2022临沂一中高一下学期开学考试数学试题含解析

临沂一中2021级高一下学期入学检测

数学试题

一､单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得，”是“”的（    ）

A. 充要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由给定条件可得与等价，然后判断以“存在集合C，使得，

”和“ ”分别为题设、结论和结论、题设的两个命题真假即可得解.

【详解】因U为全集，A，B是集合，则，

于是有，，即且，因此得，

从而得“若存在集合C，使得，，则”是真命题；

当，存在一个集合使得，，

从而得“若，则存在集合C，使得，”是真命题，

所以则“存在集合C，使得，”是“”的充要条件.

故选：A

2. 函数的定义域是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．

【详解】由，解得且．

函数的定义域为．

故选：C．

3. 命题，一元二次方程有实根，则（    ）

A. ，一元二次方程没有实根

B. ，一元二次方程没有实根

C. ，一元二次方程有实根

D ，一元二次方程有实根

【答案】B

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定为特称命题可得出.

【详解】因为全称命题的否定为特称命题，

所以，一元二次方程没有实根.

故选：B.

4. 将函数图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：将函数图象向左平移个单位得到，令，当时得对称轴为

考点：三角函数性质

5. 已知，若，则x的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先判断函数的单调性和定义域，再解抽象不等式.

【详解】函数的定义域需满足，解得：，

并且在区间上，函数单调递增，且，

所以，

即，解得：或.

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的单调性和定义域，尤其是容易忽略函数的定义域.

6. 已知，若不等式恒成立，则的最大值为（    ）

A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

【答案】D

【解析】

【分析】用分离参数法转化为恒成立，只需，

再利用基本不等式求出的最小值即可.

【详解】因为，所以，

所以恒成立，只需

因为，

所以，

当且仅当时，即时取等号.

所以.

即的最大值为16.

故选：D

7. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论．

【详解】记，函数定义域为，则，函数为奇函数，排除BC，又时，，排除D．

故选：A．

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

8. 已知函数，则函数的零点个数是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数；

【详解】令．

①当时，，则函数在上单调递增，

由于，由零点存在定理可知，存在，使得；

②当时，，由，解得．

作出函数，直线的图象如下图所示：

由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；

直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5．

故选：D．

二､多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下表表示y是x的函数，则（    ）

A. 函数的定义域是 B. 函数的值域是

C. 函数的值域是 D. 函数是增函数

【答案】AC

【解析】

【分析】

观察表格可知定义域以及值域，此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，即可判断.

【详解】由表格可知：函数的定义域是，值域是，

此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，

故函数不是增函数；

故选：AC.

10. 若函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据在和时，函数值为，当时函数值为得，进而得答案.

【详解】解：因为，开口向上，对称轴为

所以，当和时，函数值为，当时函数值为，

因为函数的定义域为，值域为，

所以，

所以的值可能的选项是：ABC

故选：ABC

11. 如图，某湖泊的蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是（    ）

A. 蓝藻面积每个月的增长率为

B. 蓝藻每个月增加的面积都相等

C 第6个月时，蓝藻面积就会超过

D. 若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由函数图象经过可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可．

【详解】解：由图可知，函数图象经过，即，则，∴；

∴不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为，A对、B错；

当时，，C对；

若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则，，，则，即，则，D对；

故选：ACD．

【点睛】本题主要考查指数函数的性质及指数的运算法则，属于基础题．

12. 已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A. 函数为奇函数

B. 函数在上单调递增

C. 若，则的最小值为

D. 函数的图象关于中心对称

【答案】ACD

【解析】

【分析】首先求出的值，即可得到函数解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【详解】解：函数的图象关于直线对称，

，，因为，所以，所以．函数为奇函数，故正确；

当，，函数没有单调性，故错误；

若，因为，所以或，则的最小值，故正确；

，所以函数图象关于中心对称，故正确

故选：．

三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若m，n满足m2+5m-3=0，n2+5n-3=0，且m≠n，则的值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题可知是方程的两个不同实根，根据韦达定理可求出.

【详解】由题可知是方程的两个不同实根，

则，

.

故答案为：.

14. 函数的图像恒过定点的坐标为_________.

【答案】(1,2)

【解析】

【分析】

令真数，求出的值和此时的值即可得到定点坐标．

【详解】令得：，

此时，

所以函数的图象恒过定点，

故答案为：．

15. 若是定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则当时，_________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据得到，再取时，，根据函数奇偶性得到表达式.

【详解】是定义在R上的奇函数，则，故，

时，，则.

故答案为：.

16. 设是定义在上周期为2的函数，当时，则（1）______，（2）若，，则______，

【答案】    ①. 1    ②. 2

【解析】

【分析】由是定义在上周期为2的函数，先求出，从而可求出的值；由已知可知，而，，所以可得，然后对分奇数和偶数分别求解的值

【详解】解：因为是定义在上周期为2的函数，

所以，

所以，

当时，，

所以时，由，，可得，

所以当为偶数时，，

所以， ，

所以2，

当为奇数时，， ，

所以，，

所以 2，

综上，2，

故答案为：1，2

四､解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知，，

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）解出集合，再求交集即可；

（2）由,得到即可列出不等式求解.

【详解】（1）当 时，

或

或 ,

或 .

（2） 或 ,

由 , 可得,

,， 或 ,

,

实数的取值范围是 .

18. 已知函数满足，且.

（1）求a和函数的解析式；

（2）判断在其定义域的单调性.

【答案】（1）；；（2）在其定义域为单调增函数.

【解析】

【分析】

（1）由，可得，再由，可求出的值，从而可得函数的解析式；

（2）利用函数的单调性定义进行判断即可

【详解】解：（1）由，

得，

，

得；

所以；

（2）该函数的定义域为，

令，所以，

所以

，

因为，，

所以，

所以在其定义域为单调增函数.

19. 已知不等式.

（1）求不等式的解集；

（2）若当时，不等式 总成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用对数函数的单调性以及真数大于零得出关于实数的不等式组，解出即可；

（2）令，利用参变量分离法得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.

【详解】（1）由已知可得：，因此，原不等式的解集为；

（2）令，则原问题等价，

且，令，

可得，

当时，即当时，函数取得最小值，即，.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了指数不等式恒成立问题，将问题在转化为二次不等式在区间上恒成立是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

20. （1）若，求的值：

（2）已知，，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）首先求出，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；

（2）首先平方得到，即可得到，再根据计算可得；

【详解】解：（1）因为，所以．

所以

（2）因为，即，

得，

因为

所以，所以，即，

所以

所以

21. 近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产千部手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

（1）求2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.

（2）2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.

【答案】（1）；   

（2）2020年产量为100千部时，企业所获得利润最大，最大利润为9000万元.

【解析】

【分析】（1）根据2020年的利润等于年销售量减去固定成本和另投入成本，分段求出利润关于的解析式；

（2）根据（1）求出利润的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求得每段的最大值，即可得到结论.

【小问1详解】

解：由题意可知，2020年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，

当时，

当时，

，

所以.

【小问2详解】

当时，，

此时函数开口向上的抛物线，且对称轴为，

所以当时，（万元）；

当时，，

因为，

当且仅当即时，等号成立，

即当时，（万元），

综上可得，当时，取得最大值为（万元），

即2020年产量为100千部时，企业获利最大，最大利润为9000万元.

22. 已知定义在上的函数是奇函数．

（1）求实数，值：

（2）求函数的值域；

（3）若对任意的，不等式有解，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

【分析】（1）由函数是奇函数，则，，解得a，b的值；

（2）将函数解析式化为，由，求得值域；

（3）由定义法证得函数单减，结合奇函数性质，不等式等价于，即，有解，从而求得k的取值范围.

【详解】（1）由题意，定义域为函数是奇函数，

得，，

，，那么经检验是奇函数

（2）由（1）可得

，，，

的值域为

（3）设，则

，

则，即；

∴函数在上是减函数．．

由，即 ，

在上是减函数；

，对任意的有解，

即，有解，

由，则，

，，

故得实数的取值范围．