第13讲 共顶点双等腰三角形模型专项突破（原卷+解析）-2022-2023学年八年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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第13讲   共顶点双等腰三角形模型（原卷版）第一部分 典例剖析+针对训练类型一  双等边三角形构成的手拉手模型典例1如图，以△ABC的边AB，AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD相交于点F．（1）求证：DC＝BE．（2）求∠DFE的度数．（3）求证：FA平分∠DFE．（4）求证：DF＝AF+BF．针对练习11．已知，如图，以△ABC的边AB、AC为边，分别在△ABC外作等边△ABD，等边△ACE．（1）如图1，求证：BE＝CD；（2）如图1，求∠BOC的度数；（3）如图1，求证：AO平分∠DOE；（4）如图2，求证：AO+BO＝DO；（5）如图3，若点P为CD的中点，点Q为BE的中点，求证：△APQ为等边三角形．
类型二 双等腰直角三角形构成的手拉手模型典例2（2020秋•江阴市期中）如图，分别以△ABC的边AB，AC为边向外作等腰直角三角形△ABD和△ACE，∠BAD＝90°，∠CAE＝90°．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；（2）如图②，连接DE，求证：S△ABC＝S△ADE．针对练习22．（2021秋•德清县期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，点D是CA延长线上的一点，点E在线段AB上，且AD＝AE，连结BD和CE，延长CE交BD于点F．求证：BD＝CE；（2）在（1）的条件下，若点F为BD的中点，求∠ABD的度数；（3）如图2，点P是△ABC外一点，∠APB＝45°，猜想PA，PB，PC三条线段长度之间存在的数量关系，并证明你的结论． 
类型三  一般双等腰三角形构成的手拉手模型典例3（2022春•渝中区校级月考）证明题在等腰△ABC与等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，当点E，D，B三点在同一直线上时，且BE⊥AC，∠BAC＝50°，求∠EBC的度数；（2）如图2，将△ADE绕A点旋转，当ED延长线交于BC的中点M时，连接BD，CE，求证：∠BDM＝∠MEC． 针对练习33．（2021春•普宁市期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝α，∠DCE＝β．（1）如图1，点D在线段BC上移动时，试说明△ABD≌△ACE（2）如图2，点D在线段BC的延长线上移动时，探索角α与β之间的数量关系并证明；（3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在备用图上根据题意画出图形，并猜想角α与β之间的数量关系是　α＝β　，线段BC、DC、CE之间的数量关系是　   　．
第二部分 专题提优训练1．（2021秋•武昌区期中）如图△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点．（1）如图，若OC＝5，求BD的长度；（2）设BD交x轴于点F，求证：∠OFA＝∠DFA；（3）如图，若正△AOB的边长为4，点C为x轴上一动点，以AC为边在直线AC下方作正△ACD，连接ED，求ED的最小值   2．（2011秋•江夏区期末）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．（1）如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝　 　；（2）如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝　  　；（3）如图3，若∠DAB＝α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明．
3．（2019秋•越秀区校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC于点C，CE＝BD．求证：△ADE是等边三角形．4．（2014秋•和平区期末）如图，△ABC中，∠CAB+∠CBA＝120°，点D，E分别在边AC，BC上，且AD＝BE，以DE为边作等边△DEF，连接AF，BF．求证：△FAB是等边三角形．5．（2017春•水城县校级期末）已知：如图△ABC是等边三角形，D、E分别是BC，AC上两点且BD＝CE，以AD为边在AC一侧作等边△ADF．求证：EF∥BC．
6．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，求证：（1）BE＝CD；（2）FA平分∠EFC；（3）∠BFD＝60°；（4）FE+FC＝FA．7．（2016秋•西华县期中）如图①，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD和CE相交于点F，若△ABC不动，将△ADE绕点A任意旋转一个角度．（1）求证：△BAD≌△CAE．（2）如图①，若∠BAC＝∠DAE＝90°，判断线段BD与CE的关系，并说明理由；（3）如图②，若∠BAC＝∠DAE＝60°，求∠BFC的度数；（4）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝α，直接写出∠BFC的度数（不需说明理由）