内蒙古通辽市科尔沁区2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年内蒙古通辽市科尔沁区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 如图，下列图形是以科学家名字命名的，其中不是轴对称图形的有(    )
    

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 用小棒钉成一个三角架，两根小棒分别是和，第三根小棒可取(    )

A.  B.  C.  D.

3. 华为系列搭载了麒麟芯片，这个被华为称之为全球首个纳米工艺的芯片，拥有个全球第一，纳米就是米．数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下面运算中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知：，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 下列各式从左到右变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；以此类推得到，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共7小题，共21分）

11. 分式有意义的条件是______．
12. 十二边形的内角和是______．
13. 如图，在中，，，垂直平分，交于点，，则______．

14. 等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______ ．
15. 如图，，，，为上一动点，则的最小值为______．

16. 九章算术中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为______．
17. 的结果是______．

三、解答题（本题共9小题，共69分）

18. 计算：
    ；
    ．
19. 解方程：
    ；
    ．
20. 如图所示的折叠凳．图是折叠凳撑开后的侧面示意图木条等材料宽度忽略不计，其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度为______，说明理由．
     
21. 先化简，再求值：，其中满足是．
22. 如图，已知，，．
    作关于轴对称的；
    在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置；
    求的面积．

23. 某单位在疫情期间用元购进、两种口罩个，购买种口罩与购买种口罩的费用相同，且种口罩的单价是种口罩单价的倍；
    求，两种口罩的单价各是多少元？
    随着口罩供应量不断充足，、两种口罩的进价都下降了，若计划用不超过元的资金再次购进、两种口罩共个，求种口罩最多能购进多少个？
24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、，点在轴正半轴上，点，的延长线交于点，且．
    
    求点的坐标；
    判断与的位置关系，并说明理由；
    如图，求证：平分．
25. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
    例：．
    ．
    根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
    分解因式：；
    求多项式的最小值；
    已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
26. 【问题背景】
    在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．
    【初步探索】
    小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明≌，再证明≌，则可得到、、之间的数量关系是______．
    
    【探索延伸】
    在四边形中如图，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
    【结论运用】
    如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：第个不是轴对称图形，故此选项符合题意；
第个是轴对称图形，故此选项不符合题意；
第个不是轴对称图形，故此选项符合题意；
第个是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
此题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
即．
只有适合，
故选：．
根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．第三边的取值范围是大于而小于，即大于而小于．
考查了三角形的三边关系．三角形的三边关系：任意第三边大于两边之差而小于两边之和．
 

3.【答案】 

【解析】解：  ．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则判断选项；根据同底数幂的乘法判断选项；根据幂的乘方和积的乘方判断选项；根据单项式乘单项式判断选项．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、添加，根据，能判定≌，故A选项不符合题意；
B、添加，根据，能判定≌，故B选项不符合题意；
C、添加时，根据，能判定≌，故C选项不符合题意；
D、添加，不能判定≌，故D选项符合题意；
故选：．
要判定≌，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加、、后可分别根据、、能判定≌，而添加后则不能．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

6.【答案】 

【解析】本题考查了因式分解，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．
根据因式分解的定义以及因式分解是恒等变形判断即可得出答案．
解：、等号右边不是积的形式，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、等号右边左边，故该选项不符合题意；
D、等号右边不是积的形式，故该选项不符合题意；
故选：．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，则，由，得，故A不符合题意．
B.由，则，由，得，故B不符合题意．
C.由，得，由，得，，那么由，得，故C不符合题意．
D.由于，则，无法证得三角形内角和是，故D符合题意．
故选：．
本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，且，
原式．
故选：．
将原式化简，然后将代入原式即可求出答案．
本题考查分式的值，解题的关键是将原式化简，本题属于基础题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：．，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项符合题意．
故选：．
根据分式的基本性质对各选项进行判断．
本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．
 

10.【答案】 

【解析】解：是的平分线，是的平分线，
，，
又，，
，
，
，
；
同理可得，
，

故选：．
根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
本题考查的是三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】根据分式有意义的条件可得：，再解即可．
解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
 

12.【答案】 

【解析】解：十二边形的内角和是．
根据边形的内角和是，代入求值即可．
本题主要考查了对于多边形内角和公式的记忆与运用．
 

13.【答案】 

【解析】解：垂直平分，，
，
，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质求出，求出，根据含角的直角三角形的性质求出，再求出即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能熟记线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质是解此题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：本题分两种情况，
当角为顶角时，顶角的度数为，
当角为底角时，顶角的度数为；
这个等腰三角形的顶角为或．
故答案为：或．
首先要进行分析题意，“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，有最小值，
，，，，
，
即的最小值是，
故答案为：．
根据垂线段最短得出时，的值最小，根据角平分线的性质得出，再求出答案即可．
本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，能熟记垂线段最短和角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，
由题意得：，
故答案是：．
首先设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得等量关系：慢马速度快马速度，根据等量关系，可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
 

17.【答案】 

【解析】解：原式





．
故答案为：．
利用化简即可．
此题考查了平方差公式，熟记及是解题的关键．
 

18.【答案】解：


；


． 

【解析】先计算负整数指数幂、零指数幂、积的乘方，再依次计算加减运算可得；
先根据完全平方公式和多项式乘多项式展开，再合并同类项即可．
此题考查了实数的运算和整式的乘法，注意运算法则和公式的应用．
 

19.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
原分式方程无解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

20.【答案】 

【解析】解：是和的中点，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：．
利用定理判定≌，再利用全等三角形的性质可得答案．
此题主要考查了全等三角形的应用，以及三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理．
 

21.【答案】解：


，
，
，
原式． 

【解析】先约分，再根据分式的加减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示即为所求；
如图所示点即为所求；
的面积． 

【解析】利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
连接交轴于点，连接，点即为所求；
根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用割补法求三角形面积．
 

23.【答案】解：设种口罩的单价为元个，则种口罩单价为元个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：种口罩单价为元个，种口罩单价为元个．
设购进种口罩个，则购进种口罩个，
依题意，得：，
解得：．
答：种口罩最多能购进个． 

【解析】设种口罩的单价为元个，则种口罩单价为元个，由题意：用元购进、两种口罩个，购买种口罩与购买种口罩的费用相同，列出分式方程，解方程即可；
购进种口罩个，则购进种口罩个，由题意：、两种口罩的进价都下降了，若计划用不超过元的资金再次购进、两种口罩共个，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：点、点，点，
，，
在和中，
，
≌，
，
点；
解：，理由如下：
≌，
，
，
，
，
；
证明：如图，过点作于，于，

≌，
，，
，
，
又，，
平分． 

【解析】由“”可证≌，可得，即可求解；
由全等三角形的性质可得，由余角的性质可证；
由全等三角形的性质可得，，由面积关系可得，可得结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】解：；
，
，
，
多项式的最小值为；
，
，
即，
，
，，，
的周长为． 

【解析】根据阅读材料中的方法分解即可；
根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可；
原式配方后，利用非负数的性质即可求解．
此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：初步探索：，
故答案为：，
探索延伸：结论仍然成立，
证明：如图，延长到，使，连接，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
结论运用：解：如图，连接，延长、交于点，
，
，
，
，
，
符合探索延伸中的条件
结论成立，
即海里，
答：此时两舰艇之间的距离是海里．
探索延伸：延长到，使，连接，证明≌和≌，得到答案；
结论运用：连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线．