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    5.3等和线和极化恒等式(精练)-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)
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    【题型一 根据等和线求基底系数和的值】
    1.(2022·河南高三月考)在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,eq \(AN,\s\up7(→))=λeq \(AB,\s\up7(→))+μeq \(AC,\s\up7(→)),则λ+μ的值为( )
    A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.1
    2.(2022·陕西·交大附中模拟预测)在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若eq \(AB,\s\up7(→))=λeq \(AM,\s\up7(→))+μeq \(AN,\s\up7(→)),则λ+μ的值为( )
    A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,4)
    3. (2022·山东·山师附中模拟预测)在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,点E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若eq \(AC,\s\up7(→))=a,eq \(BD,\s\up7(→))=b,且eq \(AF,\s\up7(→))=λa+μb,则λ+μ等于( )
    A.1 B.eq \f(3,4) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,2)
    4. (2022·云南玉溪·高三月考)如图所示,在△ABC中,D,F分别是AB,AC的中点,BF与CD交于点O,设eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AC,\s\up6(→))=b,向量eq \(AO,\s\up6(→))=λa+μb,则λ+μ的值为_______.
    【题型二 根据等和线求基底的系数和的最值(范围)】
    1.(2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)给定两个长度为3的平面向量和,它们的夹角为120°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若,其中,则的最大值是_____;的最大值是______.
    2.(2022·福建泉州·模拟预测)如图,在正六边形ABCDEF中,P是△CDE内(包括边界)的动点,设eq \(AP,\s\up7(→))=αeq \(AB,\s\up7(→))+βeq \(AF,\s\up7(→))(α,β∈R),则α+β的取值范围是________.

    3. (2022·全国·高三课时练习)如图,在正方形ABCD中,E为BC的中点,P是以AB为直径的半圆弧上任意一点,设,则2x+y的最小值为( )
    A.-1 B.1 C.2 D.3
    4. (2022·江苏姑苏·苏州中学高三月考)在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,动点P在以点C为圆心,且与直线BD相切的圆内运动,设eq \(AP,\s\up7(→))=xeq \(AB,\s\up7(→))+yeq \(AD,\s\up7(→))(x,y∈R),则x+y的取值范围是________.
    5. 如图,四边形OABC是边长为1的正方形,点D在OA的延长线上,且OD=2,点P是△BCD内任意
    一点(含边界),设eq \(OP,\s\up7(→))=λeq \(OC,\s\up7(→))+μeq \(OD,\s\up7(→)),则λ+μ的取值范围为________.
    【题型三 极化恒等式处理数量积的定值问题】
    1.(2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测)如图,在中,已知,点分别在边上,且,若为的中点,则的值为________.
    2.(2022·山东日照市·高三二模)如图所示,AB是圆O的直径,P是上的点,M,N是直径AB上关于点O对称的两点,且AB=6,MN=4,则eq \(PM,\s\up7(→))·eq \(PN,\s\up7(→))=( )
    A.13 B.7 C.5 D.3
    3.(2022·河北武强中学高三月考)如图,△AOB为直角三角形,OA=1,OB=2,C为斜边AB的中点,P为线段OC的中点,则eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(OP,\s\up7(→))=( )
    A.1 B.eq \f(1,16) C.eq \f(1,4) D.-eq \f(1,2)
    4. (2022·全国福建省漳州市高三期末) 如图,在△ABC中,已知AB=3,AC=2,∠BAC=120°,D为边BC的中点,若CD⊥AD,垂足为E,则eq \(EB,\s\up7(→))·eq \(EC,\s\up7(→))=________.
    【题型四 极化恒等式处理数量积中的最值范围问题】
    1. 在∆ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D是AB的中点,E,F分别是边BC、AC上的动点,且EF=1,则DE∙DF的最小值等于 .
    2.(2022·海南海口·二模)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点,则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是________.
    3. (2022•南通期末)在△ABC中,AC=2BC=4,∠ACB为钝角,M,N是边AB上的两个动点,且
    MN=1,若的最小值为,则cs∠ACB=________.
    4. 如图,设正方形ABCD的边长为4,动点P在以AB为直径的弧APB上,则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的取值范围为______.
    5. 在正方形ABCD中,AB=1,A,D分别在x,y轴的非负半轴上滑动,则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值为______.
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