专题03 复数--《最新高考数学命题热点聚焦与扩展》

专题03  复数

【热点聚焦】

复数是高考必考内容，往往有一道选择题或填空题，属于容易题.复数主要考查的方向有三个，一是复数的概念，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念；二是复数的运算；三是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算或运算与其它相结合居多．

【重点知识回眸】

1、复数的代数形式：，其中称为的实部，称为的虚部（而不是)，

2、几类特殊的复数：

（1）纯虚数：   例如：，等

（2）实数：

3、复数的运算：设

（1）

（2）

（3）

 注：乘法运算可以把理解为字母，进行分配率的运算.只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算

（4）

注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是，所以不允许分母带有，那么利用平方差公式及的特点分子分母同时乘以的共轭复数即可.

4、共轭复数：， 对于而言，实部相同，虚部相反

5、复数的模：       ()

6、两个复数相等：实部虚部对应相等

7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴.

8.常用结论

（1）(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.

（2）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．

（3）z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.

9、特别提醒：

（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为“标准”形式，即

（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用.例如：平方差公式，立方和差公式，二项式定理等.

【典型考题解析】

热点一 复数的有关概念

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知为纯虚数，则实数m的值为（       ）

A．1 B． C．1或 D．或0

【答案】A

【解析】

【分析】

根据纯虚数的定义建立方程即可求出.

【详解】

因为是纯虚数，所以，解得.

故选：A.

【典例2】（2020·全国·高考真题（理））复数的虚部是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算求出z即可.

【详解】

因为，

所以复数的虚部为.

故选：D.

【典例3】（2017·全国·高考真题（理））设有下面四个命题

：若复数满足，则；

：若复数满足，则；

：若复数满足，则；

：若复数，则.

其中的真命题为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【详解】

令，则由得，所以，故正确；

当时，因为，而知，故不正确；

当时，满足，但，故不正确；

对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.

点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.

【典例4】（2019·江苏·高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.

【答案】2.

【解析】

【分析】

本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.

【详解】

，

令得.

【规律方法】

解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.

(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(3)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0.

(4)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0.

热点二 复数的运算

【典例5】（2022·全国·高考真题）（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的乘法可求.

【详解】

，

故选：D.

【典例6】（2022·全国·高考真题（文））若．则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．

【详解】

因为，所以，所以．

故选：D.

【典例7】（2022·全国·高考真题）若，则（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的除法可求，从而可求.

【详解】

由题设有，故，故，

故选：D

【典例8】（2021·全国·高考真题（理））设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.

【详解】

设，则，则，

所以，，解得，因此，.

故选：C.

【总结提升】

复数代数形式运算问题的解题策略

(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．

(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i的幂写成最简形式．

热点三 复数的几何意义

【典例9】（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.

【详解】

，所以该复数对应的点为，

该点在第一象限，

故选：A.

【典例10】（2019·全国·高考真题（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．

【详解】

则．故选C．

【典例11】（2017·北京·高考真题（文））若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（    ）

A．（–∞，1） B．（–∞，–1）

C．（1，+∞） D．（–1，+∞）

【答案】B

【解析】

【详解】

试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.

【典例12】（2020·全国·高考真题（理））设复数，满足，，则=__________.

【答案】

【解析】

【分析】

方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.

方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.

【详解】

方法一：设，，

，

，又，所以，，

.

故答案为：.

方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,

由已知,

∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，

∴.

【点睛】

方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.

方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解

【总结提升】

复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．

【精选精练】

一、单选题

1．（2020·全国·高考真题（文））若，则（       ）

A．0 B．1

C． D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据将化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．

【详解】

因为，所以 ．

故选：C．

2．（2022·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】

由,得,即

故选:

3．（2022·全国·高考真题（文））设，其中为实数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．

【详解】

因为R，，所以，解得：．

故选：A.

4．（2022·全国·高考真题（理））若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】

故选 ：C

5．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知，其中x，y是实数，是虚数单位，则=（            ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算以及复数相等的条件求出即可得解.

【详解】

由，得，得，

得，得，

所以.

故选：C

6．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）若复数的共轭复数为，并满足，其中为虚数单位，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据除法法则计算得到，从而得到.

【详解】

因为，所以，所以

故选：A

7．（2022·广西柳州·模拟预测（理））设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知条件求得的值，利用复数的乘法化简可得结果.

【详解】

因为复数的虚部与复数的虚部相等，则，则，

因此，.

故选：D.

8．（2023·山西大同·高三阶段练习）若复数z满足，其中是虚数单位，则（       ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据，解得，再由复数模的定义得答案.

【详解】

由，得，所以.

故选：D.

9．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）若复数z满足，其中是虚数单位，则的值为（       ）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知得，设，化简计算可得.

【详解】

因为，所以，故设，则，所以.

故选：B.

10．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 （为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（       ）．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

求为纯虚数的等价条件，结合充要条件判断得解.

【详解】

当时，，所以为纯虚数；

若为纯虚数，，所以，所以或，所以“为纯虚数”是“”的必要非充分条件.

故选：B.

11.（2022·江西·高三阶段练习（理））已知，若，则实数（       ）

A．2 B．－2 C．1 D．－1

【答案】D

【解析】

【分析】

化简后，由复数相等的条件可求出的值，从而可求出的值

【详解】

由题得，所以，

所以，，所以.

故选：D

12．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（     ）

A．若，，则

B．若复数，满足，则

C．若复数为纯虚数，则

D．若复数满足，则复数的虚部为

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数代数形式的运算法则计算可得.

【详解】

解：由，，，令，，

，则，，

得，，．即．故A错误．

设，，则，显然，则B错误．

设，，，，，故C错误．

由复数满足，，，

，

，则复数的虚部为，故D正确．

故选：D．

二、多选题

13.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．

C．若是纯虚数，那么

D．若，在复平面内对应的向量分别为，（O为坐标原点），则

【答案】BC

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则和几何意义即可进行判断.

【详解】

对于A，，A错误；

对于B，∵，∴；

又，∴，B正确；

对于C，∵为纯虚数，∴，解得：，C正确；

对于D，由题意得：，，∴，

∴，D错误.

故选：BC

三、填空题

14．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．

【答案】##

【解析】

【分析】

根据复数代数形式的运算法则即可解出．

【详解】

．

故答案为：．

15．（2020·江苏·高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.

【详解】

∵复数

∴

∴复数的实部为3.

故答案为：3.

16．（2018·江苏·高考真题）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．

【答案】2

【解析】

【详解】

分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.

详解：因为，则，则的实部为.

17．（2023·全国·高三专题练习）若为纯虚数（为虚数单位），则实数___________；

【答案】-1

【解析】

【分析】

先利用复数的除法法则化简得到，根据为纯虚数，得到方程，求出，检验后得到答案.

【详解】

，因为为纯虚数，

所以，解得：，此时，符合要求，

故答案为：-1

18．（2022·北京·测试学校四高三）已知复数，满足与的实部和虚部均属于，则在复平面上形成轨迹的面积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

设满足要求的复数，根据复数的除法运算及题意可求得的范围及的关系式，从而可得出答案.

【详解】

解：设满足要求的复数，

则原命题即为与的实部和虚部均属于，

因此.

整理后得，

，

因此点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，

此区域面积为.

故答案为：.