湘教版八年级下册2.5.2矩形的判定公开课ppt课件

课   题

矩形的判定

课型

新授课

教学目标

1. 理解三个角是直角的四边形是矩形；

2. 理解对角线相等的平行四边形是矩形；

3. 能够灵活运用矩形的判定方法判定矩形；

4. 提高分析几何问题、准确运用几何符号语言推理的能力.

教学重点

1. 从角和对角线两个方法探究矩形的判定方法；

2. 能结合平行四边形、三角形的性质，用矩形的判定方法判定矩形。

教学难点

1. 探究矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形；

2. 理清判定矩形的思路，能用严密的几何符号语言叙述证明过程。

教   学   活   动

一、温故知新

师问生答，PPT展示

1、 矩形有哪些性质？

PPT：矩形的两组对边平行且相等.

矩形的四个角都是直角.

矩形的对角线互相平分且相等.

矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.

2、 判定平行四边形有哪些方法？

PPT：定义法：证两组对边分别平行     

判定定理1：证一组对边分别平行且相等，判定平行四边形；

判定定理2：证两组对边分别相等，判定平行四边形；

判定定理3：证对角线互相平分，用角判定：证两组对角分别相等；

用角判定：证两组对角分别相等，用角判定：证两组对角分别相等.

二、教学新知

（一）探究有三个角是直角的四边形是矩形

1、 出示问题：矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？

2、 理清思路

生：根据矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫作矩形”，在已知四边形有直角的情况下，要判定该四边形是矩形，就要能判定该四边形是平行四边形。

3、 探究四个角都是直角的四边形是矩形

师：四个角都是直角的四边形是矩形吗？

PPT：如图，四边形ABCD的四个角都是直角.由于“同旁内角互补，两直线平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，从而四边形ABCD是平行四边形. 所以□ABCD是矩形.由此得到四个角是直角的四边形是矩形.

4、 探究三个角都是直角的四边形是矩形

师：三个角都是直角的四边形是矩形吗？

生：因为四边形的内角和等于360°，已知四边形的三个角是直角，则另一个角也是直角。根据上面的探讨，这个四边形是矩形。

5、 讨论：两个角都是直角的四边形是矩形吗？

生1：如图，已知四边形ABCD的两个角∠A，∠B是直角，则AD∥BC，但不能得出AB∥DC，从而不能说明四边形是平行四边形，因此也不能说明四边形ABCD是矩形。

    生2：其实，我们可以举出例子，只有两个角是直角的四边形不一定是矩形。如下图中两个四边形。

6、 概括、展示结论：三个角是直角的四边形是矩形.

（二）探索对角线相等是平行四边形是矩形

1、 提出问题：从“矩形的两条对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出画出一个长度为4cm的矩形吗？这样的矩形有多少个？

2、 学生画图，合作交流

生：过点O画两条线段AC，BD，使得OA=OC=2cm，OB=OD=2cm. 连接AB，BC，CD，DA.量所画的四边形ABCD的角都为直角，且它的对角线长度为4cm.因此该四边形是矩形.如图，这样的矩形有无穷多个.

3、 抽象成命题

师：你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？

如图，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等.上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？

4、 证明结论

在□ABCD中，由于AB=DC，BC=CB，AC=DB，

∴ △ABC≌△DCB(SSS).

∴ ∠ABC=∠DCB.

又∵ ∠ABC+∠DCB=180°，

∴ ∠ABC=90°.

∴ 四边形ABCD是矩形.

5、 展示结论：

由此得到矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.

6、 合作讨论：对角线相等的四边形是矩形吗？

生：等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，所以对角线相等的四边形不一定是矩形.

PPT：下图中，把矩形ABCD的对角线AC向右平移，得AC的像EF，连接BE，DF，得到的四边形EBFD，对角线相等，但不是矩形，其实是等腰梯形.

我们把等腰梯形的一条对角线向上或向下平移，连接平移后两对角线的端点，还可以得到许多对角线相等，但不是矩形的四边形。

因此，对角线相等的四边形不一定是矩形。只有对角线相等的平行四边形可以判定为矩形.

三、讲解例题 

例2 如图，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O.

(1)如果□ABCD是矩形，则△OBC是什么样的三角形？

(2)如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么□ABCD是矩形吗？

解： (1)∵ □ABCD是矩形，

∴  AC与DB相等且互相平分.

∴ OB=DB=AC=OC.

∴ △OBC是等腰三角形.

(2)∵ △OBC是等腰三角形，其中OB=OC，

∴ AC=2OC=2OB=BD，

∴ □ABCD是矩形.

方法指导：从例2我们受到启发：

1. 矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，矩形的两条对角线把矩形分成两组全等的等腰三角形；

2. 当平行四边形的两条对角线把矩形分成的三角形中有等腰三角形时，我们可以判定平行四边形是矩形。

解决与平行四边形和矩形的有关问题时，我们要注意四边形与三角形的上面这些联系

五、巩固练习

1、(高阳期末)能够判定一个四边形是矩形的条件是(    )

A. 对角线互相平分且相等                                               

B. 对角线互相垂直平分

C. 对角线相等且互相垂直                                                 

D. 对角线互相垂直

【答案】A

2、 (尚志期末)下面给出的条件中，不能判定一个四边形是矩形的是(    )

A. 一组对边平行且相等，一个角是直角                                              

B. 对角线互相平分且相等

C. 有三个角是直角                                                 

D. 一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等

【答案】D

3、 (海南校级模拟)如图，要使□ABCD成为矩形，可以添加的条件是(    )

A.  AB=BC                                              

B.  AO=BO

C. ∠1=∠2                                               

D.  AC⊥BD

【答案】B                                 

六、课堂总结

判定一个四边形是矩形有哪些方法？

PPT：

①定义法：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。

②用角判定：三个角是直角的四边形是矩形.

③用对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形.

注意：用①、③两种方法判定矩形，需先证四边形是平行四边形，再证一个角是直角，或证对角线相等.

七、作业布置及指导

第63页课后练习第1、2题：

1、 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，

求证：四边形ABCD是矩形.

证明 ∵∠A=∠B=∠C=∠D，

∠A+∠B+∠C+∠D =360°，

∴∠A=∠B=∠C=∠D= 90°.

∴四边形ABCD是矩形.  

2、 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB =60°，AB=2，AC=4，求□ABCD的面积.

思路 先根据条件说明△AOB是等边三角形，再利用平行四边形和等边三角形的性质证明AC=BD，从而得出□ABCD是矩形，最后利用勾股定理求出矩形的边长，即可求出矩形的面积.

解 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=4，AB=2，

∴ OA=AC=2=AB.

又 ∠AOB=60°，

∴ △OAB是等边三角形.

∴ OB=OA，从而 AC=BD.

∴□ABCD是矩形.

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4，

根据勾股定理，得

BC²=AC²-AB²=4²-2²=12，

∴ BC=2.

∴ 矩形ABCD的面积S=AB·BC=2×2=4.   

板书设计

2.5.2矩形的判定

1、 定义法：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形；

2、 三个角是直角的四边形是矩形；

3、 矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形；

4、 证明步骤：利用定义和定理进行判定矩形，现证四边形是矩形，再证一个角是直角或对角线相等。

课后反思