5.2平面向量的数量积及应用（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

5.2  平面向量的数量积及应用

【题型解读】

【知识必备】

1．两个向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，记作< a，b>．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.

2．平面向量的数量积

已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.

3．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos θ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos θ的乘积．

注意：b在a方向上的投影为|b|cos θ＝，而a在b方向上的投影为|a|cos θ＝，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.

4．平面向量数量积的重要性质

(1) a⊥b⇔a·b＝0；

(2)当a和b同向时，a·b＝|a||b|；当a和b反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a ＝|a|2，|a|＝；

(3)cos θ＝；

5．平面向量数量积的坐标运算

设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

(1) a·b＝x1x2＋y1y2， (2) |a|2＝x12＋y12或|a|＝.  (3) a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

(4) cos θ＝

【题型精讲】

【题型一  平面向量数量积的计算】

必备技巧 求平面向量数量积的方法

（1）没有向量坐标时，计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.

（2）有坐标时，a·b＝x1x2＋y1y2，.

例1（2022·河南高三月考）（1）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．

（2）．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为__________；·的最大值为________．

【答案】：　1．　 2．1　1

【解析】：1．法一　取，为一组基底，

则＝－＝－，＝＋＋＝－＋＋＝－＋，

∴·＝

＝||－·＋||2

＝×4－×2×1×＋＝．

法二 CO⊥AB于O，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A，B，

C，D，

所以E，F，

所以·＝＝＋＝．

2．法一　如图，·＝(＋)·

＝·＋·＝2＝1，·＝(＋)·

＝·＋·

＝·＝||·||≤||2＝1．

法二　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，

设E(t，0)，t∈[0，1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1．

因为＝(1，0)，所以·＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，

故·的最大值为1．

法三　由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，

∴·＝||·1＝1．

当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，∴(·)max＝||·1＝1．

例2 （2021·北京高考真题），，，则_______；_______．

【答案】0    3   

【解析】，

，，

.

故答案为：0；3.

【跟踪精练】

1. （2022·陕西·交大附中模拟预测）已知在平行四边形中，，则值为__________．

【答案】

【解析】由题设可得如下图：，而，

所以，

又，

所以，则，

故，可得，即.

故答案为：

2. （2022·云南玉溪·高三月考）已知中，，，点是线段的中点，则______．

【答案】

【解析】以底边的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图：

由已知条件和图可知，，，，故，

又因为点是线段的中点，所以，

所以，

从而，

故答案为：.

【题型二  利用数量积求模长】

必备技巧  利用数量积求模长

(1)没有向量坐标时，求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方.．

(2)有向量坐标时，|a|2＝x12＋y12或|a|＝．

例3（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（       ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【解析】解：因为，，且与的夹角为，

所以，

，

故选：C

例4（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量,，若的夹角为，则=___________.

【答案】

【解析】由,得,得.

故答案为：.

【跟踪精练】

1. （2022·全国·高三课时练习）已知，则（    ）

A． B． C．13 D．21

【答案】A

【解析】依题意，

，.

所以.故选：A

2. （2022·江苏姑苏·苏州中学高三月考）已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【解析】因为非零向量，的夹角为，且，所以，

又因为，所以，

即，所以整理可得：，因为，

解得：，故选：A.

【题型三  利用数量积求夹角】

方法技巧   利用数量积求夹角

(1)向量有没有坐标时，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.

(2)向量有坐标时，cos θ＝

例5（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）已知非零向量，满足，，则与夹角为______．

【答案】

【解析】因为，所以.

因为，所以，

所以.

设与夹角为，所以.

因为，所以.

例6（2022·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，

，即，

，

，

所以向量与的夹角为，

故选：B.

【题型精练】

1．（2022·河北武强中学高三月考）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为___________.

【答案】

【解析】由题意，设，又，设与的夹角为，所以，所以.故答案为：.

2. (2022·全国福建省漳州市高三期末) 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．

(1) 求a与b的夹角θ；

(2) 求|a＋b|；

(3) 若＝a，＝b，求△ABC的面积．

【解析】：(1) ∵  (2a－3b)·(2a＋b)＝61，

∴  4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．

又|a|＝4，|b|＝3，∴  64－4a·b－27＝61，

∴  a·b＝－6．∴  cosθ＝＝＝－．

又0≤θ≤π，∴  θ＝．

(2) 可先平方转化为向量的数量积．

|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2

＝42＋2×(－6)＋32＝13，

∴  |a＋b|＝．

(3) ∵  与的夹角θ＝，

∴  ∠ABC＝π－＝．

又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，

∴  S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3．

【题型四  利用数量积求解垂直问题】

方法技巧   利用向量数量积求解垂直问题

解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)

例7（2022·全国高三专题练习）已知，若，则x等于（    ）

A．8 B．10 C．11 D．12

【答案】D

【解析】∵，∴，又，∴，可得x=12.

故选：D

例8 （2022·海南海口·二模）已知向量，的夹角为45°，，且，若，则______．

【答案】-2

【解析】因为得，

又因为，

所以，所以．

故答案为：-2.

【题型精练】

1. （2022•南通期末）在中，，，若是直角三角形，则的值可以是

A． B． C． D．

【答案】．

【解析】中，，，

①当时，，

即，解得；

②当时，，且；

即，解得；

③当时，，

即，整理得，解得或；

综上知，的取值为或或．

2. （2022·河南开封·模拟预测）已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，

又与的夹角为且为单位向量，

所以，可得.

故选：A

【题型五  利用数量积求投影】

例9 （2022·江西鹰潭·二模）已知向量，则在方向上的投影为_________

【答案】

【解析】因为，，所以，，

因为，所以，所以，

所以在方向上的投影为，

故答案为：．

例10　(湖北高考)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为(　　)

A.           B.           C.－         D.－

【答案】A

【解析】∵A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，

∴a＝＝(2，1)，b＝＝(5，5).∴向量在方向上的投影为

||cos〈a，b〉＝×＝＝.故选A.

【题型精练】

1.( 2022·莆田第十五中学高三月考)已知，，，则在方向上的投影等于_______.

【答案】

【解析】设，的夹角为，

解得，则在方向上的投影等于故答案为：

2．（2022·新疆克拉玛依·三模）设，是两个非零向量，，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则叫做向量在向量上的投影向量.如下图，已知扇形的半径为1，以为坐标原点建立平面直角坐标系，，，则弧的中点的坐标为________；向量在上的投影向量为________ .

【答案】         

【解析】由已知，，，所以，

所以，因为点为弧的中点，所以，

扇形的半径为1，所以弧满足的曲线参数方程为，

所以中点的坐标为，所以的坐标为，，，

向量在上的投影为，

因为，所以向量在上的投影向量为.

故答案为：；