2022湖南师大附中高一上学期期末考试数学含解析

湖南师大附中2021-2022学年度高一第一学期期末考试

数学

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. （    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦的二倍角公式直接计算

【详解】，

故选：A

2. 已知点是角终边上一点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接根据三角函数的定义即可得结果.

【详解】因为点角终边上一点，所以，

所以，

故选：D.

3. 设命题p：所有正方形都是平行四边形，则p的否定为（    ）

A. 所有正方形都不是平行四边形

B. 有的平行四边形不是正方形

C. 有的正方形不是平行四边形

D. 不是正方形的四边形不是平行四边形

【答案】C

【解析】

【分析】全称命题的否定是特称命题，把所有改为存在，把结论否定

【详解】p的否定为“有的正方形不是平行四边形”.

故选：C.

4. 已知，，，则，，的大小关系为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】可以看出，直接排除A、B，再比较，从而选出正确答案.

【详解】可以看出是一个锐角，故；又，故；又，而，

故；从而得到，

故选C.

【点睛】比较大小时常用的方法有①单调性法，②图像法，③中间值法；中间值一般选择0、1、-1等常见数值.

5. 用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝–2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈–0.984，f（1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是

A. 已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值

B. 已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值

C. 没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）

D. 没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知能的特殊函数值，可以确定方程的根分布区间，然后根据精确要求选出正确答案.

【详解】由由二分法知，方程的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）．故选C．

【点睛】本题考查了二分法的应用，掌握二分法的步骤是解题的关键.

6. 已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．

由图易得，；取特殊点，

，．选A．

7. 设，，则

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．

详解：.

,即

又

即

故选B.

点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．

8. 设，，函数在区间上的最小值为，则a的取值范围为（    ）．

A. 或 B. 或

C. 或 D. 前面三个答案都不对

【答案】B

【解析】

【分析】对函数进行变形，结合函数单调性与零点存在性定理得到不等式，解出a的取值范围.

【详解】，故，因为为单调函数，由零点存在性定理得：，解得：或，

故选：B．

二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下列说法错误的是（    ）．

A. 小于90°的角是锐角 B. 钝角是第二象限的角

C. 第二象限的角大于第一象限的角 D. 若角与角的终边相同，那么

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于ACD，举例判断即可，对于B，由象限角的定义判断

【详解】小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，故A不正确．

钝角是第二象限的角，故B正确；

第二象限的角不一定大于第一象限的角，例如：150°是第二象限的角，390°是第一象限的角，故C不正确．

若角与角的终边相同，那么，，故D不正确．

故选：ACD．

10. 将函数f (x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质（    ）

A. 最大值为，图象关于直线x＝－对称

B. 图象关于y轴对称

C. 最小正周期为π

D. 图象关于点成中心对称

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据余弦型函数图象变换的性质，结合余弦函数的最值、对称性、最小正周期公式逐一判断即可.

【详解】将函数f (x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，

得到y＝cos[]－1＝cos(2x＋π)－1＝－cos 2x－1的图象；

再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－cos 2x 的图象．

对于函数g(x)，它的最大值为，由于当x＝时，g(x)＝，不是最值，

故g(x)的图象不关于直线x＝－对称，故A错误；

由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；

它的最小正周期为＝π，故C正确；

当x＝时，g(x)＝0，故函数的图象关于点成中心对称，故D正确．

故选：BCD

11. 已知，，，则（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，因为，，，

所以，当且仅当时取等号，故A正确；

对于B选项，由，，可得，

所以，故B正确；

对于C选项，，故C错误；

对于D选项，，

当且仅当且，即时取等号，故D正确

故选：ABD．

12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的x的可能取值是（    ）．

A.  B.  C.  D. 2

【答案】AC

【解析】

【分析】在同一坐标系中画出和的图象，由已知可知的图象与的图象交于和两点，然后根据图象可求出的解集，从而可得答案

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，

由题意，画出函数在上的图象，在同一坐标系内画出的图象，

因为，所以，

又，

所以的图象与的图象交于和两点，

，即，

由图象可得，只需或，故A，C可能取到，

故选：AC．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知定义在上的函数满足，当时，，则______．

【答案】1

【解析】

【分析】根据函数周期性求解即可.

【详解】解：因为定义在上的函数满足，

所以函数的周期为，所以．

因为当时，，

所以.

故答案为：1．

14. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动40秒后，盛水筒M与水面距离为______米．

【答案】##

【解析】

【分析】由题意得，求出的值，从而可求出函数关系式，进而将代入函数中可求得结果

【详解】因为时，盛水筒M与水面距离为2.25米，

所以，即，

又，则，

所以，

当时，，

故答案为：．

15. 已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，则tanθ＝________.

【答案】

【解析】

【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出的值小于0，得到，，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出与的值，即可求出的值．

【详解】解：将已知等式①两边平方得：，

，

，

，，即，

，

②，

联立①②，解得：，，

则．

故答案为：．

【点睛】本题考查了同角三角函数间基本关系，以及完全平方公式的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题．

16. 已知函数有且只有一个零点，若方程无解，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】确定函数为偶函数，得到，即，带入解析式，利用均值不等式得到最值，得到取值范围.

【详解】，

故函数为偶函数，有且只有一个零点，故，即，，

·

，当且仅当，即时等号成立.

方程无解，故.

故答案为：.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合或，.

（1）若，求，

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

分析】

（1）由题意和交集、并集运算求出，；

（2）若，则集合为集合的子集，对集合讨论即可得到答案.

【详解】（1）若，则，

所以，或

（2）若，则集合为集合的子集，

当时，即，解得；

当时，即，解得，

又或，由，则或，

解得或.

综上所述：实数的取值范围为.

【点睛】本题考查交集，并集的运算，集合与集合的包含关系，属于基础题.

18. 已知为锐角，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据题中条件，求出，，再由两角差的余弦公式，求出，根据二倍角公式，即可求出结果；

（2）由（1）求出，，再由两角差的正切公式，即可求出结果.

【详解】（1），为锐角，且，，则，

，，

，；

（2）由（1），所以，则，

又，，；

.

19. 已知关于x的不等式－x2+ax+b>0.

（1）若该不等式的解集为（－4，2），求a，b的值；

（2）若b=a+1，求此不等式的解集.

【答案】（1）a=－2，b=8   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）由不等式的解集与一元二次方程根的关系得出方程的根，然后由韦达定理列式求解；

（2）根据相应一元二次方程的根的大小分类讨论可得．

【小问1详解】

根据题意得

解得a=－2，b=8.

【小问2详解】

当b=a+1时，－x2+ax+b>0⇔x2－ax－（a+1）<0，

即[x－（a+1）]（x+1）<0.

当a+1=－1，即a=－2时，原不等式的解集为；

当a+1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为（a+1，－1）；

当a+1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为（－1，a+1）.

综上，当a<－2时，不等式的解集为（a+1，－1）；当a=－2时，不等式的解集为∅；当a>－2时，不等式的解集为（－1，a+1）.

20. 国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：

该函数模型如下，

.

根据上述条件，回答以下问题：

（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？

（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计）（参考数据：）

【答案】（1）喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；（2）喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车

【解析】

【分析】（1）由图可知，当函数取得最大值时，，此时时，取得最大值，即可求得.

（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，解不等式，两边取对数，即可求出..

【详解】（1）由图可知，当函数取得最大值时，.

此时.

当时，即时，函数取得最大值为，

故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，

（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，

由，得，

两边取自然对数得，

即，

∴，

故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.

【点睛】本题考查函数模型应用和分段函数，考查分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．

21. 已知．

（1）求函数的单调递减区间：

（2）若函数在区间上有唯一零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）化简，利用正弦函数的递减区间列式可解得结果；

（2）转化为函数在上的图象与的图象有唯一交点，根据图象可得结果.

【详解】（1）

，

令，，解得：，，

∴的单调递减区间为.

（2）由（1）知，函数，

在上有唯一零点等价于在上有唯一实根，

设，，依题意可知与的图象有唯一交点，

函数在上的图象如图：

由图可知实数应满足或，

∴或，

故实数的取值范围或.

【点睛】关键点点睛：转化为函数在上的图象与的图象有唯一交点，根据图象求解是解题关键.

22. 已知函数，，其中．

（1）时，判断函数的单调性（不需证明），并解不等式；

（2）定义上的函数如下：，若在上是减函数，当实数m取最大值时，求t的取值范围．

【答案】（1）在R上单调递减，.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据指数函数的单调性可判断并解不等式；

（2）分在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减，分别讨论得与矛盾，所以．再证明时，在上是减函数．转化为证当时，在上单调递减，利用函数的单调性的定义可证明，继而得t的取值范围．

【小问1详解】

解：时，因为在R上单调递增，所以在R上单调递减，

由，得，所以．

【小问2详解】

解：若在上单调递减，

则有，；

若，则，；

若在上单调递减，则有，；

若，则，；

若在上单调递减，

则有，；

若，则，，

这与矛盾，所以．

以下说明时，在上是减函数．

由前面的讨论知，只需在，上是减函数，在上是减函数．

以下证明当时，在上单调递减，

，满足，

∵，∴，，

∴，即，所以，时，单调递减．

而在上显然是减函数．综上，当实数m取最大值时，t的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：本题先由在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减，得到，进一步得到t的范围，再利用定义证明此时t的范围符合题意.