2022长沙长沙县、望城区、浏阳高一上学期期末考试数学含解析

2021年下学期期末调研考试试卷

高一数学

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用补集和交集的定义可求得集合.

【详解】已知全集，集合，，，

因此，.

故选：C.

2. 已知命题：，，则是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】

根据命题的否定的定义写出命题的否定，然后判断．

【详解】命题：，的否定是：，．

故选：D．

3. 已知角的终边与单位圆相交于点，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先利用三角函数的定义求角的正、余弦，再利用二倍角公式计算即可.

【详解】角的终边与单位圆相交于点，故，

所以，

故.

故选：C.

4. 设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)（    ）

A. 在区间，(1，e)内均有零点

B. 在区间，(1，e)内均无零点

C. 在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点

D. 区间内无零点，在区间(1，e)内有零点

【答案】D

【解析】

【分析】求出导函数，由导函数的正负确定函数的单调性，再由零点存在定理得零点所在区间．

【详解】当x∈时，函数图象连续不断，且f ′(x)＝－＝<0，所以函数f (x)在上单调递减．

又＝＋1>0，f (1)＝>0，f (e)＝e－1<0，所以函数f (x)有唯一的零点在区间(1，e)内．

故选：D

5. 如果“，”是“”成立的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】当 ，时，，故充分；

当时，，，故不必要，

故选：A

6. 已知函数可表示为（    ）

则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 的值域是

C. 的值域是 D. 在区间上单调递增

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的对应值表，逐一分析各选项即可判断作答.

【详解】由给定的对应值表知：，则，A不正确；

函数的值域是，B正确，C不正确；

当时，，即在区间上不单调，D不正确.

故选：B

7. 如果是定义在上的函数，使得对任意的，均有，则称该函数是“- 函数”. 若函数是“- 函数”，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题中的新定义转化为，即，根据的值域求的取值范围.

【详解】， ，

函数是“- 函数”，

对任意，均有，即，

，即，又，

或.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，关键是读懂新定义，并使用新定义，并能转化为函数值域解决问题.

8. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（    ）附：

A. 10% B. 20% C. 50% D. 100%

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，计算出的值即可；

【详解】当时，，当时，，

因为

所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%，

故选：B.

【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 若，则下列不等式正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】

先利用不等式性质得到，再利用不等式性质逐一判断选项正误即可.

【详解】由知，，，即，故，

所以，A错误，B错误；

由知，，，则，故C正确；

由知，，则，故，即，D正确.

故选：CD.

10. 函数(，，是常数，，)的部分图象如图所示，下列结论正确的是（    ）

A.

B. 在区间上单调递增

C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数

D.

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据函数图象得到A=2，，再根据函数图象过点 ，求得，得到函数解析式，然后再逐项判断.

【详解】由函数图象得：A=2，,

所以，

又因为函数图象过点 ，

所以，即 ，

解得 ，即 ，

所以，

所以

A. ，故错误；

B. 因为，所以，故正确；

C.将的图象向左平移个单位，所得到的函数是，故错误；

D. ，

，所以，故正确；

故选：BD

【点睛】关键点点睛：本题关键是关键函数的图象，利用函数的性质求出函数的解析式.

11. 若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】BC

【解析】

【分析】

分离参数得，求出在内的值域即可判断．

【详解】由题意在上有解．

∵，∴，

故选：BC．

12. 已知定义在R上函数图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，都有；③.则下列选项成立的是（    ）

A.  B. 若，则

C. 若， D. ，，使得

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据条件判断函数的奇偶性、单调性，对于A，根据函数性质比较函数值大小；对于B，，等价于，求得参数范围；对于C，若，分类讨论求得不等式解集；对于D，根据函数的性质知，函数存在最大值，从而满足条件.

【详解】由①知函数为偶函数；由②知，函数在上单调递减；

则函数在上单调递增；

对于A，，故A正确；

对于B，，则，解得，故B错误；

对于C，若，由题知，则当时，，解得；当时，，解得，故C正确；

对于D，根据函数单调性及函数在R上的图形连续知，函数存在最大值，则只需，即可满足条件，故D正确；

故选：ACD

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知幂函数的图象过点，则_____________．

【答案】##

【解析】

【分析】设出幂函数解析式，代入已知点坐标求解．

【详解】设，由已知得，所以，．

故答案为：．

14. ______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据指数、对数的运算性质计算即可得答案.

【详解】原式=.

故答案为：

15. 果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为_______；的取值范围是________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】

根据题意，直接列式，根据题意求的最小值和最大值，得到的取值范围.

【详解】由题意可知函数关系式是，

由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是.

故答案为：；

16. 若实数x，y满足，且，则的最小值为___________.

【答案】8

【解析】

【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答.

【详解】由得：，又实数x，y满足，

则，当且仅当，即时取“=”，

由解得：，

所以当时，取最小值8.

故答案为：8

【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 目前，"新冠肺炎"在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行.因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的函数关系式为（为常数）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示.

（1）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；

（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室?

【答案】（1）；（2）0.8小时.

【解析】

【分析】

（1）时，设，由最高点求出，再依据最高点求出参数，从而得函数解析式；

（2）解不等式可得结论．

【详解】解：（1）依题意，当时，

可设，且，解得

又由，解得，

所以

（2）令，

即，

得，解得，

即至少需要经过后，学生才能回到教室.

18. 设函数.

（1）若不等式的解集为，求实数a，b的值；

（2）若，且存在，使成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）根据的解集为，利用根与系数的关系求解；

（2）根据，得到，再由存在，成立，分，，，利用判别式法求解.

【小问1详解】

解：因为的解集为，

所以，解得；

【小问2详解】

（2）因为，所以，

因为存在，成立，

即存在，成立，

当时，，成立；

当时，函数图象开口向下，成立；

当时，，即，

解得或，此时，或，

综上：实数a的取值范围或.

19. （1）若，求的值；

（2）已知锐角，满足，若，求的值.

【答案】（1）5；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件化正余的齐次式为正切，再代入计算作答.

（2）根据给定条件利用差角的余弦公式求出，结合角的范围求出即可作答.

【详解】（1）因，所以.

（2）因，是锐角，则，，又，，

因此，，，

则，

显然，于是得：，解得，

所以的值为.

20. 已知.

（1）若，，求x的值；

（2）若，求的最大值和最小值.

【答案】（1）或；   

（2）的最大值和最小值分别为：，.

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数，再利用给定的函数值及x的范围求解作答.

(2)求出函数相位的范围，再结合正弦函数的性质计算作答.

【小问1详解】

依题意，，

由，即得：，而，即，

于是得或，解得或，

所以x的值是或.

【小问2详解】

由(1)知，，当时，，

则当，即时，，当，即时，，

所以的最大值和最小值分别为：，.

21. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本万元.

（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？

【答案】（1）300台；（2）90人.

【解析】

【分析】

（1）每台机器人的平均成本为，化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.

【详解】（1）由总成本，

可得每台机器人的平均成本.

因为.

当且仅当，即时，等号成立.

∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.

（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：

当时，300台机器人的日平均分拣量为

∴当时，日平均分拣量有最大值144000.

当时，日平均分拣量为

∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.

若传统人工分拣144000件，则需要人数为（人）.

∴日平均分拣量达最大值时，

用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少（人）.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会求的最大值.

22. 设函数是定义域为R的奇函数.

（1）求；

（2）若，求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围；

（3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据是定义域为R的奇函数，由求解；

（2），得到b的范围，从而得到函数的单调性，将对一切恒成立，转化为对一切恒成立求解；

（3）根据函数的图象过点，求得b，得到，令，利用复合函数求最值的方法求解.

【小问1详解】

解：函数是定义域为R的奇函数，

所以，解得，

此时，满足；

【小问2详解】

因为，

所以，解得，

所以在R上是减函数，

等价于，

所以，即，

又因为不等式对一切恒成立，

所以对一切恒成立，

所以，解得，

所以实数k的取值范围是；

【小问3详解】

因为函数的图象过点，

所以，解得，

则，

令，

则，

当时, 是减函数，，

因为函数在上的最大值为2，

所以，即，

解得，不成立；

当时，是增函数，，

因为函数在上最大值为2，

所以，即，

解得或（舍去），