陕西省咸阳市武功县人教版2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年陕西省咸阳市武功县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 如图，在中，，，，则是(    )
    

A.  B.  C.  D.

2. 下列各种现象属于中心投影的是(    )

A. 晚上人走在路灯下的影子 B. 中午用来乘凉的树影
C. 上午人走在路上的影子 D. 阳光下旗杆的影子

3. 已知二次函数，当时，函数值是，则下列关于，的关系式中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，点是四边形内一点，、、、分别是、、、上的点，且：：：：：，若四边形的面积为，则四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若方程有两个相等的实数根，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在菱形中，，分别是、的中点，若，则菱形的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟米，从山脚下到山顶需分钟，则山的高度为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为点的坐标为，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9. 已知，，，是成比例线段，则______．
10. 在一个不透明的盒子中装有红、黑两种除颜色外完全相同的球，其中有个黑球和个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在，则估计的值为______．
11. 某农业大镇年猕猴桃总产量为万吨，预计年猕猴桃总产量达到万吨，求该镇猕猴桃总产量的年平均增长率，设该镇猕猴桃总产量的年平均增长率为，则可列方程为______．
12. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，延长至点，使，过点作轴于点，连结交轴于点若的面积为，则的值为______ ．

13. 如图，在矩形中，为的中点，连接，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，连接已知，，则______．

三、解答题（本大题共13小题，共102分）

14. 计算：．
15. 解方程：．
16. 如图所示的物体是一个实心几何体，请画出该几何体的三视图．

17. 如图，、两点被池塘隔开，小吴为了测量，两点间的距离，他在外选一点，连接和，延长到，使，延长到，使，连接若小吴测得的长为米，根据以上信息，请你求出的长．

18. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度单位：是体积单位：的反比例函数，它的图象如图所示．
    求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；
    求当时气体的密度．

19. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，在对角线上，且，连接，求证：．

20. 已知抛物线过点．
    求的值；
    求该抛物线顶点的坐标．
21. 如图，在等腰中，，，是边上一点，若，求的值．

22. 中国航天硕果累累，为庆祝神舟十三号载人飞船发射取得圆满成功，某企业生产了一款纪念品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就多售出件，但要求销售单价不得低于成本．
    求该企业销售这款纪念品每天的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式：
    该企业将每件的销售单价定为多少元时，可使这款纪念品每天所获销售利润最大？
23. 寒冬战疫，西安常安，感谢每一位为这座城拼命的人一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“西”、“安”、“常”、“安”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
    若从中任取一球，球上的汉字刚好是“安”的概率为______；
    甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图或列表法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“西安”的概率汉字不分先后顺序．
24. 报本寺塔坐落在陕西省武功镇，东临漆水，西辅香山，依寺建塔，风景秀丽，为陕西名塔之一，小红想利用所学知识来测量报本寺塔图的高度，测量方案如下：如图，小红通过调整测角仪的位置，在塔周围的点处用测角仪测得塔顶部的仰角为测角仪的高度忽略不计接着，在阳光下，小红沿着方向向前走米即米，到达塔在太阳光下的影子末端处，在处竖立一米长的标杆，此时标杆在太阳光下的影长为米．已知、、、四点在同一直线上，，，请结合以上数据求该塔的高度参考数据：，，
     
25. 如图，已知抛物线：，将抛物线平移后经过点，得到抛物线，与轴交于点．
    求抛物线的解析式；
    点为抛物线上的动点，过点作轴，与抛物线交于点，是否存在，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

26. 如图，四边形为正方形，且是边延长线上一点，过点作于点，交于点，交于点．
    求证：∽；
    求证：；
    若点是中点，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【试题解析】

解：在中，，
则．
故选C．
利用勾股定理求得的长，然后根据正弦的定义求解．
此题主要考查了勾股定理，以及锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦的定义．

2.【答案】 

【解析】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有选项得到的投影为中心投影．
故选：．
根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可．
此题主要考查了中心投影的性质，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为点还是平行光线．
 

3.【答案】 

【解析】解：二次函数，当时，函数值是，
，
即，
故选：．
把，对应的值代入二次函数解析式即可．
本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是把，对应的值代入二次函数解析式中．
 

4.【答案】 

【解析】解：：：：：：，
：：：：：，
四边形与四边形的位似比为：：，
四边形与四边形的面积比为：：，
四边形的面积为，
四边形的面积为：．
故选：．
利用位似图形的定义得出四边形与四边形的位似比为：：，进而得出面积比，即可得出四边形的面积．
此题主要考查了位似图形的性质，得出两四边形的相似比是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，分别是、的中点，
，
四边形是菱形，
，
菱形的周长，
故选：．
由三角形的性质中位线定理可得，由菱形的性质可得，即可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的四边相等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：米．
，

．
故选：．
先计算的长，再利用直角三角形的边角间关系求出．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为，直线与该抛物线的另一个交点为，
，
解得，
，
，
的面积为．
故答案为：．
根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得点坐标，再根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，是成比例线段，
：：，
，
解答．
故答案为．
根据成比例线段的概念，则可得：：，再根据比例的基本性质，求得的值．
本题考查比例线段．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
，
解得：，
则的值约为．
故答案为：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可．
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：依题意，得：．
故答案为：．
由该农业大镇年及年葡萄的总产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连结，如图，
，
，
轴于点，轴，
四边形为矩形，
，
．
故答案为：．
连结，利用三角形面积公式得到，则，于是可根据反比例函数的比例系数的几何意义得到的值．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

13.【答案】 

【解析】解：点是中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故答案为．
由“”可证≌，可得，，通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

15.【答案】解：，
，即，
或，
解得，． 

【解析】利用平方差公式把方程左边化为两个因式积的形式，求出的值即可．
本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，熟记平方差公式是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：三视图如图所示：
 

【解析】根据三视图的定义画出图形即可．
本题考查作图三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：，，
，
，
∽，
，
，
答：的长为． 

【解析】根据题意结合相似三角形的判定方法得出，∽，进而求出的长．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出∽是解题关键．
 

18.【答案】解：设密度与体积的反比例函数解析式为，把点代入解，得，
密度与体积的反比例函数解析式为，．
把代入，得． 

【解析】【试题解析】

设密度单位：与体积单位：的反比例函数解析式为，把点代入解析式求出，再把的值代入解析式即可求出气体的密度．
现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

19.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
． 

【解析】由菱形的性质得到，，由得到，根据线段垂直平分线的性质即可得到．
本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：把点代入抛物线，得，
解得：；
把代入抛物线，得，
该抛物线顶点的坐标为：． 

【解析】将点代入即可求出的值；
把求出的抛物线解析式转换成顶点式即可求出抛物线顶点的坐标．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是掌握待定系数法求解析式以及把二次函数一般式转换成顶点式．
 

21.【答案】解：作于，如图，
为等腰直角三角形，，
，，
，
在中，设，则，，
在中，，
，
，解得，
．
故AD的值为． 

【解析】作于，先根据腰直角三角形的性质得到，，设，则，，在中，利用的正切得到，然后由可计算出，再利用进行计算．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．
 

22.【答案】解由题意得：，
销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
，
，
抛物线开口向下，
，对称轴是直线，
当时，元，
即销售单价为元时，每天的销售利润最大，
答：该企业将每件的销售单价定为元时．可使这款纪念品每天所获销售利润最大． 

【解析】根据销售利润单件的利润销售量列出函数解析式即可；
由中函数解析式，利用函数的性质求最值即可．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
 

23.【答案】 

【解析】解：不透明的口袋里装有分别标有汉字“西”、“安”、“常”、“安”的四个小球，
从中任取一球，球上的汉字刚好是“安”的概率为．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“西安”的结果有种，
甲取出的两个球上的汉字恰能组成“西安”的概率为．
直接利用概率公式求解即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和甲取出的两个球上的汉字恰能组成“西安”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率．
 

24.【答案】解：设米，
由题意得：，，
，
米，
米，
米，
由题意得：，
即，
解得：，
答：该塔的高度约为米． 

【解析】设米，由锐角三角函数定义得米，则米，再由题意得，得出方程，求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、平行投影等知识，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
 

25.【答案】解：设抛物线的解析式为，经过点，，
根据题意得，解得．
所以抛物线的解析式为．
存在理由：
设，
根据题意，得．
由，
解得．
，． 

【解析】设抛物线的解析式为，然后根据待定系数法即可求得；
设，根据，列出方程即可求解．
此题考查了二次函数综合题，涉及了二次函数图象的平移、待定系数法求函数解析式、两点间的距离等知识，综合性较强，难度中等．
 

26.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
∽；
证明：∽，
，
，
，
；
解：∽，
，
在与中，
，
≌，
，
是中点，
，
：：，
∽，
：：，
在中，设，则，，
：，
：． 

【解析】由相似三角形的判定可证∽；
由相似三角形的性质可得，而，即可证明；
首先利用证明≌，得，由∽，得：：，在中，设，则，，从而得出答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．