4.1三角函数概念和诱导公式（精练）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

4.1  三角函数概念和诱导公式

【题型解读】

【题型一　扇形面积公式与弧度制】

1. （2022·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为cm，则扇形的面积为______cm2．

【答案】．

【解析】扇形的圆心角为144°，半径为，所以扇形的面积为．

故答案为：．

2．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．

【答案】

【解析】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积

所以莱洛三角形的面积是.故答案为：

3．（2022·浙江浙江·二模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.

【答案】120

【解析】由题意得：扇形的弧长为30，半径为8，所以扇形的面积为：，

故答案为：120

4. （2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为，墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.

【答案】##

【解析】由题意可知，圆的半径为，即，

又，所以为正三角形，∴，

所以扇形的面积是.

故答案为：

5. （2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________.

【答案】

【解析】设扇形ABC的半径为rcm，弧长为lcm，则扇形面积.

由题意得，所以.

所以纸叠扇的周长，

当且仅当即，时，等号成立，

所以.又，

所以，

所以，

故.

故答案为：

6. （2022·全国·高三专题练习）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，，所以，所以，

设的外接圆的圆心为O，半径为R，如图所示，

由正弦定理得，所以，

内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，

则弓形的面积为，

外侧的圆弧以为直径，所以半圆的面积为，

则月牙形的面积为.故选：A．

【题型二　三角函数的定义】

1. （2022·北京高三模拟）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点的纵坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点的纵坐标为，所以，所以根据三角函数的定义，得：.

所以.故选：D

2. （2022·安徽）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由角的终边经过点，即，所以.故选：D.

3．（2022·安徽合肥市·合肥一中）已知顶点在原点的锐角，始边在x轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过后交单位圆于，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意得(为锐角)

∵为锐角，∴，∴

故选：B

4．（2022·内蒙古赤峰·高三期末）在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线对称，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】角和角的终边关于直线对称，则，．

．故选：C．

5．（2022·重庆·高三开学考试）若，则下列三角函数值为正值的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，所以C选项正确.

当时，，所以ABD选项错误.

故选：C

6. （2022·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（       ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】C

【解析】因为角第二象限角,所以，

所以，

当是偶数时，设，则，此时为第一象限角；

当是奇数时，设，则，此时为第三象限角.；

综上所述：为第一象限角或第三象限角，

因为，所以，所以为第三象限角．故选：C．

7. （2022·全国·高三专题练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】∵角的终边在第一象限，

∴，，则，，

当时，此时的终边落在第一象限，

当时，此时的终边落在第二象限，

当时，此时的终边落在第三象限，

综上，角的终边不可能落在第四象限，

故选：D.

【题型三　同角三角函数关系应用】

1. （2022·宁夏·固原一中一模）若，且在第四象限，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵，且在第四象限，∴，∴．故选：D．

2．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知，则___________．

【答案】

【解析】解：．

故答案为：

3．（2022·全国·高三阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知条件可知，点在直线上，则，，

所以，.故选：B.

4．（2022·湖南益阳·一模）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，

所以

故选：D.

5. （2022·广东广州·三模）已知，若，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将两边平方得：2sinxcosx=-<0,

所以 ，

又因为>０，

所以，2x,

又因为sin2x=-,

所以cos2x=-=-.

 故选：D.

【题型四　三角函数诱导公式的应用】

1. （2022·宁夏）已知（        ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，故选：D

2. （2022·贵州·贵阳一中模拟预测）若则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，

所以，

故选：B.

3. （2022·广西南宁）化简：（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】,故选：D

4. （2022·全国·高三专题练习）（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（       ）

A．成立的条件是角是锐角

B．若（），则

C．若（），则

D．若，则

【答案】CD

【解析】由诱导公式二，知时，，所以A错误．

当（）时，，此时，

当（）时，，此时，所以B错误．

若（），则，所以C正确．

将等式两边平方，得，所以或．

若，则，此时；

若，则，此时，

故，所以D正确．

故选CD

5. （2022·宁夏中卫·一模）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，可得，则故故选：D

6. （2022·全国·高三专题练习）（1）已知是角终边上一点，求，，的值；

（2）已知，求下列各式的值：

①；

②．

【答案】（1）；；；（2）①；②

【解析】（1）是角终边上一点，

则，

，

.

（2）由，则，

 ①.

②