专题27.14 黄金分割（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题27.14 黄金分割（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题27.14 黄金分割（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞BC，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则分割后较短线段长为（　　）

A． B． C． D．
2．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如成都广播电视塔同样蕴含着“黄金分割”，如图，塔高AB为339米，观光区P为塔AB的黄金分割点(AP＞PB)，那么AP的高度大约为（ ）米．

A．200 B．210 C．300 D．130
3．点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．已知点是线段的黄金分割点，，则的值为（ ）
A． B． C．0.618 D．
5．如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点(且AP1＜BP1，即P1B2＝AP1•AB)，点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3＜P2P3)，…，依此类推，则线段AP2017的长度是(　　)

A．(3−52)2017 B．(5−12)2017 C．(12)2017 D．(5﹣2)1008
6．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
7．有以下命题：
①如果线段是线段，，的第四比例项，则有；
②如果点是线段的中点，那么是、的比例中项；
③如果点是线段的黄金分割点，且，那么是与的比例中项；
④如果点是线段的黄金分割点，，且，则．
其中正确的判断有（ ）
A．②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③④
8．采用如下方法可以得到线段的黄金分割点：如图，设AB是已知线段，经过点B做BD⊥AB，使；连接DA，在DA上取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE．点C即为线段AB的黄金分割点，若BD＝2，则BC的长为（　　）

A． B． C． D．
9．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）

A． B． C． D．


二、填空题
10．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是______．

11．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．
12．点是线段的黄金分割点，，若，则__．
13．如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1
14．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是_____________．

15．已知线段，点c是线段的黄金分割点，．那么________．
16．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是_____．

17．若线段，是的黄金分割点，且，则．（判断对错）
18．已知点为线段的黄金分割点，且，则线段的长为________．
19．点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），若 AC＝2则AB⋅BC ＝______．
20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．
 
（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　；
（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该矩形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？
21．如图，正五边形ABCDE的各条对角线的交点为M，N，P，Q，R，它们分别是各条对角线的黄金分割点．若AB＝2，则MN的长为__．


三、解答题
22．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB=BCAC，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1S=S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；
(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.

23．如图①，点C将线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在中，若点D为边上的黄金分割点（如图②），则直线是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）在（1）中的中，研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交于点E，再过点D作直线，交AC于点F，连接（如图③），则直线也是的黄金分割线．请你说明理由；
（4）如图④，点E是平行四边形的边的黄金分割点，过点E作，交于点F，显然直线是平行四边形的黄金分割线．请你画一条平行四边形的黄金分割线，使它不经过平行四边形各边黄金分割点．










24．一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．请计算黄金比．







25．阅读与思考
黄金分割
黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论．后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，其《几何原本》成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割指的是把一条线段分成两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比．
黄金分割在美学、艺术、建筑和日常生活方面有看广泛的应用．如埃及的金字塔、印度的泰姬陵等，都可发现与黄金比有联系的数据.20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就
如图1的作法是由《几何原本》中给出：
（1）以线段为边作正方形．
（2）取的中点，连接．
（3）在的延长线上取点，使．
（4）以线段为边作正方形．
点就是线段的黄金分割点．
以下是证明点是线段的黄金分割点的部分过程．
证明：设正方形的边长为1，则．
∵点是的中点，∴．
在中，由勾股定理得：．
…
任务：
（1）请根据上面的操作步骤，将上述证明过程补充完整．
（2）如图2，点，是线段的两个黄金分割点，且，则_____，_____．






















参考答案
1．B
【分析】
根据黄金分割点的概念进行计算，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【详解】
解：根据黄金分割点的概念得：AC=
∴BC=AB-AC=；
故选：B．
【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值是解题的关键．
2．B
【分析】
根据黄金分割比代入求值即可．
【详解】
由题意知： ，
∵AB=339，
∴BP=AB-PA=339-PA，
代入得：，
解得： ，
故选：B．
【点拨】此题考查黄金分割比的定义及比值，难度一般．
3．C
【分析】
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，黄金比为，据此进行解答即可得答案.
【详解】
∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，
∴BC=AB=×6=3-3，
或BC=6-AB=9-3，
故选C．
【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键.
4．B
【分析】
根据黄金分割比求出AP，PB计算即可；
【详解】
∵点是线段的黄金分割点，，
∴，
令，
∴，
，
∴；
故答案选B．
【点拨】本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键．
5．A
【分析】
根据黄金分割的定义的BP1=5−12AB，则AP1=AB-BP1=3−52AB=3−52，利用同样的方法可得到AP2=3−52AP1=3−522，AP3=3−523，按此规律易得APn的长度=3−52n
【详解】
解答：解：∵线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），
∴BP1=5−12AB
∴AP1=AB-BP1=3−52AB=3−52，
∵点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），
∴P1P2=5−12AP1
∴AP2=AP1-P1P2=3−522
同理可得AP3=3−523
∴AP2017=3−522017
故选A.
【点拨】此题重点考察学生对黄金分割的理解，理解黄金分割点是解题的关键.
6．A
【分析】
作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，
∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，
故选：A.

【点拨】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
7．C
【分析】
根据比例线段、黄金分割的定义逐个判断即可得．
【详解】
①如果线段是线段，，的第四比例项，则有，正确；
②如果点是线段的中点，则，
所以，
所以不是、的比例中项，错误；
③如果点是线段的黄金分割点，且，
则，
所以，即，
所以是与的比例中项，正确；
④如果点是线段的黄金分割点，，且，
则，即，
所以，正确；
综上，正确的判断有①③④，
故选：C．
【点拨】本题考查了比例线段、黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键．
8．B
【分析】
由勾股定理求出AD＝2，则AC＝AE＝AD﹣DE＝2﹣2，得BC＝AB﹣AC＝6﹣2即可．
【详解】
解：∵BD⊥AB，，BD＝2，
∴AB＝4，
∴AD＝＝＝2，
∵DE＝BD＝2，
∴AC＝AE＝AD﹣DE＝2﹣2，
∴BC＝AB﹣AC＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2；
故选：B．
【点拨】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
9．B
【分析】
设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案.
【详解】
解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得.
由头顶至脖子下端的长度为26cm，
可得，
解得.
由已知可得，
解得.
综上，此人身高m满足.
所以其身高可能为175cm.
故选：B
【点拨】此题考查比例的性质，根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段，由此解答问题是解答此题的关键.
10．
【分析】
先根据黄金分割的定义求出AP，然后把AP的长度代入求出AB的长即可．
【详解】
解：为的黄金分割点（），
，
．
故答案是：．
【点拨】本题主要考查了黄金分割点的定义，若把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中．
11．10
【分析】
先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．
【详解】
解：，
（为正整数），
，
，
，
，
则，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．
12．
【分析】
根据黄金分割的定义即可进行计算解答．
【详解】
点是线段的黄金分割点，且，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了黄金分割的知识，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．
13．
【解析】
试题分析：若点是线段的黄金分割点,则有,同理点是线段的黄金分割点,则也,点是线段的黄金分割点,则也.
考点：黄金分割点.
14．（）cm
【分析】
利用黄金分割的定义计算出AP.
【详解】
为的黄金分割点，

故答案为：（）cm.
【点拨】此题考查黄金分割的定义，黄金分割物体的较大部分等于与整体的.
15．
【分析】
根据黄金比值为进行计算即可得到答案．
【详解】
解：∵点C为线段AB的黄金分割点，AB=6，
∴AC=×6=3-3，
BC=6-（3-3）=9-3，
AC-BC=3-3-（9-3）=6-12；
故答案为：
【点拨】本题考查的是黄金分割的知识和二次根式的计算，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
16．﹣2
【分析】
过A作AH⊥BC于H，先由黄金分割点的定义得BE=CD=BC，然后表示出BD、DE的长，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：过A作AH⊥BC于H，如图所示：
∵D、E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝CD＝BC，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣BC＝BC，
∴DE＝BE﹣BD＝BC﹣BC＝(﹣2)AB，
∴△ADE与△ABC的面积之比＝＝＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．

【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
17．错误
【解析】
【分析】
先根据黄金分割的定义列式计算AC的长，再进行比较即可判断．
【详解】
由已知可得.
故答案为：错误
【点拨】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，熟记定义是解题的关键．
18．或
【分析】
根据黄金分割点的定义，分线段AC为较长的线段和较短的线段两种情况解答即可.
【详解】
①若AC是较长的线段，∵AC=1cm，
∴AB•=AC=1，
解得AB=；
②若AC是较短的线段，∵AC=1cm，
∴AB•=AC=1，
解得AB= ，
综上所述，AB的长是或．
故答案为或．
【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，解题时注意这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值进行计算是解题的关键．
19．4
【解析】
【分析】
根据黄金分割的概念把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
【详解】
由题意得：AB⋅BC=AC2=4.
故答案为：4.
【点拨】此题考查黄金分割，解题关键可知与掌握其概念.
20．（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
（4）无数条
【解析】解：
（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；
（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，
由得，BP2=AP×AB，
即k2=（1﹣k）×1，
解得k=，
∵k＞0，
∴k=≈0.618；
（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，
设△ABC的AB上的高为h，则
，
∴
∴直线CP是△ABC的黄金分割线．
（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．
（1）类比黄金三角形的定义进行定义；
（2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析；
（4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条．
21．3﹣
【分析】
首先根据正五边形的相关性质判定四边形ABNE为平行四边形，进而求出EN的长度，再根据黄金分割点进行计算即可得到MN的长.
【详解】
解：∵五边形ABCDE为正五边形
∴AE＝AB，
∴
同理可得
∴
∵
∴AE∥BD
同理可证明EC∥AB
∴四边形ABNE为平行四边形
∴EN＝AB＝2
∵M、N为CE的黄金分割点
∴M点为EN的黄金分割点
∴EM＝EN＝
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，黄金分割点等相关内容，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键.
22．(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)结合线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析计算；
(2)根据三角形的中线的概念可知分成的两个三角形的面积相等，显然不符合黄金分割线的概念．
【详解】
解：∵SΔACDSΔABC=ADAB,SΔBCDSΔACD=BDAD，
又∵D是AB的黄金分割点，
∴ADAB=BDAD，SΔACDSΔABC=SΔBCDSΔACD，
∴CD是△ABC的黄金分割线；
(2)不是．
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=DB，
∴SΔACDSΔABC=12，
而SΔBCDSΔBCD=1，
∴SΔACDSΔABC≠SΔBCDsΔACD，
∴中线不是黄金分割线．
【点拨】考查的是线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式．
23．（1）对；理由见解析；（2）三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线；（3）理由见解析；（4）图见解析．
【详解】
（1）解：直线是的黄金分割线．理由如下：
设的边上的高为h．
则，，，
∴，．
又∵点D为边的黄金分割点，
∴，
∴．
故直线是的黄金分割线；
（2）解：∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴，即
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线；
（3）解：∵，
∴和的公共边上的高也相等，
∴，
∴，
．
又∵，
∴．
因此，直线也是的黄金分割线；
（4）解：画法不唯一，现提供两种画法；
画法一：如解图①，取的中点G，再过点G作一条直线分别交，于M，N点，则直线就是平行四边形的黄金分割线．
画法二：如解图②，在上取一点N，连接，再过点F作交于点M，连接，则直线就是平行四边形的黄金分割线．

24．
【分析】
设AB=1，AC=x，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案．
【详解】
解：设，，则，
由，得，
则，
整理得；，
解得：，（不合题意，舍去）．
故黄金比为：．
【点拨】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，注意方程思想的正确运用．
25．（1）见解析；（2）4，．
【分析】
（1）由图形可知，，即可求证．即证明点是线段的黄金分割点．
（2）根据（1）可得，又由题意，即可求出的长，最后由即可求出BC长．
【详解】
（1）证明：设正方形的边长为1，则．
∵点是的中点，
∴．
在中，由勾股定理得：，
则，
∴，
∴，，
即．
故点是线段的黄金分割点．
（2）解：∵点是的黄金分割点，
根据（1）可得，解得，
则．
故答案为4，．
【点拨】本题考查正方形的性质，勾股定理以及理解黄金分割的定义．解题的关键是正确理解题意，明确黄金分割的意义．