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专题27.47 《相似》中考常考考点专题（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题27.47 《相似》中考常考考点专题（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共44页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题27.47 《相似》中考常考考点专题（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
【知识点一】相似三角形相关概念及性质
【考点一】比例的性质✮✮线段的比
1．（2018·甘肃陇南·中考真题）已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A． B．2a=3b C． D．3a=2b
2．（2020·安徽阜阳·二模）某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（ ）
A．1：2000 B．1：200 C．200：1 D．2000：1
【考点二】成比例线段✮✮黄金分割
3．（2018·河北·模拟预测）如图，画线段的垂直平分线交于点，在这条垂直平分线上截取，以为圆心，为半径画弧交于点，则线段与的比是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建莆田·一模）是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【考点三】相似图形✮✮相似多边形
5．（2021·四川成都·一模）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·河北衡水·一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【考点四】相似多边形的性质
7．（2022·山东淄博·二模）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．
8．（2022·湖北省直辖县级单位·一模）如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．： D．16：81
【考点五】平行线分线段成比例
9．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2020·新疆·中考真题）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【知识点二】相似三角形
【考点一】相似三角形的判定
11．（2022·浙江绍兴·二模）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（ ）
A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝
12．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明
13．（2021·山东济宁·中考真题）如图，已知．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交，分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）
A． B．1 C． D．4
14．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格
15．（2016·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2）
16．（2012·湖北荆门·中考真题）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题
17．（2020·山东菏泽·一模）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（ ）
A． B． C．或3 D．或4
18．（2021·河北石家庄·九年级期中）如图，在锐角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止，点运动的速度为，点运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为（ ）
A．或 B． C． D．或
【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例
19．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A． B． C． D．
20．（2020·山西·中考真题）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似
【知识点三】位似三角形
【考点一】位似图形及相关概念
21．（2022·广西·中考真题）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
22．（2011·内蒙古呼和浩特·中考真题）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点P B．点D
C．点M D．点N
【考点二】位似图形✮✮坐标
23．（2022·河北·育华中学三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0）
24．（2021·重庆市綦江区赶水中学三模）如图，在平面直角坐标系中，等腰与等腰是位似图形，且斜边垂直轴，为位似中心，，，，，，五点共线，若：：，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【知识点一】相似图形相关概念及性质
【考点一】比例的性质✮✮线段的比
25．（2017·江苏扬州·中考真题）若则=__________．
26．（2021·上海嘉定·一模）正方形的边长与其对角线长的比为________.
【考点二】成比例线段✮✮黄金分割
27．（2022·安徽·六安市第九中学一模）已知三条线段、、，其中，，是、的比例中项，则_____cm．
28．（2022·广东深圳·一模）四条线段a、b、c、d成比例，其中cm、cm、cm，则线段___cm．
【考点三】相似图形✮✮相似多边形
29．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为_____．
30．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝_____．
【考点四】相似多边形的性质
31．（2020·江苏淮安·三模）一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是________.
32．（2017·重庆合川·中考模拟）两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是_____cm2．
【考点五】平行线分线段成比例
33．（2021·湖南郴州·中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________．
34．（2017·吉林长春·中考真题）如图，直线，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、若，，则的长为______.
【知识点二】相似三角形
【考点一】相似三角形的判定
35．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
36．（2021·山东东营·中考真题）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若，则GE的长为________．
【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明
37．（2021·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中___．
38．（2022·辽宁抚顺·二模）如图，，，，，，点P在上由点B向点D方向移动，当和相似时，________．
【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格
39．（2020·河北·模拟预测）如图,点B、C都在x轴上，AB⊥BC，垂足为B，M是AC的中点，若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（1，2），则点C的坐标为______．
40．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____．
【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题
41．（2021·全国·九年级专题练习）如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为______．
42．（2022·全国·九年级）如图，，， AB=6，CD=4，BD=14.点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为__________．
【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例
43．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为_________m．（结果取整数，）
44．（2022·浙江杭州·中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=_________m．
【知识点三】位似三角形
【考点一】位似图形及相关概念
45．（2022·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为___________．
46．（2022·四川师范大学附属中学模拟预测）如图，以点O为位似中心，将ΔOAB放大后得到ΔOCD，若OA=2，，则AC=________．
【考点二】位似图形✮✮坐标
47．（2022·陕西·西安爱知初级中学模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到△，则点A的对应点的坐标为 __．
48．（2022·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，与位似，点O是它们的位似中心，已知，则与的面积之比为___________．
三、解答题
【知识点四】相似三角形性质与判定综合
49．（2022·安徽滁州·二模）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．
（1）求证：AB=GD；
（2）当CG=EG时，且AB=2，求CE．
50．（2018·贵州铜仁·中考模拟）如图△ABC中，AB=8，AC=6，如果动点D以每秒2个单位长的速度，从点B出发沿BA方向向点A运动，同时点E以每秒1个单位的速度从点A出发沿AC方向向点C运动，设运动时间为t（单位：秒），问t为何值时△ADE与△ABC相似．
51．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．
(1)问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°．
(2)拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．
参考答案
1．B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
解：由得，3a=2b，
A、由比例的基本性质得： 3a=2b，正确，不符合题意；
B、由比例的基本性质得3a=2b，错误，符合题意；
C、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意；
D、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
2．B
【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝”即可求得这幅设计图的比例尺．
解：因为2毫米＝0.2厘米，
则0.2厘米：40厘米＝1：200；
所以这幅设计图的比例尺是1：200．
故选B．
【点拨】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
3．D
【分析】利用已知表示出AC的长，即可得出AP以及AB的长，即可得出答案．
解：如图，连接，设，则，，故，AB=2x
∴线段与的比是.
故选D．
【点拨】此题主要考查了比例线段，垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，根据已知用未知数表示出各线段长是解题关键．
4．A
【分析】根据黄金分割的特点即可求解．
解：∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P点是黄金分割点，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据得到是解答本题关键．
5．B
【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
6．C
【分析】根据相似多边形的对应边成比例、对应角相等进行判断即可．
解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似；
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原菱形不相似．
所以甲对，乙不对，
故选：C．
【点拨】本题考查了相似多边形的判定．此题难度不大，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．
7．D
【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为，根据得到的两个矩形都和原矩形相似，有，计算求解即可．
解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，
∴对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴，
∴，
解得．
故选D．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，相似多边形对应边成比例的性质．解题的关键在于表示出对折前后的长与宽．
8．B
【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，
∴这两个相似多边形的相似比是2：3，
∴它们的面积比是4：9，
故选B．
【点拨】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9．C
【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵、两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴点的纵坐标为6，故C正确．
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键．
10．D
【分析】过A作AH⊥BC于H，先证明DE为△ABC的中位线，DF为△ABH的中位线，可得到BC=2DE，AH=2DF，从而得到，进而得到，再由AB＝CE，可得AB=2，再由勾股定理，即可求解．
解：如图，过A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE∥BC，
∴，即AE=CE，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴，
∴BF=HF，
∴DF为△ABH的中位线，
∴AH=2DF，
∵△DFE的面积为1，
∴，
∴DE×DF=2，
∴，
∵∠A＝90°，
∴
∴，
∵AB=CE，
∴AC=2AB，
∴，解得：AB=2或-2（舍去），
∴AC=4，
∴．
故选：D
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
11．C
【分析】△ADE≌△ABC
根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．
解：∵，
∴，
A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
C．若添加，不能证明△ADE≌△ABC，故本选项符合题意；
D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
12．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
13．C
【分析】连接，则，根据相似三角形对应边成比例即可得出结果
解：如图，连接
垂直平分
,
平分
同理可知
四边形是平行四边形
又
平行四边形是菱形
又
，
解得：
故选C
【点拨】本题考查了由已知作图分析角平分线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形，菱形的性质与判定，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键．
14．C
【分析】先根据矩形的性质得，由得到,从而得到＝，＝，则可对B、C进行判断；由 得,从而得到＝，则可对A进行判断；由于＝，利用BC＝AD，则可对D进行判断．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝，所以B选项结论正确，C选项错误；
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝
所以A选项的结论正确；
∵BC＝AD
∴＝
所以D选项的结论正确．
故选：C
【点拨】本题考查矩形的性质，三角形相似的性质，根据图形找见相似的条件是解题的切入点．
15．C
解：试题分析：过点A作AE⊥OB，如图：
∵点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），
∴AE=2，
，
可得：，
解得：OC=1，
OE=EC﹣OC=2﹣1=1，
所以点A的坐标为（2，1），
故选C．
考点：等边三角形；相似三角形的判定与性质；勾股定理
16．B
解：根据勾股定理，AB=，
BC=，
AC=，
所以△ABC的三边之比为=，
A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，不符合题意;
B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意；
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，不符合题意；
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
17．C
【分析】首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性质得出或，代入即可得解.
解：∵∠ACD=∠ABC，
∴∠A=∠DCE，
∵△DCE和△ABC相似，
∴或
∵AC=6，AB=4，CD=2，
∴或
∴CE的长为或3
故选：C.
【点拨】此题主要考查相似三角形的性质，解决此问题要注意分类讨论.
18．A
【分析】设以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为 ，然后分两种情况讨论，即可求解．
解：设以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为 ，
根据题意得： ， ，则 ，
当 ，即 时，
∴，解得： ；
当 ，即 时，
∴，解得： ，
综上所述，以点 ，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为或．
故选：A
【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
19．B
【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答．
解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=3，
∴AB：3=3，
∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，
∴19+2x=10，
∴x=0.5（cm）．
故选：B．
【点拨】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长．
20．D
【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
解：根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点拨】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
21．C
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．
解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：C．
【点拨】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
22．A
试题分析：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，
因为点P在直线MN上，
所以点P为位似中心．
故选A．
考点：位似变换．
23．C
【分析】延长EB、DA交于点P，根据位似图形的对应点的连线相交于一点解答即可．
解：延长EB、DA交于点P，
则点P即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0），
故选：C．
【点拨】本题考查的是位似变换的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
24．B
【分析】根据位似的性质得到，∽，则利用相似三角形的性质得到，所以，即，然后求出点坐标，最后利用线段的中点坐标公式得到点坐标．
解：，
等腰与等腰是位似图形，为位似中心，
，∽，
∽，
，
，
，
，
轴，，，，，五点共线，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
故选B．
【点拨】本题考查了位似变换，解决本题的关键是掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
25．12
【分析】根据已知得出a=2b，b=6c，从而得出a和c的关系，继而得出答案
解：∵，∴a=2b；
∵，∴b=6c；
∴a=12c
∴；
故答案为：12
【点拨】本题考查了比例的性质，得出a=12c是解本题的关键
26．.
【分析】设正方形的边长为1，则由勾股定理易求得正方形的对角线长为，计算即得结果.
解：设正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为，所以正方形的边长与其对角线长的比为.
【点拨】此题主要考查对正方形的性质和线段比的定义的理解及运用．难度不大，属于基础题型．
27．
【分析】由是、的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段的长，注意线段的长度不能为负．
解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段长度的乘积．
∵是、的比例中项，
∴，
解得：（线段的长度是正数，负值舍去），
则．
故答案为：
【点拨】本题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段的长度不能是负数．
28．9
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴ad＝cb，
∵a＝1cm，b＝3cm，c＝3cm，
∴d＝＝9，
则d＝9cm．
故答案为：9．
【点拨】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．
29．
【分析】设BG=x，则BE=x，即BC=x，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2.
解：设BG=x，
则BE=x，
∵BE=BC，
∴BC=x，
则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2.
故答案为．
【点拨】本题主要考查正方形的性质，图形相似的的性质.解此题的关键在于根据正方形的性质得到相关边长的比.
30．1+
【分析】根据相似图形的性质先设未知数再解方程即可得到结果.
解：∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，∴ABEF是正方形．
又∵AB=2，∴AF= AB=EF=2．
设AD=x，则FD=x－2．
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，即
解得，（负值舍去）．
经检验是原方程的解．
∴AD.
故答案为
【点拨】此题重点考察学生对相似图形性质的理解，掌握相似图形的性质是解题的关键.
31．12
【分析】先求出已知四边形的相似比，再列式求解即可．
解：两个相似的四边形，一个最短的边是3，另一个最短边长为6，
则相似比是3：6=1：2，
根据相似四边形的对应边的比相等，设后一个四边形的最长边的长为x，
则6：x=1：2，
解得：x=12．
即后一个四边形的最长边的长为12．
故答案为12．
【点拨】本题主要考查了相似多边形的性质，对应边的比相等，因而最长的边一定是对应边，最短的边一定也是对应边．
32．40
试题分析：利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方可得．
解：两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，
则相似比是3：4.5=2：3，
面积的比等于相似比的平方，即面积的比是4：9，
因而可以设较小的多边形的面积是4x（cm2），
则较大的是9x（cm2），
根据面积的和是130（cm2），
得到4x+9x=130，
解得：x=10，
则较小的多边形的面积是40cm2．
故答案为40．
33．1.2
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，进而即可求解．
解：∵，，
∴，
∵，
∴3，
故答案是：1.2．
【点拨】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握“平行线所截得的对应线段成比例”，是解题的关键．
34．6
【分析】由直线a∥b∥c，推出，由DE=3，推出EF=6，即可解决问题；
解：∵直线a∥b∥c，
∴，
∵DE=3，
∴EF=6，
故答案为6．
【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
35．
【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．
解：根据题意，添加条件，
故答案为：．
【点拨】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
36．
【分析】因为折叠，则有，从而可知，利用线段比求出DG的长，即可求出EG．
解：如图, 四边形ABCD是正方形，
，
因为折叠，，设垂足为H，
，
，
，
，
，
，，DE=，
，
，
故答案为．
【点拨】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，找到是解题的关键．
37．
【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，由相似三角形的判定定理可判断出，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答．
解：中，，，
，
，，
，
，
即，
．
故答案为：．
【点拨】本题涉及到三角形内角和定理、相似三角形的判定及性质，比较简单．
38．2或12或
【分析】分及两种情况，再利用相似三角形的性质即可求得PD的长．
解：①当时，则，即，
∴，
解得：；
②当时，则，即，
∴，
即，
解得：或；
综上所述，PD的长为2cm或12cm或cm．
故答案为：2或12或．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质，解方程等知识，注意分类讨论．
39．（﹣1，0）
【分析】作MN⊥BC于点N，证明，得到，求出x，结合图形即可求出C点坐标．
解：作MN⊥BC于点N，如下图所示：
由图可知：，，设，
∵AB⊥BC，垂足为B，
∴ ，
∴，
∴，即：，
解得：x=1
即：点C的坐标为（-1，0）
故答案为：（-1，0）
【点拨】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是构造相似三角形，利用相似三角形的性质解答
40．
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
解：∵，
，
，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．
41．或．
【分析】先利用30º角直角三角形的性质求出斜边AB=4，再由勾股定理求直角边BC=2，当PA′∥AC和PA′⊥AB时两种情况证明三角形相似，利用相似，列出比例构造方程，求出AP即可
解：在中，，，，
，，
∵将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，
∴AP=A′P，
设．
①如图1中，当PA′∥AC时，
，，
，
，
，
，
∴；
②如图2中，当PA′⊥AB时，
，，
∴，
，
，
，
∴，
综上所述，满足条件的值为或．
故答案为：或．
【点拨】本题考查直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形的性质，和相似三角形的判定方法，会利用相似三角形的性质构造方程，利用方程解决问题是关键
42．8.4或2或12
【分析】分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质即可得出答案．
解：若，
∴，
设 ，
，
，
解得；
若，
∴，
设，
，
，
解得 ，
综上所述，BP的长度为8.4或2或12，
故答案为：8.4或2或12．
【点拨】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质并分情况讨论是解题的关键．
43．17
【分析】如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BD，即∠CDO=∠ABO=90°．由光的反射原理可知∠COD=∠AOB=60°，这样可以得到△COD∽△AOB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
解：由题意知∠COD=∠AOB=60°，∠CDE=∠ABE=90°，
∵CD=1.7m，
∴OD=≈1(m)，
∴OB=11-1=10(m)，
∴△COD∽△AOB．
∴，即，
∴AB=17(m)，
答：旗杆AB的高度约为17m．
故答案为：17．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．
44．9.88
【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解．
解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．
∴AC∥DE，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，
∴，即，
解得AB=9.88，
∴旗杆的高度为9.88m．
故答案为：9.88．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键．
45．
【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；
解：正方形ABCD的面积为4，
，
，
，
，
所求周长；
故答案为：．
【点拨】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD的边长．
46．3
【分析】利用位似性质得到△OAB∽△OCD，然后根据相似三角形的性质求解．
解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
解得：AC=3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
47．（﹣2，1）或（2，﹣1）．
【分析】根据位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．得到答案．
解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△ ，A（﹣4，2），
∴点A的对应点的坐标为A（﹣4×，2×）或A（﹣4×（﹣），2×（﹣）），即（﹣2，1）或（2，﹣1），
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
【点拨】本题考查位似，涉及分类讨论思想，解题的关键在于理解位似图形的性质．
48．4：1
【分析】根据位似变换的性质，点A、点C的坐标求出相似比，根据相似三角形的性质计算得到答案．
解：∵与位似，点O是它们的位似中心，已知，
∴△OAB与△OCD的相似比为2：1，
∴与的面积之比为4：1，
故答案为4：1．
【点拨】此题考查的是位似变换的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
49．（1）见分析；（2）CE=.
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥AB，AB=2DE，根据平行线的性质得到∠ABF=∠DGF，证明△ABF≌△DGF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）证明△GEC∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
解：∵D，E是AC，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB=2DE，
∴∠ABF=∠DGF，
∵F为AD中点，
∴AF=DF，
在△ABF和△DGF中，
∴△ABF≌△DGF（AAS），
∴AB=GD；
（2）∵AB=2，
∴CD=2，DE=1，
∴GE=3，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵CG=EG，
∴∠GEC=∠GCE，
∵DE∥AB，
∴∠GEC=∠CBA，
∴△GEC∽△CBA，
设CE=x，
则BC=2x，
∴，即，
解得：，（负值舍去）
∴CE=.
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理相似三角形的考查，熟练掌握中位线及相似三角形的性质定理是解决本题的关键．
50．当t=或时，△ADE与△ABC相似
分析：首先根据题意得出BD=2t，AE=t， AD=8-2t，然后根据两种情况分别求出t的值．
解：根据题意得：BD=2t，AE=t， ∴AD=8-2t， ∵∠A=∠A，
∴分两种情况：①当时，即，解得：t=；
②当时，即，解得：t=；
综上所述：当t=或时，△ADE与△ABC相似．
【点拨】本题主要考查的就是相似三角形的判定，属于基础题型．解决这个问题的时候我们一定要注意分类讨论，不然就会出现漏解的现象．
51．(1)，45；(2)和β的大小无变化；(3)△BCE的面积为 或．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断．
（2）结论：和β的大小无变化．如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．证明△DAB∽△EAC，即可解决问题．
（3）分两种情形：①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别求解即可．
(1)解：如图1中，
∵∠B＝90°，BA＝BC，
∴∠A＝45°，AC＝ =AB，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴BD＝AB，EC＝AC，
∴＝，β＝45°；
故答案为，45．
(2)解：结论：和β的大小无变化．理由如下：
如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．
由（1）得：AE＝AD，AC＝AB，∠DAE＝∠BAC，
∴＝，∠DAB＝∠EAC，
∴，
∴△DAB∽△EAC，
∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，
∵∠BOK＝∠COA，
∴∠BKO＝∠CAO＝45°，即β＝45°，
∴和β的大小无变化．
(3)解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
∴，
∵点E分别是边AC的中点，
∴，
当点E在线段AB上时，，
∴S△BCE＝ =，
当点E在线段BA的延长线上时，，
∴S△BCE＝ =．
综上所述，△BCE的面积为 或．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
专题27.47 《相似》中考常考考点专题（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
【知识点一】相似三角形相关概念及性质
【考点一】比例的性质✮✮线段的比
1．（2018·甘肃陇南·中考真题）已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A． B．2a=3b C． D．3a=2b
2．（2020·安徽阜阳·二模）某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（ ）
A．1：2000 B．1：200 C．200：1 D．2000：1
【考点二】成比例线段✮✮黄金分割
3．（2018·河北·模拟预测）如图，画线段的垂直平分线交于点，在这条垂直平分线上截取，以为圆心，为半径画弧交于点，则线段与的比是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建莆田·一模）是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【考点三】相似图形✮✮相似多边形
5．（2021·四川成都·一模）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·河北衡水·一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【考点四】相似多边形的性质
7．（2022·山东淄博·二模）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．
8．（2022·湖北省直辖县级单位·一模）如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．： D．16：81
【考点五】平行线分线段成比例
9．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2020·新疆·中考真题）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【知识点二】相似三角形
【考点一】相似三角形的判定
11．（2022·浙江绍兴·二模）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（ ）
A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝
12．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明
13．（2021·山东济宁·中考真题）如图，已知．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交，分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）
A． B．1 C． D．4
14．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格
15．（2016·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2）
16．（2012·湖北荆门·中考真题）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题
17．（2020·山东菏泽·一模）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（ ）
A． B． C．或3 D．或4
18．（2021·河北石家庄·九年级期中）如图，在锐角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止，点运动的速度为，点运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为（ ）
A．或 B． C． D．或
【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例
19．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A． B． C． D．
20．（2020·山西·中考真题）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似
【知识点三】位似三角形
【考点一】位似图形及相关概念
21．（2022·广西·中考真题）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
22．（2011·内蒙古呼和浩特·中考真题）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点P B．点D
C．点M D．点N
【考点二】位似图形✮✮坐标
23．（2022·河北·育华中学三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0）
24．（2021·重庆市綦江区赶水中学三模）如图，在平面直角坐标系中，等腰与等腰是位似图形，且斜边垂直轴，为位似中心，，，，，，五点共线，若：：，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【知识点一】相似图形相关概念及性质
【考点一】比例的性质✮✮线段的比
25．（2017·江苏扬州·中考真题）若则=__________．
26．（2021·上海嘉定·一模）正方形的边长与其对角线长的比为________.
【考点二】成比例线段✮✮黄金分割
27．（2022·安徽·六安市第九中学一模）已知三条线段、、，其中，，是、的比例中项，则_____cm．
28．（2022·广东深圳·一模）四条线段a、b、c、d成比例，其中cm、cm、cm，则线段___cm．
【考点三】相似图形✮✮相似多边形
29．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为_____．
30．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝_____．
【考点四】相似多边形的性质
31．（2020·江苏淮安·三模）一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是________.
32．（2017·重庆合川·中考模拟）两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是_____cm2．
【考点五】平行线分线段成比例
33．（2021·湖南郴州·中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________．
34．（2017·吉林长春·中考真题）如图，直线，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、若，，则的长为______.
【知识点二】相似三角形
【考点一】相似三角形的判定
35．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
36．（2021·山东东营·中考真题）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若，则GE的长为________．
【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明
37．（2021·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中___．
38．（2022·辽宁抚顺·二模）如图，，，，，，点P在上由点B向点D方向移动，当和相似时，________．
【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格
39．（2020·河北·模拟预测）如图,点B、C都在x轴上，AB⊥BC，垂足为B，M是AC的中点，若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（1，2），则点C的坐标为______．
40．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____．
【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题
41．（2021·全国·九年级专题练习）如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为______．
42．（2022·全国·九年级）如图，，， AB=6，CD=4，BD=14.点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为__________．
【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例
43．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为_________m．（结果取整数，）
44．（2022·浙江杭州·中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=_________m．
【知识点三】位似三角形
【考点一】位似图形及相关概念
45．（2022·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为___________．
46．（2022·四川师范大学附属中学模拟预测）如图，以点O为位似中心，将ΔOAB放大后得到ΔOCD，若OA=2，，则AC=________．
【考点二】位似图形✮✮坐标
47．（2022·陕西·西安爱知初级中学模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到△，则点A的对应点的坐标为 __．
48．（2022·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，与位似，点O是它们的位似中心，已知，则与的面积之比为___________．
三、解答题
【知识点四】相似三角形性质与判定综合
49．（2022·安徽滁州·二模）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．
（1）求证：AB=GD；
（2）当CG=EG时，且AB=2，求CE．
50．（2018·贵州铜仁·中考模拟）如图△ABC中，AB=8，AC=6，如果动点D以每秒2个单位长的速度，从点B出发沿BA方向向点A运动，同时点E以每秒1个单位的速度从点A出发沿AC方向向点C运动，设运动时间为t（单位：秒），问t为何值时△ADE与△ABC相似．
51．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．
(1)问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°．
(2)拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．
参考答案
1．B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
解：由得，3a=2b，
A、由比例的基本性质得： 3a=2b，正确，不符合题意；
B、由比例的基本性质得3a=2b，错误，符合题意；
C、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意；
D、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
2．B
【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝”即可求得这幅设计图的比例尺．
解：因为2毫米＝0.2厘米，
则0.2厘米：40厘米＝1：200；
所以这幅设计图的比例尺是1：200．
故选B．
【点拨】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
3．D
【分析】利用已知表示出AC的长，即可得出AP以及AB的长，即可得出答案．
解：如图，连接，设，则，，故，AB=2x
∴线段与的比是.
故选D．
【点拨】此题主要考查了比例线段，垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，根据已知用未知数表示出各线段长是解题关键．
4．A
【分析】根据黄金分割的特点即可求解．
解：∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P点是黄金分割点，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据得到是解答本题关键．
5．B
【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
6．C
【分析】根据相似多边形的对应边成比例、对应角相等进行判断即可．
解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似；
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原菱形不相似．
所以甲对，乙不对，
故选：C．
【点拨】本题考查了相似多边形的判定．此题难度不大，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．
7．D
【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为，根据得到的两个矩形都和原矩形相似，有，计算求解即可．
解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，
∴对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴，
∴，
解得．
故选D．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，相似多边形对应边成比例的性质．解题的关键在于表示出对折前后的长与宽．
8．B
【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，
∴这两个相似多边形的相似比是2：3，
∴它们的面积比是4：9，
故选B．
【点拨】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9．C
【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵、两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴点的纵坐标为6，故C正确．
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键．
10．D
【分析】过A作AH⊥BC于H，先证明DE为△ABC的中位线，DF为△ABH的中位线，可得到BC=2DE，AH=2DF，从而得到，进而得到，再由AB＝CE，可得AB=2，再由勾股定理，即可求解．
解：如图，过A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE∥BC，
∴，即AE=CE，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴，
∴BF=HF，
∴DF为△ABH的中位线，
∴AH=2DF，
∵△DFE的面积为1，
∴，
∴DE×DF=2，
∴，
∵∠A＝90°，
∴
∴，
∵AB=CE，
∴AC=2AB，
∴，解得：AB=2或-2（舍去），
∴AC=4，
∴．
故选：D
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
11．C
【分析】△ADE≌△ABC
根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．
解：∵，
∴，
A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
C．若添加，不能证明△ADE≌△ABC，故本选项符合题意；
D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
12．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
13．C
【分析】连接，则，根据相似三角形对应边成比例即可得出结果
解：如图，连接
垂直平分
,
平分
同理可知
四边形是平行四边形
又
平行四边形是菱形
又
，
解得：
故选C
【点拨】本题考查了由已知作图分析角平分线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形，菱形的性质与判定，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键．
14．C
【分析】先根据矩形的性质得，由得到,从而得到＝，＝，则可对B、C进行判断；由 得,从而得到＝，则可对A进行判断；由于＝，利用BC＝AD，则可对D进行判断．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝，所以B选项结论正确，C选项错误；
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝
所以A选项的结论正确；
∵BC＝AD
∴＝
所以D选项的结论正确．
故选：C
【点拨】本题考查矩形的性质，三角形相似的性质，根据图形找见相似的条件是解题的切入点．
15．C
解：试题分析：过点A作AE⊥OB，如图：
∵点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），
∴AE=2，
，
可得：，
解得：OC=1，
OE=EC﹣OC=2﹣1=1，
所以点A的坐标为（2，1），
故选C．
考点：等边三角形；相似三角形的判定与性质；勾股定理
16．B
解：根据勾股定理，AB=，
BC=，
AC=，
所以△ABC的三边之比为=，
A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，不符合题意;
B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意；
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，不符合题意；
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
17．C
【分析】首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性质得出或，代入即可得解.
解：∵∠ACD=∠ABC，
∴∠A=∠DCE，
∵△DCE和△ABC相似，
∴或
∵AC=6，AB=4，CD=2，
∴或
∴CE的长为或3
故选：C.
【点拨】此题主要考查相似三角形的性质，解决此问题要注意分类讨论.
18．A
【分析】设以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为 ，然后分两种情况讨论，即可求解．
解：设以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为 ，
根据题意得： ， ，则 ，
当 ，即 时，
∴，解得： ；
当 ，即 时，
∴，解得： ，
综上所述，以点 ，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为或．
故选：A
【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
19．B
【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答．
解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=3，
∴AB：3=3，
∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，
∴19+2x=10，
∴x=0.5（cm）．
故选：B．
【点拨】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长．
20．D
【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
解：根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点拨】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
21．C
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．
解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：C．
【点拨】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
22．A
试题分析：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，
因为点P在直线MN上，
所以点P为位似中心．
故选A．
考点：位似变换．
23．C
【分析】延长EB、DA交于点P，根据位似图形的对应点的连线相交于一点解答即可．
解：延长EB、DA交于点P，
则点P即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0），
故选：C．
【点拨】本题考查的是位似变换的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
24．B
【分析】根据位似的性质得到，∽，则利用相似三角形的性质得到，所以，即，然后求出点坐标，最后利用线段的中点坐标公式得到点坐标．
解：，
等腰与等腰是位似图形，为位似中心，
，∽，
∽，
，
，
，
，
轴，，，，，五点共线，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
故选B．
【点拨】本题考查了位似变换，解决本题的关键是掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
25．12
【分析】根据已知得出a=2b，b=6c，从而得出a和c的关系，继而得出答案
解：∵，∴a=2b；
∵，∴b=6c；
∴a=12c
∴；
故答案为：12
【点拨】本题考查了比例的性质，得出a=12c是解本题的关键
26．.
【分析】设正方形的边长为1，则由勾股定理易求得正方形的对角线长为，计算即得结果.
解：设正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为，所以正方形的边长与其对角线长的比为.
【点拨】此题主要考查对正方形的性质和线段比的定义的理解及运用．难度不大，属于基础题型．
27．
【分析】由是、的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段的长，注意线段的长度不能为负．
解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段长度的乘积．
∵是、的比例中项，
∴，
解得：（线段的长度是正数，负值舍去），
则．
故答案为：
【点拨】本题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段的长度不能是负数．
28．9
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴ad＝cb，
∵a＝1cm，b＝3cm，c＝3cm，
∴d＝＝9，
则d＝9cm．
故答案为：9．
【点拨】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．
29．
【分析】设BG=x，则BE=x，即BC=x，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2.
解：设BG=x，
则BE=x，
∵BE=BC，
∴BC=x，
则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2.
故答案为．
【点拨】本题主要考查正方形的性质，图形相似的的性质.解此题的关键在于根据正方形的性质得到相关边长的比.
30．1+
【分析】根据相似图形的性质先设未知数再解方程即可得到结果.
解：∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，∴ABEF是正方形．
又∵AB=2，∴AF= AB=EF=2．
设AD=x，则FD=x－2．
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，即
解得，（负值舍去）．
经检验是原方程的解．
∴AD.
故答案为
【点拨】此题重点考察学生对相似图形性质的理解，掌握相似图形的性质是解题的关键.
31．12
【分析】先求出已知四边形的相似比，再列式求解即可．
解：两个相似的四边形，一个最短的边是3，另一个最短边长为6，
则相似比是3：6=1：2，
根据相似四边形的对应边的比相等，设后一个四边形的最长边的长为x，
则6：x=1：2，
解得：x=12．
即后一个四边形的最长边的长为12．
故答案为12．
【点拨】本题主要考查了相似多边形的性质，对应边的比相等，因而最长的边一定是对应边，最短的边一定也是对应边．
32．40
试题分析：利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方可得．
解：两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，
则相似比是3：4.5=2：3，
面积的比等于相似比的平方，即面积的比是4：9，
因而可以设较小的多边形的面积是4x（cm2），
则较大的是9x（cm2），
根据面积的和是130（cm2），
得到4x+9x=130，
解得：x=10，
则较小的多边形的面积是40cm2．
故答案为40．
33．1.2
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，进而即可求解．
解：∵，，
∴，
∵，
∴3，
故答案是：1.2．
【点拨】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握“平行线所截得的对应线段成比例”，是解题的关键．
34．6
【分析】由直线a∥b∥c，推出，由DE=3，推出EF=6，即可解决问题；
解：∵直线a∥b∥c，
∴，
∵DE=3，
∴EF=6，
故答案为6．
【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
35．
【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．
解：根据题意，添加条件，
故答案为：．
【点拨】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
36．
【分析】因为折叠，则有，从而可知，利用线段比求出DG的长，即可求出EG．
解：如图, 四边形ABCD是正方形，
，
因为折叠，，设垂足为H，
，
，
，
，
，
，，DE=，
，
，
故答案为．
【点拨】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，找到是解题的关键．
37．
【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，由相似三角形的判定定理可判断出，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答．
解：中，，，
，
，，
，
，
即，
．
故答案为：．
【点拨】本题涉及到三角形内角和定理、相似三角形的判定及性质，比较简单．
38．2或12或
【分析】分及两种情况，再利用相似三角形的性质即可求得PD的长．
解：①当时，则，即，
∴，
解得：；
②当时，则，即，
∴，
即，
解得：或；
综上所述，PD的长为2cm或12cm或cm．
故答案为：2或12或．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质，解方程等知识，注意分类讨论．
39．（﹣1，0）
【分析】作MN⊥BC于点N，证明，得到，求出x，结合图形即可求出C点坐标．
解：作MN⊥BC于点N，如下图所示：
由图可知：，，设，
∵AB⊥BC，垂足为B，
∴ ，
∴，
∴，即：，
解得：x=1
即：点C的坐标为（-1，0）
故答案为：（-1，0）
【点拨】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是构造相似三角形，利用相似三角形的性质解答
40．
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
解：∵，
，
，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．
41．或．
【分析】先利用30º角直角三角形的性质求出斜边AB=4，再由勾股定理求直角边BC=2，当PA′∥AC和PA′⊥AB时两种情况证明三角形相似，利用相似，列出比例构造方程，求出AP即可
解：在中，，，，
，，
∵将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，
∴AP=A′P，
设．
①如图1中，当PA′∥AC时，
，，
，
，
，
，
∴；
②如图2中，当PA′⊥AB时，
，，
∴，
，
，
，
∴，
综上所述，满足条件的值为或．
故答案为：或．
【点拨】本题考查直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形的性质，和相似三角形的判定方法，会利用相似三角形的性质构造方程，利用方程解决问题是关键
42．8.4或2或12
【分析】分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质即可得出答案．
解：若，
∴，
设 ，
，
，
解得；
若，
∴，
设，
，
，
解得 ，
综上所述，BP的长度为8.4或2或12，
故答案为：8.4或2或12．
【点拨】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质并分情况讨论是解题的关键．
43．17
【分析】如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BD，即∠CDO=∠ABO=90°．由光的反射原理可知∠COD=∠AOB=60°，这样可以得到△COD∽△AOB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
解：由题意知∠COD=∠AOB=60°，∠CDE=∠ABE=90°，
∵CD=1.7m，
∴OD=≈1(m)，
∴OB=11-1=10(m)，
∴△COD∽△AOB．
∴，即，
∴AB=17(m)，
答：旗杆AB的高度约为17m．
故答案为：17．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．
44．9.88
【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解．
解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．
∴AC∥DE，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，
∴，即，
解得AB=9.88，
∴旗杆的高度为9.88m．
故答案为：9.88．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键．
45．
【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；
解：正方形ABCD的面积为4，
，
，
，
，
所求周长；
故答案为：．
【点拨】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD的边长．
46．3
【分析】利用位似性质得到△OAB∽△OCD，然后根据相似三角形的性质求解．
解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
解得：AC=3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
47．（﹣2，1）或（2，﹣1）．
【分析】根据位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．得到答案．
解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△ ，A（﹣4，2），
∴点A的对应点的坐标为A（﹣4×，2×）或A（﹣4×（﹣），2×（﹣）），即（﹣2，1）或（2，﹣1），
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
【点拨】本题考查位似，涉及分类讨论思想，解题的关键在于理解位似图形的性质．
48．4：1
【分析】根据位似变换的性质，点A、点C的坐标求出相似比，根据相似三角形的性质计算得到答案．
解：∵与位似，点O是它们的位似中心，已知，
∴△OAB与△OCD的相似比为2：1，
∴与的面积之比为4：1，
故答案为4：1．
【点拨】此题考查的是位似变换的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
49．（1）见分析；（2）CE=.
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥AB，AB=2DE，根据平行线的性质得到∠ABF=∠DGF，证明△ABF≌△DGF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）证明△GEC∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
解：∵D，E是AC，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB=2DE，
∴∠ABF=∠DGF，
∵F为AD中点，
∴AF=DF，
在△ABF和△DGF中，
∴△ABF≌△DGF（AAS），
∴AB=GD；
（2）∵AB=2，
∴CD=2，DE=1，
∴GE=3，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵CG=EG，
∴∠GEC=∠GCE，
∵DE∥AB，
∴∠GEC=∠CBA，
∴△GEC∽△CBA，
设CE=x，
则BC=2x，
∴，即，
解得：，（负值舍去）
∴CE=.
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理相似三角形的考查，熟练掌握中位线及相似三角形的性质定理是解决本题的关键．
50．当t=或时，△ADE与△ABC相似
分析：首先根据题意得出BD=2t，AE=t， AD=8-2t，然后根据两种情况分别求出t的值．
解：根据题意得：BD=2t，AE=t， ∴AD=8-2t， ∵∠A=∠A，
∴分两种情况：①当时，即，解得：t=；
②当时，即，解得：t=；
综上所述：当t=或时，△ADE与△ABC相似．
【点拨】本题主要考查的就是相似三角形的判定，属于基础题型．解决这个问题的时候我们一定要注意分类讨论，不然就会出现漏解的现象．
51．(1)，45；(2)和β的大小无变化；(3)△BCE的面积为 或．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断．
（2）结论：和β的大小无变化．如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．证明△DAB∽△EAC，即可解决问题．
（3）分两种情形：①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别求解即可．
(1)解：如图1中，
∵∠B＝90°，BA＝BC，
∴∠A＝45°，AC＝ =AB，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴BD＝AB，EC＝AC，
∴＝，β＝45°；
故答案为，45．
(2)解：结论：和β的大小无变化．理由如下：
如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．
由（1）得：AE＝AD，AC＝AB，∠DAE＝∠BAC，
∴＝，∠DAB＝∠EAC，
∴，
∴△DAB∽△EAC，
∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，
∵∠BOK＝∠COA，
∴∠BKO＝∠CAO＝45°，即β＝45°，
∴和β的大小无变化．
(3)解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
∴，
∵点E分别是边AC的中点，
∴，
当点E在线段AB上时，，
∴S△BCE＝ =，
当点E在线段BA的延长线上时，，
∴S△BCE＝ =．
综上所述，△BCE的面积为 或．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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