精品解析：广东省广州市2021-2022学年七年级上学期期末考试数学（A）试题

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2021学年第一学期七年级期末学业调查数学试卷（A卷）
一、选择题
1. 某超市出售的三种品牌月饼袋上分别标有质量为(500±5)g，(500±10)g，(500±20)g的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差( )
A. 10 g B. 20 g C. 30 g D. 40 g
【答案】D
【解析】
【详解】由题意知：任意拿出两袋，最重的是520g，最轻的是480g，
所以质量相差520−480=40(g).
故选D.
2. 代数式2x－y，ab，，，中，多项式的个数有（ ）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】几个单项式的和叫做多项式，结合所给代数式进行判断即可．
解：多项式有：2x﹣y，，共2个．
故选：B．
3. 如果代数式的值为，那么代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意，根据代数式的性质，得，再将其代入到代数式中计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得：
∴
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
4. 已知：关于x、y的多项式mx3+3nxy2﹣2x3﹣xy2+y中不含三次项，则代数式2m+3n值是（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】将多项式合并后，令三次项系数为0，求出m与n的值，即可求出2m+3n的值．
【详解】∵mx3+3nxy2−2x3−xy2+y=(m−2)x3+(3n−1)xy2+y，多项式中不含三次项，
∴m−2=0，且3n−1=0，
解得：m=2，n=，
则2m+3n=4+1=5.
故答案选D
【点睛】本题考查了多项式的定义，解题的关键是熟练的掌握多项式的定义.
5. 不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】不等式两边同乘12得：8x﹣3（x﹣5）＞10，
去括号，移项，合并同类项得：5x＞﹣5，
x系数化为1，得：x＞﹣1.
故选C.
【点睛】本题考查解不等式和在数轴上表示不等式的解集.
用数轴表示不等式解集的方法：（1）定边界点，若含有边界点，解集为实心点，若不含边界，解集为空心圆圈；（2）定方向，大于向右，小于向左.
6. 若a＜b＜c，x＜y＜z，则下面四个代数式的值最大的是（ ）
A. ax+by+cz B. ax+cy+bz C. bx+ay+cz D. bx+cy+az
【答案】A
【解析】
【分析】先两个多项式的差，然后将它们的差因式分解，判断正负即可．
【详解】解：∵b＜c，y＜z，
∴b﹣c＜0，y﹣z＜0，
∴（ax+by+cz）﹣（ax+bz+cy）＝by+cz﹣bz﹣cy＝b（y﹣z）﹣c（y﹣z）＝（y﹣z）（b﹣c）＞0，
∴ax+by+cz＞ax+bz+cy，即A＞B．
同理：A＞C，B＞D，
∴A式最大．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式的加减、不等式的性质、不等式的传递性等知识点，掌握运用作差法比较代数式的大小成为解答本题的关键．
7. 如图，M、N、P、R分别是数轴上四个数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR= 1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若=3，则原点可能是（ ）

A. M或R B. N或P
C. M或N D. R或N
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴判断出两个数之间的距离小于3，然后根据绝对值的性质即可得出答案．
【详解】∵MN=NP=PR= 1，
∴两个数之间的距离小于3，
∵=3，
∴原点不在两个数之间，即原点不在或N或P，
∴原点可能是M或R，
故选：A．
【点睛】本题主要考查数轴，判断出两个数之间距离小于3是解题的关键．
8. 已知关于x的不等式3x﹣2a4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（　　）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【答案】B
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的整数解得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，再求出整数a即可．
【详解】解不等式3x﹣2a＜4﹣5x得：，
∵关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，是1，2，3，
∴，
解得：10＜a≤14，
∴整数a可以是11，12，13，14，共4个，
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a的不等式组是解题的关键．
9. 如果两个角互补，那么这两个角可能是
①均为直角；②均为钝角；③一个为锐角，一个为钝角；④以上三者都有可能
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ④
【答案】B
【解析】
【分析】根据补角的定义（只要两个角的度数和是180°，就称这两个角是互为补角）解答即可.
【详解】根据补角的定义可知，只要两个角的度数和是180°，就称这两个角是互为补角，所以如果两个角互为补角，那么这两个角均为直角或一个为锐角，一个为钝角．故选B．
【点睛】本题考查了补角的定义，熟知只要两个角的度数和是180°，就称这两个角是互为补角是解决问题的关键.
10. 满足的有理数和，一定不满足的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分a＞b与a＜b两种情况讨论，针对这两种情况运用完全平方式、去绝对值符号，进行因式分解，进一步利用不等式的性质求解即可．
【详解】解：①当a＞b时，则，与ab≠0矛盾，故排除；
②当a＜b时，则，
∴，
∴，
∴（2a−b）（a−2b）＝0，
∴2a＝b或a＝2b，
当b＝2a且a＜b时，则b−a＝a＞0，
∴b＞a＞0，
∴可能满足的是ab＞0，a＋b＞0；
当a＝2b且a＜b时，则a−b＝b＜0，
∴a＜b＜0，
∴可能满足的是：ab＞0，a＋b＜0，
故一定不能满足关系的是ab＜0，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，不等式的性质．本题的切入点是就a、b的大小讨论，再分解因式利用不等式的性质求解．
二、填空题
11. 单项式的系数________，次数________.
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】根据单项式系数和次数的概念求解．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【详解】解：xy3，
所以此单项式的系数是，次数是1+3=4．
故答案为，4．
【点睛】本题考查了单项式的知识．解题关键是理解有关概念．
12. 已知是关于x、y方程的解，则______．
【答案】
【解析】
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程， 得到一个含义未知数的一元一次方程，从而可以求出的值.
【详解】把代入原方程，得
，
解得.
故答案为：.
【点睛】解题关键是把方程的解代入方程，关于和的方程转变成是关于的一元一次方程，求解即可.
13. 某电子厂2012年的总产值为3000万元，比2011年增长12.5%，计划2013年也按这个速度增长，则按计划该厂2013年总产值将为_____万元（结果保留2个有效数字）．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【详解】解：依题意得该厂2013年总产值将为3000(1+12.5%)=3375≈3.4×．
故答案为：3.4×．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
14. 数轴上有三点A，B，C，且A，B两点间的距离是3；B，C两点的距离是1．若点A表示的数是﹣2，则点C表示的数是__．
【答案】0或2或﹣4或﹣6．
【解析】
【分析】先确定点B表示的数，再确定点C表示的数，即可解答．
【详解】∵A，B两点间的距离是3，点A表示的数是﹣2，
∴点B表示的数为1或﹣5，
当点B表示的数为1时，B，C两点的距离是1，则点C表示的数为：0或2；
当点B表示的数为﹣5时，B，C两点的距离是1，则点C表示的数为：﹣4或﹣6；
故答案为：0或2或﹣4或﹣6．
【点睛】此题考查了数轴上的点和数之间的对应关系及两点的距离，解题的关键是熟知数轴的性质．
15. 四个数w、x、y、z满足x－2021＝y+2022＝z－2023＝w+2024，那么其中最小的数是_____，最大的数是______．
【答案】 ①. w ②. z
【解析】
【分析】根据已知等式，分别求x﹣y、x﹣z、y﹣w的值，然后用这些值与0比较大小，即可求得z＞x＞y＞w．
【详解】解：由x﹣2021＝y+2022＝z﹣2023＝w+2024，得
x﹣y＝2021+2022＝4043＞0，∴x＞y，①
x﹣z＝2021﹣2023＝﹣2＜0，∴z＞x，②
y﹣w＝2024﹣2022＝2＞0，∴y＞w，③
由①②③，得
z＞x＞y＞w；
∴四个数w、x、y、z中最小的数是w，最大的数是z；
故答案为：w；z．
【点睛】本题考查等式的性质，根据等式的性质，移项得到x﹣y、x﹣z、y﹣w的值是解题的关键．
16. 定义一种新的运算：，例如：．若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据公式求得，将方程转化得到，由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，得到，解方程组即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
则方程可转化为，
∴，
∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，正确理解由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解是解题的关键．
三、解答题
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算乘方再计算乘法和绝对值，最后进行加减法即可．
【详解】解：原式=
=
=
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算相应的运算法则是解题的关键．
18. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】利用等式的性质，两边同时乘以最小公倍数，去分母；利用分数的性质，分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的结果不变．将方程组化简后，利用加减消元法解方程组即可求出法案．
【详解】解：，
由①变形得，③，
由②变形得，④，
③④得，，
∴，把代入④得，，
故方程组的解为．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组．熟练掌握代入法、加减消元法是解题的关键．
19. 如图所示，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．

求：（1）∠COD的度数；
（2）求∠MON的度数
【答案】(1)90°;(2)135°.
【解析】
分析】(1)根据∠COD=∠AOB−∠AOC−∠BOD，代入即可求解；
(2)先根据角平分线的意义求出∠COM和∠DON，再根据∠MON=∠COM+∠DON+∠COD，即可求解．
【详解】解：（1）∵∠AOC=30°，∠BOD=60°，∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，
∴∠COD=180°−∠AOC−∠BOD=180°-30°-60°=90°；
（2）∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴∠MOC=∠AOC=15°, ∠DON=∠BOD=30°
∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=135°
【点睛】本题考查角度计算，解题的关键是熟练利用角平分线的性质，本题属于基础题型．
20. 已知：如图，AB＝40cm，AC∶CB＝3∶7，AD＝AB，E为DB中点．求：CD、CE的长．

【答案】CD、CE的长分别为3cm，cm．
【解析】
【分析】先计算得出AD、AC的长，利用线段的和与差可求得CD=3；再根据中点的定义即可求得CE的长．
【详解】解：∵AB＝40，AD＝AB，
∴AD＝，
∵AC∶CB＝3∶7，
∴AC＝，
∴CD=；
∴，
∵E为DB中点，
∴，
∴．
答：CD、CE的长分别为3cm，cm．
【点睛】此题考查了两点间的距离，熟练掌握中点的定义和线段的和差关系是解本题的关键．
21. 解关于x的方程：||x＋3|－k|＝2．
【答案】当k≥2时，x = －3±(k + 2)或x = －3±(k－2)；当－2≤k <2时，x=－3±(k+2)；当k<－2时，原方程无解．
【解析】
【分析】将原方程拆成两个绝对值方程，然后再分别讨论求解即可．
详解】解：∵| | x + 3 | －k | = 2
∴ | x + 3 |－k = ±2．
①当 | x + 3 | －k = 2时，| x + 3 | = k + 2，
若 k + 2≥0，即 k≥－2 时，x + 3 = ±(k + 2)，即 x = －3±(k + 2)，
若 k + 2 < 0，即 k < －2 时，方程无解．
②当 | x + 3 | －k = －2时，| x + 3 | = k－2，
若 k－2≥0，即 k≥2 时，x + 3 = ±(k－2) ，即x = －3±(k－2)，
若 k + 2 < 0，即 k < 2 时，方程无解．
综上所述，当k≥2 时，原方程的解为 x = －3±(k + 2)或x = －3±(k－2)；
当－2≤k < 2 时，原方程的解为 x = －3±(k + 2)；
当k < －2 时，原方程无解．
【点睛】本题考查解绝对值方程，掌握绝对值方程讨论的技巧是解题的关键．
22. 甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
【答案】甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元．
【解析】
【分析】若设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500-x）元．根据公式：总利润=总售价-总进价，列出方程即可解决问题．
【详解】解：设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500-x）元，
根据题意得：90%•（1+50%）x+90%•（1+40%）（500-x）-500=157，
解得：x=300，500-x=200．
答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意此类题中的售价的算法：售价=定价×打折数．

23. 已知实数a、b、c满足2a+13b+3c＝90，3a+9b+c＝72，
（1）求的值．
（2）是否存在整数b使得a、c为正数，若存在，请求出最大整数b，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）1 （2）存在，最大整数b为8．
【解析】
【分析】（1）根据已知变形后求出a+2b＝18，3b+c＝18，代入可得结论；
（2）首先求出，然后根据a、c为正数得出不等式组，解不等式组可得答案．
【小问1详解】
解：，
②×3﹣①得：9a+27b+3c﹣2a﹣13b﹣3c＝216﹣90，
整理得：7a+14b＝126，
∴a+2b＝18，
①×3﹣②×2得：6a+39b+9c﹣6a﹣18b﹣2c＝270－144，
整理得：21b＋7c＝126，
∴3b+c＝18，
∴；
【小问2详解】
存在，最大整数b为8，
理由：由（1）得，
∵，，
∴，
解得：，
∴最大整数b为8．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，分式求值，解一元一次不等式组，其技巧性较强，其中把已知等式进行适当的变形是解本题的关键．
24. 已知，求的最大值和最小值．
【答案】当时，有最大值为4，；当时，有最小值为．
【解析】
【分析】解一元一次不等式得到未知数的取值范围，再根据未知数范围化简绝对值，即可求出答案．
【详解】解：不等式的解是，
当时，化简得，


∴；
当时，化简得，

．
故当时， 的最大值是；当时，的最小值是．
【点睛】本题主要考查利用一元一次不等式的取值范围化简绝对值．理解和掌握不等式性质，化简绝对值方法是解题的关键．
25. 解关于的不等式：．
【答案】当a>3时，；当时，原不等式组无解；当时，
【解析】
【分析】先将原不等式组进行整理后，再根据a的取值进行讨论求解即可．
【详解】解：原不等式组可化为，即，
当，即时.由①解得；
，
∴此时不等式组的解集为；
当，即时，由①可得，此不等式无解，
∴此时原不等式组无解；
当，即时，由①可得，
当，即时，
∴此时，原不等式组无解；
当，即时，
∴此时，原不等式组的解集为：.
综上，当时，原不等式组的解集为：当时，原不等式组的解集为：当时，原不等式组的解集为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确进行关于a的分类讨论是解答本题的关键
26. 如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．

（1）当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度．
（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm．
（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB中点E、F，求的值．
【答案】（1）点Q的运动速度为cm/s或cm/s或cm/s或cm/s
（2）经过5秒或70秒两点相距70cm
（3）＝2
【解析】
【分析】（1）由于点P及Q是运动的，当PA＝2PB时实际上是P正好到了AB的三等分点上，而且PA＝40，PB＝20．由速度公式就可求出它的运动时间，即是点Q的运动时间，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，这里的三等分点是二个点，因此此题就有二种情况，分别是AQ＝时，BQ＝时，由此就可求出它的速度；
（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们直背而行时，此题可设运动时间为t秒，运用速度公式求解即可；
（3）先画出图形，然后可以把它当成一个静止的线段问题来求解即可．
【小问1详解】
解：①当P在线段AB上时，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝40，OP＝60，故点P运动时间为60秒．
若AQ＝时，BQ＝40，CQ＝50，点Q的运动速度为50÷60＝（cm/s）；
若BQ＝时，BQ＝20，CQ＝30，点Q的运动速度为30÷60＝（cm/s）．
②点P在线段AB延长线上时，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝120，OP＝140，故点P运动时间为140秒．
若AQ＝时，BQ＝40，CQ＝50，点Q的运动速度为50÷140＝（cm/s）；
若BQ＝时，BQ＝20，CQ＝30，点Q的运动速度为30÷140＝（cm/s）．
【小问2详解】
解：设运动时间为t秒，则t+3t＝90±70，t＝5或40，
∵点Q运动到O点时停止运动，
∴点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ＝OP＝30cm，之后点P继续运动40秒，则
PQ＝OP＝70cm，此时t＝70秒，
故经过5秒或70秒两点相距70cm；
【小问3详解】
解：如图1，设OP＝xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP＝80﹣（x﹣20）＝100﹣x，
EF＝OF﹣OE＝（OA+AB）﹣OE＝（20+30）﹣＝50﹣，
∴＝＝2．

【点睛】本题主要考查数轴和一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想、数形结合思想以及用含字母的代数式表示相关线段的长度成为解答本题的关键