4.6解三角形中的中线、角平分线、高线问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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4.6  解三角形中的中线、角平分线、高线问题【题型解读】【知识储备】一．中线有关结论、方法中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍．即：如图，在中，为中点，则． 证明　在中，，在中，．．另外已知两边及其夹角也可表述为：．证明　由，，．二．角平分线有关结论、方法角平分线定理：如图，在中，是的平分线，则．证法1　在中，，在中，，．证法2　该结论可以由两三角形面积之比得证，即．三．高线有关结论、方法高的性质：分别为边上的高，则求高三般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．【题型精讲】【题型一　与中线有关的解三角形】必备技巧   处理中线问题的三大技巧1.直接用中线定理，2.向量法处理中线问题，3.过一顶点引平行线处理中线问题。例1  （2022·全国·高三课时练习）在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，则BC＝________． 例2  （2022·全国·高三专题练习）已知中，角，，的对边分别为，，，且满足，，（1）求证：；（2）若边上中线，求的面积．      【题型精练】1．（2022·全国高三单元测试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanC＝，a＝b＝，BC边上的中点为D，则sin∠BAC＝________，AD＝________． 2．（2022·合肥百花中学高三期末）已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，为的中点，的面积为，求的长．       3．（2022·全国高三课时练习）在中，角、、的对边分别为、、，．（1）求角的大小；（2）若，求边的中线长度的最小值．      【题型二　与角平分线有关的解三角形问题】必备技巧   处理角平分线问题四大技巧1.利用角平分线的性质，2.利用角平分线长定理，3.利用面积法处理，4.利用张角定理。例3　（2022·广西河池·高三期末）在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________． 例4　（2022·山东济南·高三期末）在①②③三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足___________.（1）求角A；（2）若A的角平分线AD长为1，且，求的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.      【题型精练】1．（2022·河南·高三期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos ∠ADB的值为(　　)A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．± 2．（2022·甘肃兰州·高三期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知，（1）若，求的值；（2）若的平分线交于，且，求的最小值。     3. （2022·四川资阳市高三月考）已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若角的角平分线交于点，，，求和的长度．    【题型三　与高线有关的解三角形问题】必备技巧   高线有关的解题技巧在三角形中利用正余弦定理计算或者利用面积法处理．例5　（2022·河南·高三阶段练习）如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin B＝，则BC边上的高AD的长为_____．  例6　（2022·山东济南市高三月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A.（2）若，边上的高为3，求c.    【题型精练】1．（2022·陕西高三期中）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的中线长为2，高线长为，且btanA＝(2c－b)tan B，则bc的值为________． 2．（2022·绵阳南山中学实验学校月考）设的内角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）若边上的高为，求．    3. （2022·济南省实验月考）中，角，，的对边分别为，，，边上的高为.（1）求；（2）若的周长为4，求边的长.