3.3导数研究函数的极值、最值（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.3  导数研究函数的极值、最值

【题型解读】

【知识储备】

1、函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

2、函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

3、常用结论

（1）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．

（2）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．

（3）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．

【题型精讲】

【题型一　求函数的极值】

必备技巧  求具体函数极值的步骤

①确定函数的定义域；

②求导数；

③解方程，求出函数定义域内的所有根；

④列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．

例1　（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数在与时，都取得极值．

(1)求，的值；

(2)若，求的单调增区间和极值．

【答案】(1)，

(2)函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，函数的极大值是，函数的极小值是.

【解析】(1)

，由条件可知和，

即，解得：，，

所以，

检验：

经检验与时，都取得极值，满足条件，所以，；

(2)，解得：，

所以

有表可知，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是

，函数的极大值是，函数的极小值是.

例2　（2022·河南高三月考）已知函数，求函数的极大值与极小值．

【解析】：由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax.

令f′(x)＝0得x＝0或.

当a>0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：

∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝＝－－＋1.

当a<0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：

∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝＝－－＋1.

综上，f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝＝－－＋1.

【题型精练】

1．（2022·天津·崇化中学期中）函数有（       ）

A．极大值为5，无极小值 B．极小值为，无极大值

C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为

【答案】A

【解析】,

由，得，由，得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以在时，取得极大值，无极小值.故选：A

2. （2022·石嘴山市第三中学期末）已知函数，则_____，有极______（填大或小）值．

【答案】    有极大值   

【解析】由题意，函数，可得，所以，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，所以有极大值．故答案为：；极大值．

3. （2022·重庆市育才中学高三月考）已知是函数的一个极值点，则的值是（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】，

∴，∴，∴故选：D

【题型二　已知函数极值求参】

例3　（2022·山东青岛高三期末节选）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，令，

因为函数有两个极值点，

所以有两个不同的解，且在零点的两侧符号异号.

，

当时，，在上单调递增，故不可能有两个零点.

当时，时，，在上单调递增；

时，，在上单调递减，

所以 ，即，.

当时，，故在上有一个零点；

当时，，

所以在上有一个零点，综上，，故选：D.

例4　（2022·天津市南开中学模考）已函，若在处取得极小值，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，

当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，满足题意；

当时，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，满足题意；

当时，在上单调递减，在上单调递增，满足题意；

当时，在上单调递增，不满足题意；

当时，在上单调递增，在上单调递减，不满足题意．故的取值范围为，

故选：D．

【题型精练】

1．（2022·天津市南开中学月考）已知没有极值，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】；

在上没有极值，，即，

解得：，即实数的取值范围为.故选：C.

2. （2022·安徽省江淮名校期末）函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，

函数在上有且仅有一个极值点，

在上只有一个变号零点.令，得.

设在单调递减，在上单调递增，，

又，得当，在上只有一个变号零点.故选：B.

3．（2022·河北张家口市·高三三模已知函数，若函数有三个极值点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】，求导，得，

令，得，或.

要使有三个极值点，则有三个变号实根，

即方程有两个不等于1的变号实根.

，令，

则，令，得.

易知，且，；，.

所以，当时，方程即有两个变号实根，

又，所以，即.

综上，的取值范围是.

故选：C.

【题型三　求函数的最值】

例5　（2022·河南高三期末）已知函数，下列说法正确的是（       ）

A．函数在上递增 B．函数无极小值

C．函数只有一个极大值 D．函数在上最大值为3

【答案】C

【解析】因为定义域为，

所以，

所以当或时，当时，

所以在上单调递减，在和上单调递增，

所以在处取得极大值，在处取得极小值，

即，，

又，，故函数在上最大值为；

故选：C

例6　（2022·广东汕尾·高三期末）已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为和；

(2)最大值为，最小值为.

【解析】(1)

函数的定义域为，，

由，可得，

当或时，，当时，，

的单调递减区间为，单调递增区间为和.

(2)由（1）知在上单调递减，在上单调递增.

又，

的最大值为，最小值为.

【题型精练】

1．（2022·广东·高三期末）函数在区间的最小值、最大值分别为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

所以在区间和上，即单调递增；

在区间上，即单调递减，

又，，，

所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D

2．（2022·全国单元测试）函数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

因为，

所以函数的最大值为，故选：B

3．（2022·甘肃城关·兰州一中高三期中）当时，函数取得最小值，则（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【详解】

解：，

当时，；当时，．

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取得最小值．

故选：A.

【题型四　已知函数最值求参】

例7　（2022·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末）已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，

若函数在上有最小值，即在先递减再递增，即在先小于0，再大于0，

令，得，令，，

只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，

设切点是，，则切线方程是：，将代入切线方程得：，

故切点是，切线的斜率是1，只需即可，解得，即，故选：D．

例8　（2022·湖南师范大学附中模考）已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．

(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．

【解析】

　(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，

令f′(x)＝0，得x＝1.

当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.

∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．

∴f(x)max＝f(1)＝－1.

∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.

(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.

①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，

∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合题意．

②若a<－，令f′(x)>0得 a＋>0，结合x∈(0，e]，

解得0<x<－；

令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－<x≤e.

从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，∴f(x)max＝f＝－1＋ln.

令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，即a＝－e2.

∵－e2<－，∴a＝－e2为所求．

故实数a的值为－e2.

【题型精练】

1.（2022·全国高三课时练习）已知函数，若在上既有极大值，又有最小值，且最小值为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】的零点为和1，

因为，所以1是函数的极小值即最小值点，则是函数的极大值点，

所以，且，解得.故选：C.

2. （2022年全国新高考I卷数学试题）（多选）已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】因为，所以，

令，解得，

所以在和时，，在时，，

所以函数在和上单调递增，函数在上单调递减，

则在内单调递增，所以在内，最大；

在时单调递减，所以在内，最大；

在时单调递增，所以在内，最大；

因为，且在区间上的最大值为28，

所以，即k的取值范围是，

故选：AB.

【题型五　极值、最值的综合应用】

例9　（2022·辽宁省实验中学分校高三期末）已知函数．

(1)当时，证明：当时，；

(2)若，函数在区间上存在极大值，求a的取值范围．

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】(1)由题意得，则，当时，，

在上是减函数，∴，设，在上是增函数，

∴，∴当时，．

(2)，且，

令，得或a，

①当时，则，单调递减，函数没有极值；

②当时，当时，，单调递减；

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

∴在取得极大值，在取得极小值，则；

③当时，当时，，单调递减；

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

∴在取得极大值，在取得极小值，由得：，

综上，函数在区间上存在极大值时，a的取值范围为．

【题型精练】

1.（2022·四川广元市·高三三模）（多选）对于函数，下列选项正确的是（       ）

A．函数极小值为，极大值为

B．函数单调递减区间为，单调递增区为

C．函数最小值为为，最大值

D．函数存在两个零点1和

【答案】AD

【解析】的定义域为，

所以，

所以为奇函数，

当时，，，

令，解得，

当时，，则为单调递增函数，

当时，，则为单调递减函数，

因为为奇函数，图象关于原点对称，

所以在上单调递减，在是单调递增，

所以的极小值为，极大值为，故A正确；

的单调递减区间为，单调递增区为，故B错误；

在无最值，故C错误；

令，解得，结合的单调性可得，存在两个零点1和，故D正确.

故选：AD

2. （2022·江苏·昆山柏庐高级中学期末）已知函数.

(1)当时，若在上存在最大值，求m的取值范围；

(2)讨论极值点的个数.

【答案】(1)；

(2)当时，函数有一个极值点；当时，函数有两个极值点；

当时，函数没有极值点.

【解析】

(1)因为，所以，

因为函数的定义域为：，

所以当时，单调递减，

当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，

因此要想在上存在最大值，只需，

所以m的取值范围为；

(2)

，

方程的判别式为.

（1）当时，即，此时方程没有实数根，

所以，函数单调递减，故函数没有极值点；

（2）当时，即，

此时，（当时取等号），所以函数单调递减，故函数没有极值点；

（3）当时，即，此时方程有两个不相等的实数根，

设两个实数根为，设，则，

函数的定义域为：，显然

当时，此时方程有两个不相等的正实数根，

此时当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

因此当时，函数有极小值点，当时，函数有极大值点，

所以当时，函数有两个极值点，

当时，方程有一个正实数根和一个负根，或是一个正实数和零根，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数有极大值点，

因此当时，函数有一个极值点，

综上所述：当时，函数有一个极值点；

当时，函数有两个极值点；

当时，函数没有极值点.