，求证：AF⊥CD；

（2）若AB＝AE，∠B＝∠E，AF平分∠BAE，AF⊥CD，求证：F为CD的中点；

（3）若∠B＝∠E，BC＝ED，∠C＝∠D，AF平分∠BAE，求证：F为CD的中点．

第二部分   专题提优训练

1．（2021秋•南沙区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．

2．（2021秋•巴南区校级期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．

（1）求证：DF＝BE；

（2）若AB＝10，AD＝8，求AE的长．

3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为斜边BC上一点，且BD＝BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：AE＝ED．

4．（2017春•钦州期末）如图，已知△ACE≌△DBF．CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2．

（1）求AC的长度；

（2）试说明CE∥BF．

5．（2021•吉林二模）如图，已知∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC．求证：AB＝DC．

6．如图，已知，AD为ABC的角平分线，CE⊥AD于点O，CE交AB于E，EF∥BC，求证：∠DEC＝∠FEC．

7．（2021•青龙县一模）已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE＝EF．求证：AE＝CE．

8．（2019春•金水区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

（1）如图①，若∠ADE＝60°，AB＝AC＝2，点D在线段BC上，

①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；

②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；

（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．