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专题27.49 《相似》挑战综合(压轴)题分类专题(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
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这是一份专题27.49 《相似》挑战综合(压轴)题分类专题(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版),共66页。
专题27.49 《相似》挑战综合(压轴)题分类专题
(专项练习)
【知识点一】平行线分线段成比例
【类型①】平行线分线段成比例➼➻作图★✭求值★✭证明
1.(2019·广东·中考真题)如图,在中,点是边上的一点.
(1)请用尺规作图法,在内,求作,使,交于;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若,求的值.
2.(2021·福建漳州·模拟预测)如图,已知点D是Rt△ABC斜边AB的中点,∠ACB=90°,∠A=60°.
(1) 求作Rt△DEF,使点F在AB的延长线上,∠DEF=90°,∠EDF=60°,且BF=AB;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2) 在(1)的前提下,连结CE,BE.求证:EB=EC.
【类型②】平行线分线段成比例★✭特殊三角形
3.(2016·山东淄博·中考真题)如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME//AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F.
(1)求证:AE=AF;
(2)求证:BE=(AB+AC).
4.(2015·浙江杭州·中考真题)如图,在△ABC中(BC>AC),∠ACB=90°,点D在AB边上,DE⊥AC于点E
(1)若,AE=2,求EC的长
(2)设点F在线段EC上,点G在射线CB上,以F,C,G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等,FG交CD于点P,问:线段CP可能是△CFG的高线还是中线?或两者都有可能?请说明理由
【类型③】平行线分线段成比例★✭特殊平行四边形
5.(2022·福建三明·二模)已知:如图,在ABCD中,E为BC的中点,DF⊥AE于点F,CG⊥DF于点G.
求证:(1) ∠DAE = ∠BCG; (2) G为DF的中点.
6.(2022·安徽·合肥38中一模)如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上且与点A、C不重合的一个动点,过点E作于点F,于点G,连接DE、FG
(1)FG与DE的数量关系是______;
(2)若正方形ABCD的边长为6,且,则DE的长为______;
【类型④】平行线分线段成比例➼➻构造平行线(作辅助线)
7.(2022·北京昌平·模拟预测)数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图,正方形ABCD的边长为12,P为边BC延长线上的一点,E为DP的中点,DP的垂直平分线交边DC于M,交边AB的延长线于N.当CP=6时,EM与EN的比值是多少?经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过E作直线平行于BC交DC,AB分别于F,G,如图2,则可得:,因为DE=EP,所以DF=FC.可求出EF和EG的值,进而可求得EM与EN的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究,得出了DP=MN的结论.你认为小东的这个结论正确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.
8. (2020·福建莆田·二模)(1)如图1,的三条中线、、相交于点,求的值;
(2)如图2,在中,,与相交于点,连接并延长交线段于点.求证:是的中点;
(3)如图3,已知矩形,仅用无刻度的直尺画出线段的中点,并简要写出画图过程.
【知识点二】相似三角形性质与判定
【类型①】相似三角形★✭全等三角形➼➻证明★✭求值
9.(2022·上海·中考真题)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE²=AQ·AB求证:
(1) ∠CAE=∠BAF; (2) CF·FQ=AF·BQ
10.(2015·湖北咸宁·中考真题)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD为角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形;
(2)选择(1)中一对加以证明.
【类型②】相似三角形★✭特殊四边形➼➻证明★✭求值
11.(2022·浙江杭州·中考真题)如图,在ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF,已知四边形BFED是平行四边形,.
(1) 若,求线段AD的长.
(2) 若的面积为1,求平行四边形BFED的面积.
12.(2022·山东泰安·中考真题)如图,矩形中,点E在上,,与相交于点O.与相交于点F.
(1) 若平分,求证:;
(2) 找出图中与相似的三角形,并说明理由;
(3) 若,,求的长度.
【类型③】相似三角形★✭动点问题➼➻折叠问题➼➻证明★✭求值
13.(2022·辽宁抚顺·一模)如图,在矩形ABCD中,E是AB的中点,F是为射线AD上的一个动点,将△AEF沿EF折叠得到△HEF,连接AC,分别交EF和直线EH于点N,M,已知∠BAC=,,若△EMN与△AEF相似,则AF的长为多少?
14.(2021·安徽·一模)如图,AB是等腰直角三角形ABC的斜边,若点M在边AC上,点N在边BC上,沿直线MN将△MCN翻折,使点C落在边AB上,设其落点为P.
(1)求证:AM=PN;
(2)当点P是边AB的中点时,求证:;
(3)当点P不是边AB的中点时,是否仍然成立?请说明理由.
【类型④】相似三角形★✭动点问题➼➻旋转➼➻证明★✭求值
15.(2012·湖北省直辖县级单位·中考真题)△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作∠MDN=∠B,
(1)如图(1)当射线DN经过点A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与△ADE相似的三角形.
(2)如图(2),将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转,DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论.
(3)在图(2)中,若AB=AC=10,BC=12,当△DEF的面积等于△ABC的面积的时,求线段EF的长.
16.(2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=6,D为BC边上的一点.过点D作射线DE⊥DF,分别交边AB,AC于点E,F.
(1)当D为BC的中点,且DE⊥AB,DF⊥AC时,如图①,______.
(2)①若D为BC的中点,将∠EDF绕点D旋转到图②位置时,______.
②若改变点D的位置,且时,求的值,请就图③的情形写出解答过程.
(3)如图③连接EF,当BD=______时,△DEF与△ABC相似.
【类型⑤】相似三角形★✭动点问题★✭坐标系➼➻证明★✭求值
17.(2021·河北唐山·一模)如图,,,轴,与直线交于点,轴于点,是折线上一动点.设过点,的直线为.
(1)点的坐标为________;
(2)若直线所在的函数随的增大而减少,则的取值范围是__________;
(3)若动点在上运动,与相似时,求此时直线的解析式.
18.(2012·四川巴中·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,点A,C分别在x轴,y轴上,四边形ABCO
为矩形,AB=16,点D与点A关于y轴对称,tan∠ACB=,点E,F分别是线段AD,AC上的动点(点
E不与点A,D重合),且∠CEF=∠ACB.
(1)求AC的长和点D的坐标;
(2)说明△AEF与△DCE相似;
(3)当△EFC为等腰三角形时,求点E的坐标.
【类型⑥】相似三角形★✭动点问题★✭坐标系➼➻最值
19.(2019·浙江绍兴·中考真题)如图,矩形中,,,点分别在边,上,点分别在,上,,交于点,记.
(1)若的值是1,当时,求的值.
(2)若的值是,求的最大值和最小值.
(3)若的值是3,当点是矩形的顶点,,时,求的值.
20.(2018·山东济宁·中考真题)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论;
(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点,求△PDC周长的最小值.
【知识点三】相似三角形性质与判定➼➻拓展与探究
【类型①】相似三角形➼➻➼➻操作与问题发现
21.(2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题)(1)【操作发现】
如图1,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,的三个顶点均在格点上.
①请按要求画图:将绕点A顺时针方向旋转90°,点B的对应点为点,点C的对应点为点.连接;
②在①中所画图形中,= °.
(2)【问题解决】
如图2,在中,BC=1,∠C=90°,延长CA到D,使CD=1,将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE,连接DE,求∠ADE的度数.
(3)【拓展延伸】
如图3,在四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=1,CD=3,AD=kAB(k为常数),求BD的长(用含k的式子表示).
22.(2022·内蒙古赤峰·中考真题)同学们还记得吗?图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形.受这两个图形的启发,数学兴趣小组提出了以下三个问题,请你回答:
(1)【问题一】如图①,正方形的对角线相交于点,点又是正方形的一个顶点,交于点,交于点,则与的数量关系为_________;
(2)【问题二】受图①启发,兴趣小组画出了图③:直线、经过正方形的对称中心,直线分别与、交于点、,直线分别与、交于点、,且,若正方形边长为8,求四边形的面积;
(3)【问题三】受图②启发,兴趣小组画出了图④:正方形的顶点在正方形的边上,顶点在的延长线上,且,.在直线上是否存在点,使为直角三角形?若存在,求出的长度;若不存在,说明理由.
【类型②】相似三角形➼➻➼➻背景问题与探究
23.(2022·湖北武汉·中考真题)问题提出:如图(1),中,,是的中点,延长至点,使,延长交于点,探究的值.
(1)先将问题特殊化.如图(2),当时,直接写出的值;
(2)再探究一般情形.如图(1),证明(1)中的结论仍然成立.
问题拓展:如图(3),在中,,是的中点,是边上一点,,延长至点,使,延长交于点.直接写出的值(用含的式子表示).
24.(2021·山东日照·中考真题)问题背景:
如图1,在矩形中,,,点是边的中点,过点作交于点.
实验探究:
(1)在一次数学活动中,小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转,如图2所示,得到结论:①_____;②直线与所夹锐角的度数为______.
(2)小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转,旋转至如图3所示位置.请问探究(1)中的结论是否仍然成立?并说明理由.
拓展延伸:
在以上探究中,当旋转至、、三点共线时,则的面积为______.
【类型③】相似三角形➼➻➼➻问题拓展与延伸
25.(2022·四川达州·中考真题)某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中,将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形,按如图1的方式摆放,,随后保持不动,将绕点C按逆时针方向旋转(),连接,,延长交于点F,连接.该数学兴趣小组进行如下探究,请你帮忙解答:
(1)【初步探究】如图2,当时,则_____;
(2)【初步探究】如图3,当点E,F重合时,请直接写出,,之间的数量关系:_________;
(3)【深入探究】如图4,当点E,F不重合时,(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出推理过程;若不成立,请说明理由.
(4)【拓展延伸】如图5,在与中,,若,(m为常数).保持不动,将绕点C按逆时针方向旋转(),连接,,延长交于点F,连接,如图6.试探究,,之间的数量关系,并说明理由.
26.(2021·浙江宁波·中考真题)【证明体验】
(1)如图1,为的角平分线,,点E在上,.求证:平分.
【思考探究】
(2)如图2,在(1)的条件下,F为上一点,连结交于点G.若,,,求的长.
【拓展延伸】
(3)如图3,在四边形中,对角线平分,点E在上,.若,求的长.
【类型④】相似三角形➼➻➼➻阅读材料与教材呈现
27.(2019·辽宁大连·中考真题)阅读下面材料,完成(1)﹣(3)题
数学课上,老师出示了这样一道题:如图1,中,,点在上,,(其中),的平分线与相交于点,垂足为,探究线段与的数量关系,并证明.同学们经过思考后,交流了自己的想法:
小明:“通过观察和度量,发现与相等.”
小伟:“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段与的数量关系.”
……
老师:“保留原题条件,延长图1中的,与相交于点(如图2),可以求出的值.”
(1)求证:;
(2)探究线段与的数量关系(用含的代数式表示),并证明;
(3)直接写出的值(用含的代数式表示).
28.(2021·吉林长春·二模)【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材102-103页的部分内容.
(1)【问题解决】请结合图1将证明过程补充完整.
(2)【应用探究】
如图2,在△ABC中,AD是高,CE是中线,点F是CE的中点,DF⊥CE,点F为垂足,∠AEC=78°,则∠BCE为 度
(3)如图3,在线段AC上有一点B,AB=4,AC=11,分别以AB和BC为边作正方形ABED和正方形BCFG,点E落在边BG上,连接DF,点H为DF的中点,连接GH,则GH的长为 .
参考答案
1.(1)见分析;(2).
【分析】(1)以点B为圆心,以任意长为半径画弧,交BA、BC于点F、G,以点D为圆心,以BF长为半径画弧,交DA于点M,再以M为圆心,以FG长为半径画弧,与前弧交于点H,过点D、H作射线,交AC于点E,由此即可得;
(2)由(1)可知DE//BC ,利用平行线分线段成比例定理进行求解即可.
解:(1)如图所示;
(2)∵,
∴.
∴.
【点拨】本题考查了作一个角等于已知角,平行线分线段成比例定理,熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.
2.(1)见分析(2)见分析
【分析】(1)作∠EDF=∠A,延长AB至F,使BF=AB,然后作∠DFE=∠ABC,即可解决问题;
(2)结合(1)证明DE是BC的垂直平分线,进而可以解决问题.
解:(1)如图所示,△DEF就是所求作的三角形;
(2)如图,由(1)知∠EDF=60°,
∴∠A=∠EDF=60°,
∴AC∥DE,
∴∠EGC=∠ACB=90°,
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点,
∴,即BG=CG,
∴ED垂直平分BC.
∴EB=EC.
【点拨】本题考查了作图-复杂作图:作一个角等于已知角,垂直平分线的判定与性质,平行线分线段成比例定理,解决本题的关键是掌握基本作图方法.
3.(1)证明见分析;(2)证明见分析.
【分析】(1)根据角平分线的性质及平行线的性质易∠AEF=∠AFE,即可得AE=AF;
(2)作CG//EM,交BA的延长线于G,已知AC=AG,根据三角形中位线定理的推论证明BE=EG,再利用三角形的中位线定理即可证得结论.
解:(1)∵DA平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵AD//EM,
∴∠BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF.
(2)作CG//EM,交BA的延长线于G.
∵EF//CG,
∴∠G=∠AEF,∠ACG=∠AFE,
∵∠AEF=∠AFE,
∴∠G=∠ACG,
∴AG=AC,
∵BM=CM.EM//CG,
∴,
∴BE=EG,
∴BE=BG=(BA+AG)=(AB+AC).
【点拨】本题考查了平行线的性质,等腰三角形的判定与性质,平行线分线段成比例定理等,准确识图,灵活运用相关知识是解题的关键.
4.(1)6;(2)见分析.
【分析】(1)易证DE∥BC,由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解;
(2)分三种情况讨论:①若∠CFG=∠ECD,此时线段CP是△CFG的FG边上的中线;②若∠CFG=∠EDC,此时线段CP为△CFG的FG边上的高线;③当CD为∠ACB的平分线时,CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.
解:(1)∵∠ACB=90°,DE⊥AC,
∴DE∥BC,
∴
∵,AE=2,
∴,
解得:EC=6;
(2)①如图1,若∠CFG=∠ECD,此时线段CP是△CFG的FG边上的中线.
证明:∵∠CFG+∠CGF=90°,∠ECD+∠PCG=90°,
又∵∠CFG=∠ECD,
∴∠CGF=∠PCG,
∴CP=PG,
∵∠CFG=∠ECD,
∴CP=FP,
∴PF=PG=CP,
∴线段CP是△CFG的FG边上的中线;
②如图2,若∠CFG=∠EDC,此时线段CP为△CFG的FG边上的高线.
证明:∵DE⊥AC,
∴∠EDC+∠ECD=90°,
∵∠CFG=∠EDC,
∴∠CFG+∠ECD=90°,
∴∠CPF=90°,
∴线段CP为△CFG的FG边上的高线.
③如图3,当CD为∠ACB的平分线,∠FGC=∠CDE时,则CD为∠ACB的平分线,CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性质等知识,正确理解题意、熟练掌握相关知识是解题的关键.
5.(1)见分析;(2)见分析
【分析】(1)根据平行四边形的性质,可得,再得内错角,由,可得,同位角,等量转化,即可得出结论;
(2)由四边形为平行四边形,,,可得四边形为平行四边形,故,再由中位线得,再根据平行线分线段成比例即可得出结论.
(1)证明:∵四边形为平行四边形,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴.
(2)证明:延长交于点M,
∵四边形为平行四边形,
∴.
∵,,
∴.
∴.
∴四边形为平行四边形.
∴.
∵E为的中点,
∴.
∴.
∴.
∴.
∴,即G为的中点.
【点拨】本题考查了平行四边形的判定及性质、平行线的判定与性质、中位线的判定及性质以及平行线分线段成比例.
6.
【分析】(1)连接BE,证明四边形EFBG是矩形,由矩形的对角线相等解得FG=BE,再结合正方形的性质证明,最后由全等三角形的对应边相等得到,据此解答;
(2)由正方形的性质证明,由四边形EFBG是矩形证明,利用平行线分线段成比例解得,由正方形的边长为6解得,最后根据勾股定理解答即可.
解:(1)FG=DE,理由如下
连接BE,
在正方形ABCD中,
,,
四边形EFBG是矩形
FG=BE
正方形ABCD中,AB=AD,对角线AC平分
在与中,
FG=DE
故答案为:;
(2)正方形ABCD中,对角线AC平分
四边形是矩形
正方形ABCD的边长为6,
.
【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.
7.(1)见分析(2)正确,见分析
【分析】(1)过E作EG∥BC交DC、AB分别于F、G,结合平行线分线段成比例定理可得:,由DE=EP,可知DF=FC,可求出EF和EG的值,再利用AB∥CD,可得,进而可求得EM与EN的比值;
(2)作MH∥BC交AB于点H,可得一对直角和一组对应边相等,然后根据AB∥CD,可得∠MNH=∠CMN,结合对顶角的性质可证得∠DPC=∠MNH,进而可得△DPC≌△MNH,从而有DP=MN.
(1)解:过E作直线GE平行于BC交DC,AB分别于点F,G,(如图1),
则,GF=BC=12,
∵DE=EP,
∴DF=FC,
∴EF=CP==3,EG=GF+EF=12+3=15,
∵AB∥CD,
∴;
(2)解:正确,
证明:作MH∥BC交AB于点H,(如图2),
则MH=CB=CD,∠MHN=90°,
∵∠DCP=180°﹣90°=90°,
∴∠DCP=∠MHN,
∵AB∥CD,
∴∠MNH=∠CMN,
∵NE是DP的垂直平分线,
∴∠CMN=∠DME=90°﹣∠CDP,
∵∠DPC=90°﹣∠CDP,
∴∠DPC=∠MNH,
∴△DPC≌△MNH(AAS),
∴DP=MN.
【点拨】本题考查了正方形的性质,平行线分线段成比例定理、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识.关键是作出合适的辅助线,使所求的线段在一个三角形中.
8.(1)2;(2)见分析;(3)见分析,过程见分析
【分析】(1)过点作交于点,运用平行线分线段成比例定理求解即可;
(2)过点作,交的延长线于点,连接,可证明,进一步证明,得四边形是平行四边形,从而可得结论;
(3)根据题意作出图形即可.
解:(1)如图1,过点作交于点.
、是的中线
,
,
(2)如图,过点作,交的延长线于点,连接
四边形是平行四边形
即点是的中点
(3)①在上方任取一点,连接、分别交于点、
②连接、交于点,连接并延长交于点
则点就是所求作的中点
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理,三角形的重心性质以及平行四边形的判定与性质.关键是由中位线定理得出线段的比.
9.(1)见分析(2)见分析
【分析】(1)利用SAS证明△ACE≌△ABF即可;
(2)先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF,求出∠BQF=∠AFE,再证△CAF∽△BFQ,利用相似三角形的性质得出结论.
(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵CF=BE,
∴CE=BF,
在△ACE和△ABF中,,
∴△ACE≌△ABF(SAS),
∴∠CAE=∠BAF;
(2)证明:∵△ACE≌△ABF,
∴AE=AF,∠CAE=∠BAF,
∵AE²=AQ·AB,AC=AB,
∴,即,
∴△ACE∽△AFQ,
∴∠AEC=∠AQF,
∴∠AEF=∠BQF,
∵AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE,
∴∠BQF=∠AFE,
∵∠B=∠C,
∴△CAF∽△BFQ,
∴,即CF·FQ=AF·BQ.
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质,熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键.
10.(1)△ADE≌△BDE,△ABC∽△BCD;(2)证明见分析.
解:(1)利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质得出符合题意的答案;
(2)利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可.
解:(1)△ADE≌△BDE,△ABC∽△BCD;
(2)证明:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD为角平分线,
∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A,
在△ADE和△BDE中
∵,
∴△ADE≌△BDE(AAS);
证明:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD为角平分线,
∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A,
∵∠C=∠C,
∴△ABC∽△BCD.
点评:此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定,正确把握判定方法是解题关键.
考点:相似三角形的判定;全等三角形的判定.
11.(1)2(2)6
【分析】(1)利用平行四边形对边平行证明,得到即可求出;
(2)利用平行条件证明,分别求出、的相似比,通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、,最后通过求出.
(1)∵四边形BFED是平行四边形,
∴ ,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴;
(2)∵四边形BFED是平行四边形,
∴,,DE=BF,
∴,
∴
∴,
∵,DE=BF,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴.
【点拨】本题考查了相似三角形,熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键.
12.(1)证明见分析(2),与相似,理由见分析(3)
【分析】(1)根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论;
(2)根据判定两个三角形相似的判定定理,找到相应的角度相等即可得出;
(3)根据得出,根据得出,联立方程组求解即可.
(1)证明:如图所示:
四边形为矩形,
,
,
,
,
又平分,
,
,
又与互余,
与互余,
;
(2)解:,与相似.
理由如下:
,,
,
又,
,
,,
;
(3)解:,
,
,
,
在矩形中对角线相互平分,图中,
①,
,
,
,
在矩形中,
②,
由①②,得(负值舍去),
.
【点拨】本题考查矩形综合问题,涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点,熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键.
13.1或3
【分析】分两种情况:①当EM⊥AC时∠AME=90°,然后根据三角函数的性质可得解;②当EN⊥AC时,∠MNE=90°,然后根据三角函数的性质可得解.
解:由已知△EMN与△AEF相似,△AEF与△HEF全等,所以可以分为两种情况:
①当EM⊥AC时,∠AME=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=2,∠B=90∘,
∵∠CAB=30°,
∴∠AEM=60°,AB=,
由已知可得∠AEF=30°,AE=,
∴AF=AE⋅tan30°==1;
②当EN⊥AC时,∠ANE=90°,
∴∠AEN=60°,
∴AF=AE⋅tan60°==3,
故答案为:1或3.
【点拨】本题考查三角形图形变换的应用,熟练掌握折叠、三角形相似、三角形全等及三角函数的性质是解题关键.
14.(1)见分析;(2)见分析;(3)成立,理由见分析.
【分析】(1)连接PC,根据折叠的性质得MN是PC的垂直平分线,证明AM=PM=AC即可得到结论;
(2)易证得△CMN∽△CAB,然后由相似三角形的对应边成比例,证得,继而可得比例式;
(3)首先连接PC,则MN⊥PC,过点P作PE⊥AC于点E,易证得△AEP∽△ACB,△MCN∽△PEC,然后由相似三角形的对应边成比例,证得成立.
解:(1)连接PC,如图1,
∵△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°
∴∠A=∠B=45°
∴MC=NC
∵MN是折痕,
∴MN垂直平分PC,MN//AB,MC=PM=PN
∴CP⊥AB,∠MPC=∠MCP=45°
∴∠MPA=45°
∴∠MPA=∠A
∴AM=PM
∴AM=PN
(2)如图1,
∵MN是折痕,
∴MN垂直平分PC,
∵AC=BC,AP=BP,
∴CP⊥AB,=1,
∴MN∥AB,
∴△CMN∽△CAB,
∴,
∴;
(3)当点P不是边AB的中点时,仍然成立.
理由:如图(2),连接PC,则MN⊥PC,
过点P作PE⊥AC于点E,
∵∠ACB=90°,∠A是公共角,
∴△AEP∽△ACB,
∴,
∵AC=BC,
∴∠A=∠B=45°,∠APE=∠B=45°,
∴AE=EP,
∵∠MCN=90°,CP⊥MN,
∴∠ECP=∠MNC,
∴△MCN∽△PEC,
∴,
∴,
∴.
【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
15.(1)△ABD,△ACD,△DCE(2)△BDF∽△CED∽△DEF,证明见分析;(3)5.
【分析】(1)根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE,同理可得:△ADE∽△ACD.△ADE∽△DCE.
(2)利用已知首先求出∠BFD=∠CDE,即可得出△BDF∽△CED,再利用相似三角形的性质得出,从而得出△BDF∽△CED∽△DEF.
(3)利用△DEF的面积等于△ABC的面积的,求出DH的长,从而利用S△DEF的值求出EF即可
解:(1)图(1)中与△ADE相似的有△ABD,△ACD,△DCE.
(2)△BDF∽△CED∽△DEF,证明如下:
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°,∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°,
又∵∠EDF=∠B,
∴∠BFD=∠CDE.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴△BDF∽△CED.
∴.
∵BD=CD,
∴,即.
又∵∠C=∠EDF,
∴△CED∽△DEF.
∴△BDF∽△CED∽△DEF.
(3)连接AD,过D点作DG⊥EF,DH⊥BF,垂足分别为G,H.
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,BD=BC=6.
在Rt△ABD中,AD2=AB2﹣BD2,即AD2=102﹣62,
∴AD=8.
∴S△ABC=•BC•AD=×12×8=48,
S△DEF=S△ABC=×48=12.
又∵•AD•BD=•AB•DH,
∴.
∵△BDF∽△DEF,
∴∠DFB=∠EFD.
∵DH⊥BF,DG⊥EF,
∴∠DHF=∠DGF.
又∵DF=DF,
∴△DHF≌△DGF(AAS).
∴DH=DG=.
∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=12,
∴EF=5.
【点拨】本题考查了和相似有关的综合性题目,用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用,灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键,解答时,要仔细观察图形、选择合适的判定方法,注意数形结合思想的运用.
16.(1)(2)①;②,解答过程见分析(3)或
【分析】(1)证、是的中位线,得,,即可得出答案;
(2)①过点作于点,于点,先证,得出,再根据(1)所得结论即可得出答案;
②过点作于点,于点,证,,推出,,同①得,则,即可得出结论;
(3)分和两种情况分别求解可得.
(1)解:,,,
,,
点是的中点,
、是的中位线,
,,
,
故答案为:3;
(2)①过点作于点,于点,如图2所示:
则,
四边形是矩形,
,即,
,
,即,
,
,
,
同(1)得:,
,
故答案为:3;
②过点作于点,于点,如图3所示:
,
四边形是矩形,
,,,,
,
,,
,,
,,
,,
,,
与①同理得:,
;
(3)如图所示:
在中,由勾股定理得:,
,
与相似分两种情况:
①,则,即,整理得:,
,
;
②,则,即,整理得:,
,
;
综上所述,当或时,与相似;
故答案为:或.
【点拨】本题是相似综合题,考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、旋转的性质、矩形的判定与性质以及分类讨论等知识,本题综合性强,证明三角形相似是解题的关键.
17.(1);(2);(3)与相似时,此时直线的解析式为或
【分析】(1)将代入中可求出点的坐标,;
(2)由直线所在的函数随的增大而减少,点在线段上,且纵坐标小于2,结合图象写出结果即可;
(3)分类讨论当和,利用相似三角形的性质分别求出的坐标,利用待定系数法求即可求出的解析式.
解:(1)∵轴,
∴
∴把代入可得:
∴
(2)∵直线所在的函数随的增大而减少,
∴点在线段上,且纵坐标小于2
∴;
(3)由题意得,,,
当时,有,即
∴
∴
设直线的解析式为
∴解得
∴直线的解析式为
当时,有,即
∴
∴
设直线的解析式为
∴解得
∴直线的解析式为
综上所述,与相似时,此时直线的解析式为或
【点拨】本题主要考查了一次函数的性质,一次函数上点的坐标特征,待定系数法求一次函数解析式,相似三角形的判断和性质,熟悉掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
18.(1)20,D(12,0)(2)证明见分析(3)E的坐标为(8,0)或(,0)
解:(1)∵四边形ABCO为矩形,
∴∠B=90°.
在Rt△ABC中,BC=AB÷tan∠ACB=16÷="12" ,
AC=.
则AO=BC=12.∴ A(-12,0).
∵点D与点A关于轴对称,∴D(12,0).
(2)∵点D与点A关于y轴对称,∴∠CDE=∠CAO.
∵∠CEF=∠ACB,∠ACB=∠CAO,∴∠CDE=∠CEF.
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE(三角形外角性质),
∴∠AEF=∠DCE.
则在△AEF与△DCE中,
∠CDE=∠CAO,∠AEF=∠DCE,
∴△AEF∽△DCE.
(3)当△EFC为等腰三角形时,有以下三种情况:
①当CE=EF时,∵△AEF∽△DCE,
∴△AEF≌△DCE.
∴AE=CD=20.
∴OE=AE-OA=20-12=8.
∴E(8,0).
②当EF=FC时,如图所示,过点F作FM⊥CE于M,
则点M为CE中点.
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=EF.
∵点D与点A关于y轴对称,
∴CD=AC=20.
∵△AEF∽△DCE,
∴ ,即 ,
解得.
∴OE=AE-OA=,
∴E( ,0).
③当CE=CF时,则有∠CFE=∠CEF,
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO,
∴∠CFE=∠CAO.
即此时F点与A点重合,这与已知条件矛盾.
综上所述,当△EFC为等腰三角形时,点E的坐标为(8,0)或(,0).
(1)利用矩形的性质,在Rt△ABC中,利用三角函数求出AC、BC的长度,从而得到A点坐标;
由点D与点A关于y轴对称,进而得到D点的坐标.
(2)欲证△AEF与△DCE相似,只需要证明两个对应角相等即可,在△AEF与△DCE中,易知
∠CDE=∠CAO,∠AEF=∠DCE,从而问题解决.
(3)当△EFC为等腰三角形时,需要分CE=EF,EF=FC,CE=CF三种情况讨论.
19.(1);(2)最大值为,最小值为;(3)的值为或.
【分析】(1)作EH⊥BC于H,MQ⊥CD于Q,设EF交MN于点O.证明△FHE≌△MQN(ASA),即可解决问题.
(2)由题意:2a≤MN≤a,a≤EF≤a,当MN的长取最大时,EF取最短,此时k的值最大,最大值=,当MN的最短时,EF的值取最大,此时k的值最小,最小值为.
(3)连接FN,ME.由k=3,MP=EF=3PE,推出,推出,由△PNF∽△PME,推出=2,ME∥NF,设PE=2m,则PF=4m,MP=6m,NP=12m,接下来分两种情形①如图2中,当点N与点D重合时,点M恰好与B重合.②如图3中,当点N与C重合,分别求解即可.
解:(1)作,,如图1.
∵四边形为正方形,
∴,,∴.
∵,
∴,,
∴,∴,
∴.
(2)∵,∴.
由题意得,,,
当取最长时,可取到最短,此时的值最大,最大值为,
当取最短时,可取到最长,此时的值最小,最小值为.
(3)连结,,
∵,,
∴,∴,
∴,
∴,.
设,则,,.
①当点与点重合时, 如图2,点恰好与点重合,过点作于点,
∵,
∴,,,
∴.
②当点与点重合时,如图3,过点作于点,
则,,
∴,
∴.
∵,
∴.
又∵,
∴,∴,
∴.
综上所述,的值为或.
【点拨】本题属于相似形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.
20.(1)结论:CF=2DG,理由见分析;(2)△PCD的周长的最小值为10+2.
【分析】(1)结论:CF=2DG.只要证明△DEG∽△CDF即可;
(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
解:(1)结论:CF=2DG.
理由:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°,
∵DE=AE,
∴AD=CD=2DE,
∵EG⊥DF,
∴∠DHG=90°,
∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°,
∴∠CDF=∠DEG,
∴△DEG∽△CDF,
∴==,
∴CF=2DG.
(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,
此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
由题意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG=,DH==,
∴EH=2DH=2,
∴HM==2,
∴DM=CN=NK==1,
在Rt△DCK中,DK===2,
∴△PCD的周长的最小值为10+2.
【点拨】本题考查正方形的性质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会理由轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.
21.(1)①见分析,②45;(2)135°;(3)
【分析】(1)①根据旋转角,旋转方向画出图形即可.
②只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可.
(2)如图2,过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H.证明△ABC≌△EAH(AAS)即可解决问题.
(3)如图3中,由AE⊥BC,BE=EC,推出AB=AC,将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG,只要证明∠GDC=90°,可得CG=,由此即可解决问题.
解:(1)①如图,△AB′C′即为所求.
②由作图可知,△ABB′是等腰直角三角形,
∴∠AB′B=45°,
故答案为45.
(2)如图2中,过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H.
∵∠C=∠BAE=∠H=90°,
∴∠B+∠CAB=90°,∠CAB+∠EAH=90°,
∴∠B=∠EAH,
∵AB=AE,
∴△ABC≌△EAH(AAS),
∴BC=AH,EH=AC,
∵BC=CD,
∴CD=AH,
∴DH=AC=EH,
∴∠EDH=45°,
∴∠ADE=135°.
(3)如图③中,∵AE⊥BC,BE=EC,
∴AB=AC,将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG,
∵∠BAD=∠CAG,
∴∠BAC=∠DAG,
∵AB=AC,AD=AG,
∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD,
∴△ABC∽△ADG,
∵AD=kAB,
∴DG=kBC=2k,
∵∠BAE+∠ABC=90°,∠BAE=∠ADC,
∴∠ADG+∠ADC=90°,
∴∠GDC=90°,
∴CG==.
∴BD=CG=.
【点拨】本题属于几何变换综合题,考查了等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用旋转法添加辅助线,构造全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考压轴题.
22.(1)(2)16(3)BP的长度为2或3或6或7.
【分析】(1)由正方形的性质可得,,根据ASA可证,由全等三角形的性质可得结论;
(2) 过点O作交AD于点M,交BC于点N,作交AB于点T,交CD于点R,证明△进而证明;
(3)分三种情况:利用三垂线构造出相似三角形,得出比例式求解,即可求出答案.
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠
∵是对角线,
∴∠,
∴∠,
∵四边形是正方形,
∴∠,
∴∠
又∠
∴,
∴
∴
故答案为:
(2)过点O作交AD于点M,交BC于点N,作交AB于点T,交CD于点R,如图,
∵点O是正方形ABCD的中心,
∴
又∠A=90°
∴四边形ATOM是正方形,
∴
同(1)可证△
∴
(3)解:在直线BE上存在点P,使△APF为直角三角形,
①当∠AFP=90°时,如图④,延长EF,AD相交于点Q,
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,
∴EQ=AB=6,∠BAD=∠B=∠E=90°,
∴四边形ABEQ是矩形,
∴AQ=BE=BC+CE=8,EQ=AB=6,∠Q=90°=∠E,
∴∠EFP+∠EPF=90,
∵∠AFP=90°,
∴∠EFP+∠AFQ=90°,
∴△EFP∽△QAF,
∴,
∵QF=EQ-EF=4,
∴,
∴EP=1,
∴BP=BE-EP=7;
②当∠APF=90°时,如图⑤,
同①的方法得,△ABP∽△PEF,
∴,
∵PE=BE-BP=8-BP,
∴,
∴BP=2或BP=6;
③当∠PAF=90°时,如图⑥,
过点P作AB的平行线交DA的延长线于M,延长EF,AD相交于N,
同①的方法得,四边形ABPM是矩形,
∴PM=AB=6,AM=BP,∠M=90°,
同①的方法得,四边形ABEN是矩形,
∴AN=BE=8,EN=AB=6,
∴FN=EN-EF=4,
同①的方法得,△AMP∽△FNA,
∴,
∴,
∴AM=3,
∴BP=3,
即BP的长度为2或3或6或7.
【点拨】此题是几何变换综合题,主要考查了正方形的性质,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键.
23.(1)[问题提出](1);(2)见分析(2)[问题拓展]
【分析】[问题探究](1)根据等边三角形的性质结合已知条件,求得,,根据含30度角的直角三角形的性质,可得,即可求解;
(2)取的中点,连接.证明,可得,根据,证明,根据相似三角形的性质可得,进而可得;
[问题拓展]方法同(2)证明,得出,,证明,得到,进而可得.
(1)[问题探究]:(1)如图,
中,,是的中点,,
是等边三角形,
,,
,
,
,
,
,
,
,
.
(2)证明:取的中点,连接.
∵是的中点,
∴,.
∵,
∴,
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
∴.
(2)[问题拓展]如图,取的中点,连接.
∵是的中点,
∴,.
∵,
∴,
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
∴.
,
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
∴.
.
【点拨】本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,等边对等角,掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.
24.(1),30°;(2)成立,理由见分析;拓展延伸:或
【分析】(1)通过证明,可得,,即可求解;
(2)通过证明,可得,,即可求解;
拓展延伸:分两种情况讨论,先求出,的长,即可求解.
解:(1)如图1,,,,
,
如图2,设与交于点,与交于点,
绕点按逆时针方向旋转,
,
,
,,
又,
,
直线与所夹锐角的度数为,
故答案为:,;
(2)结论仍然成立,
理由如下:如图3,设与交于点,与交于点,
将绕点按逆时针方向旋转,
,
又,
,
,,
又,
,
直线与所夹锐角的度数为.
拓展延伸:如图4,当点在的上方时,过点作于,
,,点是边的中点,,
,,,
,,
,
、、三点共线,
,
,
,
,
由(2)可得:,
,
,
的面积;
如图5,当点在的下方时,过点作,交的延长线于,
同理可求:的面积;
故答案为:或.
【点拨】本题是几何变换综合题,考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质,旋转的性质等知识,利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.
25.(1)(2)(3)仍然成立,理由见分析
(4)
【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质,可得,根据题意可得,根据等原三角形的性质可得平分,即可得,根据旋转的性质可知;
(2)证明,可得,根据等腰直角三角形可得,由,即可即可得出;
(3)同(2)可得,过点,作,交于点,证明,,可得,即可得出;
(4)过点作,交于点,证明,可得,,在中,勾股定理可得,即可得出.
解:(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形,
,
故答案为:
(2)
在与中,
又
重合,
故答案为:
(3)同(2)可得
,
过点,作,交于点,
则,
,
在与中,
,
,
,
是等腰直角三角形,
,,
,
,
在与中,
,
,
,
,
即,
(4)过点作,交于点,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,,
中,,
,
即.
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,掌握全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定是解题的关键.
26.(1)见分析;(2);(3)
【分析】(1)根据SAS证明,进而即可得到结论;
(2)先证明,得,进而即可求解;
(3)在上取一点F,使得,连结,可得,从而得,可得,,最后证明,即可求解.
解:(1)∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,即平分;
(2)∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴;
(3)如图,在上取一点F,使得,连结.
∵平分,
∴
∵,
∴,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴,
∴.
∵,
∴.
∵,
又∵,
∴
∴,
∴,
∴.
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,添加辅助线,构造全等三角形和相似三角形,是解题的关键.
27.(1)见分析;(2);(3)
【分析】(1)利用三角形的外角性质可求解;
(2)由直角三角形的性质和角平分线的性质可得AF=FC,AF=BF,通过证明△ABG∽△BCA和△ABF∽△BAD,利用相似三角形的性质可求解;
(3)通过证明△ABH∽△ACB,可得AB2=AC×AH,设BD=m,AB=km,由勾股定理可求AC的长,可求AH,HC的长,即可求解.
解:证明:(1)∵
∴
∵,
∴
(2)设,
∴
∵,
∴
∵平分
∴
∴,
∴
∴
∵,
∴∽
∴
∵,
∴∽
∴,且,
∴,即
∴
(3)∵,
∴,且
∴∽
∴
∴
设,
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【点拨】本题是相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质,灵活运用相似三角形的判定是本题的关键.
28.(1)见分析(2)26(3)
【问题解决】延长CD至点E,使DE=CD,连接AE,BE,先证四边形ACBE是平行四边形,再由∠ACB=90°,得平行四边形ACBE为矩形,然后由矩形的性质即可得出结论;
【应用探究】(1)连接DE,先证∠EDB=2∠BCE,再由直角三角形斜边上的中线性质得DE=BE,则∠B=∠EDB=2∠BCE,再由三角形的外角性质即可求解;
(2)过E作EM⊥CF于M,过H作HN⊥GF于N,延长AD、FG交于点P,则四边形ACFP、四边形ABGP是矩形,得PF=AC=11,AP=BG,∠APF=90°,再由正方形的性质得AD=AB=4,FG=BG=BC=AC﹣AB=7,然后证HN是△PDF的中位线,得PN=FN=,HN=PD= ,最后由勾股定理求解即可.
(1)解:证明:延长CD至点E,使DE=CD,连接AE,BE.
∵CD为斜边AB上的中线,
∴AD=BD,
∴四边形ACBE是平行四边形,
∵∠ACB=90°,
∴平行四边形ACBE为矩形,
∴AB=EC,
∴CD=CE=AB;
(2)解:如图2,连接DE,
∵点F是CE的中点,DF⊥CE,
∴DE=DC,
∴∠DEC=∠BCE,
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE,
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADB=90°,
∵CE是中线,
∴AE=BE,
∴DE=AB=BE,
∴∠B=∠EDB=2∠BCE,
∴∠AEC=∠B+∠BCE=3∠BCE=78°,
∴∠BCE=26°,
故答案为:26;
(3)解:如图,过E作EM⊥CF于M,过H作HN⊥GF于N,延长AD、FG交于点P,
则四边形ACFP、四边形ABGP是矩形,
∴PF=AC=11,AP=BG,∠APF=90°,
∵四边形ABED和四边形BCFG是正方形,
∴AD=AB=4,FG=BG=BC=AC﹣AB=11﹣4=7,
∴AP=BG=7,
∴PD=AP﹣AD=7﹣4=3,
∵HN⊥PF,AP⊥PF,
∴∠HNG=90°,HN∥PD,
∵点H为DF的中点,
∴HN是△PDF的中位线,
∴PN=FN=PF=,HN=PD=,
∴GN=FG﹣FN=7﹣=,
在Rt△GHN中,由勾股定理得:GH=,
故答案为:.
【点拨】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识,本题综合性强,熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键.
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