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【中考复习】2023年中考数学一模复习专题（含答案解析）
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这是一份【中考复习】2023年中考数学一模复习专题（含答案解析），共292页。
有理数 2
实数 41
整式的加减 73
整式的乘除 104
二次根式 137
分式 156
不等式（组） 198
一元一次方程 250
有理数
[知识要点]
知识点一 有理数基础概念
n 有理数
正数：大于0的数叫做正数。根据需要，有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。
负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。负数前面的负号“-”不能省略。
[易错点]
1）0既不是正数，也不是负数，也可以说0是正数和负数的分界线。
2）-a可能是正数、负数或0。(①当a是正数时，-a是负数；
②当a是负数时，-a是正数；
③当a=0时，-a=0， 0不分正负。)
3）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
常见的表示相反意义的量（举例）：上升与下降，增长与减小等。
[如何判断一组词是否具有相反意义的量]解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
热考题型一 理解正数与负数
[解题思路]1）大于0的数叫做正数。小于0的数叫做负数。
2）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
典例1．（2022·云南·中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ）
A．10℃ B．0℃ C．-10 ℃ D．-20℃
变式1-1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列各数是负数的是（ ）
A．(−1)2 B．|−3| C．−(−5) D．3−8
变式1-2．（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6°C．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6°C，则此时山顶的气温约为_________°C．
有理数的分类：
[易错点]
1）有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。（例：0.53、1.333333….等）
2）无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数。(例如：π)
3）对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0。
4）最小的正整数 _____1_______。最大的负整数 ______-1______。最小的自然数 ______0______。
热考题型二 理解有理数
[解题思路]理解有理数的定义，熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。
典例2．（2021·广西来宾·中考真题）下列各数是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．（2021·山东省诸城市三模）若，那么实数一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．零 D．非正数
变式2-2．（2019·湖北咸宁·中考真题）下列关于的说法正确的是（ ）
A．是正数 B．是负数 C．是有理数 D．是无理数
变式2-3．（2019·四川乐山·中考真题）一定是（ ）
A．正数 B．负数 C． D．以上选项都不正确
n 数轴
概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度。
[易错点]
1）数轴是一条可向两段无限延伸直线。
2）数轴的三要素缺一不可。
3）同一数轴上的单位长度要统一。
4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定。
5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点一一对应。
利用数轴比较两个数大小：
依据：数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
方法：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大。
热考题型三 用数轴上的点表示有理数
[解题思路]任何有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例3．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣12 C．2 D．3
变式3-1．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示2xx+2−x2−4(x+2)2的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
变式3-2．（2022·山东临沂·中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
变式3-3．（2020·江苏盐城·中考真题）实数在数轴上表示的位置如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
变式3-4．（2020·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）
A．2 B．-1 C．-2 D．-3
变式3-5．（2020·内蒙古·中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）
A．或1 B．或2 C． D．1
热考题型四 根据点在数轴的位置判断式子正负
[解题思路]数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例4．（2022·宁夏·中考真题）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则aa+bb的值是（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．2
变式4-1．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
变式4-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
变式4-3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．b−a<0 C．2a>2b D．a+2
概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）
[注意事项]
1）特别注意，0的相反数是0。
2）相反数是成对出现的，不能单独存在，并且这两个数除符号不同以外数字完全相同。
意义：任何一个数都有且只有一个相反数。（正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0.）
几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
表示方法：通常一个数a的相反数可以表示为-a。
[注意事项]
1）通常a与-a互为相反数；
2）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
3）一个数的前面加上“-”号表示这个数的相反数。
4）解题关键，若两个数互为相反数，则它们的和为0。
5）相反数等于它本身的数只有0。
多重符号化简：当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果为负。
热考题型五 相反数的判定
[解题思路]理解相反数的概念。
典例5．（2022·河南·中考真题）−12的相反数是（ ）
A．−2 B．2 C．−12 D．12
变式5-1．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③12022的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
变式5-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b−4c的值为（ ）
A．−8 B．−5 C．−1 D．16
变式5-3．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，点A、B表示的实数互为相反数，则点B表示的实数是（ ）
A．2 B．－2 C．12 D．−12
变式5-4．（2022·湖北荆州·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（ ）
A．a与d B．b与d C．c与d D．a与c
n 绝对值
概念：一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”。
几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
绝对值的表示方法：
[扩展]
1）非负数的绝对值等于他本身，即a≥0⇔|a|=a。
2）非正数的绝对值等于它本身的相反数，即a≤0⇔|a|=-a。
3) 一个数的绝对值不可能为负数。
4) 一个负数的绝对值是它的相反数。
性质（解题思路）：1）任何一个数的绝对值总是正数或零（非负性），即：|a|≥0。
2）0的绝对值是0，即：a=0⇔|a|=0。（扩展：绝对值最小的数是0）
3）互为相反数的两个数绝对值相等，即：a+b=0或a=-b⇔|a|=|b|。
4）绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即：|a|=|b|⇒a=b或a=-b。
5）绝对值等于同一个整数的数有两个，它们互为相反数，即：|x|=a⇔x=±a。
6）若几个数的绝对值的和为0，则这几个数分别为0，即：|a|+|b|+|c|+...+|m|=0⇒a=b=c=...=m=0。
7）若aa=1，则a>0, 若aa=−1，则a<0。
利用绝对值比较两个有理数的方法：
1）两个负数比较，绝对值大的反而小。
2）两个正数比较，绝对值大数越大。
对含有字母的绝对值化简求值（重点难点）：
步骤：1）首先判断这个数是正数、负数还是0.
2）再根据绝对值的意义判断去掉绝对值的符号。
例1：化简|x-4|
第一步：取0点：令x-4=0，得x=4；
第二步：取范围：x≤4和x≻4或x≺4和x≥4；
第三步：在各范围内化简：
②当x≤4时，x-4≤0，∴|x-4|=-(x-4)=-x+4
③当x≻4时，x-4≻0，∴|x-4|=x-4.
例2：求|x﹣1|+|x+2|的最小值
解：由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，
∵要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值。
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3
热考题型六 求一个数的绝对值
[解题思路]一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
典例6．（2022·广东·中考真题）|−2|的值等于（ ）
A．2 B．−12 C．12 D．﹣2
变式6-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）﹣2022的绝对值是（ ）
A．12022 B．−12022 C．2022 D．﹣2022
变式6-2．（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果为5的是（ ）
A．−(+5) B．+(−5) C．−(−5) D．−|−5|
变式6-3．（2022·浙江衢州·中考真题）计算结果等于2的是（ ）
A．−2 B．−2 C．2−1 D．(−2)0
变式6-4．（2022·江苏泰州·中考真题）若x=−3，则x的值为__________.
热考题型七 绝对值非负性的应用
[解题思路]一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零。典例7．（2022·四川泸州·中考真题）若(a−2)2+|b+3|=0，则ab=________．
变式7-1．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足∣m−n−5∣+2m+n−4=0，则3m+n=__________．
变式7-2．（2022·贵州黔东南·中考真题）若2x+y−52+x+2y+4=0，则x−y的值是________．
变式7-3．（2021·广东·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．9
变式7-3．（2021·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A． B．若取最小值，则
C．若，则 D．若，则
热考题型八 比较有理数大小
[解题思路]熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键。
典例8．（2022·湖南郴州·中考真题）有理数−2，−12，0，32中，绝对值最大的数是（ ）
A．−2 B．−12 C．0 D．32
变式8-1．（2022·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比3大的数是（ ）
A．5 B．1 C．0 D．－2
变式8-2（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2−2_______________30．（选填＞，＝，＜）
变式8-3．（2022·江苏泰州·中考真题）已知a=2m2−mn,b=mn−2n2,c=m2−n2(m≠n) 用“＜”表示a、b、c的大小关系为________.
变式8-4．（2021·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
知识点二 有理数四则运算
n 有理数的加法
有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算）
1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
若a>0,b>0,则a+b=+|a|+|b|；若a<0,b<0,则a+b=−|a|+|b|；
2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
若a>0,b<0,且|a|>|b|,则a+b=+|a|−|b|
若a>0,b<0,且|a|<|b|,则a+b=+|b|−|a|
3)互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）
若a>0,b<0,且|a|=|b|,则a+b=0
4)一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a
有理数的加法运算律：
1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a；
2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即（a+b）+c=a+(b+c)。
热考题型九 有理数加法
[解题思路]解题的关键是熟知有理数的加法运算法则
典例9．（2022·天津·中考真题）计算(−3)+(−2)的结果等于（ ）
A．−5 B．−1 C．5 D．1
变式9-1．（2022·辽宁沈阳·中考真题）计算5+−3正确的是（ ）
A．2 B．−2 C．8 D．−8
变式9-2．（2022·吉林·中考真题）要使算式(−1)□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
变式9-3．（2022·浙江杭州·中考真题）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（ ）
A．－8℃ B．－4℃ C．4℃ D．8℃
n 有理数的减法
有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a−b=a+(−b)。
[易错点]：两个变化：减号变成加号，减数变成它的相反数，再按照有理数加法的运算步骤进行计算。
热考题型十 有理数减法
[解题思路]熟练掌握有理数的减法法则是解本题的关键
典例10．（2022·山东滨州·中考真题）某市冬季中的一天，中午12时的气温是−3℃，经过6小时气温下降了7℃，那么当天18时的气温是（ ）
A．10℃ B．−10℃ C．4℃ D．−4℃
变式10-1．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）计算−3−2的结果是（ ）
A．−1 B．1 C．−5 D．5
变式10-2．（2021·江苏南京·中考真题）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ）
A．10：00 B．12：00 C．15：00 D．18：00
变式10-3．（2022·江苏扬州·中考真题）扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是－2℃，那么当天的日温差是__．
n 有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算。
用式子表示为：用式子表示为： a−b+c−d=a+(−b)+c+(−d),
步骤： 1）减法化加法；2）省略括号和加号；3）运用加法运算律使计算简便；4）运用有理数加法法则进行计算。
扩展：运用加法运算律时，可按如下步骤进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
热考题型十一 有理数加减法混合运算
[解题思路]解题关键是熟练掌握有理数混合运算和添括号的法则
典例11．（2022·河北·中考真题）与−312相等的是（ ）
A．−3−12 B．3−12 C．−3+12 D．3+12
变式11-1．（2020·浙江杭州·中考真题）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（ ）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
变式11-2．（2021·台湾·模拟预测）已知，，，判断下列各式之值何者最大？（ ）
A． B． C． D．
变式11-3．嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（ ）
A． B．
C． D．
n 有理数的乘法（重点）
有理数的乘法法则：
1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
2）任何数同0相乘，都得0.
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数a（a≠0）的倒数是）
[注意事项]1）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数。
2）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）。
如何求一个数的倒数:
1) 求一个数a的倒数，即
2）求一个分数的倒数，只要将分子、分母交换一下位置即可。
3、求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数再求其倒数。
4、求一个小数的倒数，先将小数化成分数，然后再求倒数。
5、求一个数的负倒数，先求这个数的倒数，再求倒数的相反数即可。
多个有理数相乘的法则及规律：
1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0。
[注意]带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
即。
n 有理数的除法
有理数除法法则：
1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。
2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
3）0除以任何不为0的数，都得0。
步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。
n 有理数的乘除混合运算
运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行乘法计算。（注：带分数应首先化为假分数进行运算）
n 有理数的四则混合运算
运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。
热考题型十二 有理数乘除法
[解题思路]熟练掌握有理数的乘法、除法运算法则是解题的关键
典例12．（2022·山东泰安·中考真题）计算−6×−12的结果是（ ）
A．-3 B．3 C．-12 D．12
变式12-1．（2022·山东淄博·中考真题）下列分数中，和π最接近的是（ ）
A．355113 B．22371 C．15750 D．227
变式12-2．（2022·湖北随州·中考真题）计算：3×−1+−3=______．
变式12-3．（2022·广西玉林·中考真题）计算：2÷(−2)=_____________．
知识点三 有理数的乘方
乘方的概念：一般地，个相同的因数相乘，即a•a•a•...an个，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。
注意：当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。
乘方的规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
有理数乘方的运算方法：1）根据乘方的符号规律确定结果的符号。2）计算结果的绝对值。
有理数的混合运算运算顺序：
1）先乘方，再乘除，最后加减；
2）同级运算,从左到右进行；
3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。
热考题型十三 有理数的乘方
[解题思路]解题的关键是牢记乘方概念和计算公式，明白乘方的意义是求n个相同因数积的运算即可．
典例13．（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
变式13-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
变式13-2．（2022·湖南娄底·中考真题）若10x=N，则称x是以10为底N的对数．记作：x=lgN．例如：102=100，则2=lg100；100=1，则0=lg1．对数运算满足：当M>0，N>0时，lgM+lgN=lg(MN)，例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
变式13-3．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：
YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道210=1024, 103=1000，所以我估计2200比1060大．
其中对2200的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
热考题型十四 有理数混合运算
[解题思路]掌握有理数的混合运算运算顺序
典例14．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 _____．
变式14-1．（2022·山东烟台·中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．
变式14-2．（2022·湖北宜昌·中考真题）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值：−1−−32=________．
变式14-3．（2022·浙江丽水·中考真题）计算：9−(−2022)0+2−1．
变式14-4．（2022·广西·中考真题）计算：(−1+2)×3+22+−4．
变式14-5．（2022·广西柳州·中考真题）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．
变式14-5．（2022·山东临沂·中考真题）计算：
(1)−23÷49×16−13；(2)1x+1−1x−1．
n 科学记数法
形式一：把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（注意：用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1。）
形式二：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数)
[易错点（表示小于1的数）]
n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0）
[解题小技巧]科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；
n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数。
n 近似数和有效数字
在实际问题中，有的量不可能或者没有必要用准确数表示，而需用有理数近似地表示出来，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0。）
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。
精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。
热考题型十五 科学记数法与近似数
[解题思路]熟记科学记数法和近似数的定义
典例15．（2022·浙江杭州·中考真题）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（ ）
A．14.126×108 B．1.4126×109 C．1.4126×108 D．0.14126×1010
变式15-1（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A．108 B．1012 C．1016 D．1024
变式15-2．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为a×1012，则a的值是（ ）
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
变式15-3．（2022·广东深圳·中考真题）某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示（ ）
A．0.15×1013 B．1.5×1012 C．1.5×1013 D．15×1012
变式15-4．（2022·山东济宁·中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（ ）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02
[知识要点]
知识点一 有理数基础概念
n 有理数
正数：大于0的数叫做正数。根据需要，有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。
负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。负数前面的负号“-”不能省略。
[易错点]
1）0既不是正数，也不是负数，也可以说0是正数和负数的分界线。
2）-a可能是正数、负数或0。(①当a是正数时，-a是负数；
②当a是负数时，-a是正数；
③当a=0时，-a=0， 0不分正负。)
3）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
常见的表示相反意义的量（举例）：上升与下降，增长与减小等。
[如何判断一组词是否具有相反意义的量]解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
热考题型一 理解正数与负数
[解题思路]1）大于0的数叫做正数。小于0的数叫做负数。
2）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
典例1．（2022·云南·中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ）
A．10℃ B．0℃ C．-10 ℃ D．-20℃
[详解]解：若零上10°C记作+10°C，则零下10°C可记作：−10°C．故选：C．
变式1-1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列各数是负数的是（ ）
A．(−1)2 B．|−3| C．−(−5) D．3−8
[详解]解：(−1)2=1，是正数，故 A 选项不符合题意；
|−3|=3，是正数，故 B 选项不符合题意；
−(−5)=5，是正数，故 C 选项不符合题意；
3−8=−2，是负数，故 D 选项符合题意．
变式1-2．（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6°C．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6°C，则此时山顶的气温约为_________°C．
[详解]解：山顶的气温约为6−2350−350÷100×0.6=−6故答案：－6或零下6．
有理数的分类：
[易错点]
1）有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。（例：0.53、1.333333….等）
2）无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数。(例如：π)
3）对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0。
4）最小的正整数 _____1_______。最大的负整数 ______-1______。最小的自然数 ______0______。
热考题型二 理解有理数
[解题思路]理解有理数的定义，熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。
典例2．（2021·广西来宾·中考真题）下列各数是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：四个选项的数中：，，是无理数， 0是有理数，故选项D符合题意．故选：D．
变式2-1．（2021·山东省诸城市三模）若，那么实数一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．零 D．非正数
[详解]解：由x＋|x|＝0得，|x|＝−x，
∵负数或零的绝对值等于它的相反数，∴x一定是负数或零，即非正数．故选：D．
变式2-2．（2019·湖北咸宁·中考真题）下列关于的说法正确的是（ ）
A．是正数 B．是负数 C．是有理数 D．是无理数
[详解]既不是正数也不是负数，是有理数．故选C
变式2-3．（2019·四川乐山·中考真题）一定是（ ）
A．正数 B．负数 C． D．以上选项都不正确
[详解]∵a可正、可负、也可能是0∴选D.
[名师点拨]本题考查有理数的分类，解本题的关键是掌握a不确定正负性，-a就无法确定.
n 数轴
概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度。
[易错点]
1）数轴是一条可向两段无限延伸直线。
2）数轴的三要素缺一不可。
3）同一数轴上的单位长度要统一。
4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定。
5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点一一对应。
利用数轴比较两个数大小：
依据：数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
方法：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大。
热考题型三 用数轴上的点表示有理数
[解题思路]任何有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例3．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣12 C．2 D．3
[详解]解：点A表示的数为﹣2，﹣2的相反数为2，故选：C．
变式3-1．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示2xx+2−x2−4(x+2)2的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
[详解]解：2xx+2−x2−4(x+2)2=2xx+2x+22−x2−4(x+2)2=2x2+4x−x2+4x+22=x+22(x+2)2=1；故选B．
变式3-2．（2022·山东临沂·中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
[详解]解：由题意可得：点B表示的数是6，且B在原点的右侧，∴OB=6,
∵ OB=2OA，∴OA=3, ∵A在原点的左侧，∴A表示的数为−3, 故选B
变式3-3．（2020·江苏盐城·中考真题）实数在数轴上表示的位置如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
[详解]由图可得，故选C．
变式3-4．（2020·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）
A．2 B．-1 C．-2 D．-3
[详解]由数轴的定义得：
又到原点的距离一定小于2，观察四个选项，只有选项B符合故选：B．
变式3-5．（2020·内蒙古·中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）
A．或1 B．或2 C． D．1
[详解]解：由题意得：|2a+1|=3
当2a+1＞0时，有2a+1=3，解得a=1
当2a+1＜0时，有2a+1=-3，解得a=-2所以a的值为1或-2．故答案为A．
[名师点拨]本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义列出绝对值方程并求解是解答本题的关键．
热考题型四 根据点在数轴的位置判断式子正负
[解题思路]数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例4．（2022·宁夏·中考真题）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则aa+bb的值是（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．2
[详解]解：由数轴上点的位置可得a<0，b>0，∴aa+bb=a−a+bb=−1+1=0，
故选：C．
变式4-1．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
[详解]解：由题意得：a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，∴A选项的结论成立；
∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴B选项的结论不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴1
变式4-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
[详解]解∶∵根据数轴得∶ 00， a-1<0，∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1- a
=2．故选∶B．
变式4-3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．b−a<0 C．2a>2b D．a+2
∴a+b>0，∴A选项的结论不成立；
b−a>0，∴B选项的结论不成立；
2a<2b，∴C选项的结论不成立；
a+2
n 相反数
概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）
[注意事项]
1）特别注意，0的相反数是0。
2）相反数是成对出现的，不能单独存在，并且这两个数除符号不同以外数字完全相同。
意义：任何一个数都有且只有一个相反数。（正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0.）
几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
表示方法：通常一个数a的相反数可以表示为-a。
[注意事项]
1）通常a与-a互为相反数；
2）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
3）一个数的前面加上“-”号表示这个数的相反数。
4）解题关键，若两个数互为相反数，则它们的和为0。
5）相反数等于它本身的数只有0。
多重符号化简：当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果为负。
热考题型五 相反数的判定
[解题思路]理解相反数的概念。
典例5．（2022·河南·中考真题）−12的相反数是（ ）
A．−2 B．2 C．−12 D．12
[详解]解：因为-12+12＝0，所以-12的相反数是12．故选：D．
变式5-1．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③12022的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
[详解]①－2022的相反数是2022，故此说法正确；
②－2022的绝对值是2022，故此说法正确；
③12022的倒数是2022，故此说法正确；
正确的个数共3个；故选：A．
变式5-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b−4c的值为（ ）
A．−8 B．−5 C．−1 D．16
[详解]∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∵c的倒数是4，∴c=14，∴3a+3b−4c =3a+b−4c =3×0−4×14=−1，故选：C
变式5-3．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，点A、B表示的实数互为相反数，则点B表示的实数是（ ）
A．2 B．－2 C．12 D．−12
[详解]解：因为数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是-2，
所以点B表示的数是2，故选：A．
变式5-4．（2022·湖北荆州·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（ ）
A．a与d B．b与d C．c与d D．a与c
[详解]解：∵c,d分居原点的两旁，且到原点的距离相等，∴c,d互为相反数，故选C
n 绝对值
概念：一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”。
几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
绝对值的表示方法：
[扩展]
1）非负数的绝对值等于他本身，即a≥0⇔|a|=a。
2）非正数的绝对值等于它本身的相反数，即a≤0⇔|a|=-a。
3) 一个数的绝对值不可能为负数。
4) 一个负数的绝对值是它的相反数。
性质（解题思路）：1）任何一个数的绝对值总是正数或零（非负性），即：|a|≥0。
2）0的绝对值是0，即：a=0⇔|a|=0。（扩展：绝对值最小的数是0）
3）互为相反数的两个数绝对值相等，即：a+b=0或a=-b⇔|a|=|b|。
4）绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即：|a|=|b|⇒a=b或a=-b。
5）绝对值等于同一个整数的数有两个，它们互为相反数，即：|x|=a⇔x=±a。
6）若几个数的绝对值的和为0，则这几个数分别为0，即：|a|+|b|+|c|+...+|m|=0⇒a=b=c=...=m=0。
7）若aa=1，则a>0, 若aa=−1，则a<0。
利用绝对值比较两个有理数的方法：
1）两个负数比较，绝对值大的反而小。
2）两个正数比较，绝对值大数越大。
对含有字母的绝对值化简求值（重点难点）：
步骤：1）首先判断这个数是正数、负数还是0.
2）再根据绝对值的意义判断去掉绝对值的符号。
例1：化简|x-4|
第一步：取0点：令x-4=0，得x=4；
第二步：取范围：x≤4和x≻4或x≺4和x≥4；
第三步：在各范围内化简：
②当x≤4时，x-4≤0，∴|x-4|=-(x-4)=-x+4
③当x≻4时，x-4≻0，∴|x-4|=x-4.
例2：求|x﹣1|+|x+2|的最小值
解：由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，
∵要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值。
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3
热考题型六 求一个数的绝对值
[解题思路]一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
典例6．（2022·广东·中考真题）|−2|的值等于（ ）
A．2 B．−12 C．12 D．﹣2
[详解]根据数轴上某个点与原点的距离叫做这个点表示的数的绝对值的定义，
在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以|−2|=2，故选A．
变式6-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）﹣2022的绝对值是（ ）
A．12022 B．−12022 C．2022 D．﹣2022
[详解]解：−2022的绝对值是2022，故选：C．
变式6-2．（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果为5的是（ ）
A．−(+5) B．+(−5) C．−(−5) D．−|−5|
[详解]解：A、-（+5）=-5，不符合题意；
B、+（-5）=-5，不符合题意；
C、-(-5)=5，符合题意；
D、−−5=−5，不符合题意；
故选：C．
变式6-3．（2022·浙江衢州·中考真题）计算结果等于2的是（ ）
A．−2 B．−2 C．2−1 D．(−2)0
[详解]解：A、−2=2，则此项符合题意；
B、−2=−2，则此项不符合题意；
C、2−1=12，则此项不符合题意；
D、−20=1，则此项不符合题意；
故选：A．
变式6-4．（2022·江苏泰州·中考真题）若x=−3，则x的值为__________.
[详解]解：由题意可知：当x=−3时，x=−3=3，故答案为：3．
热考题型七 绝对值非负性的应用
[解题思路]一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零。
典例7．（2022·四川泸州·中考真题）若(a−2)2+|b+3|=0，则ab=________．
[详解]∵(a−2)2+|b+3|=0，∴a−2=0，b+3=0，
∴a=2，b=−3，∴ab=2×−3=−6.故答案为-6.
变式7-1．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足∣m−n−5∣+2m+n−4=0，则3m+n=__________．
[详解]解：由题意知，m，n满足∣m−n−5∣+2m+n−4=0，
∴m-n-5=0，2m+n−4=0，
∴m=3，n=-2，
∴3m+n=9−2=7，
故答案为：7．
变式7-2．（2022·贵州黔东南·中考真题）若2x+y−52+x+2y+4=0，则x−y的值是________．
[详解]∵2x+y−52≥0x+2y+4≥0，2x+y−52+x+2y+4=0
∴2x+y−5=0x+2y+4=0解得：x=143y=−133，x−y=143−(−133)=273=9故答案为：9
变式7-3．（2021·广东·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．9
[详解]∵，，且
∴，即，且∴， ∴故选：B．
[名师点拨]本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零．
变式7-3．（2021·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A． B．若取最小值，则
C．若，则 D．若，则
[答案]D
[详解]解：A．当时，，故该项错误；
B．∵，∴当时取最小值，故该项错误；
C．∵，∴，，∴，故该项错误；
D．∵且，∴，∴，故该项正确；故选：D．
[名师点拨]本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键．
热考题型八 比较有理数大小
[解题思路]熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键。
典例8．（2022·湖南郴州·中考真题）有理数−2，−12，0，32中，绝对值最大的数是（ ）
A．−2 B．−12 C．0 D．32
[详解]−2=2，−12=12，0的绝对值为0，32=32，
∵0＜12＜32＜2，∴绝对值最大的数为-2，故选：A．
变式8-1．（2022·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比3大的数是（ ）
A．5 B．1 C．0 D．－2
[详解]解：因为－2＜0＜1＜3＜5，所以比3大的数是5，故选：A．
变式8-2（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2−2_______________30．（选填＞，＝，＜）
[详解]解：2−2=14，30=1，∵14<1，∴2−2<30，故答案为：<．
变式8-3．（2022·江苏泰州·中考真题）已知a=2m2−mn,b=mn−2n2,c=m2−n2(m≠n) 用“＜”表示a、b、c的大小关系为________.
[详解]解：由题意可知：a−b=(2m2−mn)−(mn−2n2)=(m2+n2−2mn)+m2+n2=(m−n)2+m2+n2，
∵m≠n，
∴(m−n)2+m2+n2>0，
∴b
∴(m−n2)2+34n2>0
∴c
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
[详解]
设原件为x元，
∵先打九五折，再打九五折，
∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价，再打六折，
∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x
故选B
知识点二 有理数四则运算
n 有理数的加法
有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算）
1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
若a>0,b>0,则a+b=+|a|+|b|；若a<0,b<0,则a+b=−|a|+|b|；
2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
若a>0,b<0,且|a|>|b|,则a+b=+|a|−|b|
若a>0,b<0,且|a|<|b|,则a+b=+|b|−|a|
3)互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）
若a>0,b<0,且|a|=|b|,则a+b=0
4)一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a
有理数的加法运算律：
1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a；
2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即（a+b）+c=a+(b+c)。
热考题型九 有理数加法
[解题思路]解题的关键是熟知有理数的加法运算法则
典例9．（2022·天津·中考真题）计算(−3)+(−2)的结果等于（ ）
A．−5 B．−1 C．5 D．1
[详解](−3)+(−2)=−3−2=−5故选：A．
变式9-1．（2022·辽宁沈阳·中考真题）计算5+−3正确的是（ ）
A．2 B．−2 C．8 D．−8
[详解]解：5+−3 =2．故选：A．
变式9-2．（2022·吉林·中考真题）要使算式(−1)□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
[详解]解：(−1)+3=2，
(−1)−3=−4，
(−1)×3=−3，
(−1)÷3=−13，
因为−4<−3<−13<2，
所以要使运算结果最大，应填入的运算符号为+，故选：A．
变式9-3．（2022·浙江杭州·中考真题）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（ ）
A．－8℃ B．－4℃ C．4℃ D．8℃
[详解]解：这天最高温度与最低温度的温差为2-（-6）=8．故选：D．
n 有理数的减法
有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a−b=a+(−b)。
[易错点]：两个变化：减号变成加号，减数变成它的相反数，再按照有理数加法的运算步骤进行计算。
热考题型十 有理数减法
[解题思路]熟练掌握有理数的减法法则是解本题的关键
典例10．（2022·山东滨州·中考真题）某市冬季中的一天，中午12时的气温是−3℃，经过6小时气温下降了7℃，那么当天18时的气温是（ ）
A．10℃ B．−10℃ C．4℃ D．−4℃
[详解]解: ∵中午12时的气温是−3℃，经过6小时气温下降了7℃，
∴当天18时的气温是−3−7=−10℃．故选B．
变式10-1．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）计算−3−2的结果是（ ）
A．−1 B．1 C．−5 D．5
[详解]解：−3−2=−3+(−2)=−5．故选：C．
变式10-2．（2021·江苏南京·中考真题）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ）
A．10：00 B．12：00 C．15：00 D．18：00
[提示]根据北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，逐项判断出莫斯科时间，即可求解．
[详解]解：由北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，
所以A. 当北京时间是10：00时，莫斯科时间是5:00，不合题意；
B. 当北京时间是12：00时，莫斯科时间是7:00，不合题意；
C. 当北京时间是15：00时，莫斯科时间是10:00，符合题意；
D. 当北京时间是18：00时，不合题意．故选：C
变式10-3．（2022·江苏扬州·中考真题）扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是－2℃，那么当天的日温差是__．
[详解]用最高温度减去最低温度即可得当天的日温差：6－(－2)＝6＋2＝8℃．
n 有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算。
用式子表示为：用式子表示为： a−b+c−d=a+(−b)+c+(−d),
步骤： 1）减法化加法；2）省略括号和加号；3）运用加法运算律使计算简便；4）运用有理数加法法则进行计算。
扩展：运用加法运算律时，可按如下步骤进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
热考题型十一 有理数加减法混合运算
[解题思路]解题关键是熟练掌握有理数混合运算和添括号的法则
典例11．（2022·河北·中考真题）与−312相等的是（ ）
A．−3−12 B．3−12 C．−3+12 D．3+12
[详解]A、−3−12=−72，故此选项符合题意；
B、3−12=52，故此选项不符合题意；
C、−3+12=−52，故此选项不符合题意；
D、3+12=72，故此选项不符合题意；
故选：A．
变式11-1．（2020·浙江杭州·中考真题）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（ ）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
[详解]由题意得：（元）即需要付费19元故选：B．
变式11-2．（2021·台湾·模拟预测）已知，，，判断下列各式之值何者最大？（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：，，，
∵是最小的，负的最多,相应的绝对值最大．故选：C．
变式11-3．嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]，故选：C．
n 有理数的乘法（重点）
有理数的乘法法则：
1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
2）任何数同0相乘，都得0.
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数a（a≠0）的倒数是）
[注意事项]1）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数。
2）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）。
如何求一个数的倒数:
1) 求一个数a的倒数，即
2）求一个分数的倒数，只要将分子、分母交换一下位置即可。
3、求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数再求其倒数。
4、求一个小数的倒数，先将小数化成分数，然后再求倒数。
5、求一个数的负倒数，先求这个数的倒数，再求倒数的相反数即可。
多个有理数相乘的法则及规律：
1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0。
[注意]带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
即。
n 有理数的除法
有理数除法法则：
1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。
2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
3）0除以任何不为0的数，都得0。
步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。
n 有理数的乘除混合运算
运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行乘法计算。（注：带分数应首先化为假分数进行运算）
n 有理数的四则混合运算
运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。
热考题型十二 有理数乘除法
[解题思路]熟练掌握有理数的乘法、除法运算法则是解题的关键
典例12．（2022·山东泰安·中考真题）计算−6×−12的结果是（ ）
A．-3 B．3 C．-12 D．12
[详解]−6×−12=6×12=3故选：B．
变式12-1．（2022·山东淄博·中考真题）下列分数中，和π最接近的是（ ）
A．355113 B．22371 C．15750 D．227
[详解]A. 355113≈3.1416;B. 22371≈3.1408;C. 15750≈3.14;D. 227≈3.1428;
因为π≈3.1416,故和π最接近的是355113，故选择:A
变式12-2．（2022·湖北随州·中考真题）计算：3×−1+−3=______．
[详解]解：3×−1+−3=−3+3=0，故答案为：0．
变式12-3．（2022·广西玉林·中考真题）计算：2÷(−2)=_____________．
[详解]解：原式=−2÷2=−1；故答案为-1．
知识点三 有理数的乘方
乘方的概念：一般地，个相同的因数相乘，即a•a•a•...an个，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。
注意：当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。
乘方的规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
有理数乘方的运算方法：1）根据乘方的符号规律确定结果的符号。2）计算结果的绝对值。
有理数的混合运算运算顺序：
1）先乘方，再乘除，最后加减；
2）同级运算,从左到右进行；
3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。
热考题型十三 有理数的乘方
[解题思路]解题的关键是牢记乘方概念和计算公式，明白乘方的意义是求n个相同因数积的运算即可．
典例13．（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
[详解]解：绳结表示的数为5×70+3×7+3×72+1×73=5+21+49×3+73=516 故选B
变式13-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
[详解]解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴22022的个位数字应该是：4．
故选：C．
变式13-2．（2022·湖南娄底·中考真题）若10x=N，则称x是以10为底N的对数．记作：x=lgN．例如：102=100，则2=lg100；100=1，则0=lg1．对数运算满足：当M>0，N>0时，lgM+lgN=lg(MN)，例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
[详解]解：∵ lgM+lgN=lg(MN)，
∴ (lg5)2+lg5×lg2+lg2
=lg5(lg5+lg2)+lg2
=lg5·lg10+lg2 =lg5+lg2=lg10=1.故选C
变式13-3．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：
YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道210=1024, 103=1000，所以我估计2200比1060大．
其中对2200的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
[详解]2200是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
2200=(2100)2≠2002，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32⋯，
∴2的乘方的个位数字4个一循环，
∵200÷4=50，
∴ 2200的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
∵2200=(210)20,1060=(103)20，210=1024, 103=1000，且210>103
∴2200>1060，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
热考题型十四 有理数混合运算
[解题思路]掌握有理数的混合运算运算顺序
典例14．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 _____．
[详解]解：当x=−5，y=3时，12x2+y0=12−52+30=12×26=13．故答案为：13．
变式14-1．（2022·山东烟台·中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．
[详解]解：由题意得：（5-3+2）×6＝24，故答案为：（5-3+2）×6（答案不唯一）．
变式14-2．（2022·湖北宜昌·中考真题）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值：−1−−32=________．
[详解]解：−1−(−3)2=−1−9=−10，故答案为：−10．
变式14-3．（2022·浙江丽水·中考真题）计算：9−(−2022)0+2−1．
[详解]解：9−(−2022)0+2−1=3−1+12 =52．
变式14-4．（2022·广西·中考真题）计算：(−1+2)×3+22+−4．
[详解]解：原式=1×3+4-4=3+4-4=3．
变式14-5．（2022·广西柳州·中考真题）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．
[详解]解：原式＝﹣3+4+4＝5．
变式14-5．（2022·山东临沂·中考真题）计算：
(1)−23÷49×16−13；
(2)1x+1−1x−1．
(1)解：原式=−8×94×−16=−8×94×−16=3．
(2)解：原式=x−1x+1x−1−x+1x+1x−1=x−1−x−1x+1x−1=−2x2−1．
n 科学记数法
形式一：把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（注意：用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1。）
形式二：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数)
[易错点（表示小于1的数）]
n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0）
[解题小技巧]科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；
n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数。
n 近似数和有效数字
在实际问题中，有的量不可能或者没有必要用准确数表示，而需用有理数近似地表示出来，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0。）
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。
精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。
热考题型十五 科学记数法与近似数
[解题思路]熟记科学记数法和近似数的定义
典例15．（2022·浙江杭州·中考真题）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（ ）
A．14.126×108 B．1.4126×109 C．1.4126×108 D．0.14126×1010
[详解]解：1412600000=1.4126×109．故选：B．
变式15-1（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A．108 B．1012 C．1016 D．1024
[详解]∵1兆＝1万×1万×1亿，∴1兆＝104×104×108=1016，故选：C．
变式15-2．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为a×1012，则a的值是（ ）
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
[详解]解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012．
故选：B．
变式15-3．（2022·广东深圳·中考真题）某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示（ ）
A．0.15×1013 B．1.5×1012 C．1.5×1013 D．15×1012
[详解]解：1.5万亿=1500000000000=1.5×1012．故选：B．
变式15-4．（2022·山东济宁·中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（ ）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02
[详解]解：0.0158≈0.016．故选：B．
实数
[知识要点]
知识点一 平方根
算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
算术平方根的性质：1）正数只有一个算术平方根，且恒为正；
2）0的算术平方根为0（规定）；
3）负数没有算术平方根。
考查题型一 算术平方根的相关计算
[解题思路]了解算术平方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例1．（2022·四川泸州·中考真题）（ ）
A． B． C． D．2
变式1-1．（2022·四川凉山·中考真题）化简：＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
变式1-2．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足，则__________．
变式1-3．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
变式1-4．（2021·青海·中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
易错点总结：
平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
平方根的表示：正数a的平方根用±a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根， −a叫做a的负平方根。
平方根的性质：
1）一个正数有两个平方根：±a，且他们互为相反数（重点）。
2）
3）0只有一个平方根，它是0。（0的平方根、算术平方根、立方根都是它本身）
4）负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别与联系：
[扩展]
考查题型二 平方根的相关计算
[解题思路]了解平方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例2．（2022·四川宜宾·中考真题）4的平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．16
变式2-1．（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（ ）
A．9 B．9和﹣9 C．3 D．3和﹣3
变式2-2．（2021·河北石家庄·模拟）若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
易错点总结：
知识点二 立方根
立方根的概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
表示方法：数a的立方根记作3a，读作三次根号a
立方根的性质：
1）任何实数都有唯一确定的立方根。
2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数。
3）０的立方根是０。
4）互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开立方的表示：3a3=a 3a3=a 3−a=−3a （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
n次方根(扩展)
概念：如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。
当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。
当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个：±na；０的偶次方根为０：n0=0；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
考查题型三 立方根的相关计算
[解题思路]了解立方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例3．．（2022·江苏淮安·中考真题）27的立方根为_____．
变式3-1．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝_____．
变式3-2（2019·山东潍坊·中考真题）利用计算器计算时，依次按键下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
变式3-3（选做）．（2020·山东烟台·中考真题）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ）
A．按键即可进入统计计算状态
B．计算的值，按键顺序为：
C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333
变式3-4．（2021·四川资阳·中考真题）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
变式3-5．（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
易错点总结：
知识点三 实数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
[扩展]有理数与无理数的区别：
1）概念不同：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数。
2）表示形式：有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。
常见的无理数类型：
1）一般的无限不循环小数，如：1.41421234¨···
2）看似循环而实际不循环的小数，如0.2020020002···(相邻两个2之间0的个数逐次加1)。
3）有特定意义的数，如：π
4)开方开不尽的数。如：3,35。
考查题型四 无理数的判断
[解题思路]掌握无理数的定义，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键。典例4．（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2
变式4-1．（2022·湖南常德·中考真题）在，，，，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式4-2．（2022·湖南·中考真题）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．
变式4-3．（2022·浙江宁波·中考真题）写出一个大于2的无理数_____．
易错点总结：
考查题型五 无理数的估值
[解题思路]得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
典例5．（2022·重庆·中考真题）估计的值在（ ）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
变式5-1．（2022·福建·中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．π
变式5-2．（2022·山东潍坊·中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式5-3．（2022·四川绵阳·中考真题）正整数a、b分别满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
变式5-4．（2022·山东临沂·中考真题）满足的整数的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
变式5-5．（2022·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
变式5-6．（2022·湖北随州·中考真题）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
变式5-7．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若两个连续的整数、满足，则的值为__________ ．
易错点总结：
实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类
实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式 ：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
考查题型六 实数的分类
典例6．（2022·贵州铜仁·中考真题）在实数，，，中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．（2022·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式6-2．（2021·浙江金华·中考真题）实数，，2，中，为负整数的是（ ）
A． B． C．2 D．
易错点总结：
考查题型七 实数的性质
[解题思路]熟练掌握实数的相关性质。
典例7（2022·湖北黄石·中考真题）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
变式7-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）实数9的相反数等于（ ）
A．﹣9 B．+9 C． D．﹣
变式7-2．（2022·山东枣庄·中考真题）实数﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
易错点总结：
考查题型八 实数与数轴
[解题思路]熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键。典例8（2022·广西·中考真题）如图，数轴上的点A表示的数是，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
变式8-1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是( )
A．点A B．点N C．点P D．点Q
变式8-2．（2022·江西·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式8-3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是( )
A． B． C． D．
变式8-4．（2022·西藏·中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．﹣5 B．4 C．7 D．8
变式8-5．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
变式8-6．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
易错点总结：
考查题型九 比较实数的大小
[解题思路]理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键。典例9（2022·四川达州·中考真题）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．-2 C．1 D．
变式9-1．（2022·四川雅安·中考真题）在﹣，1，，3中，比0小的数是（ ）
A．﹣ B．1 C． D．3
变式9-2．（2022·贵州安顺·中考真题）下列实数中，比－5小的数是（ ）
A．－6 B． C．0 D．
变式9-3．（2022·海南·中考真题）写出一个比大且比小的整数是___________．
变式9-4．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小：______（填写“”或“<”或“＝”）．
易错点总结：
考查题型十 实数的运算
[解题思路]掌握理解新运算的定义和法则是解题关键。
典例10（2022·贵州安顺·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
变式10-1．（2022·重庆·中考真题）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式10-2．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B． C．且 D．且
变式10-3．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
变式10-4．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
变式10-5．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
变式10-6．（2022·辽宁阜新·中考真题）计算：______．
变式10-7．（2022·湖北黄石·中考真题）计算：____________．
变式10-8．（2022·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
变式10-9．（2022·新疆·中考真题）计算：
变式10-10．（2022·重庆·中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．
易错点总结：
[知识要点]
知识点一 平方根
算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
算术平方根的性质：1）正数只有一个算术平方根，且恒为正；
2）0的算术平方根为0（规定）；
3）负数没有算术平方根。
考查题型一 算术平方根的相关计算
[解题思路]了解算术平方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例1．（2022·四川泸州·中考真题）（ ）
A． B． C． D．2
[详解]解：-2，故选A．
变式1-1．（2022·四川凉山·中考真题）化简：＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
[详解]解：，故选：D．
变式1-2．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足，则__________．
[详解]解：由题意知，m，n满足，
∴m-n-5=0，2m+n−4=0，∴m=3，n=-2，∴，
故答案为：7．
变式1-3．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
[详解]解：∵（a﹣3）2+=0，∴，，
当为腰时，周长为：，
当为腰时，三角形的周长为，
故答案为：11或13．
变式1-4．（2021·青海·中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
[详解]解：∵，∴解得，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．故选：D．
平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
平方根的表示：正数a的平方根用±a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根， −a叫做a的负平方根。
平方根的性质：
1）一个正数有两个平方根：±a，且他们互为相反数（重点）。
2）
3）0只有一个平方根，它是0。（0的平方根、算术平方根、立方根都是它本身）
4）负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别与联系：
[扩展]
考查题型二 平方根的相关计算
[解题思路]了解平方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例2．（2022·四川宜宾·中考真题）4的平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．16
[详解]∵（±2 ）2=4，∴4的平方根是±2，故选A．
变式2-1．（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（ ）
A．9 B．9和﹣9 C．3 D．3和﹣3
[详解]解：∵=9，∴的平方根是，故选D．
变式2-2．（2021·河北石家庄·模拟）若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
[详解]∵一个正数的平方根是2a-1和-a+2，∴2a-1-a+2=0．解得：a=-1．
∴2a-1=-3．∴这个正数是9．故选：D．
知识点二 立方根
立方根的概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
表示方法：数a的立方根记作3a，读作三次根号a
立方根的性质：
1）任何实数都有唯一确定的立方根。
2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数。
3）０的立方根是０。
4）互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开立方的表示：3a3=a 3a3=a 3−a=−3a （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
n次方根(扩展)
概念：如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。
当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。
当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个：±na；０的偶次方根为０：n0=0；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
考查题型三 立方根的相关计算
[解题思路]了解立方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例3．．（2022·江苏淮安·中考真题）27的立方根为_____．
[详解]解：∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为：3．
变式3-1．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝_____．
[详解]解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1故答案为：﹣1．
变式3-2（2019·山东潍坊·中考真题）利用计算器计算时，依次按键下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
[详解]∵，∴与最接近的是2.6，故选B．
变式3-3（选做）．（2020·山东烟台·中考真题）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ）
A．按键即可进入统计计算状态
B．计算的值，按键顺序为：
C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333
[详解]解：A、按键即可进入统计计算状态是正确的，故选项A不符合题意；
B、计算的值，按键顺序为：，故选项B符合题意；
C、计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，故选项C不符合题意；
D、计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0．333333333是正确的，故选项D不符合题意；
故选：B．
变式3-4．（2021·四川资阳·中考真题）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：∵，又∵，∴故选：C．
变式3-5．（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
[详解]A. ，16的4次方根是，故不符合题意；
B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设
则
且
当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由的判断可得：错误，故不符合题意．
故选．
知识点三 实数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
[扩展]有理数与无理数的区别：
1）概念不同：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数。
2）表示形式：有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。
常见的无理数类型：
1）一般的无限不循环小数，如：1.41421234¨···
2）看似循环而实际不循环的小数，如0.2020020002···(相邻两个2之间0的个数逐次加1)。
3）有特定意义的数，如：π
4)开方开不尽的数。如：3,35。
考查题型四 无理数的判断
[解题思路]掌握无理数的定义，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键。
典例4．（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2
[详解]解：∵-2，，2是有理数，是无理数，故选： C．
变式4-1．（2022·湖南常德·中考真题）在，，，，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
[详解]解：在，，，，2022这五个数中无理数为和，共2个．
故选：A．
变式4-2．（2022·湖南·中考真题）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．
[详解]解：，是无理数，（恰好是无理数）．故答案为：．
变式4-3．（2022·浙江宁波·中考真题）写出一个大于2的无理数_____．
[详解]解：∵2=，∴大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如（答案不唯一）．
考查题型五 无理数的估值
[解题思路]得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
典例5．（2022·重庆·中考真题）估计的值在（ ）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
[详解]解：∵49<54<64，∴，∴，即的值在3到4之间，故选：D．
变式5-1．（2022·福建·中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．π
[详解]解：由数轴可得，点P对应的数在1与2之间，
A.，故本选项不符合题意；
B. ，故此选项符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. ，故本选项不符合题意；
故选：B
变式5-2．（2022·山东潍坊·中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜1＜2，∴＜＜1，故选：C．
变式5-3．（2022·四川绵阳·中考真题）正整数a、b分别满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
[详解]解：，，，，．
故选：D．
变式5-4．（2022·山东临沂·中考真题）满足的整数的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
[详解]，，，，，
故选：A．
变式5-5．（2022·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
[详解]解：∵ ，
∴，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴，．
∴，
故答案为：2．
变式5-6．（2022·湖北随州·中考真题）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
[详解]解：∵，是大于1的整数，
∴．∵n为正整数∴n的值可以为3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．
变式5-7．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若两个连续的整数、满足，则的值为__________ ．
[详解]∵，∴，即，
∵，∴，，∴，故答案为：
实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类
实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式 ：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
考查题型六 实数的分类
典例6．（2022·贵州铜仁·中考真题）在实数，，，中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：在实数，，，中，有理数为，其他都是无理数，
故选C．
变式6-1．（2022·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[详解]解：在实数，x0（x≠0）=1，，中，有理数是，x0=1，所以，有理数的个数是2，故选：B．
变式6-2．（2021·浙江金华·中考真题）实数，，2，中，为负整数的是（ ）
A． B． C．2 D．
[详解]解：是负数不是整数；是负数不是整数；2是正数；是负数且是整数故选D．
考查题型七 实数的性质
[解题思路]熟练掌握实数的相关性质。
典例7（2022·湖北黄石·中考真题）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：∵>1，∴｜｜＝，故选：B．
变式7-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）实数9的相反数等于（ ）
A．﹣9 B．+9 C． D．﹣
[详解]解：实数9的相反数是-9，故选A．
变式7-2．（2022·山东枣庄·中考真题）实数﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
[详解]解：因为负数的绝对值等于它的相反数，所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故选：A．
考查题型八 实数与数轴
[解题思路]熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键。
典例8（2022·广西·中考真题）如图，数轴上的点A表示的数是，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
[详解]∵数轴上的点A表示的数是−1，∴点A关于原点对称的点表示的数为1，故选：C．
变式8-1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是( )
A．点A B．点N C．点P D．点Q
[详解]∵，∴观察数轴，点P符合要求，故选：C．
变式8-2．（2022·江西·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]ABC.根据数轴上点a、b的位置可知，，，∴，故AB错误，C正确；根据数轴上点a、b的位置可知，，故D错误．故选：C．
变式8-3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是( )
A． B． C． D．
[详解]解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得c＜0＜d，
A、，原结论错误，故此选项不符合题意；
B、，原结论错误，故此选项不符合题意；
C、∵c＜0＜d，且，∴，原结论正确，故此选项符合题意；
D、∵c＜0＜d，且，∴，原结论错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
变式8-4．（2022·西藏·中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．﹣5 B．4 C．7 D．8
[详解]解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4．不妨设第三边长为a，则4-3＜a＜4+3，即1＜a＜7．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．
变式8-5．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
[详解]解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2−3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2−4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2−4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2．
变式8-6．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
[详解]解：（1）如图所示，点即为所求．
（2）如图所示，点在点的右侧，所以
考查题型九 比较实数的大小
[解题思路]理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键。
典例9（2022·四川达州·中考真题）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．-2 C．1 D．
[详解]解：∵，∴最小的数是，故选B．
变式9-1．（2022·四川雅安·中考真题）在﹣，1，，3中，比0小的数是（ ）
A．﹣ B．1 C． D．3
[详解]解：∵﹣<0<<1<3∴在﹣，1，，3中，比0小的数是﹣．故选：A．
变式9-2．（2022·贵州安顺·中考真题）下列实数中，比－5小的数是（ ）
A．－6 B． C．0 D．
[详解]解：∵．∴比－5小的数是-6．故选A
变式9-3．（2022·海南·中考真题）写出一个比大且比小的整数是___________．
[详解]∵ ， ∴ 即比大且比小的整数为2或3，故答案为：2或3
变式9-4．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小：______（填写“”或“<”或“＝”）．
[详解]解：，，∵12>13，．故答案为：．
考查题型十 实数的运算
[解题思路]掌握理解新运算的定义和法则是解题关键。
典例10（2022·贵州安顺·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
[详解]解：根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
变式10-1．（2022·重庆·中考真题）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
[详解]解：∵
∴①说法正确
∵
又∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号
∴②说法正确
③第1种：结果与原多项式相等；
第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；
第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；
第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；
第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；
第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；
第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；
第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意；
∴共有8种情况
∴③说法正确
∴正确的个数为3
故选D．
变式10-2．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B． C．且 D．且
[详解]解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
变式10-3．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
[详解]解：；
；
；
，
，
当时，
原式
，
故答案为：．
变式10-4．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
[详解]解：∵输出y的值是2，∴上一步计算为或
解得（经检验，是原方程的解），或
当符合程序判断条件，不符合程序判断条件
故答案为：1
变式10-5．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
[详解]解：，，
，
，
，
…，
故答案为：5050
变式10-6．（2022·辽宁阜新·中考真题）计算：______．
[详解]解：原式．故答案为：．
变式10-7．（2022·湖北黄石·中考真题）计算：____________．
[详解]解：原式＝．故答案为：3．
变式10-8．（2022·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[详解]解：原式＝当时，原式
变式10-9．（2022·新疆·中考真题）计算：
[详解]解：原式．
变式10-10．（2022·重庆·中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．
[提示]（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；
（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出，根据，是最大的两位数，是最小的两位数，得出，（k为整数），结合得出，根据已知条件得出，从而得出或，然后进行分类讨论即可得出答案．
[详解](1)解：∵，
∴357不是15“和倍数”；
∵，
∴441是9的“和倍数”．
(2)
∵三位数A是12的“和倍数”，
∴，
∵，
∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数，最小的两位数，
∴，
∵为整数，
设（k为整数），
则，
整理得：，
根据得：，
∵，
∴，解得，
∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，
∴，
∴，
∴，
把代入得：
，
整理得：，
∵，k为整数，
∴或，
当时，，
∵，
∴，，
，，，或，，，
要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，
当，，时，组成的三位数为或，
∵，
∴是12的“和倍数”，
∵，
∴是12的“和倍数”；
当，，时，组成的三位数为或，
∵，
∴不是12的“和倍数”，
∵，
∴不是12的“和倍数”；
当时，，
∵，
∴，
，，，组成的三位数为516或156，
∵，
∴是12的“和倍数”，
∵，
∴是12的“和倍数”；
综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．
整式的加减
[知识要点]
知识点一 代数式
概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。
[注意]
1)代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。
2)代数式中不含有=、<、>、≠ 等。
3)对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。
4)单独的一个数或一个字母也是代数式。
代数式的分类：
列代数式方法
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲。
列代数式时应该注意的问题
(1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“· ” 。
(2)数字通常写在字母前面。
(3)带分数与字母相乘时要化成假分数。
(4)除法常写成分数的形式。
代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
考查题型一 列代数式
[解题思路]用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键。
典例1．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
变式1-1．（2022·广东广州·中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
变式1-2．（2022·新疆·中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．104
变式1-3．（2021·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
易错点总结：
考查题型二 代数式求值
典例2．（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
变式2-1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（ ）
A． B． C． D．16
变式2-2．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
变式2-3．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
变式2-4．（2022·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
变式2-5．（2022·北京·中考真题）已知，求代数式的值．
变式2-6．（2022·山东济宁·中考真题）已知，，求代数式的值．
易错点总结：
知识点二 单项式
单项式的概念：由数字和字母相乘组成的式子叫做单项式。
[注意]：
1）单项式中数字与字母、字母与字母之间只能是乘法运算；
2）单独的一个数或字母也是单项式。
单项式的系数的概念：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；
[易错点]：
1）一个单项式中只含有字母因数，它的系数是1或者-1，不能认为是0。
2) 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身。
3）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号。 例如：-（3x）的系数是-3
4）圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。
单项式的次数的概念：系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。
[易错点]：
1）计算单项式的次数时，应计算所有字母的指数和，任意漏掉字母指数是1的情况。 如单项式2x4y2z的次数是字母的指数和，即4＋2＋1=7，而不是6次，应注意字母z的指数是1而不是0。
2) 单项式是一个单独字母时，它的指数是1。
3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。 如单项式－25x2y3z4的次数是2＋3＋4=9而不是14次。
知识点三 多项式
多项式的概念：几个单项式的和叫多项式。
多项式的项数的概念：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项
多项式的次数的概念：多项式里中次数最高项的次数叫多项式的次数；
[扩展]
1. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式。
2. 5x2+4x+3和x2+2x+1是常见的两个二次三项式。
考查题型三 单项式与多项式的判断
典例3．（2022·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
变式3-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D．
变式3-2．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1)
变式3-3．（2021·海南·中考真题）下列整式中，是二次单项式的是（ ）
A． B． C． D．
变式3-4．（2022·江苏宿迁·中考真题）按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____．
易错点总结：
考查题型四 数字规律探索
数字类问题：观察数字变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
典例4．（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
变式4-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
变式4-2．（2022·内蒙古中考真题）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
变式4-3．（2022·西藏·中考真题）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A． B． C． D．
变式4-4．（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
变式4-5．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 _____．
变式4-6．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．
变式4-7．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
易错点总结：
考查题型五 图形规律探索
图形类问题：从简单图形入手，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
典例5．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297 B．301 C．303 D．400
变式5-1．（2022·山东泰安·中考真题）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是_______．
变式5-2．（2022·湖南怀化·中考真题）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 _____．
变式5-3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．
变式5-4．（2022·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.
变式5-5．（2022·江西·中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
变式5-6．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，50节链条总长度为_________．
易错点总结：
知识点四 整式的加减
同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。
[注意]
1）判断同类项时，几个单项式中所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，二者缺一不可。
2）同类项与系数、字母的排列顺序无关。
考查题型六 同类项的判断
[解题思路]正确理解同类项的定义是解题的关键
典例6．（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．（2021·广西河池·中考真题）下列各式中，与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
易错点总结：
合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变。
[注意]
1）系数相加时，一定要带上各项前面的符号。
2）合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项。
3）合并同类项的结果可能是单项式，也可能是多项式。
考查题型七 合并同类项
[解题思路]正确理解同类项的定义是解题的关键
典例7．（2022·江苏泰州·中考真题）下列计算正确的是( )A． B．
C． D．
变式7-1．（2022·湖北荆州·中考真题）化简a－2a的结果是（ ）
A．－a B．a C．3a D．0
变式7-2．（2022·山东淄博·中考真题）计算的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
易错点总结：
去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号。
[注意]
1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据。
2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉。
3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号。
4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项。
5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。
考查题型八 去（添）括号
[解题思路]①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值；③添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．
典例8．（2021·浙江杭州·中考真题）（ ）
A． B．2021 C． D．
变式8-1．（2021·河北·中考真题）不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
变式8-2．关于进行的变形或运算：
①；②；③；④．
其中不正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
变式8-3．（2020·湖南模拟）下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
易错点总结：
整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.
[注意]多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）。
注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列。
考查题型九 整式的加减
典例9．（2022·西藏·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
变式9-1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，线段，以AB为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为______________．
变式9-2．（2022·湖南永州·中考真题）若单项式的与是同类项，则______．
变式9-3．（2022·上海·中考真题）计算：3a－2a＝__________．
变式9-4．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________．
易错点总结：
考查题型十 整式加减中的化简求值
典例10 （2022·湖北黄冈·中考真题）先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，y＝－1．
变式10-1．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
易错点总结：
考查题型十一 整式加减的实际应用
典例11．（2021·浙江温州·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
变式11-1．（2022·四川乐山·中考真题）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
变式11-2．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
易错点总结：
[知识要点]
知识点一 代数式
概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。
[注意]
1)代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。
2)代数式中不含有=、<、>、≠ 等。
3)对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。
4)单独的一个数或一个字母也是代数式。
代数式的分类：
列代数式方法
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲。
列代数式时应该注意的问题
(1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“· ” 。
(2)数字通常写在字母前面。
(3)带分数与字母相乘时要化成假分数。
(4)除法常写成分数的形式。
代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
考查题型一 列代数式
[解题思路]用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键。
典例1．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
[详解]解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为元故选C
变式1-1．（2022·广东广州·中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
[详解]解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒，
观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，
第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；
第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，
∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2．
∴8n-2=2022，得：n=253，故选：B．
变式1-2．（2022·新疆·中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．104
[详解]观察数字的变化可知：
第n行有n个偶数，
因为第1行的第1个数是： ；
第2行的第1个数是： ；
第3行的第1个数是：；
…
所以第n行的第1个数是： ，
所以第10行第1个数是：，
所以第10行第5个数是： ．故选：B．
变式1-3．（2021·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
[详解]设原件为x元，
∵先打九五折，再打九五折，∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价，再打六折，∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价，再降价，∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价，再降价，∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x故选B
考查题型二 代数式求值
典例2．（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
[详解]解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，∴m2+2m=5，∴=5－5=0，故选：A．
变式2-1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（ ）
A． B． C． D．16
[详解]∵a，b互为相反数，∴，
∵c的倒数是4，∴，∴，故选：C
变式2-2．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
[详解]∵m为的根据，
∴，且m≠0，∴，
则有原式=，故选：B．
变式2-3．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：，
∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，
∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，∴原式=，故选：B．
变式2-4．（2022·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
[详解]解：＝＝＝
＝＝．
，
移项得，
左边提取公因式得，
两边同除以2得，
∴原式＝．
故答案为：．
变式2-5．（2022·北京·中考真题）已知，求代数式的值．
[详解]解：∵，∴，
∴
变式2-6．（2022·山东济宁·中考真题）已知，，求代数式的值．
[详解]故代数式的值为．
知识点二 单项式
单项式的概念：由数字和字母相乘组成的式子叫做单项式。
[注意]：
1）单项式中数字与字母、字母与字母之间只能是乘法运算；
2）单独的一个数或字母也是单项式。
单项式的系数的概念：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；
[易错点]：
1）一个单项式中只含有字母因数，它的系数是1或者-1，不能认为是0。
2) 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身。
3）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号。 例如：-（3x）的系数是-3
4）圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。
单项式的次数的概念：系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。
[易错点]：
1）计算单项式的次数时，应计算所有字母的指数和，任意漏掉字母指数是1的情况。 如单项式2x4y2z的次数是字母的指数和，即4＋2＋1=7，而不是6次，应注意字母z的指数是1而不是0。
2) 单项式是一个单独字母时，它的指数是1。
3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。 如单项式－25x2y3z4的次数是2＋3＋4=9而不是14次。
知识点三 多项式
多项式的概念：几个单项式的和叫多项式。
多项式的项数的概念：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项
多项式的次数的概念：多项式里中次数最高项的次数叫多项式的次数；
[扩展]
1. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式。
2. 5x2+4x+3和x2+2x+1是常见的两个二次三项式。
考查题型三 单项式与多项式的判断
[解题思路]熟练掌握单项式的系数的定义
典例3．（2022·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
[详解]解： 点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），
，解得： 故选D
变式3-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D．
[详解]解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、不是单项式，故本选项符合题意；
D、是单项式，故本选项不符合题意；故选：C．
变式3-2．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1)
[详解]解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，故选：A．
变式3-3．（2021·海南·中考真题）下列整式中，是二次单项式的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]A、是多项式，此项不符题意；B、是二次单项式，此项符合题意；
C、是三次单项式，此项不符题意；D、是一次单项式，此项不符题意；故选：B．
变式3-4．（2022·江苏宿迁·中考真题）按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____．
[详解]解：，，，，，…，
由偶数个单项式的系数为： 所以第20个单项式的系数为
第1个指数为：
第2个指数为：
第3个指数为：
指数为
所以第20个单项式是：
故答案为：
考查题型四 数字规律探索
数字类问题：观察数字变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
典例4．（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
[详解]解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．
变式4-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
[详解]解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，∴22022的个位数字应该是：4．故选：C．
变式4-2．（2022·内蒙古中考真题）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
[详解]解：观察下列等式：
，，，，，，，
发现尾数分别为：
1，7，9，3，1，7，，
所以和的个位数字依次以1，8，7，0循环出现，
，
每4个数一组进行循环，
所以，
而，
，
所以的结果的个位数字是7．
故选：C．
变式4-3．（2022·西藏·中考真题）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A． B． C． D．
[详解]原数据可转化为：，
∴，，，..．
∴第n个数为：，
∴第10个数为：．故选：A．
变式4-4．（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
[详解]解：由题意可得：a1=2=，a2=，a3=，
∵，∴2+=7，∴a4=，
∵，∴a5=，同理可求a6=，
∴an=，
∴a2022=，
故答案为：，．
变式4-5．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 _____．
[详解]解：∵，，，…，∴第n个数是，当n＝30时，==，故答案为：．
变式4-6．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．
[详解]数字可以化成：
，，，；
，，，；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵，28是第14个偶数，而
∴的位置记为
故答案为：
变式4-7．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式为，
证明如下：
等式左边：，
等式右边：
，
故等式成立．
考查题型五 图形规律探索
图形类问题：从简单图形入手，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
典例5．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297 B．301 C．303 D．400
[详解]解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，
第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；
第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；
第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；
第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，
……，
第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．
故选：B．
变式5-1．（2022·山东泰安·中考真题）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是_______．
[详解]第1行的第一个数字：
第2行的第一个数字：
第3行的第一个数字：
第4行的第一个数字：
第5行的第一个数字：
…..，
设第行的第一个数字为，得
设第行的第一个数字为，得
设第n行，从左到右第m个数为
当时
∴
∵为整数
∴
∴
∴
故答案为：．
变式5-2．（2022·湖南怀化·中考真题）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 _____．
[详解]由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即，
故答案为：744．
变式5-3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．
[详解]解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，
第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，
第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个，
第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个，
……
∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个，
故答案为：49．
变式5-4．（2022·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.
[详解]解：∵第一个图形有根木料，
第二个图形有根木料，
第三个图形有根木料，
第四个图形有木料，
∴第个图形有根木料，
故答案为：．
变式5-5．（2022·江西·中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
[详解]解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．
变式5-6．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，50节链条总长度为_________．
[详解]解：2节链条的长度是（2.8×2-1），
3节链条的长度是（2.8×3-1×2），
n节链条的长度是2.8n-1×（n-1），
所以50节链条的长度是：2.8×50-1×（50-1）
=140-1×49
=91
故答案为：91
知识点四 整式的加减
同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。
[注意]
1）判断同类项时，几个单项式中所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，二者缺一不可。
2）同类项与系数、字母的排列顺序无关。
考查题型六 同类项的判断
[解题思路]正确理解同类项的定义是解题的关键
典例6．（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．
A、a的指数是2，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；
B、a的指数是1，b的指数是2，与是同类项,故选项符合题意；
C、a的指数是1，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；
D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意．
故选：B．
变式6-1．（2021·广西河池·中考真题）下列各式中，与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
[答案]A
[详解]与是同类项的特点为含有字母，且对应的指数为2，的指数为1,
只有A选项符合；故选A．
合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变。
[注意]
1）系数相加时，一定要带上各项前面的符号。
2）合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项。
3）合并同类项的结果可能是单项式，也可能是多项式。
考查题型七 合并同类项
[解题思路]正确理解同类项的定义是解题的关键
典例7．（2022·江苏泰州·中考真题）下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
[详解]解：A、，故选项正确，符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；故选：A．
变式7-1．（2022·湖北荆州·中考真题）化简a－2a的结果是（ ）
A．－a B．a C．3a D．0
[详解]解：；故选：A．
变式7-2．（2022·山东淄博·中考真题）计算的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
[详解]解：原式，故选：C．
去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号。
[注意]
1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据。
2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉。
3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号。
4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项。
5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。
考查题型八 去（添）括号
[解题思路]①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值；③添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．
典例8．（2021·浙江杭州·中考真题）（ ）
A． B．2021 C． D．
[答案]B
[详解]解：．故选：B．
变式8-1．（2021·河北·中考真题）不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
[答案]D
[详解]解：A. =，故选项A不符合题意；B. ，故选项B不符合题意；C. ，故选项C不符合题意；D. ，故选项D符合题意，故选：D．
变式8-2．关于进行的变形或运算：
①；②；③；④．
其中不正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
[答案]B
[详解]
解：①，变形正确；②，变形正确；
③，原变形不正确；④，原变形不正确；∴①②正确，③④错误，故选B．
变式8-3．（2020·湖南模拟）下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[答案]C
[详解]A、原式＝−a−2，故本选项变形错误．B、原式＝−a＋，故本选项变形错误．
C、原式＝−（a−1），故本选项变形正确．D、原式＝−（a−1），故本选项变形错误．故选：C．
整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.
[注意]多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）。
注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列。
考查题型九 整式的加减
典例9．（2022·西藏·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
[详解]A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，选项正确，符合题意；
B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，选项不正确，不符合题意；
C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意；
D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意．故选A．
变式9-1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，线段，以AB为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为______________．
[详解]解：∵，
∴，半圆①弧长为，
同理，半圆②弧长为，
，半圆③弧长为，
……
半圆⑧弧长为，
∴8个小半圆的弧长之和为．
故答案为：．
变式9-2．（2022·湖南永州·中考真题）若单项式的与是同类项，则______．
[详解]解：∵单项式与是同类项，∴．故答案为：．
变式9-3．（2022·上海·中考真题）计算：3a－2a＝__________．
[详解]根据同类项与合并同类项法则计算：3a－2a=（3－2）a=a
变式9-4．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________．
[详解]设这个多项式为A，由题意得：，
，
故答案为：．
考查题型十 整式加减中的化简求值
典例10 （2022·湖北黄冈·中考真题）先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，y＝－1．
[详解]解：原式＝4xy－2xy+3xy＝＝5xy；
当x＝2，y＝－1时，原式＝．
变式10-1．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[详解]解：原式==；
当x=时，原式==3+1-=-．
考查题型十一 整式加减的实际应用
典例11．（2021·浙江温州·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
[详解]解：∵20立方米中，前17立方米单价为a元，后面3立方米单价为（a+1.2）元，∴应缴水费为17a+3（a+1.2）=20a+3.6（元），故选：D．
变式11-1．（2022·四川乐山·中考真题）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
[详解]解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，∴c=3b，则b=c，∴d=2b+c=c，则c=d，
∴4d+d =26，∴d=5，∴正方形d的边长为5，故答案为：5．
变式11-2．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
[详解]（1）解：∵直角三角形较短的直角边，
较长的直角边，
∴小正方形的边长；
（2）解：，
当时，．
整式的乘除
[知识要点]
知识点一 幂的运算
l 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。（其中m、n为正整数）
[注意事项]
1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。例：a·a2＝a1＋2＝a3
3）乘数a可能是有理数、单项式或多项式。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
5）逆用公式：（m,n都是正整数）
[扩展]三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（m，n，p都是正整数）
考查题型一 同底数幂的乘法
典例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）计算a2·a（ ）
A．a B．3a C．2a2 D．a3
变式1-1．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若，则m的值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．2
变式1-3．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（ ）
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
易错点总结：
l 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.(其中m，n都是正整数).
[注意事项]
1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。
2）逆用公式：
[扩展] (m，n，p均为正整数)
考查题型二 幂的乘方
典例2．（2022·山东泰安·中考真题）计算（a3）2•a3的结果是（ ）
A．a8 B．a9 C．a10 D．a11
变式2-1．（2022·四川成都·中考真题）计算：______．
变式2-2．（2021·四川泸州·中考真题）已知，，则的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
变式2-3．（2020·河北·中考真题）若为正整数，则(k+k+⋅⋅⋅+kk个k)k=（ ）
A． B． C． D．
易错点总结：
l 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。(其中n是正整数)。
[注意事项]逆用公式：
[扩展] (n为正整数)
考查题型三 积的乘方
典例3．（2022·湖北武汉·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式3-1．（2022·福建·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式3-2．（2022·贵州黔西·中考真题）计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
易错点总结：
l 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数减。
（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）
[注意事项]
1）0不能做除数的底数。
2）运用同底数幂除法法则关键：看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3）注意指数为1的情况，如x8÷x=x7 ，计算时候容易遗漏将除数x的指数忽略。
4）逆用公式:（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n）
[扩展]当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.即：（a≠0，m、n、p都是正整数，并且m＞n＞p），但计算时要按照顺序计算。
l 零指数幂：任何不等于零的数的0指数幂都等于l。a0＝1（a≠0）
l 负整数指数幂：任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，
即（a≠0，n是正整数）.
[注意]：
1）a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式。例如：。
2）引进零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，所学的幂的运算性质仍然成立。
①(其中m，n为整数，a≠0);
②(其中m，n为整数，a≠0);
③(其中n为整数，a≠0，b≠0)。
考查题型四 同底数幂的除法
典例4．（2022·河北·中考真题）计算得，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式4-1．（2022·湖南益阳·中考真题）下列各式中，运算结果等于a2的是（ ）
A．a3﹣a B．a+a C．a•a D．a6÷a3
变式4-2．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．
变式4-3．（2022·江苏常州·中考真题）计算：_______．
易错点总结：
考查题型五 幂的混合运算
典例5．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
变式5-1．（2022·浙江宁波·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式5-2．（2022·四川遂宁·中考真题）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式5-3．（2022·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式5-4．（2022·辽宁锦州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式5-5．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
易错点总结：
知识点二 整式乘除
n 单项式×单项式
单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式乘法易错点：
[注意]
1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用。
2）单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
3）运算顺序：先算乘方，再算乘法。
考查题型六 单项式乘单项式
典例6．（2022·浙江温州·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．（2022·陕西·中考真题）计算：（ ）
A． B． C． D．
变式6-2．（2022·湖南常德·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
易错点总结：
n 单项式×多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加
[注意事项]
1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。
2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）
例：
3）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果。
考查题型七 单项式乘多项式
典例7．（2022·山东临沂·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
变式7-1．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中．
变式7-2．（2022·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整．
例先去括号，再合并同类项：（）−6(m+1)．
解：（）= ．
易错点总结：
n 多项式×多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
[注意事项]
多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。
考查题型八 多项式乘多项式
典例8．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
变式8-1．（2020·广西贺州·中考真题）我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ）
A．64 B．128 C．256 D．612
易错点总结：
n 单项式÷单项式
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
n 多项式÷单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
[解题思路]
多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。
考查题型九 多项式/单项式除单项式
典例9．（2022·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式9-1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．2m+2n＝2m+n B．3﹣2＝﹣9
C．（2x）3＝8x3 D．10b6÷2b2＝5b3
变式9-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
易错点总结：
知识点三 乘法公式
1)平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 (特征：用相同项的平方减相反项的平方。)
[扩展]常见平方差公式的变形
① 位置变化：如
② 系数变化：如
③ 指数变化：如
④ 符号变化：如（相同项为b,“相反项”为a）
⑤ 增项变化：如
⑥ 增因式变化：如
[注意事项]
1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。
2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。
考查题型十 运用平方差公式进行计算
典例10．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
变式10-1．（2022·山西·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式10-2．（2022·上海·中考真题）下列运算正确的是……（ ）
A．a²+a³=a6 B．（ab）2 =ab2
C．（a+b）²=a²+b² D．（a+b）（a-b）=a² -b2
变式10-3．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于___________．
变式10-4．（2022·四川广安·中考真题）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________．
变式10-5．（2022·广西·中考真题）先化简，再求值，其中．
变式10-6．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
(1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________；
(2)若，，求比多出的使用面积．
易错点总结：
2）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
[扩展]
扩展一(公式变化)：
扩展二：
扩展三：
[补充]：
考查题型十一 运用完全平方公式进行计算
典例11．（2022·江西·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式11-1．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．
变式11-2．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B．
C． D．
变式11-3．（2022·甘肃兰州·中考真题）计算：（ ）
A． B． C． D．
变式11-4．（2022·四川德阳·中考真题）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=___．
变式11-5．（2022·四川乐山·中考真题）已知，则______．
变式11-6．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为________.
变式11-7．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
变式11-8．（2022·河北·中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
变式11-9．（2022·江苏常州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
变式11-10．（2022·湖北荆门·中考真题）已知x+＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣）2；(2)x4+．
变式11-11．（2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．
易错点总结：
n 整式的混合运算
运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。
考查题型十二 整式的混合运算
典例12．（2022·广东广州·中考真题）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
变式12-1．（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
变式12-2．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知，求代数式的值．
变式12-3．（2022·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中．
变式12-4．（2022·贵州安顺·中考真题）(1)计算．
(2)先化简，再求值：，其中．
易错点总结：
知识点四 因式分解（难点）
概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
[注意事项]
1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2）因式分解必须是恒等变形；
3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为。
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
因式分解的常用方法：
方法一：提公因式法
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
方法二：公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
考查题型十三 因式分解
典例13．（2022·山东济宁·中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
变式13-1．（2022·湖南永州·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式13-2．（2022·广西河池·中考真题）多项式因式分解的结果是( )
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
变式13-3．（2022·湖北荆门·中考真题）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是( )
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
变式13-4．（2022·广西柳州·中考真题）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
变式13-5．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
[观察]经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
[感悟]对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
[类比]
(1)请用分组分解法将因式分解；
[挑战]
(2)请用分组分解法将因式分解；
[应用]
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
易错点总结：
[知识要点]
知识点一 幂的运算
l 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。（其中m、n为正整数）
[注意事项]
1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。例：a·a2＝a1＋2＝a3
3）乘数a可能是有理数、单项式或多项式。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
5）逆用公式：（m,n都是正整数）
[扩展]三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（m，n，p都是正整数）
考查题型一 同底数幂的乘法
典例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）计算a2·a（ ）
A．a B．3a C．2a2 D．a3
[详解]解：a2×a=a3, 故选D
变式1-1．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A． B． C． D．
[详解]∵1兆＝1万×1万×1亿，∴1兆＝104×104×108=1016，故选：C．
变式1-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若，则m的值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．2
[详解]∵24×22=24+2=26=2m，∴m=6，故选：B．
变式1-3．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（ ）
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
[详解]解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012．
故选：B．
l 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.(其中m，n都是正整数).
[注意事项]
1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。
2）逆用公式：
[扩展] (m，n，p均为正整数)
考查题型二 幂的乘方
典例2．（2022·山东泰安·中考真题）计算（a3）2•a3的结果是（ ）
A．a8 B．a9 C．a10 D．a11
[详解](a3)2•a3=•，故选：B．
变式2-1．（2022·四川成都·中考真题）计算：______．
[详解]解：−a32=a6；故答案为．
变式2-2．（2021·四川泸州·中考真题）已知，，则的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
[详解]解: ∵，，∴，
∴，∴．故选：C．
变式2-3．（2020·河北·中考真题）若为正整数，则(k+k+⋅⋅⋅+kk个k)k=（ ）
A． B． C． D．
[详解](k+k+⋅⋅⋅+kk个k)k==，故选A．
l 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。(其中n是正整数)。
[注意事项]逆用公式：
[扩展] (n为正整数)
考查题型三 积的乘方
典例3．（2022·湖北武汉·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：.故答案为B．
变式3-1．（2022·福建·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
[详解]，故选：C．
变式3-2．（2022·贵州黔西·中考真题）计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]=9x2·2x=18x3 故选：C．
l 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数减。
（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）
[注意事项]
1）0不能做除数的底数。
2）运用同底数幂除法法则关键：看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3）注意指数为1的情况，如x8÷x=x7 ，计算时候容易遗漏将除数x的指数忽略。
4）逆用公式:（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n）
[扩展]当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.即：（a≠0，m、n、p都是正整数，并且m＞n＞p），但计算时要按照顺序计算。
l 零指数幂：任何不等于零的数的0指数幂都等于l。a0＝1（a≠0）
l 负整数指数幂：任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，
即（a≠0，n是正整数）.
[注意]：
1）a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式。例如：。
2）引进零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，所学的幂的运算性质仍然成立。
①(其中m，n为整数，a≠0);
②(其中m，n为整数，a≠0);
③(其中n为整数，a≠0，b≠0)。
考查题型四 同底数幂的除法
典例4．（2022·河北·中考真题）计算得，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
[详解]，则“？”是2，故选：C．
变式4-1．（2022·湖南益阳·中考真题）下列各式中，运算结果等于a2的是（ ）
A．a3﹣a B．a+a C．a•a D．a6÷a3
[详解]A、∵a3﹣a不是同类项，不能进行合并运算，∴选项A不符合题意；
B、∵a+a＝2a，∴选项B不符合题意；
C、∵a•a＝a2，∴选项C符合题意；
D、∵a6÷a3＝a3，∴选项D不符合题意．故选：C．
变式4-2．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．
[详解]解：根据能量与震级的关系为（其中为大于0的常数）可得到，当震级为8级的地震所释放的能量为：，当震级为6级的地震所释放的能量为：，∵k×1012k×109=103=1000，
震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．
故答案为：1000．
变式4-3．（2022·江苏常州·中考真题）计算：_______．
[详解]解：m4÷m2=m2．故答案为：m2．
考查题型五 幂的混合运算
典例5．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]A．，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；B．，符合题意；
C．，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意；
D．，不符合题意，故选B
变式5-1．（2022·浙江宁波·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式=a4，故该选项不符合题意；
C选项，原式=a6，故该选项不符合题意；
D选项，原式=a4，故该选项符合题意；故选：D．
变式5-2．（2022·四川遂宁·中考真题）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]A. ，故本选项错误；
B. ，故本选项符合题意；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项错误；故选：B．
变式5-3．（2022·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；故选：A
变式5-4．（2022·辽宁锦州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：A．，故本选项不合题意；
B．，故本选项符合题意；
C．，故本选项不合题意；
D．，故本选项不合题意．故选：B．
变式5-5．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：A、，计算正确，不符合题意；
B、，计算正确，不符合题意；
C、，计算正确，不符合题意；
D、 ，计算错误，符合题意；故选D．
知识点二 整式乘除
n 单项式×单项式
单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式乘法易错点：
[注意]
1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用。
2）单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
3）运算顺序：先算乘方，再算乘法。
考查题型六 单项式乘单项式
典例6．（2022·浙江温州·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：，故选：D．
变式6-1．（2022·陕西·中考真题）计算：（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：．故选：C．
变式6-2．（2022·湖南常德·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：，故C正确．故选：C．
n 单项式×多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加
[注意事项]
1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。
2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）
例：
3）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果。
考查题型七 单项式乘多项式
典例7．（2022·山东临沂·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
[详解]解： ．故选B
变式7-1．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[详解]
当时，原式．
变式7-2．（2022·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整．
例先去括号，再合并同类项：（）−6(m+1)．
解：（）= ．
[详解]解：观察第一步可知，，解得，
将该例题的解答过程补充完整如下：，
n 多项式×多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
[注意事项]
多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。
考查题型八 多项式乘多项式
典例8．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[详解]解：原式==；
当x=时，原式==3+1-=-．
变式8-1．（2020·广西贺州·中考真题）我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ）
A．64 B．128 C．256 D．612
[详解]解：由“杨辉三角”的规律可知，
展开式中所有项的系数和为1，
展开式中所有项的系数和为2，
展开式中所有项的系数和为4，
展开式中所有项的系数和为8，
……
展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的系数和为．故选：C．
n 单项式÷单项式
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
n 多项式÷单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
[解题思路]
多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。
考查题型九 多项式/单项式除单项式
典例9．（2022·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：A、，原式计算正确；
B、，原式计算错误；
C、，原式计算错误；
D、，原式计算错误；故选：A．
变式9-1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．2m+2n＝2m+n B．3﹣2＝﹣9
C．（2x）3＝8x3 D．10b6÷2b2＝5b3
[详解]解：A、2m与2n不是同类项，不能合并，不合题意；B、原式＝，不合题意；C、原式＝8x3，符合题意；D、原式＝5b4，不合题意；故选：C．
变式9-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：A中，正确，故符合题意；
B中，错误，故不符合题意；
C中，错误，故不符合题意；
D中，错误，故不符合题意；故选A．
知识点三 乘法公式
1)平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 (特征：用相同项的平方减相反项的平方。)
[扩展]常见平方差公式的变形
⑦ 位置变化：如
⑧ 系数变化：如
⑨ 指数变化：如
⑩ 符号变化：如（相同项为b,“相反项”为a）
⑪ 增项变化：如
⑫ 增因式变化：如
[注意事项]
1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。
2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。
考查题型十 运用平方差公式进行计算
典例10．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
[详解]∵∴∴故选：A．
变式10-1．（2022·山西·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：，故选A．
变式10-2．（2022·上海·中考真题）下列运算正确的是……（ ）
A．a²+a³=a6 B．（ab）2 =ab2
C．（a+b）²=a²+b² D．（a+b）（a-b）=a² -b2
[详解]解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；
B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意；
C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意
D.（a+b）（a-b）=a² -b2，故此选项符合题意 故选：D．
变式10-3．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于___________．
[详解]解：(19+1)(19−1)=(19)2−12=19−1=18，故答案为：18．
变式10-4．（2022·四川广安·中考真题）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________．
[详解]解：a2﹣b2 +2b+9=a+ba−b+2b+9 =a−b+2b+9
变式10-5．（2022·广西·中考真题）先化简，再求值，其中．
[详解]解：=x2-y2+y2-2y=x2-2y
当x=1，y=时，原式=12-2×=0．
变式10-6．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
(1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________；
(2)若，，求比多出的使用面积．
[详解]（1）解：中能使用的面积为，
故答案为：．
（2）解：中能使用的面积为，
则比多出的使用面积为，
∵a+b=10，，
，
答：比多出的使用面积为50．
2）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
[扩展]
扩展一(公式变化)：
扩展二：
扩展三：
[补充]：
考查题型十一 运用完全平方公式进行计算
典例11．（2022·江西·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．故选：B．
变式11-1．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．
[详解]解：
；
∵，，∴，
∴，∴，∴，∴的最大值为，故选：B．
变式11-2．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，故选：A．
变式11-3．（2022·甘肃兰州·中考真题）计算：（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：原式=故选：A．
变式11-4．（2022·四川德阳·中考真题）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=___．
[详解]∵，∵+=4xy =16，∴=4.
变式11-5．（2022·四川乐山·中考真题）已知，则______．
[详解]解：∵，，
即，，，故答案为：．
变式11-6．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为________.
[详解]解：由题意可知：，
∵，∴，∴；
，当且仅当时取等号，此时与题意矛盾，
∴∴；，同理，故答案为：．
变式11-7．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
（1）解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝；
（2）解：相等，理由如下：
∵
100a(a＋1)＋25=
（3）∵与100a的差为2525，
整理得： 即 解得： ∵1≤a≤9，
变式11-8．（2022·河北·中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
[详解]证明：验证：10的一半为5，；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴，其中为偶数，
且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
变式11-9．（2022·江苏常州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
（1）＝2﹣1+＝；
（2）＝ ＝2x+2．
变式11-10．（2022·湖北荆门·中考真题）已知x+＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣）2；(2)x4+．
（1）解：∵＝∴＝＝＝﹣4x•＝32﹣4＝5．
（2）解：∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．
变式11-11．（2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．
[详解]（1）解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；
理由：∵，，∴1022不是“勾股和数”；
∵，∴5055是“勾股和数”；
（2）∵为“勾股和数”，∴，∴，
∵为整数，∴，
∵为整数，
∴为3的倍数，
∴①，或，，此时或8190；
②，或，，此时或4563，
综上，M的值为8109或8190或4536或4563．
n 整式的混合运算
运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。
考查题型十二 整式的混合运算
典例12．（2022·广东广州·中考真题）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
（1）解：T=a2+6ab+9b2+4a2−9b2+a2=；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴， ∴，则T=．
变式12-1．（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
[详解]解：原式＝；
∵a＝-，b＝+，∴原式
变式12-2．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知，求代数式的值．
[详解]解： ，
∵，∴，∴原式．
变式12-3．（2022·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[详解]解：原式．
∵x2−3x+1=0，，原式
变式12-4．（2022·贵州安顺·中考真题）(1)计算．
(2)先化简，再求值：，其中．
（1）解：原式=1+1+2×32+3−1−23=1+1+3+3−1−23=1；
（2）解：(x+3)2+(x+3)(x−3)−2x(x+1) =x2+6x+9+x2−9−2x2−2x=4x；
当时，原式=．
知识点四 因式分解（难点）
概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
[注意事项]
1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2）因式分解必须是恒等变形；
3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为。
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
因式分解的常用方法：
方法一：提公因式法
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
方法二：公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
考查题型十三 因式分解
典例13．（2022·山东济宁·中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故选C．
变式13-1．（2022·湖南永州·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：A、ax+ay=a(x+y)，故选项计算错误；
B、3a+3b=3(a+b)，选项计算正确；
C、，选项计算错误；
D、不能进行因式分解，选项计算错误；故选：B．
变式13-2．（2022·广西河池·中考真题）多项式因式分解的结果是( )
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
[详解]解：．故选：D．
变式13-3．（2022·湖北荆门·中考真题）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是( )
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
[详解]解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，将上式中的b用-b替换，整理得：
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），故选：A．
变式13-4．（2022·广西柳州·中考真题）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）[详解]a2+2a=a(a+2)故选A
变式13-5．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
[观察]经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
[感悟]对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
[类比]
(1)请用分组分解法将因式分解；
[挑战]
(2)请用分组分解法将因式分解；
[应用]
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：，
∴根据题意得，，∴原式．
二次根式
[知识要点]
知识点一 二次根式相关概念和性质
二次根式的概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
[注意]1）二次根式中，被开方数a可以是具体的数或代数式。
2）二次根式中a是一个非负数。
二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，有意义。
考查题型一 二次根式有意义的条件
题型1．（2022·贵州贵阳·中考真题）若式子x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
题型1-1．（2022·广东广州·中考真题）代数式1x+1有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x≠−1 B．x>−1 C．x<−1 D．x≤-1
题型1-2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子x+1+x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>−1 B．x⩾−1 C．x⩾−1且x≠0 D．x⩽−1且x≠0
题型1-3．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
题型1-4．（2022·湖北黄石·中考真题）函数y=xx+3+1x−1的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠−3且x≠1 B．x>−3且x≠1 C．x>−3 D．x≥−3且x≠1
题型1-5．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=x−2＋2−x＋18，则x⋅y的值是______．
易错点总结：
二次根式的性质：1）
2），即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。
[扩展]与的区别于联系
区别：
联系：1）两者都需要进行平方和开方。2）两者的结果都是非负数。3）当a≧0时，
知识点二 二次根式的估值
一般步骤：1）先对二次根式进行平方，如62=6 ；
2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<6<9；
3）对这两个完全平方数开方，如，；
4）这个二次根式的值在这两个相邻整数之间，如。
考查题型二 二次根式的性质与化简
题型2．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（ ）
A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．94=32 D．4.9=0.7
题型2-1．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a=5×105m/s2，s=0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A．0.4×102m/s B．0.8×102m/s
C．4×102 ms D．8×102m/s
题型2-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
题型2-3．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+⋯+6+6+3=3n个根号，一般地，对于正整数a，b，如果满足b+b+b+⋯+b+b+a=an个根号时，称a,b为一组完美方根数对．如上面3,6是一组完美方根数对．则下面4个结论：①4,12是完美方根数对；②9,91是完美方根数对；③若a,380是完美方根数对，则a=20；④若x,y是完美方根数对，则点Px,y在抛物线y=x2−x上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型2-4．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1−b−12+a−b2=______．
题型2-5．（2022·四川南充·中考真题）若8−x为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
题型2-6．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2a2−c2+a2−b222．现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
易错点总结：
知识点三 二次根式的运算
二次根式的乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
即：
[注意]
1）要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。
2）多个二次根式相乘，乘法法则依然成立，表示为：
3）乘法交换律在二次根式中仍然适用。
4）逆用公式：
化简二次根式的步骤（易错点）：
1）把被开方数分解因式(或因数) ；
2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。
二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即（a≥0，b＞0）。
[注意]1）要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。
2）逆用公式： 。
考查题型三 二次根式的乘除
题型3．（2022·广西柳州·中考真题）计算：2×3=______．
题型3-1．（2022·天津·中考真题）计算(19+1)(19−1)的结果等于___________．
题型3-2．（2022·山西·中考真题）计算18×12的结果是________．
题型3-3．（2022·浙江湖州·中考真题）计算：62+2×−3．
易错点总结：
最简二次根式的特点：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
例：、、 不是 二次根式（易错）。
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。
[分母有理化方法]
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。即：
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。
即：；
练：尝试写出的有理化因式_______________
考查题型四 最简二次根式
题型4．（2022·广西桂林·中考真题）化简12的结果是（ ）
A．23 B．3 C．22 D．2
题型4-1．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
题型4-2．（2021·湖南益阳·中考真题）将452化为最简二次根式，其结果是（ ）
A．452 B．902 C．9102 D．3102
题型4-3．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．19 B．4 C．a2 D．a+b
题型4-4．（2022·广西·中考真题）化简：（1）8=_____．
易错点总结：
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
同类二次根式合并的方法：将系数相加减，被开方数和二次根式部分不变。
二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，不能合并的直接抄下来。
[口诀]一化、二找、三合并。
二次根式比较大小：1）若，则有；
2）若，则有；
3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。
二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再算乘方（开方），再算乘除，最后再算加减。
[注意]运算结果含根号的必须为最简二次根式。
考查题型五 二次根式的加减
题型5．（2022·四川泸州·中考真题）与2+15最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
题型5-1．（2022·湖北武汉·中考真题）下列各式计算正确的是（ ）
A．2+3=5 B．43−33=1 C．2×3=6 D．12÷2=6
题型5-2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．
题型5-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设x1与x2为一元二次方程12x2+3x+2=0的两根，则x1−x22的值为________．
题型5-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算3+313的结果是___________．
易错点总结：
考查题型六 二次根式的混合运算
题型6．（2022·重庆·中考真题）估计3×(23+5)的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
题型6-1．（2022·山东青岛·中考真题）计算(27−12)×13的结果是（ ）
A．33 B．1 C．5 D．3
题型6-2．（2022·贵州安顺·中考真题）估计(25+52)×15的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
题型6-3．（2022·贵州毕节·中考真题）计算8+|−2|×cos45°的结果，正确的是（ ）
A．2 B．32 C．22+3 D．22+2
222题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）若3−2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式2+2a⋅b的值是______．
题型6-5．（2022·山东泰安·中考真题）计算：8⋅6−343=__________．
题型6-6．（2022·辽宁朝阳·中考真题）计算：63÷7−−4＝_____．
题型6-7．（2022·四川达州·中考真题）人们把5−12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a=5−12，b=5+12，记S1=11+a+11+b，S2=21+a2+21+b2，…，S100=1001+a100+1001+b100，则S1+S2+⋯+S100=_______．
题型6-8．（2022·江苏泰州·中考真题）计算:
(1)计算：18−3×23；
(2)按要求填空：
小王计算2xx2−4−1x+2的过程如下：
解：2xx2−4−1x+2
=2xx+2x−2−1x+2−−−−−−−第一步=2xx+2x−2−x−2x+2x−2−−第二步
=2x−x−2x+2x−2−−−−−−−−−−−第三步=x−2x+2x−2−−−−−−−−−−−第四步=x−2x+2−−−−−−−−−−−−−−−−第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
易错点总结：
[知识要点]
知识点一 二次根式相关概念和性质
二次根式的概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
[注意]1）二次根式中，被开方数a可以是具体的数或代数式。
2）二次根式中a是一个非负数。
二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，有意义。
考查题型一 二次根式有意义的条件
题型1．（2022·贵州贵阳·中考真题）若式子x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
[详解]解：由题意得x−3≥0．解得x≥3，故选：A．
题型1-1．（2022·广东广州·中考真题）代数式1x+1有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x≠−1 B．x>−1 C．x<−1 D．x≤-1
[详解]解：由题意可知：x+1>0，∴x>−1，故选：B．
题型1-2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子x+1+x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>−1 B．x⩾−1 C．x⩾−1且x≠0 D．x⩽−1且x≠0
[详解]解：由题意得：x+1≥0且x≠0，∴x≥-1且x≠0，故选： C．
题型1-3．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：由题意知，x−2≥0，解得x≥2，∴解集在数轴上表示如图，
故选B．
题型1-4．（2022·湖北黄石·中考真题）函数y=xx+3+1x−1的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠−3且x≠1 B．x>−3且x≠1 C．x>−3 D．x≥−3且x≠1
[详解]解：依题意，x+3>0x−1≠0∴x>−3且x≠1故选B
题型1-5．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=x−2＋2−x＋18，则x⋅y的值是______．
[详解]解：∵由二次根式的定义得x−2≥02−x≥0，解得：x=2，
∴y=0+0+18，即：y=18，
∴x⋅y=2×18=2×18=14=12.
二次根式的性质：1）
2），即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。
[扩展]与的区别于联系
区别：
联系：1）两者都需要进行平方和开方。2）两者的结果都是非负数。3）当a≧0时，
知识点二 二次根式的估值
一般步骤：1）先对二次根式进行平方，如62=6；
2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<6<9；
3）对这两个完全平方数开方，如，；
4）这个二次根式的值在这两个相邻整数之间，如。
考查题型二 二次根式的性质与化简
题型2．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（ ）
A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．94=32 D．4.9=0.7
[详解]解：A.4+9=13≠2+3，故错误；B.4×9=2×3，故正确；C.94=38≠32，故错误；D.4.9≠0.7，故错误；故选：B．
题型2-1．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a=5×105m/s2，s=0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A．0.4×102m/s B．0.8×102m/s
C．4×102 ms D．8×102m/s
[详解]解：v=2as=2×5×105×0.64=8×102ms，故选：D．
题型2-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
[详解]解∶∵根据数轴得∶ 00， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1- a=2．故选∶B．
题型2-3．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+⋯+6+6+3=3n个根号，一般地，对于正整数a，b，如果满足b+b+b+⋯+b+b+a=an个根号时，称a,b为一组完美方根数对．如上面3,6是一组完美方根数对．则下面4个结论：①4,12是完美方根数对；②9,91是完美方根数对；③若a,380是完美方根数对，则a=20；④若x,y是完美方根数对，则点Px,y在抛物线y=x2−x上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[详解]解：∵12+4=4，∴ 4,12是完美方根数对；故①正确；
∵ 91+9=10 ≠9∴ 9,91不是完美方根数对；故②不正确；
若a,380是完美方根数对，则380+a=a即a2=380+a解得a=20或a=−19
∵a是正整数，则a=20 故③正确；
若x,y是完美方根数对，则y+x=x∴y+x=x2,即y=x2−x故④正确故选C
题型2-4．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1−b−12+a−b2=______．
[详解]解：由数轴可得：−1
∴a+1−b−12+a−b2
=|a+1|−|b−1|+|a−b|
=a+1−(b−1)−(a−b)
=a+1−b+1−a+b
=2．
题型2-5．（2022·四川南充·中考真题）若8−x为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
[详解]解：∵8−x≥0∴x≤8
∵x为正整数∴x可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵8−x为整数∴x为4或7或8
题型2-6．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2a2−c2+a2−b222．现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
[详解]解：∵周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，设a=4k,b=3k,c=2k
∴4k+3k+2k=18解得k=2
∴ a=8,b=6,c=4
∴ S=14c2a2−c2+a2−b222=1442×82−42+82−6222=141024−484=135= 315 故答案为：315
知识点三 二次根式的运算
二次根式的乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
即：
[注意]
1）要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。
2）多个二次根式相乘，乘法法则依然成立，表示为：
3）乘法交换律在二次根式中仍然适用。
4）逆用公式：
化简二次根式的步骤（易错点）：
1）把被开方数分解因式(或因数) ；
2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。
二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即（a≥0，b＞0）。
[注意]1）要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。
2）逆用公式： 。
考查题型三 二次根式的乘除
题型3．（2022·广西柳州·中考真题）计算：2×3=______．
[详解]解：2×3=6；故答案为6．
题型3-1．（2022·天津·中考真题）计算(19+1)(19−1)的结果等于___________．
[详解]解：(19+1)(19−1)=(19)2−12=19−1=18，
题型3-2．（2022·山西·中考真题）计算18×12的结果是________．
[详解]解：原式＝18×12＝9＝3．
题型3-3．（2022·浙江湖州·中考真题）计算：62+2×−3．
[详解]62+2×−3=6+(−6)=6−6=0
最简二次根式的特点：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
例：、、 不是 二次根式（易错）。
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。
[分母有理化方法]
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。即：
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。
即：；
练：尝试写出的有理化因式_______________
考查题型四 最简二次根式
题型4．（2022·广西桂林·中考真题）化简12的结果是（ ）
A．23 B．3 C．22 D．2
[详解]解：12=4×3=22×3＝23，故选：A．
题型4-1．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
[详解]解：
A、12=22∵2是无理数，故12是无理数
B、13=33∵3是无理数，故13是无理数
C、14=12为有理数
D、15=55∵5是无理数，故15是无理数
故选：C
题型4-2．（2021·湖南益阳·中考真题）将452化为最简二次根式，其结果是（ ）
A．452 B．902 C．9102 D．3102
[详解]解：原式=9×5×22×2，=3102，故选：D．
题型4-3．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．19 B．4 C．a2 D．a+b
[详解]A、19被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、4=2是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、a2=|a|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．
故选：D．
题型4-4．（2022·广西·中考真题）化简：（1）8=_____．
[详解]解：8=4×2=4×2=22．
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
同类二次根式合并的方法：将系数相加减，被开方数和二次根式部分不变。
二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，不能合并的直接抄下来。
[口诀]一化、二找、三合并。
二次根式比较大小：1）若，则有；
2）若，则有；
3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。
二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再算乘方（开方），再算乘除，最后再算加减。
[注意]运算结果含根号的必须为最简二次根式。
考查题型五 二次根式的加减
题型5．（2022·四川泸州·中考真题）与2+15最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
[详解]解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜15＜4，∴5.5＜2+15＜6，∴最接近的整数是6，故选：C．
题型5-1．（2022·湖北武汉·中考真题）下列各式计算正确的是（ ）
A．2+3=5 B．43−33=1 C．2×3=6 D．12÷2=6
[详解]解：A、2+3≠5原计算错误，该选项不符合题意；
B、43−33=3原计算错误，该选项不符合题意；
C、2×3=6正确，该选项符合题意；
D、12÷2=23÷2=3原计算错误，该选项不符合题意；故选：C．
题型5-2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．
[详解]解：由题意可得：DE=1,DC=15−12=3,
∵∠A=60°,∠ABC=90°,
∴AB=BCtan60°=33=3,
同理：AD=DEtan60°=13=33,
∴BD=AB−AD=3−33=233,
故答案为：233
题型5-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设x1与x2为一元二次方程12x2+3x+2=0的两根，则x1−x22的值为________．
[详解]解：∵12x2+3x+2=0
△=9-4=5＞0，
∴x1=−3+5，x2=−3−5，
∴x1−x22=−3+5+3+52=252=20，
故答案为：20；
题型5-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算3+313的结果是___________．
[详解]解：3+313=3+3 =23，故答案为：23．
考查题型六 二次根式的混合运算
题型6．（2022·重庆·中考真题）估计3×(23+5)的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
[详解] 3×(23+5)=6+15，
∵9＜15＜16，∴3＜15＜4，∴9＜6+15＜10，故选：B．
题型6-1．（2022·山东青岛·中考真题）计算(27−12)×13的结果是（ ）
A．33 B．1 C．5 D．3
[详解]解：(27−12)×13=9−4=3−2=1 故选：B．
题型6-2．（2022·贵州安顺·中考真题）估计(25+52)×15的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
[详解]解：原式=25×15+52×15＝2+10，
∵3<10<4，∴5<2+10<6，故选B．
题型6-3．（2022·贵州毕节·中考真题）计算8+|−2|×cos45°的结果，正确的是（ ）
A．2 B．32 C．22+3 D．22+2
[详解]解：8+|−2|×cos45°＝22+2×22＝22+2＝32．故选：B
题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）若3−2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式2+2a⋅b的值是______．
[详解]解：∵ 1<2<2，
∴1<3−2<2，
∵ 3−2的整数部分为a，小数部分为b，
∴a=1，b=3−2−1=2−2．
∴2+2a⋅b=2+2×2−2=4−2=2，
故答案为：2．
题型6-5．（2022·山东泰安·中考真题）计算：8⋅6−343=__________．
[详解]解：8⋅6−343=48−3×233=43−23=23，
题型6-6．（2022·辽宁朝阳·中考真题）计算：63÷7−−4＝_____．
[详解]解：63÷7−−4=9−4 =3−4=-1
题型6-7．（2022·四川达州·中考真题）人们把5−12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a=5−12，b=5+12，记S1=11+a+11+b，S2=21+a2+21+b2，…，S100=1001+a100+1001+b100，则S1+S2+⋯+S100=_______．
[详解]解：∵ a=5−12，b=5+12，∴ab=5−12×5+12=1，
∵S1=11+a+11+b=2+a+b1+a+b+ab=2+a+b2+a+b=1，
S2=21+a2+21+b2=2×2+a2+b21+a2+b2+a2b2=2×2+a2+b22+a2+b2=2，
…，
S100=1001+a100+1001+b100=100×1+a100+1+b1001+a100+b100+a100b100=100
∴ S1+S2+⋯+S100= 1+2+……+100=5050
故答案为：5050
题型6-8．（2022·江苏泰州·中考真题）计算:
(1)计算：18−3×23；
(2)按要求填空：
小王计算2xx2−4−1x+2的过程如下：
解：2xx2−4−1x+2
=2xx+2x−2−1x+2−−−−−−−第一步=2xx+2x−2−x−2x+2x−2−−第二步
=2x−x−2x+2x−2−−−−−−−−−−−第三步=x−2x+2x−2−−−−−−−−−−−第四步=x−2x+2−−−−−−−−−−−−−−−−第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
[答案](1)22
（1）解：原式=32−3×63=32−323=22；
（2）解：由题意可知：
2xx2−4−1x+2=2xx+2x−2−1x+2−−−−−−−第一步=2xx+2x−2−x−2x+2x−2−−第二步=2x−x+2x+2x−2−−−−−−−−−−−第三步=x+2x+2x−2−−−−−−−−−−−第四步=1x−2−−−−−−−−−−−−−−−−第五步
故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为1x−2.
故答案为：因式分解，第三步和第五步，1x−2
分式
[知识要点]
知识点一：分式的基础
概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
[判断分式的注意事项]
1）条件：①形如的式子； ②A，B为整式；③分母B中含有字母，三者缺一不可。
2）判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式。
与分式有关的条件：
要求
表示
分式有意义
分母≠0
B≠0
分式无意义
分母=0
B=0
分式值为0
分子为0且分母不为0
A=0且B≠0
分式值为正或大于0
分子分母同号
A>0,B>0 或A<0,B<0
分式值为负或小于0
分子分母异号
A>0,B<0或A<0,B>0
分式值为1
分子分母值相等
A=B
分式值为-1
分子分母值互为相反数
A+B=0
考查题型一 分式的意义
题型1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型1-1．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
易错点总结：
考查题型二 分式有意义的条件
题型2．（2022·四川凉山·中考真题）分式有意义的条件是（ ）
A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0
题型2-1．（2022·湖北恩施·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．
题型2-2．（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．且
题型2-3．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．≤-1
易错点总结：
考查题型三 分式值为0的条件
题型3．（2021·广西桂林·中考真题）若分式的值等于0，则x的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
题型3-1．（2021·四川雅安·中考真题）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
题型3-2．（2022·广西·中考真题）当______时，分式的值为零．
题型3-3．（2021·湖南湘西·中考真题）若式子的值为零，则＝___．
易错点总结：
知识点二：分式的形式（基础）
基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：AB=A•CB•C，AB=A÷CB÷C，其中A、B、C是整式，C≠0。
[注意]在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
[拓展]分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，
即：AB=−A−B=−−AB=−A−B
约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
分式约分步骤：1）提分子和分母公因式（关键）；2）约去公因式；3）观察结果，是否是最简分式或整式。例：x2−9x2+6x+9 =________________
[注意]
1）约分前后分式的值相等.
2）约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式。
通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母的定义：各分母所有因式的最高次幂的积。
确定分式的最简公分母的方法：1）因式分解：当分母是多项式时，先因式分解；.
2）找系数：各分式分母系数的最小公倍数；
3）找字母：各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；
4）找指数：各分母所有多项式因式的最高次幂。
考查题型四 求分式的值
题型4．（2021·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
题型4-1．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．
题型4-2．（2022·湖南郴州·中考真题）若，则________．
题型4-3．（2021·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于_________．
易错点总结：
考查题型五 约分
题型5．（2022·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型5-1．（2022·贵州铜仁·中考真题）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
题型5-2．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．
易错点总结：
知识点三 分式的运算
类型一 分式的乘除
1）分式的乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：ab•cd=a•cb•d（bd≠0）
2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。
式子表示为：ab÷cd=ab•dc=a•db•c（bcd≠0）（除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数）
类型二 分式的加减法
1）同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：ac±bc=a±bc
2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：ab±cd=ad±bcbd
类型三 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：abn=anbn
[注意]1）分式乘方要把分子、分母分别乘方。
2）分式乘方时，要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。
类型四 分式混合运算
运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。
[注意]分式的运算结果要化为最简分式或整式。
考查题型六 分式的乘除运算
题型6．（2021·湖南湘西·中考真题）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型6-1．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型6-2．（2021·湖南湘潭·中考真题）先化简，再求值：，其中．
易错点总结：
考查题型七 分式的加减运算
题型7．（2022·天津·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
题型7-1．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
题型7-2．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
题型7-3．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C．2 D．
题型7-4．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
题型7-5．（2022·浙江温州·中考真题）计算：___________．
题型7-6．（2022·湖北襄阳·中考真题）化简分式：＝_____．
题型7-7．（2022·重庆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
题型7-8．（2022·甘肃兰州·中考真题）计算：．
题型7-9．（2022·江西·中考真题）以下是某同学化筒分式的部分运算过程：
解：原式①
②
③
…
解：
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
易错点总结：
考查题型八 分式的加减乘除混合运算
题型8．（2022·四川眉山·中考真题）化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
题型8-1．（2022·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A． B． C． D．
题型8-2．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
题型8-3．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．
题型8-4．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
题型8-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
题型8-6．（2022·广西河池·中考真题）先化简,再求值,其中
题型8-7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．
题型8-8．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
题型8-9．（2021·广东广州·中考真题）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
题型8-10．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
易错点总结：
考查题型九 分式化简求值
题型9．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型9-1．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
题型9-2．（2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．
题型9-3．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
题型9-4．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中
题型9-5．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
题型9-6．（2022·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数．
题型9-7．（2022·浙江金华·中考真题）计算：．
易错点总结：
整数指数幂
1. am⋅an=am+n
2. amn=amn
3. abn=anbn
4. am÷an=am−n（a≠0）
5. abn=anbn
6. a−n=1an（a≠0）
7. a0=1（a≠0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。
考查题型十 零指数幂
题型10．（2022·重庆·中考真题）计算：_________．
题型10-1．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜）
题型10-2．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝_____．
题型10-3．（2022·四川德阳·中考真题）计算：．
题型10-4．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：．
易错点总结：
考查题型十一 负整数指数幂
题型11．（2022·山东济南·中考真题）计算：．
题型11-1．（2022·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：，其中．
题型11-2．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
__________________________________________________________________________
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
易错点总结：
考查题型十二 负指数幂与科学记数法
题型12．（2022·广西贵港·中考真题）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
题型12-1．（2022·山东青岛·中考真题）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
题型12-2．（2021·山东聊城·中考真题）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍 C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
题型12-3．（2022·四川广元·中考真题）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为_____________．
易错点总结：
[知识要点]
知识点一：分式的基础
概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
[判断分式的注意事项]
1）条件：①形如的式子； ②A，B为整式；③分母B中含有字母，三者缺一不可。
2）判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式。
与分式有关的条件：
要求
表示
分式有意义
分母≠0
B≠0
分式无意义
分母=0
B=0
分式值为0
分子为0且分母不为0
A=0且B≠0
分式值为正或大于0
分子分母同号
A>0,B>0 或A<0,B<0
分式值为负或小于0
分子分母异号
A>0,B<0或A<0,B>0
分式值为1
分子分母值相等
A=B
分式值为-1
分子分母值互为相反数
A+B=0
考查题型一 分式的意义
题型1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
[答案]B
[提示]看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
[详解]分母中含有字母的是，，，
∴分式有3个，
故选：B．
题型1-1．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
[答案](1)
(2)见解析
[提示]（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为．
（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明．
（1）
解：∵第一个式子，
第二个式子，
第三个式子，
……
∴第（n+1）个式子；
（2）
解：∵右边==左边，
∴．
[名师点拨]此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，提示、归纳发现其中各分母的变化规律．
考查题型二 分式有意义的条件
题型2．（2022·四川凉山·中考真题）分式有意义的条件是（ ）
A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0
[答案]B
[提示]根据分式的分母不能为0即可得．
[详解]解：由分式的分母不能为0得：，
解得，
即分式有意义的条件是，
故选：B．
题型2-1．（2022·湖北恩施·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．
[答案]C
[提示]根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．
[详解]解：∵有意义，
∴，
解得且，
故选C．
[名师点拨]本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键．
题型2-2．（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．且
[答案]B
[提示]直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件提示得出答案．
[详解]解：依题意，
∴且
故选B
[名师点拨]此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．
题型2-3．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．≤-1
[答案]B
[提示]根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．
[详解]解：由题意可知：，
∴，
故选：B．
[名师点拨]本题考查了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题．
考查题型三 分式值为0的条件
题型3．（2021·广西桂林·中考真题）若分式的值等于0，则x的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
[答案]A
[提示]根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解．
[详解]由题意可得：且，解得．
故选A．
[名师点拨]此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质．
题型3-1．（2021·四川雅安·中考真题）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
[答案]A
[提示]根据分式的值为0的条件，即可求解．
[详解]解：根据题意得：且，
解得：．
故选：A
[名师点拨]本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件分子等于0，且分母不等于0是解题的关键．
题型3-2．（2022·广西·中考真题）当______时，分式的值为零．
[答案]0
[提示]根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0，x+2≠0求解即可．
[详解]解：由题意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0，
故答案为：0．
[名师点拨]本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．
题型3-3．（2021·湖南湘西·中考真题）若式子的值为零，则＝___．
[答案]0
[提示]根据分式的值为零的条件可直接进行求解．
[详解]解：由式子的值为零可得：
，
∴且，
∴；
故答案为0．
[名师点拨]本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
知识点二：分式的形式（基础）
基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：AB=A•CB•C，AB=A÷CB÷C，其中A、B、C是整式，C≠0。
[注意]在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
[拓展]分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，
即：AB=−A−B=−−AB=−A−B
约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
分式约分步骤：1）提分子和分母公因式（关键）；2）约去公因式；3）观察结果，是否是最简分式或整式。例：x2−9x2+6x+9 =________________
[注意]
1）约分前后分式的值相等.
2）约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式。
通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母的定义：各分母所有因式的最高次幂的积。
确定分式的最简公分母的方法：1）因式分解：当分母是多项式时，先因式分解；.
2）找系数：各分式分母系数的最小公倍数；
3）找字母：各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；
4）找指数：各分母所有多项式因式的最高次幂。
考查题型四 求分式的值
题型4．（2021·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
[答案]A
[提示]先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
[详解]解：
把代入上式中
原式
故选A.
[名师点拨]本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.
题型4-1．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．
[答案]2
[提示]直接把a的值代入计算即可．
[详解]解：当a=1时，
．
故答案为：2．
[名师点拨]本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．
题型4-2．（2022·湖南郴州·中考真题）若，则________．
[答案]
[提示]由分式的运算法则进行计算，即可得到答案．
[详解]解：
，
；
故答案为：．
[名师点拨]本题考查了分式的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行计算．
题型4-3．（2021·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于_________．
[答案]4
[提示]由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．
[详解]由得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4
[名师点拨]本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入．
考查题型五 约分
题型5．（2022·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[答案]A
[提示]根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解．
[详解]解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
[名师点拨]本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
题型5-1．（2022·贵州铜仁·中考真题）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
[答案]D
[提示]根据绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则求解即可．
[详解]解：A、，计算正确，不符合题意；
B、，计算正确，不符合题意；
C、，计算正确，不符合题意；
D、，计算错误，符合题意；
故选D．
[名师点拨]本题主要考查了绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则，熟知相关知识是解题的关键．
题型5-2．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．
[答案]
[提示]首先将原式第三项约分，再把前两项括号展开，最后合并同类项即可得到结果．
[详解]解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）
=（x﹣2）2﹣x（x﹣1）
=
=．
[名师点拨]此题主要考查了乘法公式和分式的约分，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
知识点三 分式的运算
类型一 分式的乘除
1）分式的乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：ab•cd=a•cb•d（bd≠0）
2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。
式子表示为：ab÷cd=ab•dc=a•db•c（bcd≠0）（除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数）
类型二 分式的加减法
1）同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：ac±bc=a±bc
2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：ab±cd=ad±bcbd
类型三 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：abn=anbn
[注意]1）分式乘方要把分子、分母分别乘方。
2）分式乘方时，要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。
类型四 分式混合运算
运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。
[注意]分式的运算结果要化为最简分式或整式。
考查题型六 分式的乘除运算
题型6．（2021·湖南湘西·中考真题）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
[答案]D
[提示]根据幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可．
[详解]解：A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，故D选项正确．
故答案为D．
[名师点拨]本题考查了幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
题型6-1．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[答案]D
[提示]根据有理数、整式、分式、二次根式的运算公式运算验证即可．
[详解]，故A错；
当a＞0，，当a＜0，，故B错；
，故C错；
，D正确；
故选：D．
[名师点拨]本题主要考查了有理数、整式、分式、二次根式的运算，熟记运算定理和公式是解决问题的额关键．
题型6-2．（2021·湖南湘潭·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[答案]，．
[提示]第一个小括号，先通分再求和，结合平方差公式、完全平方公式将因式分解成，再将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，最后代入数值计算即可．
[详解]解：
当时，原式．
[名师点拨]本题考查分式的化简求值，涉及平方差、完全平方公式等因式分解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
考查题型七 分式的加减运算
题型7．（2022·天津·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
[答案]A
[提示]利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可．
[详解]解：．
故选：A．
[名师点拨]本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则．
题型7-1．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
[答案]C
[提示]利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
[详解]解：∵，
∴
∴，
∴，
故选：C．
[名师点拨]本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
题型7-2．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
[答案]B
[提示]先对分式进行化简，然后问题可求解．
[详解]解：====1；
故选B．
[名师点拨]本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
题型7-3．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C．2 D．
[答案]C
[提示]根据合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算逐项提示．
[详解]A．，故不符合题意；
B． ，故不符合题意；
C．2，故符合题意；
D． ，故不符合题意；
故选C．
[名师点拨]本题考查了合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
题型7-4．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
[答案]5050
[提示]利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．
[详解]解：，，
，
，
，
…，
故答案为：5050
[名师点拨]本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．
题型7-5．（2022·浙江温州·中考真题）计算：___________．
[答案]2
[提示]利用分式同分母运算法则进行合并，并化简即可得出结果．
[详解]解：，
故答案为：2．
[名师点拨]本题主要考查的是分式加法运算的基础运算，掌握其运算法则是解题的关键．
题型7-6．（2022·湖北襄阳·中考真题）化简分式：＝_____．
[答案]
[提示]根据同分母的分式加法运算法则求解后约分即可得到结论．
[详解]解：
，
故答案为：．
[名师点拨]本题考查分式的化简，掌握同分母的分式求和及约分是解决问题的关键．
题型7-7．（2022·重庆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
[答案](1)
(2)
[提示]（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
（2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可．
(1)
解：
=
=
(2)
解：
=
=
=
[名师点拨]本题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
题型7-8．（2022·甘肃兰州·中考真题）计算：．
[答案]
[提示]根据分式的加法法则和除法法则计算即可．
[详解]解：===．
[名师点拨]本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的加法法则和除法法则是解题关键．
题型7-9．（2022·江西·中考真题）以下是某同学化筒分式的部分运算过程：
解：原式①
②
③
…
解：
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
[答案](1)③(2)见解析
[提示]根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）解：原式＝
[名师点拨]本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
考查题型八 分式的加减乘除混合运算
题型8．（2022·四川眉山·中考真题）化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
[答案]B
[提示]根据分式的混合运算法则计算即可．
[详解]解：．故选：B
[名师点拨]本题考查分式的混合运算法则，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
题型8-1．（2022·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A． B． C． D．
[答案]A
[提示]根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．
[详解]解：★=
★=
★=
=，
故选A．
[名师点拨]题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型8-2．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
[答案]B
[提示]先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果．
[详解]解：
，
∵，
∴，
∴，
∵a>b>0，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵a>b>0，
∴，
∴原式=
，
故选：B．
[名师点拨]题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型8-3．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．
[答案]
[提示]根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
[详解]
=
故答案为
[名师点拨]本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
题型8-4．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
[答案]
[提示]通过探索数字变化的规律进行提示计算．
[详解]解：；
；
；
，
，
当时，
原式
，
故答案为：．
[名师点拨]本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
题型8-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
[答案]（1）；（2）
[提示]（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可；
（2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可．
[详解]（1）
；
（2）
∵，
∴原式=．
[名师点拨]本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
题型8-6．（2022·广西河池·中考真题）先化简,再求值,其中
[答案]
[提示]按照分式的加减乘除混合运算顺序，先算乘除，再算加减，分子分母能够因式分解的要因式分解，能够约分的要约分，将结果化为最简，再把a的值代入进行计算．
[详解]
＝
＝
=
=-a+1；
当a=3时，原式=-3+1=-2．
[名师点拨]本题考查了分式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型8-7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[答案]，
[提示]分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
[详解]解：原式
当时，原式，
故答案是： ．
[名师点拨]本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．
题型8-8．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
[答案]任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：
[提示]任务一：①根据分式的基本性质提示即可；②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
[详解]任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为：一，分式的性质；②二，去括号没有变号．
任务二：
．
[名师点拨]本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
题型8-9．（2021·广东广州·中考真题）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
[答案]（1）；（2）．
[提示]（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；
（2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可．
[详解]解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴．
[名师点拨]本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键．
题型8-10．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
[答案]，10．
[提示]原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值．
[详解]解：原式=
=
=2(x+4)
=2x+8
当-2，0，2时，分式无意义
当x=1时，原式=10．
[名师点拨]本题主要考查了分式的化简和代入求值，关键是代入的时候要根据分式有意义的条件选择合适的值代入．
考查题型九 分式化简求值
题型9．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案]B
[提示]先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可
[详解]
∵x和y互为倒数
∴
故选：B
[名师点拨]本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为1
题型9-1．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
[答案]D
[提示]先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
[详解]解：原式•
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故选：D．
[名师点拨]本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
题型9-2．（2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．
[答案]15
[提示]先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．
[详解]解：==a(a-2)=a2-2a，
∵a2-2a-15=0,∴a2-2a=15，∴原式=15．故答案为：15．
[名师点拨]本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
题型9-3．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[答案]，1
[提示]根据平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则对原式进行化简，再把a值代入求解即可．
[详解]解：
，
∵，
∴原式．
[名师点拨]本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．
题型9-4．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中
[答案]，0
[提示]先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算．
[详解]解：
；
∵，
∴原式．
[名师点拨]本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
题型9-5．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
[答案]，当x=2时，原分式的值为
[提示]由题意先把分式进行化简，求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件选出合适的x值，进而代入求解即可．
[详解]解：原式=；
由可得该不等式组的解集为：，
∴该不等式组的整数解为：-1、0、1、2，
当x=-1，0，1时，分式无意义，
∴x=2，
∴把x=2代入得：原式=．
[名师点拨]本题主要考查分式的运算及一元一次不等式组的解法，要注意分式的分母不能为0．
题型9-6．（2022·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数．
[答案]，当时，式子的值为；当时，式子的值为．
[提示]先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得．
[详解]解：原式
，
，
，
又为满足的整数，
或，
当时，原式，
当时，原式，
综上，当时，式子的值为；当时，式子的值为．
[名师点拨]本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
题型9-7．（2022·浙江金华·中考真题）计算：．
[答案]4
[提示]根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可；
[详解]解：原式；
[名师点拨]本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
整数指数幂
8. am⋅an=am+n
9. amn=amn
10. abn=anbn
11. am÷an=am−n（a≠0）
12. abn=anbn
13. a−n=1an（a≠0）
14. a0=1（a≠0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。
考查题型十 零指数幂
题型10．（2022·重庆·中考真题）计算：_________．
[答案]5
[提示]根据绝对值和零指数幂进行计算即可．
[详解]解：，
故答案为：5．
[名师点拨]本题考查了绝对值和零指数幂的计算，熟练掌握定义是解题的关键．
题型10-1．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜）
[答案]<
[提示]先计算，，然后比较大小即可．
[详解]解：，，
∵，∴，故答案为：<．
[名师点拨]本题主要考查有理数的大小比较，负整数指数幂的运算，零次幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型10-2．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝_____．
[答案]﹣1
[提示]先计算立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂，再进行计算即可解答．
[详解]解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1故答案为：﹣1．
[名师点拨]本题考查了立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂等知识点，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
题型10-3．（2022·四川德阳·中考真题）计算：．
[答案]
[提示]根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．
[详解]解：
．
[名师点拨]此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
题型10-4．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：．
[答案]
[提示]根据负整数指数幂、乘方、绝对值的性质化简后计算即可．
[详解]解：
=．
[名师点拨]本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据负整数指数幂、绝对值的性质化简．
考查题型十一 负整数指数幂
题型11．（2022·山东济南·中考真题）计算：．
[答案]6
[提示]先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义进行化简，然后再进行计算即可．
[详解]解：
[名师点拨]本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义，是解题的关键．
题型11-1．（2022·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[答案]，．
[提示]原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a的值，代入计算即可求出值．
[详解]解：
=，
当时，
原式==．
[名师点拨]本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了算术平方根、绝对值、负整数指数幂．
题型11-2．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
__________________________________________________________________________
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
[答案]（1）④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1；28；（2），．
[提示]（1）根据乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可；
（2）先把括号内通分，接着约分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x2-2x-3=0得到x1=3，x2=-1，则利用分式有意义的条件把x=-1代入计算即可．
[详解]（1）其他错误，有：④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1，
正确的计算过程：
解：
=28；
（2）
=，
∵x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵x=3分式没有意义，
∴x的值为-1，
当x=-1时，原式==．
[名师点拨]本题考查了实数的运算，解一元二次方程---因式分解法，分式的化简求值．也考查了特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂．
考查题型十二 负指数幂与科学记数法
题型12．（2022·广西贵港·中考真题）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
[答案]C
[提示]绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
[详解]解：∵，
∴28nm=2.8×10-8m．
故选：C．
[名师点拨]本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
题型12-1．（2022·山东青岛·中考真题）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
[答案]A
[提示]绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7．
[详解]解：0.0000003
故选A
[名师点拨]本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．
题型12-2．（2021·山东聊城·中考真题）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍 C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
[答案]C
[提示]绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
[详解]由题意得：(3.85×10﹣9)÷(5×10﹣4)= 7.7×10﹣6倍，
故选C．
[名师点拨]此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
题型12-3．（2022·四川广元·中考真题）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为_____________．
[答案]3.4×10-10
[提示]绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
[详解]解：0．00000000034=3.4×10-10．
故答案为：3.4×10-10．
[名师点拨]本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
不等式（组）
[知识要点]
知识点一 不等式的有关概念和性质
不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫作不等式。
[注意]
1）方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。
2）常用的不等号有：“≠”（不等于），“>”（大于），“≥”（大于或等于），“<”（小于），“≤”（小于或等于）五种。
3）在不等式a>b或a
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。
不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。
解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
数轴表示不等式的解集：不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
[易错点]用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
不等式的性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或ac>bc）
基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则ac
基本性质6：如果，，那么.
[注意]
1）不等式变形时，要注意性质2和3的区别，需先判断要乘（或除以）的数的正负，若负注意不等号方向发生改变。
2）不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
不等式性质与等式性质的相同和不同点：
相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子。
不同点：
1）对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立。
2）对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变。
[总结]
等式的性质
不等式的性质
对称性：若a=b，则b=a
反对称性：若a>b，则b
传递性：若a>b，b>c，则a>c
性质1：若a=b，则a±c=b±c
性质1：若a>b，则a±c>b±c
性质2：若a=b，c≠0，
则ac=bc，
性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，
性质3：若a>b，c<0，则ac
考查题型一 不等式的性质
题型1．（2022年内蒙古包头市中考数学真题）若m>n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m−2−12n
C．n−m>0 D．1−2m<1−2n
题型1-1．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）若a>b，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A．a+2>b+2 B．−3a>−3b C．a4
A．a+c>b+d B．a+b>c+d C．a+c>b−d D．a+b>c−d
题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
题型1-4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1a______1b．（填“>”、“=”或“<”）
题型1-5．（2021·山西·中考真题）（1）计算：−14×−8+−23×122．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
2x−13>3x−22−1
解：22x−1>33x−2−6第一步
4x−2>9x−6−6第二步
4x−9x>−6−6+2第三步
−5x>−10第四步
x>2第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
易错点总结：
知识点二 解一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
① 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：
一元一次方程
一元一次不等式
解法的依据
方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变
方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况
一元一次方程只有一个解
一元一次不等式可以有无数多个解
[备注]去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘。
考查题型二 求一元一次不等式解集
题型2（2022·辽宁大连·中考真题）不等式4x<3x+2的解集是（ ）
A．x>−2 B．x<−2 C．x>2 D．x<2
题型2-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）若关于x的方程x2−x−m=0有实数根，则实数m的取值的范围是（ ）
A．m<14 B．m≤14 C．m≥−14 D．m>−14
题型2-2．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8
题型2-3．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的分式方程：2−1−2kx−2=12−x的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k<2 B．k<2且k≠0
C．k>−1 D．k>−1且k≠0
题型2-4．（2022·贵州遵义·中考真题）关于x的一元一次不等式x−3≥0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．C． D．
题型2-5．（2022·北京·中考真题）若x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
题型2-6．（2022·安徽·中考真题）不等式x−32≥1的解集为________．
题型2-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）解不等式：12(x−3)<13−2x ．
题型2-8．（2022·河北·中考真题）整式313−m的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值
易错点总结：
考查题型三 在数轴上表示不等式的解集
题型3．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
题型3-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式12x−1≤7−32x的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
题型3-2．（2022·江苏连云港·中考真题）解不等式2x﹣1＞3x−12，并把它的解集在数轴上表示出来．
题型3-3．（2022·湖北宜昌·中考真题）解不等式x−13≥x−32+1，并在数轴上表示解集．
易错点总结：
考查题型四 用一元一次不等式解决实际问题
题型4．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R(Ω)，下列说法正确的是（ ）
A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω
题型4-1．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
题型4-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
题型4-3．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
题型4-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
题型4-5．（2022·广西玉林·中考真题）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
(1)求两次购买龙眼各是多少吨？
(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
题型4-6 （2022·湖南邵阳·中考真题）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
知识点三 解一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。
不等式组解集的确定方法（a）b）：
不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈：
[注意]
1）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的。
2）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
解一元一次不等式组的一般步骤：
1） 求出不等式组中各不等式的解集。
2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来。
3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
考查题型五 解一元一次不等式组
题型5．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组3x−2＜2（x+1），x−12＞1的解集是（ ）A．x＜3 B．无解 C．2＜x＜4 D．3＜x＜4
题型5-1．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ）
A．x<1x<−1 B．x<1x>−1 C．x>1x<−1 D．x>1x>−1
题型5-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）不等式组−x−1≤20.5x−1<0.5的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型5-3．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型5-4．（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组x−a>0,7−2x>5仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2
C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2
题型5-5．（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A．−12−12 C．m<0 D．m<−12
题型5-6．（2022·湖南邵阳·中考真题）关于x的不等式组−13x>23−x12x−1<12(a−2)有且只有三个整数解，则a的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型5-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x−1=0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x<0的关联方程，则n的取值范围是 ___________．
题型5-8．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是__________．
题型5-9．（2022·江苏淮安·中考真题）解不等式组：2x−1≥−43x−62
题型5-10．（2022·山东枣庄·中考真题）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③43x+3≥1﹣23x．
题型5-11．（2022·四川乐山·中考真题）解不等式组5x+1>3x−1①2x−1≤x+2②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以原不等式组解集为______．
易错点总结：
考查题型六 由一元一次不等式解集求参数
题型6．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x<2，则a的取值范围是________．
题型6-1．（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3<2−x无解，则1m的取值范围是_________．
题型6-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是______________．
题型6-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组{3x−6>0x>m的解集为x>2，则m的取值范围为_______．
题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组x+y=3①x−y=1②的解满足2kx−3y<5，求k的取值范围．
易错点总结：
知识点四 一元一次不等式（组）的实际应用
一元一次不等式(组)的实际应用：分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式(组)，解不等式(组)，作答。
基本过程：这一过程可简单表述为：问题不等式(组)解答。
中考出现一元一次不等式(组)试题类型总结：
1）类型一：一元一次不等式的解集问题；
2）类型二：一元一次不等式组无解的情况；
3）类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围；
4）类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围；
5）类型五：一元一次不等式组有整数解求范围；
6）类型六：一元一次不等式(组)应用题。
考查题型七 用一元一次不等式组解决实际问题
题型7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
题型7-1．（2022·四川绵阳·中考真题）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
题型7-2．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
题型7-3．（2022·四川内江·中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
题型7-4．（2022·黑龙江·中考真题）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
题型7-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
题型7-6．（2022·湖北荆州·中考真题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
[知识要点]
知识点一 不等式的有关概念和性质
不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫作不等式。
[注意]
1）方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。
2）常用的不等号有：“≠”（不等于），“>”（大于），“≥”（大于或等于），“<”（小于），“≤”（小于或等于）五种。
3）在不等式a>b或a
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。
不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。
解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
数轴表示不等式的解集：不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
[易错点]用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
不等式的性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或ac>bc）
基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则ac
基本性质6：如果，，那么.
[注意]
1）不等式变形时，要注意性质2和3的区别，需先判断要乘（或除以）的数的正负，若负注意不等号方向发生改变。
2）不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
不等式性质与等式性质的相同和不同点：
相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子。
不同点：
1）对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立。
2）对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变。
[总结]
等式的性质
不等式的性质
对称性：若a=b，则b=a
反对称性：若a>b，则b
传递性：若a>b，b>c，则a>c
性质1：若a=b，则a±c=b±c
性质1：若a>b，则a±c>b±c
性质2：若a=b，c≠0，
则ac=bc，
性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，
性质3：若a>b，c<0，则ac
考查题型一 不等式的性质
题型1．（2022年内蒙古包头市中考数学真题）若m>n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m−2−12n
C．n−m>0 D．1−2m<1−2n
[答案]D
[提示]根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
[详解]解：A、∵m＞n，∴m−2>n−2，故本选项不合题意；
B、∵m＞n，∴−12m<−12n，故本选项不合题意；
C、∵m＞n，∴m−n>0，故本选项不合题意；
D、∵m＞n，∴1−2m<1−2n，故本选项符合题意；
故选：D．
[名师点拨]本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
题型1-1．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）若a>b，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A．a+2>b+2 B．−3a>−3b C．a4
[提示]根据不等式的基本性质1来判断A和D，根据不等式的基本性质2来求解B的C．
[详解]解：A．因为a>b，不等边两边同时加上2得到a+2>b+2，故原选项正确，此项符合题意；
B．因为a>b，不等边两边同时乘-3得到−3a<−3b，故原选项错误，此项不符合题意；
C．因为a>b，不等边两边同时除以4得到a4>b4，故原选项错误，此项不符合题意；
D．因为a>b，不等边两边同时减1得到a−1>b−1，故原选项错误，此项不符合题意．
故选：A．
[名师点拨]本题主要考查了不等式的基本性质，理解不等式的基本性质是解答关键．不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变．
题型1-2．（2022年浙江省杭州市中考数学真题）已知a，b，c，d是实数，若a>b，c=d，则（ ）
A．a+c>b+d B．a+b>c+d C．a+c>b−d D．a+b>c−d
[答案]A
[提示]根据不等式的基本性质可判定A正确，举例能判定B、C、D错误．
[详解]解：A、∵a>b， c=d，∴a+c>b+d．故此选项符合题意；
B、∵a>b， c=d，如a=-2,b=-3,c=d=1，则a+b=-5，c+d=2，∴a+b
[名师点拨]本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
[答案]A
[提示]根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次提示即可得到答案．
[详解]解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴1
∴C选项的结论不成立；
∵a
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
[名师点拨]本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识．
题型1-4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1a______1b．（填“>”、“=”或“<”）
[答案]>
[提示]由图可得：1
故答案为：>．
[名师点拨]本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
题型1-5．（2021·山西·中考真题）（1）计算：−14×−8+−23×122．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
2x−13>3x−22−1
解：22x−1>33x−2−6第一步
4x−2>9x−6−6第二步
4x−9x>−6−6+2第三步
−5x>−10第四步
x>2第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
[答案]（1）6；（2）任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二：x<2
[提示]（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）根据不等式的性质3判断并计算即可．
[详解]（1）解：原式=1×8+(−8)×14
=8+−2=6．
（2）①乘法分配律（或分配律）
②五 不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；
任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：x<2．
[名师点拨]本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键．
知识点二 解一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
② 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：
一元一次方程
一元一次不等式
解法的依据
方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变
方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况
一元一次方程只有一个解
一元一次不等式可以有无数多个解
[备注]去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘。
考查题型二 求一元一次不等式解集
题型2（2022·辽宁大连·中考真题）不等式4x<3x+2的解集是（ ）
A．x>−2 B．x<−2 C．x>2 D．x<2
[答案]D
[提示]移项再合并同类项即可把未知数的系数化“1”，从而可得答案．
[详解]解：4x<3x+2，
移项，合并同类项得：x<2,
故选D
[名师点拨]本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键．
题型2-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）若关于x的方程x2−x−m=0有实数根，则实数m的取值的范围是（ ）
A．m<14 B．m≤14 C．m≥−14 D．m>−14
[答案]C
[提示]根据一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，列不等式求解即可．
[详解]解析：∵关于x的方程x2−x−m=0有实数根，
∴Δ=(−1)2−4(−m)=1+4m≥0，
解得m≥−14，
故选C．
[名师点拨]此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解答此题的关键．
题型2-2．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8
[答案]A
[提示]由两式相减，得到x+y=k−3，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
[详解]解：把两个方程相减，可得x+y=k−3，
根据题意得：k−3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
[名师点拨]本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
题型2-3．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的分式方程：2−1−2kx−2=12−x的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k<2 B．k<2且k≠0
C．k>−1 D．k>−1且k≠0
[答案]B
[提示]先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．
[详解]解：∵2−1−2kx−2=12−x，
∴2x−2−1+2k=−1，
解得：x=2−k，
∵解为正数，
∴2−k>0，
∴k＜2，
∵分母不能为0，
∴x≠2，
∴2−k≠2，解得k≠0，
综上所述：k＜2且k≠0，
故选：B．
[名师点拨]本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．
题型2-4．（2022·贵州遵义·中考真题）关于x的一元一次不等式x−3≥0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．C． D．
[答案]B
[提示]解出一元一次不等式的解集，然后选出正确结果．
[详解]解：x-3≥0，
解得：x≥3．
在数轴上表示如图所示：
．
故选：B．
[名师点拨]此题主要考查了解一元一次不等式和在数轴上表示解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含等于为实心点，不含等于为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
题型2-5．（2022·北京·中考真题）若x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
[答案]x≥8
[提示]根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
[详解]解：由题意得：
x-8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
[名师点拨]本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式a(a≥0)是解题的关键．
题型2-6．（2022·安徽·中考真题）不等式x−32≥1的解集为________．
[答案]x≥5
[提示]根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
[详解]解：x−32≥1
去分母，得x-3≥2，
移项，得x≥2+3，
合并同类项，系数化1，得，x≥5，
故答案为：x≥5．
[名师点拨]本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解一元一次不等式的方法步骤．
题型2-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）解不等式：12(x−3)<13−2x ．
[答案]x<1115
[提示]按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
[详解]解：12(x−3)<13−2x
去分母，得3(x−3)<2−12x，
去括号，得3x−9<2−12x，
移项、合并同类项，得15x<11．
化系数为1，得x<1115．
[名师点拨]此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
题型2-8．（2022·河北·中考真题）整式313−m的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
[答案](1)−5
(2)−2,−1
[提示]（1）将m＝2代入代数式求解即可，
（2）根据题意P≤7，根据不等式，然后求不等式的负整数解．
（1）
解：∵P=313−m
当m=2时，P=3×13−2
=3×−53
=−5；
（2）
∵ P=313−m，由数轴可知P≤7，
即313−m≤7，
∴13−m≤73，
解得m≥−2，
∴ m的负整数值为−2,−1．
[名师点拨]本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．
考查题型三 在数轴上表示不等式的解集
题型3．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
[答案]B
[提示]根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，求出不等式的解集，然后进行判断即可．
[详解]解：由题意知，x−2≥0，
解得x≥2，
∴解集在数轴上表示如图，
故选B．
[名师点拨]本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件．
题型3-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式12x−1≤7−32x的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．C． D．
[答案]C
[提示]先求得不等式的解集为x≤4，根据等号判定圆圈为实心，选择即可．
[详解]∵不等式12x−1≤7−32x的解集为x≤4，
∴数轴表示为：
，
故选C．
[名师点拨]本题考查了不等式的解法和数轴表示，熟练掌握解不等式是解题的关键．
题型3-2．（2022·江苏连云港·中考真题）解不等式2x﹣1＞3x−12，并把它的解集在数轴上表示出来．
[答案]不等式的解集为x＞1，在数轴上表示见解析.
[详解]试题提示：根据不等式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．
试题解析：
去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，
合并同类项，得：x＞1，
将不等式解集表示在数轴上如图：
题型3-3．（2022·湖北宜昌·中考真题）解不等式x−13≥x−32+1，并在数轴上表示解集．
[答案]x≤1，在数轴上表示解集见解析
[提示]通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得x≤1，在数轴上表示解集即可．
[详解]解：x−13≥x−32+1
去分母，得2x−1≥3x−3+6，
去括号，得2x−2≥3x−9+6，
移项，合并同类项得−x≥−1，
系数化为1，得x≤1，
在数轴上表示解集如图：
[名师点拨]本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确的解一元一次不等式，解集为“≤”时要用实心点表示．
考查题型四 用一元一次不等式解决实际问题
题型4．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R(Ω)，下列说法正确的是（ ）
A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω
[答案]A
[提示]根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可．
[详解]解：由题意，得
0.11R≥220，
解得R≥2000．
故选：A．
[名师点拨]本题结合物理知识，列不等式进而求解，解决问题的关键是理解题意，列出不等式．
题型4-1．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
[答案]32
[提示]设该商品最多可降价x元，列不等式320−240−x240≥20%，求解即可；
[详解]解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，320−240−x240≥20%，
解得：x≤32；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
[名师点拨]本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
题型4-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
[答案](1)这个月生产A产品30件，B产品70件
(2)140件
[详解]
（1）解：设生产A产品x件，B产品y件，
根据题意，得100x+75y=8250,(120−100)x+(100−75)y=2350
解得x=30y=70，
∴这个月生产A产品30件，B产品70件，
答：这个月生产A产品30件，B产品70件；
（2）解：设B产品生产m件，则A产品生产180−m件，
根据题意，得(100−75)m+(120−100)(180−m)≥4300，
解这个不等式，得m≥140．
∴B产品至少生产140件，
答：B产品至少生产140件．
[名师点拨]本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，能根据题意列出方程组和不等式是解此题的关键．
题型4-3．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
[答案](1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆
(2)①w=50t+22500；②t＝4时，w最小＝22 700元
[提示]（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意列一元一次方程即可求解；
（2）①根据表格信息列出w与t之间的函数解析式；
②根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得t的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可．
（1）
（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意，得
16x＋12（24－x）＝328．
解得x＝10．
∴24－x＝24－10＝14．
答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆．
（2）
①w=1200t+1000(12−t)+900(10−t)+750[14−(12−t)]=50t+22500．
②∵16t+12(12−t)⩾160
∴t⩾4
∵50>0，
∴w随t的减小而减小．
∴当t＝4时，w最小＝50×4＋22500＝22700（元）．
[名师点拨]本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键．
题型4-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
[答案](1)每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元
(2)该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料
[提示]（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，根据题意，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可；
（2）设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，则可以购买(200−a)盒B种型号的颜料，根据总费用不超过3920元，列出不等式求解即可．
（1）解：设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元．
根据题意得x+2y=562x+y=64，
解得{x=24y=16
∴每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元．
（2）解：设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，
根据题意得24a+16(200−a)≤3920
解得a≤90
∴该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．
[名师点拨]本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是（1）根据题意找出对应关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系正确列出一元一次不等式．
题型4-5．（2022·广西玉林·中考真题）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
(1)求两次购买龙眼各是多少吨？
(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
[答案](1)第一次购买了7吨龙眼，第二次购买了14吨龙眼
(2)至少要把15吨龙眼加工成桂圆肉
[提示]（1）设第一次购买龙眼x吨，第二次购买龙眼y吨，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设将a吨龙眼加工成桂圆肉，则（21-a）吨龙眼加工成龙眼干，则总的销售额为：31.5+0.5a，则根据题意有不等式31.5+0.5a≥39，解该不等式即可求解．
（1）
设第一次购买龙眼x吨，第二次购买龙眼y吨，
根据题意有：
x+y=210.4x+0.3y=7，解得：x=7y=14，
即第一次购买龙眼7吨，第二次购买龙眼14吨；
（2）
设将a吨龙眼加工成桂圆肉，则（21-a）吨龙眼加工成龙眼干，
则总的销售额为：a×0.2×10+(21−a)×0.5×3=31.5+0.5a，
则根据题意有：31.5+0.5a≥39，
解得：a≥15，
即至少要把15吨龙眼加工成桂圆肉．
[名师点拨]本题考查了二元一次方程组即一元一次不等式的应用，明确题意列出二元一次方程组即一元一次不等式是解答本题的关键．
题型4-6 （2022·湖南邵阳·中考真题）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
[答案](1)购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
(2)购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
[提示]（1）设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，利用总价=单价×数量，结合购买“冰墩墩”摆件和“冰墩墩”挂件共180个且共花费11400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，利用总价=单价×数量，结合至少盈利2900元，即可得出关于m的不等式，解之即可得出结论．
[详解]（1）解：设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，
依题意得：x+y=18080x+50y=11400，
解得：x=80y=100，
答：购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
（2）解：设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，
依题意得：（100-80）（180-m）+（60-50）m≥2900，
解得：m≤70，
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
[名师点拨]本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
知识点三 解一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。
不等式组解集的确定方法（a）b）：
不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈：
[注意]
1）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的。
2）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
解一元一次不等式组的一般步骤：
4） 求出不等式组中各不等式的解集。
5） 将各不等式的解决在数轴上表示出来。
6） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
考查题型五 解一元一次不等式组
题型5．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组3x−2＜2（x+1），x−12＞1的解集是（ ）
A．x＜3 B．无解 C．2＜x＜4 D．3＜x＜4
[答案]D
[提示]分别解两个不等式得到，然后根据大小小大取中间确定不等式组的解集．
[详解]解：解不等式3x−2<2x+1，解得x<4，
解不等式x−12>1，解得x>3，
∴不等数组的解集为3
[名师点拨]本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
题型5-1．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ）
A．x<1x<−1 B．x<1x>−1 C．x>1x<−1 D．x>1x>−1
[答案]D
[提示]先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．
[详解]解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故选项A不符合题意；
B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故选项B不符合题意；
C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故选项C不符合题意；
D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故选项D符合题意．
故选：D．
[名师点拨]本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．
题型5-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）不等式组−x−1≤20.5x−1<0.5的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[答案]A
[提示]分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
[详解]解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，
由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
故选：A．
[名师点拨]本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
题型5-3．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案]B
[提示]本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．
[详解]解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得，2a>6−2a6−2a>0，
解得32＜a＜3，
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集，
∴a只能取2．
故选：B．
[名师点拨]本题考查了三角形三边之间的关系、解不等式组，解题的关键是把把三棱柱的问题转化为三角形三边的问题．
题型5-4．（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组x−a>0,7−2x>5仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2
C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2
[答案]D
[提示]先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可解答．
[详解]解：x−a>0①7−2x>5②
由①得，x>a
由②得，x<1
因不等式组有3个整数解
∴a
∴−3≤a<−2
故选：D．
[名师点拨]本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，掌握相关知识是解题关键．
题型5-5．（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A．−12−12 C．m<0 D．m<−12
[答案]D
[提示]根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解．
[详解]解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内，
∴m<0①1+2m<0②，
解不等式①得：m<0，
解不等式②得：m<−12，
∴不等式组的解集为：m<−12，
故选D．
[名师点拨]本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
题型5-6．（2022·湖南邵阳·中考真题）关于x的不等式组−13x>23−x12x−1<12(a−2)有且只有三个整数解，则a的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
[答案]C
[提示]分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为1
−13x+x>23，
∴23x>23，
∴x>1，
解不等式12x−1<12(a−2)，
得12x<12(a−2)+1，
∴x
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，
∴4
故选：C．
[名师点拨]本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识．
题型5-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x−1=0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x<0的关联方程，则n的取值范围是 ___________．
[答案]1≤n<3
[提示]解一元一次方程得出方程的解x=3，代入不等式组可得答案．
[详解]解：解方程13x−1=0得x=3，
∵x=3为不等式组x−2≤n2n−2x<0的解，
∴1≤n2n−6≤0，解得1≤n<3，
即n的取值范围为：1≤n<3，
故答案为：1≤n<3．
[名师点拨]本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式组、一元一次方程的能力．
题型5-8．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是__________．
[答案]a<1且a≠0
[提示]把a看作常数，去分母得到一元一次方程，求出x的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为0列不等式并求解即可．
[详解]解：由1x+1x+1=x+ax(x+1)得x=a−1，
∵关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，
∴ x<0x≠0x≠−1，即a−1<0a−1≠0a−1≠−1，解得a<1a≠1a≠0，即a<1且a≠0，
故答案为：a<1且a≠0．
[名师点拨]本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
题型5-9．（2022·江苏淮安·中考真题）解不等式组：2x−1≥−43x−62
[提示]分别求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再求出不等式组的正整数解即可．
[详解]解：解不等式2x−1≥−4得x≥−1．
解不等式3x−62
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
[名师点拨]本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集是解题的关键．
题型5-10．（2022·山东枣庄·中考真题）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③43x+3≥1﹣23x．
[答案]见解析
[提示]选出两个不等式，组成不等式组，解不等式组并把解集表示在数轴上即可．
[详解]解：（1）若选择①、②：
2x−1<7①5x−2>3(x+1)② ，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x＞52，
∴不等式组的解集：52＜x＜4，
把解集表示在数轴上如下：
（2）若选择①、③：
2x−1<7①43x+3≥1−23x② ，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜4，
把解集表示在数轴上如下：
（3）若选择②、③：
5x−2>3(x+1)①43x+3≥1−23x② ，
解不等式①得：x＞52，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集是x＞52，
把解集表示在数轴上如下：
[名师点拨]此题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
题型5-11．（2022·四川乐山·中考真题）解不等式组5x+1>3x−1①2x−1≤x+2②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以原不等式组解集为______．
[答案]x>−2；x≤3；见详解；−2
[详解]解：解不等式①，得x>−2，
解不等式②，得x≤3，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
所以原不等式组解集为：−2
考查题型六 由一元一次不等式解集求参数
题型6．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x<2，则a的取值范围是________．
[答案]a≥2
[提示]先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
[详解]解：2x−1＜3①x−a<0②，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＜a，
∵关于x的不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x＜2，
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
[名师点拨]本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
题型6-1．（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3<2−x无解，则1m的取值范围是_________．
[答案]0<1m≤15
[提示]分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
[详解]解∶ 2x+3≥x+m①2x+53−3<2−x②，
解不等式①得：x≥m−3，
解不等式②得：x<2，
∵不等式组无解，
∴m−3≥2，解得：m≥5，
∴0<1m≤15．
故答案为：0<1m≤15
[名师点拨]本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
题型6-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是______________．
[答案]m >0且m≠1
[提示]先解分式方程得到解为x=m+1，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
[详解]解：方程两边同时乘以x+2x−2得到：x+2+2(x−2)=x+2m，
整理得到：x=m+1，
∵分式方程的解大于1，
∴m+1>1，解得：m>0，
又分式方程的分母不为0，
∴m+1≠2且m+1≠−2，解得：m≠1且m≠−3，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
[名师点拨]本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
题型6-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组{3x−6>0x>m的解集为x>2，则m的取值范围为_______．
[答案]m≤2
[提示]先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m范围即可．
[详解]解：{3x−6>0①x>m②，
解①得：x>2，
又因为不等式组的解集为x>2
∵x>m，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
[名师点拨]本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．
题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组x+y=3①x−y=1②的解满足2kx−3y<5，求k的取值范围．
[答案]k<2
[提示]先求出二元一次方程组的解，代入2kx−3y<5中即可求k；
[详解]解：令①+②得，2x=4，
解得：x=2，
将x=2代入①中得，2+y=3，
解得：y=1，
将x=2，y=1代入2kx−3y<5得，4k−3<5，
解得：k<2．
[名师点拨]本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，掌握相关运算法则和方法是解本题的关键．
知识点四 一元一次不等式（组）的实际应用
一元一次不等式(组)的实际应用：分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式(组)，解不等式(组)，作答。
基本过程：这一过程可简单表述为：问题不等式(组)解答。
中考出现一元一次不等式(组)试题类型总结：
1）类型一：一元一次不等式的解集问题；
2）类型二：一元一次不等式组无解的情况；
3）类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围；
4）类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围；
5）类型五：一元一次不等式组有整数解求范围；
6）类型六：一元一次不等式(组)应用题。
考查题型七 用一元一次不等式组解决实际问题
题型7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
[答案](1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元
(2)共有6种进货方案
(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元
[提示]（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
（1）
设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元
根据题意，得10a+5b=10005a+3b=550 解得a=50b=100
∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.
（2）
设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
根据题意，得50x+100y=10000
变形得y=100−12x
由题意得：x≥6100−12x①100−12x≥20②
由①得：x⩾150
由②得：x⩽160
∴150⩽x⩽160
∵x，y均为正整数
∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160
与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20
∴共有6种进货方案.
（3）
设总利润为W元
则W=20x+30y=5x+3000
∵5>0
∴W随x的增大而增大
∴当x=160时，W有最大值：5×160+3000=3800（元）
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
[名师点拨]本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．
题型7-1．（2022·四川绵阳·中考真题）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
[答案](1)500元；
(2)方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
[提示]（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润=每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；
（2）设购进菠萝mkg，则购进苹果1700−5m6kg，根据“菠梦的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，1700−5m6均为正整数，即可得出各进货方案．
（1）
解：设第一天，该经营户批发菠萝xkg，苹果ykg，根据题意得：
x+y=3005x+6y=1700，
解得：x=100y=200，
∴(6−5)x+(8−6)y=(6−5)×100+(8−6)×200=500元，
答：这两种水果获得的总利润为500元；
（2）
解：设购进菠萝mkg，则购进苹果1700−5m6kg，根据题意：
m≥88(6−5)m+(8−6)×1700−5m6>500，解得：88≤m<100，
∵m，1700−5m6均为正整数，
∴m取88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
[名师点拨]本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
题型7-2．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
[答案](1)去年每吨土豆的平均价格是2200元
(2)应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元
[提示]（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+200）元，第二次采购的平均价格为（x-200）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的土豆枣数，根据所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．
（1）
设去年每吨土豆的平均价格是x元，
由题意得，300000x+200×2=500000x−200 ，
解得：x=2200，
经检验：x=2200是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；
（2）
由（1）得，今年的土豆数为：3000002400×3=375(吨)，
设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375－m）吨加工成淀粉，
由题意得，{m≥23(375−m)m5+375−m8≤60，
解得：150≤m≤175，
总利润为：700m+400(375−m)=300m+150000，
当m=175时，利润最大，最大利润为：300×175+150000=202500（元）．
答：应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元．
[名师点拨]此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
题型7-3．（2022·四川内江·中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
[答案](1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人
(2)一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆
(3)学校租车总费用最少是2800元．
[提示]（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程；
（2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可；
（3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用．
（1）
设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）
师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
[名师点拨]本题考查一元一次方程的实际应用、利用一次函数解决最小利润问题，解决问题的关键是根据题意得到相等关系或不相等关系列出方程、不等式组以及函数解析式解决问题．
题型7-4．（2022·黑龙江·中考真题）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
[答案](1)购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元
(2)有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根
(3)方案三需要费用最少，最少费用是550元
[提示]（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，可列方程组10x+5y=17515x+10y=300，解方程组即可求得结果；
（2）根据题意可列出不等式组10m+1545−m≤56010m+1545−m≥548，解不等式组得到解集再结合m为正整数即可确定方案；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得w=−5m+675，结合函数的性质，可知w随m的增大而减小，由此即可求得答案．
（1）
解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得10x+5y=17515x+10y=300，
解得x=10y=15，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
（2）
根据题意，得10m+1545−m≤56010m+1545−m≥548，
解得23≤m≤25.4，
∵m为整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
（3）
设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得w=10m+1545−m=−5m+675
∵−5<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=25时，w有最小值，即w=−5×25+675=550（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．
[名师点拨]本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．
题型7-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
[答案](1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)①w=−0.8m+60；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
[提示]（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；
（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为30−m台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得90m+10030−m≥2830−0.8m+60≤48，然后可得15≤m≤17，进而根据一次函数的性质可进行求解．
[详解]（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：
540x=600x+10，
解得：x=90；
经检验：x=90是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
（2）解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为30−m台，
∴w=1.2m+230−m=−0.8m+60；
②由题意得：90m+10030−m≥2830−0.8m+60≤48，
解得：15≤m≤17，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为w=−0.8×17+60=46.4，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
[名师点拨]本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．
题型7-6．（2022·湖北荆州·中考真题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
[答案](1)w=−x2+32x−252
(2)①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为61万元．
[提示]（1）由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答案；
（2）①把w=4代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案．
（1）
解：由题意得：
w=(x−8)y−60
=(x−8)(24−x)−60
=−x2+32x−252,
（2）
①由（1）得：当w=4时，
则−x2+32x−252=4,即x2−32x+256=0,
解得：x1=x2=16,
即第一年的售价为每件16元，
②∵ 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，
∴{x≤1624−x≤13, 解得：11≤x≤16,
∵ 其他成本下降2元/件，
∴w=(x−6)(24−x)−4=−x2+30x−148,
∵ 对称轴为x=−302×(−1)=15, a=−1<0,
∴ 当x=15时，利润最高，为77万元，而11≤x≤16,
当x=11时，w=5×13−4=61（万元）
当x=16时，w=10×8−4=76 （万元）
∴61≤w≤77,
所以第二年的最低利润为61万元．
[名师点拨]本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系式，再利用二次函数的性质解题是关键．
一元一次方程
[知识要点]
知识点一 一元一次方程的基础
等式的概念：用等号表示相等关系的式子。
[注意]
1）等式可以是数字算式， 可以是公式、方程， 也可以是运算律、运算法则等。
2）等式与代数式的区别：等式含有等号， 表示两个式子相等关系， 而代数式不含等号， 只能作为等式的一边。
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
[特征]它含有未知数， 同时又是—个等式。
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）， 且未知数的次数都是1（次）， 这样的的整式方程叫一元一次方程。
一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数， a、b是常数且a≠0）
方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。
知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础）
等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子）， 结果仍相等。
表示为：如果a=b， 则a±c=b±c
等式的性质2：等式两边乘同一个数， 或除以同一个不为零的数， 结果仍相等。
表示为：如果 a=b， 那么ac = bc
如果 a=b(c≠0)， 那么 ac = bc
[注意事项]
1．等式两边都要参加运算， 并且是同一种运算。
2．等式两边加或减,乘或除的数一定是同一个数或同一个式子。
3．等式两边不能都除以0， 即0不能作除数或分母。
4. 等式左右两边互换， 所得结果仍是等式。
考查题型一 等式的性质
题型１．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中， 导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U， 导体的电阻R之间有以下关系：去分母得， 那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
题型１－１．（2022·青海·中考真题）下列说法中， 正确的是（ ）
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
题型１－２．（2021·安徽·中考真题）设a， b， c为互不相等的实数， 且， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型１－３．（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3， 则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
题型１－４．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨， 则推理结果可能产生错误．
例如， 有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”， 并证明如下：
设任意一个实数为x， 令，
等式两边都乘以x， 得．①
等式两边都减， 得．②
等式两边分别分解因式， 得．③
等式两边都除以， 得．④
等式两边都减m， 得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中， 开始出现错误的那一步对应的序号是______．
易错点总结：
知识点三 解一元一次方程
合并同类项：把若干能合并的式子的系数相加， 且字母和字母的指数不变， 起到化简的作用。
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边。（依据：等式的性质1）
去括号：括号前负号时， 去掉括号时里面各项应变号。
去分母：在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。
[去分母易错点]1）去分母时不含分母的项也需要乘分母的最小公倍数。
2）当分母中含有小数时， 先将小数化成整数。
例：尝试通过计算加深理解：0.2x−0.10.6−0.5x+0.10.4=1
解一元一次方程的基本步骤：
考查题型二 解一元一次方程
题型２．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6， 得①
去括号， 得②
移项， 得③
合并同类项， 得④
以上解题步骤中， 开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
题型２－１．（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
题型２－２．（2021·浙江温州·中考真题）解方程， 以下去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型２－３．（2022·浙江金华·中考真题）若分式的值为2， 则x的值是_______．
题型２－４．（2021·重庆·中考真题）若关于x的方程的解是， 则a的值为__________．
题型２－５．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时， 发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是， 请计算．
(2)如果计算结果等于6， 求被污染的数字．
题型２－６．（2021·四川广元·中考真题）解方程：．
易错点总结：
知识点四 实际问题与一元一次方程
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系， 以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
常见利用方程解决实际问题等量关系：
销售中盈亏问题：
1）成本价：俗称进价， 是商家进货时的价格；
2）标价：商家出售时标注的价格；
3）打折：打折就是以标价为基础， 按一定比例降价出售。如：打9折， 就是按标价的90℅出售。
4）利润=售价－进价， 利润>0时盈利， 利润<0时亏损。
5）利润率=利润成本×100%=售价−成本成本×100%。
顺逆流问题：
船在顺水中的速度= 船在静水中的速度 + 水流速度
船在逆水中的速度= 船在静水中的速度 - 水流速度
船顺水的行程 = 船逆水的行程
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
数字问题：
一个两位数， 十位数字是a， 个位数字是b， 那么这个数可表示为10a+b
一个三位数， 百位数字是x, 十位数字是y， 个位数字是z， 那么这个数可表示为100x+10y+z
工程、效率问题：
工程问题中要善于把握什么是总工作量， 总工作量可以看成“1”；
工程问题中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量“1”。
工作量=工作时间×工作效率
球赛积分问题：
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
行程问题：
路程=速度*时间
相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离
追及问题：快者的行程-慢者的行程=初始距离
钟表问题：
整个钟面为360度， 上面有12个大格， 每个大格为30度；60个小格， 每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格， 每分钟走6度
时针速度：每分钟走小格， 每分钟走0.5度
考查题型三 工程问题
题型３ （2022·重庆·中考真题）为保障蔬菜基地种植用水， 需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米， 甲施工队施工5天后， 增加施工人员， 每天比原来多修建20米， 再施工2天完成任务， 求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大， 现还需修建另一条灌溉水渠1800米， 为早日完成任务， 决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠， 直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后， 通过技术更新， 每天比原来多修建20%， 灌溉水渠完工时， 两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？(1)
题型３－１．（2021·广西桂林·中考真题）为了美化环境， 建设生态桂林， 某社区需要进行绿化改造， 现有甲、乙两个绿化工程队可供选择， 已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米， 甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米， 甲队每天的施工费用为600元， 乙队每天的施工费用为400元， 比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？
题型３－２．（2021·山东泰安·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径， 针对疫苗急需问题， 某制药厂紧急批量生产， 计划每天生产疫苗16万剂， 但受某些因素影响， 有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情， 回厂的工人加班生产， 由原来每天工作8小时增加到10小时， 每人每小时完成的工作量不变， 这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后， 未到的工人同时到岗加入生产， 每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务， 问该厂共需要多少天才能完成任务？
题型３－３．（2021·四川成都·中考真题）为改善城市人居环境， 《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨， 刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行， 垃圾分类要求提高， 现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾， 同时由于市民环保意识增强， 该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个， 试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
易错点总结：
考查题型四 销售盈亏问题
题型４ （2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材， 实现企业绿色低碳发展， 通过技术改造升级， 使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3， 4月份共生产再生纸800吨， 其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元， 5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加， 则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元， 4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同， 6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
易错点总结：
题型４－１．（2022·四川南充·中考真题）南充市被誉为中国绸都， 本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品， 它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
(1)求真丝衬衣进价a的值．
(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件， 据市场销售分析， 真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)按（2）中最大利润方案进货与销售， 在实际销售过程中， 当真丝围巾销量达到一半时， 为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%， 衬衣售价不变， 余下围巾降价销售， 每件最多降价多少元？
题型４－２．（2022·四川资阳·中考真题）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱， 人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”， 已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元， 购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个， 求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
易错点总结：
考查题型五 比赛积分问题
题型５．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识， 某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛， 抢答题一共20个， 记分规则如下：每答对一个得5分， 每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分， 则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
考查题型六 数字问题
题型６．（2021·吉林·中考真题）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数， 它的三分之二， 它的一半， 它的七分之一， 它的全部， 加起来总共是33， 若设这个数是， 则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型６－１．（2021·山东枣庄·中考真题）幻方是古老的数学问题， 我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中， 要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15， 则的值为______．
考查题型七 几何问题
题型７．（2022·四川自贡·中考真题）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°， 则这个底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
题型７－１．（2021·广东广州·中考真题）如图， 在数轴上， 点A、B分别表示a、b， 且， 若， 则点A表示的数为（ ）
A． B．0 C．3 D．
考查题型八 和差倍分问题
题型８．（2022·山东东营·中考真题）植树节当天， 七年级1班植树300棵， 正好占这批树苗总数的， 七年级2班植树棵数是这批树苗总数的， 则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180
题型８－１．（2022·湖南岳阳·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题， 原文如下：今有百鹿入城， 家取一鹿， 不尽， 又三家共一鹿， 适尽， 问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城， 每家取一头鹿， 没有取完， 剩下的鹿每3家共取一头， 恰好取完， 问：城中有多少户人家？在这个问题中， 城中人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
题型８－２．（2022·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕， 人出一百， 盈一百；人出九十， 适足．”其大意是：“今有人合伙买猪， 每人出100钱， 则会多出100钱；每人出90钱， 恰好合适．”若设共有x人， 根据题意， 可列方程为____________．
题型８－３．（2021·重庆·中考真题）盲盒为消费市场注入了活力， 既能够营造消费者购物过程中的趣味体验， 也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个， 搭配为A， B， C三种盲盒各一个， 其中A盒中有2个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量， 蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 2个迷你音箱．经核算， A盒的成本为145元， B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和）， 则C盒的成本为__________元．
题型８－４．（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著， 几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元， 则多了3元；若每人出7元， 则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
题型８－５．（2022·湖南娄底·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物， 具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少， 若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树， 据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
题型８－６．（2021·广西梧州·中考真题）运用方程或方程组解决实际问题：若干学生分若干支铅笔， 如果每人5支， 那么多余3支；如果每人7支， 那么缺5支．试问有多少名学生？共有多少支铅笔？
易错点总结：
考查题型九 电费水费问题
题型９．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克， 端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时， 按原价售出， 超过2千克时， 超过的部分打8折．若某人付款14元， 则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为元， 购买量为千克， 则购买量关于付款金额的函数解析式为______．
题型９－１．（2021·广西贺州·中考真题）为了提倡节约用水， 某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时， 按一级单价收费；当每户每月用水量超过时， 超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为， 缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家， 用水量为， 缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费， 二级大费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时， 用水量为多少？
易错点总结：
考查题型十 行程问题
题型１０．（2022·江苏苏州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作， 奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术， 其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步， 不善行者行六十步．今不善行者先行一百步， 善行者追之， 问几何步及之？”译文：“相同时间内， 走路快的人走100步， 走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步， 走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上， 根据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
题型１０－１．（2022·甘肃武威·中考真题）《九章算术》是中国古代的一部数学专著， 其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海， 七日至北海；雁起北海， 九日至南海．今凫雁俱起， 问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞， 7天到北海；大雁从北海起飞， 9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞， 问经过多少天相遇？设经过x天相遇， 根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
题型１０－２．（2022·辽宁营口·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一， 书中记载一道问题：“良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里， 驽马先行一十二日， 问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里， 慢马每天走150里， 慢马先走12天， 试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马， 则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型１０－３．（2022·湖南常德·中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家， 匀速行驶需要4小时， 某天， 他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨， 立即将车速减少了20千米／小时， 到达奶奶家时共用了5小时， 问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
题型１０－４．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中， 骑行运动颇受市民青睐， 甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地， 已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米， 甲才开始从地出发， 则甲出发半小时恰好追上乙， 求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟， 甲才开始从地出发， 则甲、乙恰好同时到达地， 求甲骑行的速度．
题型１０－５．（2021·广西百色·中考真题）据国际田联《田径场地设施标准手册》， 400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成， 有8条跑道， 每条跑道宽1.2米， 直道长87米；跑道的弯道是半圆形， 环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际， 建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程）， 在如图的起跑线同时出发， 经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍， 求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道， 过两人所在点的直线与跑道边线垂直时， 称两人直道相遇）
易错点总结：
考查题型十一 其它问题
题型１１．（2022·河北·中考真题）“曹冲称象”是流传很广的故事， 如图．按照他的方法：先将象牵到大船上， 并在船侧面标记水位， 再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石， 并在船上留3个搬运工， 这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石， 船上只留1个搬运工， 水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤， 设每块条形石的重量是x斤， 则正确的是（ ）
A．依题意 B．依题意
C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤
题型１１－１．（2022·四川南充·中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何．”设鸡有x只， 可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型１１－２．（2022·湖北十堰·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗， 醐洒一斗直粟三斗， 今持粟三斛， 得酒五斗， 问清跴酒各几何?”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子， 一斗䣾酒价值3斗谷子， 现在拿30斗谷子， 共换了5斗酒， 问清洒， 酳酒各几斗? 如果设清酒斗， 那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x3+30−x10=5 D．
题型１１－３．（2022·青海西宁·中考真题）在数学活动课上， 兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示， 在轻质木杆O处用一根细线悬挂， 左端A处挂一重物， 右端B处挂钩码， 每个钩码质量是50g．若OA=20cm， OB=40cm， 挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg， 根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
题型１１－４．（2021·湖南株洲·中考真题）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十， 粝米三十……”（粟指带壳的谷子， 粝米指糙米）， 其意为：“50单位的粟， 可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升）， 若按照此“粟米之法”， 则可以换得粝米为（ ）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
题型１１－５．（2022·浙江嘉兴·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图， 在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态）， 将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A， B处， 当钢梁保持水平时， 弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动， 移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍， 且钢梁保持水平， 则弹簧秤读数为_______（N）（用含n， k的代数式表示）．
题型１１－６．（2022·江苏南通·中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊， 人出五， 不足四十五；人出七， 余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊， 若每人出5钱， 还差45钱；若每人出7钱， 多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x， 则可列方程为___________．
题型１１－７．（2022·吉林长春·中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作， 其中记载：我问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店， 若每间住7人， 则余下7人无房可住；若每间住9人， 则余下一间无人住， 设店中共有x间房， 可求得x的值为________．
题型１１－８．（2021·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇， 不知人数不知竹每人六竿多十四， 每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍， 不知与多少人和竹竿每人6竿， 多14竿；每人8竿， 恰好用完”若设有牧童x人， 根据题意， 可列方程为__________．
题型１１－９．（2021·湖北湖北·中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索， 索比竿子长一托， 对折索子来量竿， 却比竿子短一托．如果1托为5尺， 那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索， 如果用绳索去量竿， 绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿， 就比竿短5尺， 则绳索长几尺．）
题型１１－１０．（2022·江苏连云港·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物， 人出八， 盈三；人出七， 不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱， 剩余3钱；每人出7钱， 还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
题型１１－１１．（2022·湖南长沙·中考真题）电影《刘三姐》中， 有这样一个场景， 罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你， 一少三多四下分， 不要双数要单数， 看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群， 每个群里， 狗的数量都是奇数， 其中一个群， 狗的数量少：另外三个群， 狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去， 九十九条看羊来， 九十九条守门口， 剩下三条给财主．”请你根据以上信息， 判断以下三种说法是否正确， 在题后相应的括号内， 正确的打“√”， 错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的， 但不是唯一正确的答案．（ ）
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（ ）
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（ ）
(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里， 每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”， 求每个群里狗的数量．
题型１１－１２．（2022·江苏镇江·中考真题）某公司专业生产某种产品， 6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单， 要求本月底完成， 7月1日按期交货．
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
经盘点目前公司已有该产品库存2855件， 补充原材料后， 从本月7日开始生产剩余数量的该产品， 已知该公司除周六、周日正常休息外， 每天的生产量相同．但因受高温天气影响， 从本月10日开始， 每天的生产量比原来减少了25件， 截止到17日生产结束， 库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品， 能否按期完成订单？请说明理由．如果不能， 请你给该公司生产部门提出一个合理的建议， 以确保能按期交货．
易错点总结：
[知识要点]
知识点一 一元一次方程的基础
等式的概念：用等号表示相等关系的式子。
[注意]
1）等式可以是数字算式， 可以是公式、方程， 也可以是运算律、运算法则等。
2）等式与代数式的区别：等式含有等号， 表示两个式子相等关系， 而代数式不含等号， 只能作为等式的一边。
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
[特征]它含有未知数， 同时又是—个等式。
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）， 且未知数的次数都是1（次）， 这样的的整式方程叫一元一次方程。
一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数， a、b是常数且a≠0）
方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。
知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础）
等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子）， 结果仍相等。
表示为：如果a=b， 则a±c=b±c
等式的性质2：等式两边乘同一个数， 或除以同一个不为零的数， 结果仍相等。
表示为：如果 a=b， 那么ac = bc
如果 a=b(c≠0)， 那么 ac = bc
[注意事项]
1．等式两边都要参加运算， 并且是同一种运算。
2．等式两边加或减,乘或除的数一定是同一个数或同一个式子。
3．等式两边不能都除以0， 即0不能作除数或分母。
4. 等式左右两边互换， 所得结果仍是等式。
考查题型一 等式的性质
题型１．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中， 导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U， 导体的电阻R之间有以下关系：去分母得， 那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
[详解]解：去分母得， 其变形的依据是等式的性质2， 故选：B．
题型１－１．（2022·青海·中考真题）下列说法中， 正确的是（ ）
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
[详解]解：A、若ac=bc， 当c≠0， 则a=b， 故此选项错误；
B、若， 则， 故此选项错误；
C、若， 则， 故此选项正确；
D、若， 则， 故此选项错误；故选：C．
题型１－２．（2021·安徽·中考真题）设a， b， c为互不相等的实数， 且， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：A．当， ， 时， ， 故A错误；
B．当， ， 时， ， 故B错误；
C．整理可得， 故C错误；
D．整理可得， 故D正确；故选：D．
题型１－３．（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3， 则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
[详解]解：由x＋a＝2， 得：x＝2-a， ∵﹣3＜a≤3， ∴﹣1≤2-a＜5， 即：﹣1≤x＜5， 故选A．
题型１－４．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨， 则推理结果可能产生错误．
例如， 有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”， 并证明如下：
设任意一个实数为x， 令，
等式两边都乘以x， 得．①
等式两边都减， 得．②
等式两边分别分解因式， 得．③
等式两边都除以， 得．④
等式两边都减m， 得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中， 开始出现错误的那一步对应的序号是______．
[详解]等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式， 等式不变，
∴第④步等式两边都除以， 得， 前提必须为， 因此错误；
故答案为：④．
知识点三 解一元一次方程
合并同类项：把若干能合并的式子的系数相加， 且字母和字母的指数不变， 起到化简的作用。
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边。（依据：等式的性质1）
去括号：括号前负号时， 去掉括号时里面各项应变号。
去分母：在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。
[去分母易错点]1）去分母时不含分母的项也需要乘分母的最小公倍数。
2）当分母中含有小数时， 先将小数化成整数。
例：尝试通过计算加深理解：0.2x−0.10.6−0.5x+0.10.4=1
解一元一次方程的基本步骤：
考查题型二 解一元一次方程
题型２．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6， 得①
去括号， 得②
移项， 得③
合并同类项， 得④
以上解题步骤中， 开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
[详解]解：方程两边同乘6， 得①∴开始出错的一步是①， 故选：A．
题型２－１．（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
[详解]解：3x＝2x＋7移项得， 3x-2x=7；合并同类项得， x＝7；故选：C．
题型２－２．（2021·浙江温州·中考真题）解方程， 以下去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：， ， 故选：D．
题型２－３．（2022·浙江金华·中考真题）若分式的值为2， 则x的值是_______．
[详解]解：由题意得：
去分母：
去括号：
移项， 合并同类项：
系数化为1：
经检验， x=4是原方程的解，
故答案为：4；
题型２－４．（2021·重庆·中考真题）若关于x的方程的解是， 则a的值为__________．
[详解]解：根据题意， 知， 解得a=3．故答案是：3．
题型２－５．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时， 发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是， 请计算．
(2)如果计算结果等于6， 求被污染的数字．
[详解]（1）解：；
（2）设被污染的数字为x，
由题意， 得， 解得，
所以被污染的数字是3．
题型２－６．（2021·四川广元·中考真题）解方程：．
[详解]解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
知识点四 实际问题与一元一次方程
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系， 以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
常见利用方程解决实际问题等量关系：
销售中盈亏问题：
1）成本价：俗称进价， 是商家进货时的价格；
2）标价：商家出售时标注的价格；
3）打折：打折就是以标价为基础， 按一定比例降价出售。如：打9折， 就是按标价的90℅出售。
4）利润=售价－进价， 利润>0时盈利， 利润<0时亏损。
5）利润率=利润成本×100%=售价−成本成本×100%。
顺逆流问题：
船在顺水中的速度= 船在静水中的速度 + 水流速度
船在逆水中的速度= 船在静水中的速度 - 水流速度
船顺水的行程 = 船逆水的行程
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
数字问题：
一个两位数， 十位数字是a， 个位数字是b， 那么这个数可表示为10a+b
一个三位数， 百位数字是x, 十位数字是y， 个位数字是z， 那么这个数可表示为100x+10y+z
工程、效率问题：
工程问题中要善于把握什么是总工作量， 总工作量可以看成“1”；
工程问题中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量“1”。
工作量=工作时间×工作效率
球赛积分问题：
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
行程问题：
路程=速度*时间
相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离
追及问题：快者的行程-慢者的行程=初始距离
钟表问题：
整个钟面为360度， 上面有12个大格， 每个大格为30度；60个小格， 每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格， 每分钟走6度
时针速度：每分钟走小格， 每分钟走0.5度
考查题型三 工程问题
题型３ （2022·重庆·中考真题）为保障蔬菜基地种植用水， 需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米， 甲施工队施工5天后， 增加施工人员， 每天比原来多修建20米， 再施工2天完成任务， 求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大， 现还需修建另一条灌溉水渠1800米， 为早日完成任务， 决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠， 直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后， 通过技术更新， 每天比原来多修建20%， 灌溉水渠完工时， 两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？(1)
解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米， 原来每天修建米，
则有
解得
∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．
(2)∵水渠总长1800米， 完工时， 两施工队修建长度相同
∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)
乙施工队技术更新后， 修建长度为900－360＝540(米)
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米， 技术更新后每天修建米， 即1.2y米， 则有
解得
经检验， 是原方程的解， 符合题意
∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
题型３－１．（2021·广西桂林·中考真题）为了美化环境， 建设生态桂林， 某社区需要进行绿化改造， 现有甲、乙两个绿化工程队可供选择， 已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米， 甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米， 甲队每天的施工费用为600元， 乙队每天的施工费用为400元， 比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？
[详解]解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米， 则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米，
依题意得：x+x+200=800
解得：x=300，
x+200=500
∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米， 乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．
（2）选择方案①甲队单独完成所需费用=（元）；
选择方案②乙队单独完成所需费用=（元）；
选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=（元）；
∴选择方案①完成施工费用最少．
题型３－２．（2021·山东泰安·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径， 针对疫苗急需问题， 某制药厂紧急批量生产， 计划每天生产疫苗16万剂， 但受某些因素影响， 有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情， 回厂的工人加班生产， 由原来每天工作8小时增加到10小时， 每人每小时完成的工作量不变， 这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后， 未到的工人同时到岗加入生产， 每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务， 问该厂共需要多少天才能完成任务？
[详解]解：（1）设当前参加生产的工人有x人，
依题意得：，
解得：，
经检验， 是原方程的解， 且符合题意．
答：当前参加生产的工人有30人．
（2）每人每小时的数量为（万剂）．
设还需要生产y天才能完成任务，
依题意得：，
解得：， （天）
答：该厂共需要39天才能完成任务．
题型３－３．（2021·四川成都·中考真题）为改善城市人居环境， 《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨， 刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行， 垃圾分类要求提高， 现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾， 同时由于市民环保意识增强， 该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个， 试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
[详解]解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x， 则A型为x+7，
由题意得：10x+12（x+7）=920，
解得：x=38，
答：每个B型点位每天处理生活垃圾为38吨数；
（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y．
由题意得（12+y）(38+7-8)+（10+5-y）（38-8）≥920-10
解得：y≥ ，
∵y为整数
∴至少需要增设3个A型点位，
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
考查题型四 销售盈亏问题
题型４ （2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材， 实现企业绿色低碳发展， 通过技术改造升级， 使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3， 4月份共生产再生纸800吨， 其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元， 5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加， 则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元， 4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同， 6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
（1）解：设3月份再生纸产量为吨， 则4月份的再生纸产量为吨，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得：，
解得：或（不合题意， 舍去）
∴，
∴的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为， 5月份再生纸的产量为吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
题型４－１．（2022·四川南充·中考真题）南充市被誉为中国绸都， 本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品， 它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
(1)求真丝衬衣进价a的值．
(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件， 据市场销售分析， 真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)按（2）中最大利润方案进货与销售， 在实际销售过程中， 当真丝围巾销量达到一半时， 为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%， 衬衣售价不变， 余下围巾降价销售， 每件最多降价多少元？
（1）解：根据表格数据可得：50a+25×80=15000， 解得：a=260；
（2）解：设真丝衬衣件数进货x件， 则真丝围巾进货(300-x)件， 根据题意可得：300-x≥2x， 解得：x≤100；设总利润为y， 根据题意可得y=(300-260)x+(100-80)(300-x)=20x+6000， ∵20>0， ∴y随x的增大而增大， 当x=100时， y最大为：20×100+6000=8000元， 此时方案为：真丝衬衣件数进货100件， 真丝围巾进货200件， 最大利润为8000元；
（3）设降价z元， 根据题意可得100×（100-80）+100×（300-260）+100×（300-260-z）≥8000×90%， 解得：z≤28， ∴每件最多降价28元．
题型４－２．（2022·四川资阳·中考真题）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱， 人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”， 已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元， 购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个， 求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
（1）设乙种型号的单价是x元， 则甲种型号的单价是元．
根据题意得：
解得：．
∴
答：甲种型号的单价是98元， 乙种型号的单价是78元．
（2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个， 则购买乙种型号的“冰墩墩”个．
根据题意， 得：
解得：
∴a最大值是30．
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
考查题型五 比赛积分问题
题型５．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识， 某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛， 抢答题一共20个， 记分规则如下：每答对一个得5分， 每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分， 则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
[详解]解：设小红答对的个数为x个， 由题意得5x−20−x=70， 解得，
故选B．
考查题型六 数字问题
题型６．（2021·吉林·中考真题）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数， 它的三分之二， 它的一半， 它的七分之一， 它的全部， 加起来总共是33， 若设这个数是， 则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：由题意可得．故选C
题型６－１．（2021·山东枣庄·中考真题）幻方是古老的数学问题， 我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中， 要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15， 则的值为______．
[详解]解：如图， 由题意， 图中①表示的数是，
图中②表示的数是，
则，
解得，
故答案为：1．
考查题型七 几何问题
题型７．（2022·四川自贡·中考真题）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°， 则这个底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
[详解]解：设这个底角的度数为x， 则顶角的度数为（2x+20°）， 根据题意得：
，
解得：，
即这个底角的度数为40°．故选：B
题型７－１．（2021·广东广州·中考真题）如图， 在数轴上， 点A、B分别表示a、b， 且， 若， 则点A表示的数为（ ）
A． B．0 C．3 D．
[详解]解：∵
∴， 两点对应的数互为相反数，
∴可设表示的数为， 则表示的数为，
∵
∴，
解得：，
∴点表示的数为-3，
故选：A．
考查题型八 和差倍分问题
题型８．（2022·山东东营·中考真题）植树节当天， 七年级1班植树300棵， 正好占这批树苗总数的， 七年级2班植树棵数是这批树苗总数的， 则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180
[详解]解：设这批树苗一共有x棵，
由题意得：，
解得，
∴七年级2班植树的棵数是棵， 故选C．
题型８－１．（2022·湖南岳阳·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题， 原文如下：今有百鹿入城， 家取一鹿， 不尽， 又三家共一鹿， 适尽， 问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城， 每家取一头鹿， 没有取完， 剩下的鹿每3家共取一头， 恰好取完， 问：城中有多少户人家？在这个问题中， 城中人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
[详解]解：设城中有户人家，
依题意得：，
解得：，
∴城中有75户人家．
故选：B．
题型８－２．（2022·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕， 人出一百， 盈一百；人出九十， 适足．”其大意是：“今有人合伙买猪， 每人出100钱， 则会多出100钱；每人出90钱， 恰好合适．”若设共有x人， 根据题意， 可列方程为____________．
[详解]依题意：.故答案为：100x-100=90x.
题型８－３．（2021·重庆·中考真题）盲盒为消费市场注入了活力， 既能够营造消费者购物过程中的趣味体验， 也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个， 搭配为A， B， C三种盲盒各一个， 其中A盒中有2个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量， 蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 2个迷你音箱．经核算， A盒的成本为145元， B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和）， 则C盒的成本为__________元．
[详解]解：根据题意， 设B盒中蓝牙耳机3a个， 迷你音箱2a个， 优盘的数量为3a+2a=5 a个， 则， 解得， a=1；
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元， 根据题意列方程组得，
②-①得， ，
③×3-①得， ，
故答案为：155．
题型８－４．（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著， 几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元， 则多了3元；若每人出7元， 则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
[详解]解：设学生人数为x人， 由题意得：
，
解得：，
∴该书的单价为（元），
答：学生人数为7人， 该书的单价为53元．
题型８－５．（2022·湖南娄底·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物， 具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少， 若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树， 据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
[详解]（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为mg， 则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为mg， 则
解得：
答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg， 40mg．
（2）50000（mg），
而2000000mg=2000g=2kg，
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．
题型８－６．（2021·广西梧州·中考真题）运用方程或方程组解决实际问题：若干学生分若干支铅笔， 如果每人5支， 那么多余3支；如果每人7支， 那么缺5支．试问有多少名学生？共有多少支铅笔？
[详解]解：设学生有x人， 由题意得5x＋3＝7x−5，
解得：x＝4，
经检验， 符合题意
则6x＋3＝23．
答：学生有4人， 铅笔23支．
考查题型九 电费水费问题
题型９．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克， 端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时， 按原价售出， 超过2千克时， 超过的部分打8折．若某人付款14元， 则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为元， 购买量为千克， 则购买量关于付款金额的函数解析式为______．
[详解]解：∵14>10，
超过2千克，
设购买了千克， 则，
解得，
设某人的付款金额为元， 购买量为千克， 则购买量关于付款金额的函数解析式为：
，
故答案为：3， ．
题型９－１．（2021·广西贺州·中考真题）为了提倡节约用水， 某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时， 按一级单价收费；当每户每月用水量超过时， 超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为， 缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家， 用水量为， 缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费， 二级大费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时， 用水量为多少？
[详解]（1）设该市一级水费的单价为元/， 二级水费的单价为元/，
依题意得， 解得，
答：该市一级水费的单价为3.2元/， 二级水费的单价为6.5元/．
（2）当水费为64.4元， 则用水量超过，
设用水量为， 得， ，
解得：．
答：当缴纳水费为64.4元时， 用水量为．
考查题型十 行程问题
题型１０．（2022·江苏苏州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作， 奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术， 其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步， 不善行者行六十步．今不善行者先行一百步， 善行者追之， 问几何步及之？”译文：“相同时间内， 走路快的人走100步， 走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步， 走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上， 根据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：令在相同时间内走路快的人走100步， 走路慢的人只走60步， 从而得到走路快的人的速度， 走路慢的人的速度，
设走路快的人要走x步才能追上， 根据题意可得，
根据题意可列出的方程是，
故选：B．
题型１０－１．（2022·甘肃武威·中考真题）《九章算术》是中国古代的一部数学专著， 其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海， 七日至北海；雁起北海， 九日至南海．今凫雁俱起， 问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞， 7天到北海；大雁从北海起飞， 9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞， 问经过多少天相遇？设经过x天相遇， 根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：设经过x天相遇，
根据题意得：x+x=1，
∴（+）x=1，
故选：A．
题型１０－２．（2022·辽宁营口·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一， 书中记载一道问题：“良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里， 驽马先行一十二日， 问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里， 慢马每天走150里， 慢马先走12天， 试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马， 则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：设快马x天可以追上慢马， 依题意， 得： 240x-150x=150×12．故选：D．
题型１０－３．（2022·湖南常德·中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家， 匀速行驶需要4小时， 某天， 他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨， 立即将车速减少了20千米／小时， 到达奶奶家时共用了5小时， 问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
[详解]解：设小强家到他奶奶家的距离是千米， 则平时每小时行驶千米， 减速后每小时行驶千米， 由题可知：遇到暴雨前用时2小时， 遇到暴雨后用时5-2=3小时，
则可得：，
解得：，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
题型１０－４．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中， 骑行运动颇受市民青睐， 甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地， 已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米， 甲才开始从地出发， 则甲出发半小时恰好追上乙， 求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟， 甲才开始从地出发， 则甲、乙恰好同时到达地， 求甲骑行的速度．
(1)解：设乙的速度为千米/时， 则甲的速度为千米/时，
由题意得：，
解得：，
则，
答：甲骑行的速度为千米/时；
(2)设乙的速度为千米/时， 则甲的速度为千米/时，
由题意得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
则，
答：甲骑行的速度为千米/时．
题型１０－５．（2021·广西百色·中考真题）据国际田联《田径场地设施标准手册》， 400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成， 有8条跑道， 每条跑道宽1.2米， 直道长87米；跑道的弯道是半圆形， 环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际， 建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程）， 在如图的起跑线同时出发， 经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍， 求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道， 过两人所在点的直线与跑道边线垂直时， 称两人直道相遇）
[分析]（1）根据题意， 计算第三圈与第一圈的路程差即可解第一问， 根据题中路程公式， 可解得第八圈的路程；
（2）分析两人在左边的直道上相遇， 且两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差， 小王的速度为， 则老师的速度为， 列关于的一元一次方程， 解方程即可解题．
[详解]解：（1）根据题意得， 第三圈弯道比第一圈弯道长：
（米）；
第八圈长：（米）
答：第三圈弯道比第一圈弯道长15米， 第八圈长453米．
（2）由于两人是第一次相遇， 教练的速度更快， 且是在直道上两人相遇，
那么两人一定在左边的直道上相遇，
两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差：
（米）
设小王的速度为， 则老师的速度为
答：小王的速度为， 老师的速度为．
考查题型十一 其它问题
题型１１．（2022·河北·中考真题）“曹冲称象”是流传很广的故事， 如图．按照他的方法：先将象牵到大船上， 并在船侧面标记水位， 再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石， 并在船上留3个搬运工， 这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石， 船上只留1个搬运工， 水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤， 设每块条形石的重量是x斤， 则正确的是（ ）
A．依题意 B．依题意
C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤
[详解]解：根据题意可得方程；
则A错误， B正确；
解上面的方程得：x=240,
故D错误；
∴大象的重量是20×240+3×120=5160（斤）
故C错误，
故选：B．
题型１１－１．（2022·四川南充·中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何．”设鸡有x只， 可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：设鸡有x只， 则兔子有（35-x）只，
根据题意可得：2x+4(35-x)=94， 故选：D．
题型１１－２．（2022·湖北十堰·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗， 醐洒一斗直粟三斗， 今持粟三斛， 得酒五斗， 问清跴酒各几何?”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子， 一斗䣾酒价值3斗谷子， 现在拿30斗谷子， 共换了5斗酒， 问清洒， 酳酒各几斗? 如果设清酒斗， 那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x3+30−x10=5 D．
[详解]解：根据题意， 得：10x+3（5－x）=30， 故选：A．
题型１１－３．（2022·青海西宁·中考真题）在数学活动课上， 兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示， 在轻质木杆O处用一根细线悬挂， 左端A处挂一重物， 右端B处挂钩码， 每个钩码质量是50g．若OA=20cm， OB=40cm， 挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg， 根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：根据题意得：．故选：A．
题型１１－４．（2021·湖南株洲·中考真题）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十， 粝米三十……”（粟指带壳的谷子， 粝米指糙米）， 其意为：“50单位的粟， 可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升）， 若按照此“粟米之法”， 则可以换得粝米为（ ）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
[详解]解：由题可知， 3斗的粟即为30升的粟， 设其可以换得粝米为x升，
则， ∴， ∴可以换得粝米为18升；故选：C．
题型１１－５．（2022·浙江嘉兴·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图， 在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态）， 将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A， B处， 当钢梁保持水平时， 弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动， 移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍， 且钢梁保持水平， 则弹簧秤读数为_______（N）（用含n， k的代数式表示）．
[详解]设弹簧秤新读数为x
根据杠杆的平衡条件可得：
解得
故答案为：．
题型１１－６．（2022·江苏南通·中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊， 人出五， 不足四十五；人出七， 余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊， 若每人出5钱， 还差45钱；若每人出7钱， 多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x， 则可列方程为___________．
[详解]解：依题意， 得：5x+45=7x-3．故答案为：5x+45=7x-3．
题型１１－７．（2022·吉林长春·中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作， 其中记载：我问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店， 若每间住7人， 则余下7人无房可住；若每间住9人， 则余下一间无人住， 设店中共有x间房， 可求得x的值为________．
[详解]设店中共有x间房，
由题意得， ，
解得，
所以， 店中共有8间房，
故答案为：8．
题型１１－８．（2021·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇， 不知人数不知竹每人六竿多十四， 每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍， 不知与多少人和竹竿每人6竿， 多14竿；每人8竿， 恰好用完”若设有牧童x人， 根据题意， 可列方程为__________．
[详解]解：设有牧童x人， 根据题意得：6x+14=8x，
题型１１－９．（2021·湖北湖北·中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索， 索比竿子长一托， 对折索子来量竿， 却比竿子短一托．如果1托为5尺， 那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索， 如果用绳索去量竿， 绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿， 就比竿短5尺， 则绳索长几尺．）
[详解]解：设绳索长尺，
由题意得：，
解得，
即绳索长20尺，
故答案为：20．
题型１１－１０．（2022·江苏连云港·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物， 人出八， 盈三；人出七， 不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱， 剩余3钱；每人出7钱， 还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
[详解]解：设人数为人， 由题意得
，
解得．
所以物品价格是．
答：有7人， 物品价格是53钱．
题型１１－１１．（2022·湖南长沙·中考真题）电影《刘三姐》中， 有这样一个场景， 罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你， 一少三多四下分， 不要双数要单数， 看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群， 每个群里， 狗的数量都是奇数， 其中一个群， 狗的数量少：另外三个群， 狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去， 九十九条看羊来， 九十九条守门口， 剩下三条给财主．”请你根据以上信息， 判断以下三种说法是否正确， 在题后相应的括号内， 正确的打“√”， 错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的， 但不是唯一正确的答案．（ ）
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（ ）
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（ ）
(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里， 每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”， 求每个群里狗的数量．
(1)根据题意， 姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外， 还可分成97,97,97,9等，
刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的， 但不是唯一正确的答案，
∵这里的每群狗的数量还需要是正整数，
∴答案不是无数种，
∴①√， ②×， ③×，
故答案为：√， ×， ×；
(2)设数量少的狗群的数量为只， 则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只， 由题意得：
，
解得，
（只），
所以， 数量少的群里狗的数量为45只， 狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只．
题型１１－１２．（2022·江苏镇江·中考真题）某公司专业生产某种产品， 6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单， 要求本月底完成， 7月1日按期交货．
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
经盘点目前公司已有该产品库存2855件， 补充原材料后， 从本月7日开始生产剩余数量的该产品， 已知该公司除周六、周日正常休息外， 每天的生产量相同．但因受高温天气影响， 从本月10日开始， 每天的生产量比原来减少了25件， 截止到17日生产结束， 库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品， 能否按期完成订单？请说明理由．如果不能， 请你给该公司生产部门提出一个合理的建议， 以确保能按期交货．
[分析]设10日开始每天生产量为件， 根据题意列出一元一次方程， 继而根据， 如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品， 截止月底生产的天数为9天， 列出一元一次不等式， 求得从20日开始每天的生产量至少达到130件， 即可求解．
[详解]解：设10日开始每天生产量为件，
根据题意， 得．
解得， ．
如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品， 截止月底生产的天数为9天，
因此该公司9天共可生产900件产品．
因为， 所以不能按期完成订单，
由，
所以为确保按期交货， 从20日开始每天的生产量至少达到130件．
有理数 2
实数 41
整式的加减 73
整式的乘除 104
二次根式 137
分式 156
不等式（组） 198
一元一次方程 250
有理数
[知识要点]
知识点一 有理数基础概念
n 有理数
正数：大于0的数叫做正数。根据需要，有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。
负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。负数前面的负号“-”不能省略。
[易错点]
1）0既不是正数，也不是负数，也可以说0是正数和负数的分界线。
2）-a可能是正数、负数或0。(①当a是正数时，-a是负数；
②当a是负数时，-a是正数；
③当a=0时，-a=0， 0不分正负。)
3）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
常见的表示相反意义的量（举例）：上升与下降，增长与减小等。
[如何判断一组词是否具有相反意义的量]解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
热考题型一 理解正数与负数
[解题思路]1）大于0的数叫做正数。小于0的数叫做负数。
2）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
典例1．（2022·云南·中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ）
A．10℃ B．0℃ C．-10 ℃ D．-20℃
变式1-1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列各数是负数的是（ ）
A．(−1)2 B．|−3| C．−(−5) D．3−8
变式1-2．（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6°C．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6°C，则此时山顶的气温约为_________°C．
有理数的分类：
[易错点]
1）有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。（例：0.53、1.333333….等）
2）无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数。(例如：π)
3）对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0。
4）最小的正整数 _____1_______。最大的负整数 ______-1______。最小的自然数 ______0______。
热考题型二 理解有理数
[解题思路]理解有理数的定义，熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。
典例2．（2021·广西来宾·中考真题）下列各数是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．（2021·山东省诸城市三模）若，那么实数一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．零 D．非正数
变式2-2．（2019·湖北咸宁·中考真题）下列关于的说法正确的是（ ）
A．是正数 B．是负数 C．是有理数 D．是无理数
变式2-3．（2019·四川乐山·中考真题）一定是（ ）
A．正数 B．负数 C． D．以上选项都不正确
n 数轴
概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度。
[易错点]
1）数轴是一条可向两段无限延伸直线。
2）数轴的三要素缺一不可。
3）同一数轴上的单位长度要统一。
4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定。
5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点一一对应。
利用数轴比较两个数大小：
依据：数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
方法：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大。
热考题型三 用数轴上的点表示有理数
[解题思路]任何有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例3．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣12 C．2 D．3
变式3-1．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示2xx+2−x2−4(x+2)2的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
变式3-2．（2022·山东临沂·中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
变式3-3．（2020·江苏盐城·中考真题）实数在数轴上表示的位置如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
变式3-4．（2020·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）
A．2 B．-1 C．-2 D．-3
变式3-5．（2020·内蒙古·中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）
A．或1 B．或2 C． D．1
热考题型四 根据点在数轴的位置判断式子正负
[解题思路]数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例4．（2022·宁夏·中考真题）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则aa+bb的值是（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．2
变式4-1．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
变式4-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
变式4-3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．b−a<0 C．2a>2b D．a+2
概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）
[注意事项]
1）特别注意，0的相反数是0。
2）相反数是成对出现的，不能单独存在，并且这两个数除符号不同以外数字完全相同。
意义：任何一个数都有且只有一个相反数。（正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0.）
几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
表示方法：通常一个数a的相反数可以表示为-a。
[注意事项]
1）通常a与-a互为相反数；
2）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
3）一个数的前面加上“-”号表示这个数的相反数。
4）解题关键，若两个数互为相反数，则它们的和为0。
5）相反数等于它本身的数只有0。
多重符号化简：当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果为负。
热考题型五 相反数的判定
[解题思路]理解相反数的概念。
典例5．（2022·河南·中考真题）−12的相反数是（ ）
A．−2 B．2 C．−12 D．12
变式5-1．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③12022的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
变式5-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b−4c的值为（ ）
A．−8 B．−5 C．−1 D．16
变式5-3．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，点A、B表示的实数互为相反数，则点B表示的实数是（ ）
A．2 B．－2 C．12 D．−12
变式5-4．（2022·湖北荆州·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（ ）
A．a与d B．b与d C．c与d D．a与c
n 绝对值
概念：一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”。
几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
绝对值的表示方法：
[扩展]
1）非负数的绝对值等于他本身，即a≥0⇔|a|=a。
2）非正数的绝对值等于它本身的相反数，即a≤0⇔|a|=-a。
3) 一个数的绝对值不可能为负数。
4) 一个负数的绝对值是它的相反数。
性质（解题思路）：1）任何一个数的绝对值总是正数或零（非负性），即：|a|≥0。
2）0的绝对值是0，即：a=0⇔|a|=0。（扩展：绝对值最小的数是0）
3）互为相反数的两个数绝对值相等，即：a+b=0或a=-b⇔|a|=|b|。
4）绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即：|a|=|b|⇒a=b或a=-b。
5）绝对值等于同一个整数的数有两个，它们互为相反数，即：|x|=a⇔x=±a。
6）若几个数的绝对值的和为0，则这几个数分别为0，即：|a|+|b|+|c|+...+|m|=0⇒a=b=c=...=m=0。
7）若aa=1，则a>0, 若aa=−1，则a<0。
利用绝对值比较两个有理数的方法：
1）两个负数比较，绝对值大的反而小。
2）两个正数比较，绝对值大数越大。
对含有字母的绝对值化简求值（重点难点）：
步骤：1）首先判断这个数是正数、负数还是0.
2）再根据绝对值的意义判断去掉绝对值的符号。
例1：化简|x-4|
第一步：取0点：令x-4=0，得x=4；
第二步：取范围：x≤4和x≻4或x≺4和x≥4；
第三步：在各范围内化简：
②当x≤4时，x-4≤0，∴|x-4|=-(x-4)=-x+4
③当x≻4时，x-4≻0，∴|x-4|=x-4.
例2：求|x﹣1|+|x+2|的最小值
解：由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，
∵要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值。
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3
热考题型六 求一个数的绝对值
[解题思路]一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
典例6．（2022·广东·中考真题）|−2|的值等于（ ）
A．2 B．−12 C．12 D．﹣2
变式6-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）﹣2022的绝对值是（ ）
A．12022 B．−12022 C．2022 D．﹣2022
变式6-2．（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果为5的是（ ）
A．−(+5) B．+(−5) C．−(−5) D．−|−5|
变式6-3．（2022·浙江衢州·中考真题）计算结果等于2的是（ ）
A．−2 B．−2 C．2−1 D．(−2)0
变式6-4．（2022·江苏泰州·中考真题）若x=−3，则x的值为__________.
热考题型七 绝对值非负性的应用
[解题思路]一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零。典例7．（2022·四川泸州·中考真题）若(a−2)2+|b+3|=0，则ab=________．
变式7-1．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足∣m−n−5∣+2m+n−4=0，则3m+n=__________．
变式7-2．（2022·贵州黔东南·中考真题）若2x+y−52+x+2y+4=0，则x−y的值是________．
变式7-3．（2021·广东·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．9
变式7-3．（2021·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A． B．若取最小值，则
C．若，则 D．若，则
热考题型八 比较有理数大小
[解题思路]熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键。
典例8．（2022·湖南郴州·中考真题）有理数−2，−12，0，32中，绝对值最大的数是（ ）
A．−2 B．−12 C．0 D．32
变式8-1．（2022·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比3大的数是（ ）
A．5 B．1 C．0 D．－2
变式8-2（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2−2_______________30．（选填＞，＝，＜）
变式8-3．（2022·江苏泰州·中考真题）已知a=2m2−mn,b=mn−2n2,c=m2−n2(m≠n) 用“＜”表示a、b、c的大小关系为________.
变式8-4．（2021·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
知识点二 有理数四则运算
n 有理数的加法
有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算）
1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
若a>0,b>0,则a+b=+|a|+|b|；若a<0,b<0,则a+b=−|a|+|b|；
2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
若a>0,b<0,且|a|>|b|,则a+b=+|a|−|b|
若a>0,b<0,且|a|<|b|,则a+b=+|b|−|a|
3)互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）
若a>0,b<0,且|a|=|b|,则a+b=0
4)一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a
有理数的加法运算律：
1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a；
2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即（a+b）+c=a+(b+c)。
热考题型九 有理数加法
[解题思路]解题的关键是熟知有理数的加法运算法则
典例9．（2022·天津·中考真题）计算(−3)+(−2)的结果等于（ ）
A．−5 B．−1 C．5 D．1
变式9-1．（2022·辽宁沈阳·中考真题）计算5+−3正确的是（ ）
A．2 B．−2 C．8 D．−8
变式9-2．（2022·吉林·中考真题）要使算式(−1)□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
变式9-3．（2022·浙江杭州·中考真题）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（ ）
A．－8℃ B．－4℃ C．4℃ D．8℃
n 有理数的减法
有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a−b=a+(−b)。
[易错点]：两个变化：减号变成加号，减数变成它的相反数，再按照有理数加法的运算步骤进行计算。
热考题型十 有理数减法
[解题思路]熟练掌握有理数的减法法则是解本题的关键
典例10．（2022·山东滨州·中考真题）某市冬季中的一天，中午12时的气温是−3℃，经过6小时气温下降了7℃，那么当天18时的气温是（ ）
A．10℃ B．−10℃ C．4℃ D．−4℃
变式10-1．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）计算−3−2的结果是（ ）
A．−1 B．1 C．−5 D．5
变式10-2．（2021·江苏南京·中考真题）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ）
A．10：00 B．12：00 C．15：00 D．18：00
变式10-3．（2022·江苏扬州·中考真题）扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是－2℃，那么当天的日温差是__．
n 有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算。
用式子表示为：用式子表示为： a−b+c−d=a+(−b)+c+(−d),
步骤： 1）减法化加法；2）省略括号和加号；3）运用加法运算律使计算简便；4）运用有理数加法法则进行计算。
扩展：运用加法运算律时，可按如下步骤进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
热考题型十一 有理数加减法混合运算
[解题思路]解题关键是熟练掌握有理数混合运算和添括号的法则
典例11．（2022·河北·中考真题）与−312相等的是（ ）
A．−3−12 B．3−12 C．−3+12 D．3+12
变式11-1．（2020·浙江杭州·中考真题）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（ ）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
变式11-2．（2021·台湾·模拟预测）已知，，，判断下列各式之值何者最大？（ ）
A． B． C． D．
变式11-3．嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（ ）
A． B．
C． D．
n 有理数的乘法（重点）
有理数的乘法法则：
1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
2）任何数同0相乘，都得0.
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数a（a≠0）的倒数是）
[注意事项]1）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数。
2）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）。
如何求一个数的倒数:
1) 求一个数a的倒数，即
2）求一个分数的倒数，只要将分子、分母交换一下位置即可。
3、求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数再求其倒数。
4、求一个小数的倒数，先将小数化成分数，然后再求倒数。
5、求一个数的负倒数，先求这个数的倒数，再求倒数的相反数即可。
多个有理数相乘的法则及规律：
1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0。
[注意]带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
即。
n 有理数的除法
有理数除法法则：
1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。
2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
3）0除以任何不为0的数，都得0。
步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。
n 有理数的乘除混合运算
运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行乘法计算。（注：带分数应首先化为假分数进行运算）
n 有理数的四则混合运算
运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。
热考题型十二 有理数乘除法
[解题思路]熟练掌握有理数的乘法、除法运算法则是解题的关键
典例12．（2022·山东泰安·中考真题）计算−6×−12的结果是（ ）
A．-3 B．3 C．-12 D．12
变式12-1．（2022·山东淄博·中考真题）下列分数中，和π最接近的是（ ）
A．355113 B．22371 C．15750 D．227
变式12-2．（2022·湖北随州·中考真题）计算：3×−1+−3=______．
变式12-3．（2022·广西玉林·中考真题）计算：2÷(−2)=_____________．
知识点三 有理数的乘方
乘方的概念：一般地，个相同的因数相乘，即a•a•a•...an个，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。
注意：当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。
乘方的规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
有理数乘方的运算方法：1）根据乘方的符号规律确定结果的符号。2）计算结果的绝对值。
有理数的混合运算运算顺序：
1）先乘方，再乘除，最后加减；
2）同级运算,从左到右进行；
3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。
热考题型十三 有理数的乘方
[解题思路]解题的关键是牢记乘方概念和计算公式，明白乘方的意义是求n个相同因数积的运算即可．
典例13．（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
变式13-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
变式13-2．（2022·湖南娄底·中考真题）若10x=N，则称x是以10为底N的对数．记作：x=lgN．例如：102=100，则2=lg100；100=1，则0=lg1．对数运算满足：当M>0，N>0时，lgM+lgN=lg(MN)，例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
变式13-3．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：
YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道210=1024, 103=1000，所以我估计2200比1060大．
其中对2200的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
热考题型十四 有理数混合运算
[解题思路]掌握有理数的混合运算运算顺序
典例14．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 _____．
变式14-1．（2022·山东烟台·中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．
变式14-2．（2022·湖北宜昌·中考真题）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值：−1−−32=________．
变式14-3．（2022·浙江丽水·中考真题）计算：9−(−2022)0+2−1．
变式14-4．（2022·广西·中考真题）计算：(−1+2)×3+22+−4．
变式14-5．（2022·广西柳州·中考真题）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．
变式14-5．（2022·山东临沂·中考真题）计算：
(1)−23÷49×16−13；(2)1x+1−1x−1．
n 科学记数法
形式一：把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（注意：用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1。）
形式二：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数)
[易错点（表示小于1的数）]
n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0）
[解题小技巧]科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；
n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数。
n 近似数和有效数字
在实际问题中，有的量不可能或者没有必要用准确数表示，而需用有理数近似地表示出来，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0。）
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。
精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。
热考题型十五 科学记数法与近似数
[解题思路]熟记科学记数法和近似数的定义
典例15．（2022·浙江杭州·中考真题）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（ ）
A．14.126×108 B．1.4126×109 C．1.4126×108 D．0.14126×1010
变式15-1（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A．108 B．1012 C．1016 D．1024
变式15-2．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为a×1012，则a的值是（ ）
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
变式15-3．（2022·广东深圳·中考真题）某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示（ ）
A．0.15×1013 B．1.5×1012 C．1.5×1013 D．15×1012
变式15-4．（2022·山东济宁·中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（ ）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02
[知识要点]
知识点一 有理数基础概念
n 有理数
正数：大于0的数叫做正数。根据需要，有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。
负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。负数前面的负号“-”不能省略。
[易错点]
1）0既不是正数，也不是负数，也可以说0是正数和负数的分界线。
2）-a可能是正数、负数或0。(①当a是正数时，-a是负数；
②当a是负数时，-a是正数；
③当a=0时，-a=0， 0不分正负。)
3）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
常见的表示相反意义的量（举例）：上升与下降，增长与减小等。
[如何判断一组词是否具有相反意义的量]解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
热考题型一 理解正数与负数
[解题思路]1）大于0的数叫做正数。小于0的数叫做负数。
2）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
典例1．（2022·云南·中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ）
A．10℃ B．0℃ C．-10 ℃ D．-20℃
[详解]解：若零上10°C记作+10°C，则零下10°C可记作：−10°C．故选：C．
变式1-1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列各数是负数的是（ ）
A．(−1)2 B．|−3| C．−(−5) D．3−8
[详解]解：(−1)2=1，是正数，故 A 选项不符合题意；
|−3|=3，是正数，故 B 选项不符合题意；
−(−5)=5，是正数，故 C 选项不符合题意；
3−8=−2，是负数，故 D 选项符合题意．
变式1-2．（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6°C．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6°C，则此时山顶的气温约为_________°C．
[详解]解：山顶的气温约为6−2350−350÷100×0.6=−6故答案：－6或零下6．
有理数的分类：
[易错点]
1）有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。（例：0.53、1.333333….等）
2）无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数。(例如：π)
3）对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0。
4）最小的正整数 _____1_______。最大的负整数 ______-1______。最小的自然数 ______0______。
热考题型二 理解有理数
[解题思路]理解有理数的定义，熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。
典例2．（2021·广西来宾·中考真题）下列各数是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：四个选项的数中：，，是无理数， 0是有理数，故选项D符合题意．故选：D．
变式2-1．（2021·山东省诸城市三模）若，那么实数一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．零 D．非正数
[详解]解：由x＋|x|＝0得，|x|＝−x，
∵负数或零的绝对值等于它的相反数，∴x一定是负数或零，即非正数．故选：D．
变式2-2．（2019·湖北咸宁·中考真题）下列关于的说法正确的是（ ）
A．是正数 B．是负数 C．是有理数 D．是无理数
[详解]既不是正数也不是负数，是有理数．故选C
变式2-3．（2019·四川乐山·中考真题）一定是（ ）
A．正数 B．负数 C． D．以上选项都不正确
[详解]∵a可正、可负、也可能是0∴选D.
[名师点拨]本题考查有理数的分类，解本题的关键是掌握a不确定正负性，-a就无法确定.
n 数轴
概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度。
[易错点]
1）数轴是一条可向两段无限延伸直线。
2）数轴的三要素缺一不可。
3）同一数轴上的单位长度要统一。
4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定。
5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点一一对应。
利用数轴比较两个数大小：
依据：数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
方法：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大。
热考题型三 用数轴上的点表示有理数
[解题思路]任何有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例3．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣12 C．2 D．3
[详解]解：点A表示的数为﹣2，﹣2的相反数为2，故选：C．
变式3-1．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示2xx+2−x2−4(x+2)2的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
[详解]解：2xx+2−x2−4(x+2)2=2xx+2x+22−x2−4(x+2)2=2x2+4x−x2+4x+22=x+22(x+2)2=1；故选B．
变式3-2．（2022·山东临沂·中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
[详解]解：由题意可得：点B表示的数是6，且B在原点的右侧，∴OB=6,
∵ OB=2OA，∴OA=3, ∵A在原点的左侧，∴A表示的数为−3, 故选B
变式3-3．（2020·江苏盐城·中考真题）实数在数轴上表示的位置如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
[详解]由图可得，故选C．
变式3-4．（2020·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）
A．2 B．-1 C．-2 D．-3
[详解]由数轴的定义得：
又到原点的距离一定小于2，观察四个选项，只有选项B符合故选：B．
变式3-5．（2020·内蒙古·中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）
A．或1 B．或2 C． D．1
[详解]解：由题意得：|2a+1|=3
当2a+1＞0时，有2a+1=3，解得a=1
当2a+1＜0时，有2a+1=-3，解得a=-2所以a的值为1或-2．故答案为A．
[名师点拨]本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义列出绝对值方程并求解是解答本题的关键．
热考题型四 根据点在数轴的位置判断式子正负
[解题思路]数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例4．（2022·宁夏·中考真题）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则aa+bb的值是（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．2
[详解]解：由数轴上点的位置可得a<0，b>0，∴aa+bb=a−a+bb=−1+1=0，
故选：C．
变式4-1．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
[详解]解：由题意得：a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，∴A选项的结论成立；
∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴B选项的结论不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴1
变式4-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
[详解]解∶∵根据数轴得∶ 0
=2．故选∶B．
变式4-3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．b−a<0 C．2a>2b D．a+2
∴a+b>0，∴A选项的结论不成立；
b−a>0，∴B选项的结论不成立；
2a<2b，∴C选项的结论不成立；
a+2
n 相反数
概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）
[注意事项]
1）特别注意，0的相反数是0。
2）相反数是成对出现的，不能单独存在，并且这两个数除符号不同以外数字完全相同。
意义：任何一个数都有且只有一个相反数。（正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0.）
几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
表示方法：通常一个数a的相反数可以表示为-a。
[注意事项]
1）通常a与-a互为相反数；
2）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
3）一个数的前面加上“-”号表示这个数的相反数。
4）解题关键，若两个数互为相反数，则它们的和为0。
5）相反数等于它本身的数只有0。
多重符号化简：当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果为负。
热考题型五 相反数的判定
[解题思路]理解相反数的概念。
典例5．（2022·河南·中考真题）−12的相反数是（ ）
A．−2 B．2 C．−12 D．12
[详解]解：因为-12+12＝0，所以-12的相反数是12．故选：D．
变式5-1．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③12022的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
[详解]①－2022的相反数是2022，故此说法正确；
②－2022的绝对值是2022，故此说法正确；
③12022的倒数是2022，故此说法正确；
正确的个数共3个；故选：A．
变式5-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b−4c的值为（ ）
A．−8 B．−5 C．−1 D．16
[详解]∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∵c的倒数是4，∴c=14，∴3a+3b−4c =3a+b−4c =3×0−4×14=−1，故选：C
变式5-3．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，点A、B表示的实数互为相反数，则点B表示的实数是（ ）
A．2 B．－2 C．12 D．−12
[详解]解：因为数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是-2，
所以点B表示的数是2，故选：A．
变式5-4．（2022·湖北荆州·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（ ）
A．a与d B．b与d C．c与d D．a与c
[详解]解：∵c,d分居原点的两旁，且到原点的距离相等，∴c,d互为相反数，故选C
n 绝对值
概念：一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”。
几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
绝对值的表示方法：
[扩展]
1）非负数的绝对值等于他本身，即a≥0⇔|a|=a。
2）非正数的绝对值等于它本身的相反数，即a≤0⇔|a|=-a。
3) 一个数的绝对值不可能为负数。
4) 一个负数的绝对值是它的相反数。
性质（解题思路）：1）任何一个数的绝对值总是正数或零（非负性），即：|a|≥0。
2）0的绝对值是0，即：a=0⇔|a|=0。（扩展：绝对值最小的数是0）
3）互为相反数的两个数绝对值相等，即：a+b=0或a=-b⇔|a|=|b|。
4）绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即：|a|=|b|⇒a=b或a=-b。
5）绝对值等于同一个整数的数有两个，它们互为相反数，即：|x|=a⇔x=±a。
6）若几个数的绝对值的和为0，则这几个数分别为0，即：|a|+|b|+|c|+...+|m|=0⇒a=b=c=...=m=0。
7）若aa=1，则a>0, 若aa=−1，则a<0。
利用绝对值比较两个有理数的方法：
1）两个负数比较，绝对值大的反而小。
2）两个正数比较，绝对值大数越大。
对含有字母的绝对值化简求值（重点难点）：
步骤：1）首先判断这个数是正数、负数还是0.
2）再根据绝对值的意义判断去掉绝对值的符号。
例1：化简|x-4|
第一步：取0点：令x-4=0，得x=4；
第二步：取范围：x≤4和x≻4或x≺4和x≥4；
第三步：在各范围内化简：
②当x≤4时，x-4≤0，∴|x-4|=-(x-4)=-x+4
③当x≻4时，x-4≻0，∴|x-4|=x-4.
例2：求|x﹣1|+|x+2|的最小值
解：由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，
∵要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值。
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3
热考题型六 求一个数的绝对值
[解题思路]一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
典例6．（2022·广东·中考真题）|−2|的值等于（ ）
A．2 B．−12 C．12 D．﹣2
[详解]根据数轴上某个点与原点的距离叫做这个点表示的数的绝对值的定义，
在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以|−2|=2，故选A．
变式6-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）﹣2022的绝对值是（ ）
A．12022 B．−12022 C．2022 D．﹣2022
[详解]解：−2022的绝对值是2022，故选：C．
变式6-2．（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果为5的是（ ）
A．−(+5) B．+(−5) C．−(−5) D．−|−5|
[详解]解：A、-（+5）=-5，不符合题意；
B、+（-5）=-5，不符合题意；
C、-(-5)=5，符合题意；
D、−−5=−5，不符合题意；
故选：C．
变式6-3．（2022·浙江衢州·中考真题）计算结果等于2的是（ ）
A．−2 B．−2 C．2−1 D．(−2)0
[详解]解：A、−2=2，则此项符合题意；
B、−2=−2，则此项不符合题意；
C、2−1=12，则此项不符合题意；
D、−20=1，则此项不符合题意；
故选：A．
变式6-4．（2022·江苏泰州·中考真题）若x=−3，则x的值为__________.
[详解]解：由题意可知：当x=−3时，x=−3=3，故答案为：3．
热考题型七 绝对值非负性的应用
[解题思路]一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零。
典例7．（2022·四川泸州·中考真题）若(a−2)2+|b+3|=0，则ab=________．
[详解]∵(a−2)2+|b+3|=0，∴a−2=0，b+3=0，
∴a=2，b=−3，∴ab=2×−3=−6.故答案为-6.
变式7-1．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足∣m−n−5∣+2m+n−4=0，则3m+n=__________．
[详解]解：由题意知，m，n满足∣m−n−5∣+2m+n−4=0，
∴m-n-5=0，2m+n−4=0，
∴m=3，n=-2，
∴3m+n=9−2=7，
故答案为：7．
变式7-2．（2022·贵州黔东南·中考真题）若2x+y−52+x+2y+4=0，则x−y的值是________．
[详解]∵2x+y−52≥0x+2y+4≥0，2x+y−52+x+2y+4=0
∴2x+y−5=0x+2y+4=0解得：x=143y=−133，x−y=143−(−133)=273=9故答案为：9
变式7-3．（2021·广东·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．9
[详解]∵，，且
∴，即，且∴， ∴故选：B．
[名师点拨]本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零．
变式7-3．（2021·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A． B．若取最小值，则
C．若，则 D．若，则
[答案]D
[详解]解：A．当时，，故该项错误；
B．∵，∴当时取最小值，故该项错误；
C．∵，∴，，∴，故该项错误；
D．∵且，∴，∴，故该项正确；故选：D．
[名师点拨]本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键．
热考题型八 比较有理数大小
[解题思路]熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键。
典例8．（2022·湖南郴州·中考真题）有理数−2，−12，0，32中，绝对值最大的数是（ ）
A．−2 B．−12 C．0 D．32
[详解]−2=2，−12=12，0的绝对值为0，32=32，
∵0＜12＜32＜2，∴绝对值最大的数为-2，故选：A．
变式8-1．（2022·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比3大的数是（ ）
A．5 B．1 C．0 D．－2
[详解]解：因为－2＜0＜1＜3＜5，所以比3大的数是5，故选：A．
变式8-2（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2−2_______________30．（选填＞，＝，＜）
[详解]解：2−2=14，30=1，∵14<1，∴2−2<30，故答案为：<．
变式8-3．（2022·江苏泰州·中考真题）已知a=2m2−mn,b=mn−2n2,c=m2−n2(m≠n) 用“＜”表示a、b、c的大小关系为________.
[详解]解：由题意可知：a−b=(2m2−mn)−(mn−2n2)=(m2+n2−2mn)+m2+n2=(m−n)2+m2+n2，
∵m≠n，
∴(m−n)2+m2+n2>0，
∴b
∴(m−n2)2+34n2>0
∴c
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
[详解]
设原件为x元，
∵先打九五折，再打九五折，
∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价，再打六折，
∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x
故选B
知识点二 有理数四则运算
n 有理数的加法
有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算）
1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
若a>0,b>0,则a+b=+|a|+|b|；若a<0,b<0,则a+b=−|a|+|b|；
2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
若a>0,b<0,且|a|>|b|,则a+b=+|a|−|b|
若a>0,b<0,且|a|<|b|,则a+b=+|b|−|a|
3)互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）
若a>0,b<0,且|a|=|b|,则a+b=0
4)一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a
有理数的加法运算律：
1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a；
2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即（a+b）+c=a+(b+c)。
热考题型九 有理数加法
[解题思路]解题的关键是熟知有理数的加法运算法则
典例9．（2022·天津·中考真题）计算(−3)+(−2)的结果等于（ ）
A．−5 B．−1 C．5 D．1
[详解](−3)+(−2)=−3−2=−5故选：A．
变式9-1．（2022·辽宁沈阳·中考真题）计算5+−3正确的是（ ）
A．2 B．−2 C．8 D．−8
[详解]解：5+−3 =2．故选：A．
变式9-2．（2022·吉林·中考真题）要使算式(−1)□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
[详解]解：(−1)+3=2，
(−1)−3=−4，
(−1)×3=−3，
(−1)÷3=−13，
因为−4<−3<−13<2，
所以要使运算结果最大，应填入的运算符号为+，故选：A．
变式9-3．（2022·浙江杭州·中考真题）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（ ）
A．－8℃ B．－4℃ C．4℃ D．8℃
[详解]解：这天最高温度与最低温度的温差为2-（-6）=8．故选：D．
n 有理数的减法
有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a−b=a+(−b)。
[易错点]：两个变化：减号变成加号，减数变成它的相反数，再按照有理数加法的运算步骤进行计算。
热考题型十 有理数减法
[解题思路]熟练掌握有理数的减法法则是解本题的关键
典例10．（2022·山东滨州·中考真题）某市冬季中的一天，中午12时的气温是−3℃，经过6小时气温下降了7℃，那么当天18时的气温是（ ）
A．10℃ B．−10℃ C．4℃ D．−4℃
[详解]解: ∵中午12时的气温是−3℃，经过6小时气温下降了7℃，
∴当天18时的气温是−3−7=−10℃．故选B．
变式10-1．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）计算−3−2的结果是（ ）
A．−1 B．1 C．−5 D．5
[详解]解：−3−2=−3+(−2)=−5．故选：C．
变式10-2．（2021·江苏南京·中考真题）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ）
A．10：00 B．12：00 C．15：00 D．18：00
[提示]根据北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，逐项判断出莫斯科时间，即可求解．
[详解]解：由北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，
所以A. 当北京时间是10：00时，莫斯科时间是5:00，不合题意；
B. 当北京时间是12：00时，莫斯科时间是7:00，不合题意；
C. 当北京时间是15：00时，莫斯科时间是10:00，符合题意；
D. 当北京时间是18：00时，不合题意．故选：C
变式10-3．（2022·江苏扬州·中考真题）扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是－2℃，那么当天的日温差是__．
[详解]用最高温度减去最低温度即可得当天的日温差：6－(－2)＝6＋2＝8℃．
n 有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算。
用式子表示为：用式子表示为： a−b+c−d=a+(−b)+c+(−d),
步骤： 1）减法化加法；2）省略括号和加号；3）运用加法运算律使计算简便；4）运用有理数加法法则进行计算。
扩展：运用加法运算律时，可按如下步骤进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
热考题型十一 有理数加减法混合运算
[解题思路]解题关键是熟练掌握有理数混合运算和添括号的法则
典例11．（2022·河北·中考真题）与−312相等的是（ ）
A．−3−12 B．3−12 C．−3+12 D．3+12
[详解]A、−3−12=−72，故此选项符合题意；
B、3−12=52，故此选项不符合题意；
C、−3+12=−52，故此选项不符合题意；
D、3+12=72，故此选项不符合题意；
故选：A．
变式11-1．（2020·浙江杭州·中考真题）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（ ）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
[详解]由题意得：（元）即需要付费19元故选：B．
变式11-2．（2021·台湾·模拟预测）已知，，，判断下列各式之值何者最大？（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：，，，
∵是最小的，负的最多,相应的绝对值最大．故选：C．
变式11-3．嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]，故选：C．
n 有理数的乘法（重点）
有理数的乘法法则：
1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
2）任何数同0相乘，都得0.
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数a（a≠0）的倒数是）
[注意事项]1）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数。
2）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）。
如何求一个数的倒数:
1) 求一个数a的倒数，即
2）求一个分数的倒数，只要将分子、分母交换一下位置即可。
3、求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数再求其倒数。
4、求一个小数的倒数，先将小数化成分数，然后再求倒数。
5、求一个数的负倒数，先求这个数的倒数，再求倒数的相反数即可。
多个有理数相乘的法则及规律：
1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0。
[注意]带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
即。
n 有理数的除法
有理数除法法则：
1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。
2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
3）0除以任何不为0的数，都得0。
步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。
n 有理数的乘除混合运算
运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行乘法计算。（注：带分数应首先化为假分数进行运算）
n 有理数的四则混合运算
运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。
热考题型十二 有理数乘除法
[解题思路]熟练掌握有理数的乘法、除法运算法则是解题的关键
典例12．（2022·山东泰安·中考真题）计算−6×−12的结果是（ ）
A．-3 B．3 C．-12 D．12
[详解]−6×−12=6×12=3故选：B．
变式12-1．（2022·山东淄博·中考真题）下列分数中，和π最接近的是（ ）
A．355113 B．22371 C．15750 D．227
[详解]A. 355113≈3.1416;B. 22371≈3.1408;C. 15750≈3.14;D. 227≈3.1428;
因为π≈3.1416,故和π最接近的是355113，故选择:A
变式12-2．（2022·湖北随州·中考真题）计算：3×−1+−3=______．
[详解]解：3×−1+−3=−3+3=0，故答案为：0．
变式12-3．（2022·广西玉林·中考真题）计算：2÷(−2)=_____________．
[详解]解：原式=−2÷2=−1；故答案为-1．
知识点三 有理数的乘方
乘方的概念：一般地，个相同的因数相乘，即a•a•a•...an个，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。
注意：当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。
乘方的规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
有理数乘方的运算方法：1）根据乘方的符号规律确定结果的符号。2）计算结果的绝对值。
有理数的混合运算运算顺序：
1）先乘方，再乘除，最后加减；
2）同级运算,从左到右进行；
3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。
热考题型十三 有理数的乘方
[解题思路]解题的关键是牢记乘方概念和计算公式，明白乘方的意义是求n个相同因数积的运算即可．
典例13．（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
[详解]解：绳结表示的数为5×70+3×7+3×72+1×73=5+21+49×3+73=516 故选B
变式13-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
[详解]解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴22022的个位数字应该是：4．
故选：C．
变式13-2．（2022·湖南娄底·中考真题）若10x=N，则称x是以10为底N的对数．记作：x=lgN．例如：102=100，则2=lg100；100=1，则0=lg1．对数运算满足：当M>0，N>0时，lgM+lgN=lg(MN)，例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
[详解]解：∵ lgM+lgN=lg(MN)，
∴ (lg5)2+lg5×lg2+lg2
=lg5(lg5+lg2)+lg2
=lg5·lg10+lg2 =lg5+lg2=lg10=1.故选C
变式13-3．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：
YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道210=1024, 103=1000，所以我估计2200比1060大．
其中对2200的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
[详解]2200是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
2200=(2100)2≠2002，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32⋯，
∴2的乘方的个位数字4个一循环，
∵200÷4=50，
∴ 2200的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
∵2200=(210)20,1060=(103)20，210=1024, 103=1000，且210>103
∴2200>1060，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
热考题型十四 有理数混合运算
[解题思路]掌握有理数的混合运算运算顺序
典例14．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 _____．
[详解]解：当x=−5，y=3时，12x2+y0=12−52+30=12×26=13．故答案为：13．
变式14-1．（2022·山东烟台·中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．
[详解]解：由题意得：（5-3+2）×6＝24，故答案为：（5-3+2）×6（答案不唯一）．
变式14-2．（2022·湖北宜昌·中考真题）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值：−1−−32=________．
[详解]解：−1−(−3)2=−1−9=−10，故答案为：−10．
变式14-3．（2022·浙江丽水·中考真题）计算：9−(−2022)0+2−1．
[详解]解：9−(−2022)0+2−1=3−1+12 =52．
变式14-4．（2022·广西·中考真题）计算：(−1+2)×3+22+−4．
[详解]解：原式=1×3+4-4=3+4-4=3．
变式14-5．（2022·广西柳州·中考真题）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．
[详解]解：原式＝﹣3+4+4＝5．
变式14-5．（2022·山东临沂·中考真题）计算：
(1)−23÷49×16−13；
(2)1x+1−1x−1．
(1)解：原式=−8×94×−16=−8×94×−16=3．
(2)解：原式=x−1x+1x−1−x+1x+1x−1=x−1−x−1x+1x−1=−2x2−1．
n 科学记数法
形式一：把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（注意：用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1。）
形式二：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数)
[易错点（表示小于1的数）]
n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0）
[解题小技巧]科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；
n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数。
n 近似数和有效数字
在实际问题中，有的量不可能或者没有必要用准确数表示，而需用有理数近似地表示出来，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0。）
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。
精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。
热考题型十五 科学记数法与近似数
[解题思路]熟记科学记数法和近似数的定义
典例15．（2022·浙江杭州·中考真题）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（ ）
A．14.126×108 B．1.4126×109 C．1.4126×108 D．0.14126×1010
[详解]解：1412600000=1.4126×109．故选：B．
变式15-1（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A．108 B．1012 C．1016 D．1024
[详解]∵1兆＝1万×1万×1亿，∴1兆＝104×104×108=1016，故选：C．
变式15-2．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为a×1012，则a的值是（ ）
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
[详解]解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012．
故选：B．
变式15-3．（2022·广东深圳·中考真题）某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示（ ）
A．0.15×1013 B．1.5×1012 C．1.5×1013 D．15×1012
[详解]解：1.5万亿=1500000000000=1.5×1012．故选：B．
变式15-4．（2022·山东济宁·中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（ ）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02
[详解]解：0.0158≈0.016．故选：B．
实数
[知识要点]
知识点一 平方根
算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
算术平方根的性质：1）正数只有一个算术平方根，且恒为正；
2）0的算术平方根为0（规定）；
3）负数没有算术平方根。
考查题型一 算术平方根的相关计算
[解题思路]了解算术平方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例1．（2022·四川泸州·中考真题）（ ）
A． B． C． D．2
变式1-1．（2022·四川凉山·中考真题）化简：＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
变式1-2．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足，则__________．
变式1-3．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
变式1-4．（2021·青海·中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
易错点总结：
平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
平方根的表示：正数a的平方根用±a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根， −a叫做a的负平方根。
平方根的性质：
1）一个正数有两个平方根：±a，且他们互为相反数（重点）。
2）
3）0只有一个平方根，它是0。（0的平方根、算术平方根、立方根都是它本身）
4）负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别与联系：
[扩展]
考查题型二 平方根的相关计算
[解题思路]了解平方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例2．（2022·四川宜宾·中考真题）4的平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．16
变式2-1．（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（ ）
A．9 B．9和﹣9 C．3 D．3和﹣3
变式2-2．（2021·河北石家庄·模拟）若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
易错点总结：
知识点二 立方根
立方根的概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
表示方法：数a的立方根记作3a，读作三次根号a
立方根的性质：
1）任何实数都有唯一确定的立方根。
2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数。
3）０的立方根是０。
4）互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开立方的表示：3a3=a 3a3=a 3−a=−3a （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
n次方根(扩展)
概念：如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。
当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。
当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个：±na；０的偶次方根为０：n0=0；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
考查题型三 立方根的相关计算
[解题思路]了解立方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例3．．（2022·江苏淮安·中考真题）27的立方根为_____．
变式3-1．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝_____．
变式3-2（2019·山东潍坊·中考真题）利用计算器计算时，依次按键下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
变式3-3（选做）．（2020·山东烟台·中考真题）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ）
A．按键即可进入统计计算状态
B．计算的值，按键顺序为：
C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333
变式3-4．（2021·四川资阳·中考真题）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
变式3-5．（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
易错点总结：
知识点三 实数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
[扩展]有理数与无理数的区别：
1）概念不同：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数。
2）表示形式：有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。
常见的无理数类型：
1）一般的无限不循环小数，如：1.41421234¨···
2）看似循环而实际不循环的小数，如0.2020020002···(相邻两个2之间0的个数逐次加1)。
3）有特定意义的数，如：π
4)开方开不尽的数。如：3,35。
考查题型四 无理数的判断
[解题思路]掌握无理数的定义，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键。典例4．（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2
变式4-1．（2022·湖南常德·中考真题）在，，，，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式4-2．（2022·湖南·中考真题）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．
变式4-3．（2022·浙江宁波·中考真题）写出一个大于2的无理数_____．
易错点总结：
考查题型五 无理数的估值
[解题思路]得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
典例5．（2022·重庆·中考真题）估计的值在（ ）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
变式5-1．（2022·福建·中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．π
变式5-2．（2022·山东潍坊·中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式5-3．（2022·四川绵阳·中考真题）正整数a、b分别满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
变式5-4．（2022·山东临沂·中考真题）满足的整数的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
变式5-5．（2022·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
变式5-6．（2022·湖北随州·中考真题）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
变式5-7．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若两个连续的整数、满足，则的值为__________ ．
易错点总结：
实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类
实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式 ：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
考查题型六 实数的分类
典例6．（2022·贵州铜仁·中考真题）在实数，，，中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．（2022·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式6-2．（2021·浙江金华·中考真题）实数，，2，中，为负整数的是（ ）
A． B． C．2 D．
易错点总结：
考查题型七 实数的性质
[解题思路]熟练掌握实数的相关性质。
典例7（2022·湖北黄石·中考真题）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
变式7-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）实数9的相反数等于（ ）
A．﹣9 B．+9 C． D．﹣
变式7-2．（2022·山东枣庄·中考真题）实数﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
易错点总结：
考查题型八 实数与数轴
[解题思路]熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键。典例8（2022·广西·中考真题）如图，数轴上的点A表示的数是，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
变式8-1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是( )
A．点A B．点N C．点P D．点Q
变式8-2．（2022·江西·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式8-3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是( )
A． B． C． D．
变式8-4．（2022·西藏·中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．﹣5 B．4 C．7 D．8
变式8-5．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
变式8-6．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
易错点总结：
考查题型九 比较实数的大小
[解题思路]理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键。典例9（2022·四川达州·中考真题）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．-2 C．1 D．
变式9-1．（2022·四川雅安·中考真题）在﹣，1，，3中，比0小的数是（ ）
A．﹣ B．1 C． D．3
变式9-2．（2022·贵州安顺·中考真题）下列实数中，比－5小的数是（ ）
A．－6 B． C．0 D．
变式9-3．（2022·海南·中考真题）写出一个比大且比小的整数是___________．
变式9-4．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小：______（填写“”或“<”或“＝”）．
易错点总结：
考查题型十 实数的运算
[解题思路]掌握理解新运算的定义和法则是解题关键。
典例10（2022·贵州安顺·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
变式10-1．（2022·重庆·中考真题）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式10-2．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B． C．且 D．且
变式10-3．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
变式10-4．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
变式10-5．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
变式10-6．（2022·辽宁阜新·中考真题）计算：______．
变式10-7．（2022·湖北黄石·中考真题）计算：____________．
变式10-8．（2022·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
变式10-9．（2022·新疆·中考真题）计算：
变式10-10．（2022·重庆·中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．
易错点总结：
[知识要点]
知识点一 平方根
算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
算术平方根的性质：1）正数只有一个算术平方根，且恒为正；
2）0的算术平方根为0（规定）；
3）负数没有算术平方根。
考查题型一 算术平方根的相关计算
[解题思路]了解算术平方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例1．（2022·四川泸州·中考真题）（ ）
A． B． C． D．2
[详解]解：-2，故选A．
变式1-1．（2022·四川凉山·中考真题）化简：＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
[详解]解：，故选：D．
变式1-2．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足，则__________．
[详解]解：由题意知，m，n满足，
∴m-n-5=0，2m+n−4=0，∴m=3，n=-2，∴，
故答案为：7．
变式1-3．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
[详解]解：∵（a﹣3）2+=0，∴，，
当为腰时，周长为：，
当为腰时，三角形的周长为，
故答案为：11或13．
变式1-4．（2021·青海·中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
[详解]解：∵，∴解得，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．故选：D．
平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
平方根的表示：正数a的平方根用±a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根， −a叫做a的负平方根。
平方根的性质：
1）一个正数有两个平方根：±a，且他们互为相反数（重点）。
2）
3）0只有一个平方根，它是0。（0的平方根、算术平方根、立方根都是它本身）
4）负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别与联系：
[扩展]
考查题型二 平方根的相关计算
[解题思路]了解平方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例2．（2022·四川宜宾·中考真题）4的平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．16
[详解]∵（±2 ）2=4，∴4的平方根是±2，故选A．
变式2-1．（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（ ）
A．9 B．9和﹣9 C．3 D．3和﹣3
[详解]解：∵=9，∴的平方根是，故选D．
变式2-2．（2021·河北石家庄·模拟）若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
[详解]∵一个正数的平方根是2a-1和-a+2，∴2a-1-a+2=0．解得：a=-1．
∴2a-1=-3．∴这个正数是9．故选：D．
知识点二 立方根
立方根的概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
表示方法：数a的立方根记作3a，读作三次根号a
立方根的性质：
1）任何实数都有唯一确定的立方根。
2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数。
3）０的立方根是０。
4）互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开立方的表示：3a3=a 3a3=a 3−a=−3a （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
n次方根(扩展)
概念：如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。
当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。
当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个：±na；０的偶次方根为０：n0=0；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
考查题型三 立方根的相关计算
[解题思路]了解立方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例3．．（2022·江苏淮安·中考真题）27的立方根为_____．
[详解]解：∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为：3．
变式3-1．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝_____．
[详解]解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1故答案为：﹣1．
变式3-2（2019·山东潍坊·中考真题）利用计算器计算时，依次按键下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
[详解]∵，∴与最接近的是2.6，故选B．
变式3-3（选做）．（2020·山东烟台·中考真题）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ）
A．按键即可进入统计计算状态
B．计算的值，按键顺序为：
C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333
[详解]解：A、按键即可进入统计计算状态是正确的，故选项A不符合题意；
B、计算的值，按键顺序为：，故选项B符合题意；
C、计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，故选项C不符合题意；
D、计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0．333333333是正确的，故选项D不符合题意；
故选：B．
变式3-4．（2021·四川资阳·中考真题）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：∵，又∵，∴故选：C．
变式3-5．（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
[详解]A. ，16的4次方根是，故不符合题意；
B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设
则
且
当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由的判断可得：错误，故不符合题意．
故选．
知识点三 实数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
[扩展]有理数与无理数的区别：
1）概念不同：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数。
2）表示形式：有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。
常见的无理数类型：
1）一般的无限不循环小数，如：1.41421234¨···
2）看似循环而实际不循环的小数，如0.2020020002···(相邻两个2之间0的个数逐次加1)。
3）有特定意义的数，如：π
4)开方开不尽的数。如：3,35。
考查题型四 无理数的判断
[解题思路]掌握无理数的定义，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键。
典例4．（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2
[详解]解：∵-2，，2是有理数，是无理数，故选： C．
变式4-1．（2022·湖南常德·中考真题）在，，，，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
[详解]解：在，，，，2022这五个数中无理数为和，共2个．
故选：A．
变式4-2．（2022·湖南·中考真题）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．
[详解]解：，是无理数，（恰好是无理数）．故答案为：．
变式4-3．（2022·浙江宁波·中考真题）写出一个大于2的无理数_____．
[详解]解：∵2=，∴大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如（答案不唯一）．
考查题型五 无理数的估值
[解题思路]得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
典例5．（2022·重庆·中考真题）估计的值在（ ）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
[详解]解：∵49<54<64，∴，∴，即的值在3到4之间，故选：D．
变式5-1．（2022·福建·中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．π
[详解]解：由数轴可得，点P对应的数在1与2之间，
A.，故本选项不符合题意；
B. ，故此选项符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. ，故本选项不符合题意；
故选：B
变式5-2．（2022·山东潍坊·中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜1＜2，∴＜＜1，故选：C．
变式5-3．（2022·四川绵阳·中考真题）正整数a、b分别满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
[详解]解：，，，，．
故选：D．
变式5-4．（2022·山东临沂·中考真题）满足的整数的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
[详解]，，，，，
故选：A．
变式5-5．（2022·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
[详解]解：∵ ，
∴，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴，．
∴，
故答案为：2．
变式5-6．（2022·湖北随州·中考真题）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
[详解]解：∵，是大于1的整数，
∴．∵n为正整数∴n的值可以为3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．
变式5-7．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若两个连续的整数、满足，则的值为__________ ．
[详解]∵，∴，即，
∵，∴，，∴，故答案为：
实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类
实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式 ：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
考查题型六 实数的分类
典例6．（2022·贵州铜仁·中考真题）在实数，，，中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：在实数，，，中，有理数为，其他都是无理数，
故选C．
变式6-1．（2022·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[详解]解：在实数，x0（x≠0）=1，，中，有理数是，x0=1，所以，有理数的个数是2，故选：B．
变式6-2．（2021·浙江金华·中考真题）实数，，2，中，为负整数的是（ ）
A． B． C．2 D．
[详解]解：是负数不是整数；是负数不是整数；2是正数；是负数且是整数故选D．
考查题型七 实数的性质
[解题思路]熟练掌握实数的相关性质。
典例7（2022·湖北黄石·中考真题）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：∵>1，∴｜｜＝，故选：B．
变式7-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）实数9的相反数等于（ ）
A．﹣9 B．+9 C． D．﹣
[详解]解：实数9的相反数是-9，故选A．
变式7-2．（2022·山东枣庄·中考真题）实数﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
[详解]解：因为负数的绝对值等于它的相反数，所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故选：A．
考查题型八 实数与数轴
[解题思路]熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键。
典例8（2022·广西·中考真题）如图，数轴上的点A表示的数是，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
[详解]∵数轴上的点A表示的数是−1，∴点A关于原点对称的点表示的数为1，故选：C．
变式8-1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是( )
A．点A B．点N C．点P D．点Q
[详解]∵，∴观察数轴，点P符合要求，故选：C．
变式8-2．（2022·江西·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]ABC.根据数轴上点a、b的位置可知，，，∴，故AB错误，C正确；根据数轴上点a、b的位置可知，，故D错误．故选：C．
变式8-3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是( )
A． B． C． D．
[详解]解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得c＜0＜d，
A、，原结论错误，故此选项不符合题意；
B、，原结论错误，故此选项不符合题意；
C、∵c＜0＜d，且，∴，原结论正确，故此选项符合题意；
D、∵c＜0＜d，且，∴，原结论错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
变式8-4．（2022·西藏·中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．﹣5 B．4 C．7 D．8
[详解]解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4．不妨设第三边长为a，则4-3＜a＜4+3，即1＜a＜7．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．
变式8-5．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
[详解]解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2−3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2−4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2−4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2．
变式8-6．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
[详解]解：（1）如图所示，点即为所求．
（2）如图所示，点在点的右侧，所以
考查题型九 比较实数的大小
[解题思路]理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键。
典例9（2022·四川达州·中考真题）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．-2 C．1 D．
[详解]解：∵，∴最小的数是，故选B．
变式9-1．（2022·四川雅安·中考真题）在﹣，1，，3中，比0小的数是（ ）
A．﹣ B．1 C． D．3
[详解]解：∵﹣<0<<1<3∴在﹣，1，，3中，比0小的数是﹣．故选：A．
变式9-2．（2022·贵州安顺·中考真题）下列实数中，比－5小的数是（ ）
A．－6 B． C．0 D．
[详解]解：∵．∴比－5小的数是-6．故选A
变式9-3．（2022·海南·中考真题）写出一个比大且比小的整数是___________．
[详解]∵ ， ∴ 即比大且比小的整数为2或3，故答案为：2或3
变式9-4．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小：______（填写“”或“<”或“＝”）．
[详解]解：，，∵12>13，．故答案为：．
考查题型十 实数的运算
[解题思路]掌握理解新运算的定义和法则是解题关键。
典例10（2022·贵州安顺·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
[详解]解：根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
变式10-1．（2022·重庆·中考真题）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
[详解]解：∵
∴①说法正确
∵
又∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号
∴②说法正确
③第1种：结果与原多项式相等；
第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；
第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；
第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；
第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；
第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；
第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；
第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意；
∴共有8种情况
∴③说法正确
∴正确的个数为3
故选D．
变式10-2．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B． C．且 D．且
[详解]解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
变式10-3．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
[详解]解：；
；
；
，
，
当时，
原式
，
故答案为：．
变式10-4．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
[详解]解：∵输出y的值是2，∴上一步计算为或
解得（经检验，是原方程的解），或
当符合程序判断条件，不符合程序判断条件
故答案为：1
变式10-5．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
[详解]解：，，
，
，
，
…，
故答案为：5050
变式10-6．（2022·辽宁阜新·中考真题）计算：______．
[详解]解：原式．故答案为：．
变式10-7．（2022·湖北黄石·中考真题）计算：____________．
[详解]解：原式＝．故答案为：3．
变式10-8．（2022·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[详解]解：原式＝当时，原式
变式10-9．（2022·新疆·中考真题）计算：
[详解]解：原式．
变式10-10．（2022·重庆·中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．
[提示]（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；
（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出，根据，是最大的两位数，是最小的两位数，得出，（k为整数），结合得出，根据已知条件得出，从而得出或，然后进行分类讨论即可得出答案．
[详解](1)解：∵，
∴357不是15“和倍数”；
∵，
∴441是9的“和倍数”．
(2)
∵三位数A是12的“和倍数”，
∴，
∵，
∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数，最小的两位数，
∴，
∵为整数，
设（k为整数），
则，
整理得：，
根据得：，
∵，
∴，解得，
∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，
∴，
∴，
∴，
把代入得：
，
整理得：，
∵，k为整数，
∴或，
当时，，
∵，
∴，，
，，，或，，，
要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，
当，，时，组成的三位数为或，
∵，
∴是12的“和倍数”，
∵，
∴是12的“和倍数”；
当，，时，组成的三位数为或，
∵，
∴不是12的“和倍数”，
∵，
∴不是12的“和倍数”；
当时，，
∵，
∴，
，，，组成的三位数为516或156，
∵，
∴是12的“和倍数”，
∵，
∴是12的“和倍数”；
综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．
整式的加减
[知识要点]
知识点一 代数式
概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。
[注意]
1)代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。
2)代数式中不含有=、<、>、≠ 等。
3)对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。
4)单独的一个数或一个字母也是代数式。
代数式的分类：
列代数式方法
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲。
列代数式时应该注意的问题
(1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“· ” 。
(2)数字通常写在字母前面。
(3)带分数与字母相乘时要化成假分数。
(4)除法常写成分数的形式。
代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
考查题型一 列代数式
[解题思路]用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键。
典例1．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
变式1-1．（2022·广东广州·中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
变式1-2．（2022·新疆·中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．104
变式1-3．（2021·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
易错点总结：
考查题型二 代数式求值
典例2．（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
变式2-1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（ ）
A． B． C． D．16
变式2-2．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
变式2-3．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
变式2-4．（2022·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
变式2-5．（2022·北京·中考真题）已知，求代数式的值．
变式2-6．（2022·山东济宁·中考真题）已知，，求代数式的值．
易错点总结：
知识点二 单项式
单项式的概念：由数字和字母相乘组成的式子叫做单项式。
[注意]：
1）单项式中数字与字母、字母与字母之间只能是乘法运算；
2）单独的一个数或字母也是单项式。
单项式的系数的概念：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；
[易错点]：
1）一个单项式中只含有字母因数，它的系数是1或者-1，不能认为是0。
2) 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身。
3）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号。 例如：-（3x）的系数是-3
4）圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。
单项式的次数的概念：系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。
[易错点]：
1）计算单项式的次数时，应计算所有字母的指数和，任意漏掉字母指数是1的情况。 如单项式2x4y2z的次数是字母的指数和，即4＋2＋1=7，而不是6次，应注意字母z的指数是1而不是0。
2) 单项式是一个单独字母时，它的指数是1。
3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。 如单项式－25x2y3z4的次数是2＋3＋4=9而不是14次。
知识点三 多项式
多项式的概念：几个单项式的和叫多项式。
多项式的项数的概念：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项
多项式的次数的概念：多项式里中次数最高项的次数叫多项式的次数；
[扩展]
1. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式。
2. 5x2+4x+3和x2+2x+1是常见的两个二次三项式。
考查题型三 单项式与多项式的判断
典例3．（2022·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
变式3-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D．
变式3-2．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1)
变式3-3．（2021·海南·中考真题）下列整式中，是二次单项式的是（ ）
A． B． C． D．
变式3-4．（2022·江苏宿迁·中考真题）按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____．
易错点总结：
考查题型四 数字规律探索
数字类问题：观察数字变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
典例4．（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
变式4-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
变式4-2．（2022·内蒙古中考真题）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
变式4-3．（2022·西藏·中考真题）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A． B． C． D．
变式4-4．（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
变式4-5．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 _____．
变式4-6．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．
变式4-7．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
易错点总结：
考查题型五 图形规律探索
图形类问题：从简单图形入手，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
典例5．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297 B．301 C．303 D．400
变式5-1．（2022·山东泰安·中考真题）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是_______．
变式5-2．（2022·湖南怀化·中考真题）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 _____．
变式5-3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．
变式5-4．（2022·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.
变式5-5．（2022·江西·中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
变式5-6．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，50节链条总长度为_________．
易错点总结：
知识点四 整式的加减
同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。
[注意]
1）判断同类项时，几个单项式中所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，二者缺一不可。
2）同类项与系数、字母的排列顺序无关。
考查题型六 同类项的判断
[解题思路]正确理解同类项的定义是解题的关键
典例6．（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．（2021·广西河池·中考真题）下列各式中，与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
易错点总结：
合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变。
[注意]
1）系数相加时，一定要带上各项前面的符号。
2）合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项。
3）合并同类项的结果可能是单项式，也可能是多项式。
考查题型七 合并同类项
[解题思路]正确理解同类项的定义是解题的关键
典例7．（2022·江苏泰州·中考真题）下列计算正确的是( )A． B．
C． D．
变式7-1．（2022·湖北荆州·中考真题）化简a－2a的结果是（ ）
A．－a B．a C．3a D．0
变式7-2．（2022·山东淄博·中考真题）计算的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
易错点总结：
去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号。
[注意]
1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据。
2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉。
3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号。
4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项。
5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。
考查题型八 去（添）括号
[解题思路]①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值；③添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．
典例8．（2021·浙江杭州·中考真题）（ ）
A． B．2021 C． D．
变式8-1．（2021·河北·中考真题）不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
变式8-2．关于进行的变形或运算：
①；②；③；④．
其中不正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
变式8-3．（2020·湖南模拟）下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
易错点总结：
整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.
[注意]多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）。
注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列。
考查题型九 整式的加减
典例9．（2022·西藏·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
变式9-1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，线段，以AB为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为______________．
变式9-2．（2022·湖南永州·中考真题）若单项式的与是同类项，则______．
变式9-3．（2022·上海·中考真题）计算：3a－2a＝__________．
变式9-4．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________．
易错点总结：
考查题型十 整式加减中的化简求值
典例10 （2022·湖北黄冈·中考真题）先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，y＝－1．
变式10-1．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
易错点总结：
考查题型十一 整式加减的实际应用
典例11．（2021·浙江温州·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
变式11-1．（2022·四川乐山·中考真题）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
变式11-2．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
易错点总结：
[知识要点]
知识点一 代数式
概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。
[注意]
1)代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。
2)代数式中不含有=、<、>、≠ 等。
3)对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。
4)单独的一个数或一个字母也是代数式。
代数式的分类：
列代数式方法
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲。
列代数式时应该注意的问题
(1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“· ” 。
(2)数字通常写在字母前面。
(3)带分数与字母相乘时要化成假分数。
(4)除法常写成分数的形式。
代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
考查题型一 列代数式
[解题思路]用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键。
典例1．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
[详解]解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为元故选C
变式1-1．（2022·广东广州·中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
[详解]解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒，
观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，
第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；
第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，
∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2．
∴8n-2=2022，得：n=253，故选：B．
变式1-2．（2022·新疆·中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．104
[详解]观察数字的变化可知：
第n行有n个偶数，
因为第1行的第1个数是： ；
第2行的第1个数是： ；
第3行的第1个数是：；
…
所以第n行的第1个数是： ，
所以第10行第1个数是：，
所以第10行第5个数是： ．故选：B．
变式1-3．（2021·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
[详解]设原件为x元，
∵先打九五折，再打九五折，∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价，再打六折，∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价，再降价，∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价，再降价，∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x故选B
考查题型二 代数式求值
典例2．（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
[详解]解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，∴m2+2m=5，∴=5－5=0，故选：A．
变式2-1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（ ）
A． B． C． D．16
[详解]∵a，b互为相反数，∴，
∵c的倒数是4，∴，∴，故选：C
变式2-2．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
[详解]∵m为的根据，
∴，且m≠0，∴，
则有原式=，故选：B．
变式2-3．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：，
∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，
∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，∴原式=，故选：B．
变式2-4．（2022·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
[详解]解：＝＝＝
＝＝．
，
移项得，
左边提取公因式得，
两边同除以2得，
∴原式＝．
故答案为：．
变式2-5．（2022·北京·中考真题）已知，求代数式的值．
[详解]解：∵，∴，
∴
变式2-6．（2022·山东济宁·中考真题）已知，，求代数式的值．
[详解]故代数式的值为．
知识点二 单项式
单项式的概念：由数字和字母相乘组成的式子叫做单项式。
[注意]：
1）单项式中数字与字母、字母与字母之间只能是乘法运算；
2）单独的一个数或字母也是单项式。
单项式的系数的概念：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；
[易错点]：
1）一个单项式中只含有字母因数，它的系数是1或者-1，不能认为是0。
2) 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身。
3）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号。 例如：-（3x）的系数是-3
4）圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。
单项式的次数的概念：系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。
[易错点]：
1）计算单项式的次数时，应计算所有字母的指数和，任意漏掉字母指数是1的情况。 如单项式2x4y2z的次数是字母的指数和，即4＋2＋1=7，而不是6次，应注意字母z的指数是1而不是0。
2) 单项式是一个单独字母时，它的指数是1。
3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。 如单项式－25x2y3z4的次数是2＋3＋4=9而不是14次。
知识点三 多项式
多项式的概念：几个单项式的和叫多项式。
多项式的项数的概念：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项
多项式的次数的概念：多项式里中次数最高项的次数叫多项式的次数；
[扩展]
1. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式。
2. 5x2+4x+3和x2+2x+1是常见的两个二次三项式。
考查题型三 单项式与多项式的判断
[解题思路]熟练掌握单项式的系数的定义
典例3．（2022·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
[详解]解： 点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），
，解得： 故选D
变式3-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D．
[详解]解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、不是单项式，故本选项符合题意；
D、是单项式，故本选项不符合题意；故选：C．
变式3-2．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1)
[详解]解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，故选：A．
变式3-3．（2021·海南·中考真题）下列整式中，是二次单项式的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]A、是多项式，此项不符题意；B、是二次单项式，此项符合题意；
C、是三次单项式，此项不符题意；D、是一次单项式，此项不符题意；故选：B．
变式3-4．（2022·江苏宿迁·中考真题）按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____．
[详解]解：，，，，，…，
由偶数个单项式的系数为： 所以第20个单项式的系数为
第1个指数为：
第2个指数为：
第3个指数为：
指数为
所以第20个单项式是：
故答案为：
考查题型四 数字规律探索
数字类问题：观察数字变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
典例4．（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
[详解]解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．
变式4-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
[详解]解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，∴22022的个位数字应该是：4．故选：C．
变式4-2．（2022·内蒙古中考真题）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
[详解]解：观察下列等式：
，，，，，，，
发现尾数分别为：
1，7，9，3，1，7，，
所以和的个位数字依次以1，8，7，0循环出现，
，
每4个数一组进行循环，
所以，
而，
，
所以的结果的个位数字是7．
故选：C．
变式4-3．（2022·西藏·中考真题）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A． B． C． D．
[详解]原数据可转化为：，
∴，，，..．
∴第n个数为：，
∴第10个数为：．故选：A．
变式4-4．（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
[详解]解：由题意可得：a1=2=，a2=，a3=，
∵，∴2+=7，∴a4=，
∵，∴a5=，同理可求a6=，
∴an=，
∴a2022=，
故答案为：，．
变式4-5．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 _____．
[详解]解：∵，，，…，∴第n个数是，当n＝30时，==，故答案为：．
变式4-6．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．
[详解]数字可以化成：
，，，；
，，，；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵，28是第14个偶数，而
∴的位置记为
故答案为：
变式4-7．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式为，
证明如下：
等式左边：，
等式右边：
，
故等式成立．
考查题型五 图形规律探索
图形类问题：从简单图形入手，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
典例5．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297 B．301 C．303 D．400
[详解]解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，
第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；
第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；
第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；
第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，
……，
第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．
故选：B．
变式5-1．（2022·山东泰安·中考真题）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是_______．
[详解]第1行的第一个数字：
第2行的第一个数字：
第3行的第一个数字：
第4行的第一个数字：
第5行的第一个数字：
…..，
设第行的第一个数字为，得
设第行的第一个数字为，得
设第n行，从左到右第m个数为
当时
∴
∵为整数
∴
∴
∴
故答案为：．
变式5-2．（2022·湖南怀化·中考真题）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 _____．
[详解]由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即，
故答案为：744．
变式5-3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．
[详解]解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，
第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，
第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个，
第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个，
……
∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个，
故答案为：49．
变式5-4．（2022·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.
[详解]解：∵第一个图形有根木料，
第二个图形有根木料，
第三个图形有根木料，
第四个图形有木料，
∴第个图形有根木料，
故答案为：．
变式5-5．（2022·江西·中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
[详解]解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．
变式5-6．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，50节链条总长度为_________．
[详解]解：2节链条的长度是（2.8×2-1），
3节链条的长度是（2.8×3-1×2），
n节链条的长度是2.8n-1×（n-1），
所以50节链条的长度是：2.8×50-1×（50-1）
=140-1×49
=91
故答案为：91
知识点四 整式的加减
同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。
[注意]
1）判断同类项时，几个单项式中所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，二者缺一不可。
2）同类项与系数、字母的排列顺序无关。
考查题型六 同类项的判断
[解题思路]正确理解同类项的定义是解题的关键
典例6．（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．
A、a的指数是2，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；
B、a的指数是1，b的指数是2，与是同类项,故选项符合题意；
C、a的指数是1，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；
D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意．
故选：B．
变式6-1．（2021·广西河池·中考真题）下列各式中，与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
[答案]A
[详解]与是同类项的特点为含有字母，且对应的指数为2，的指数为1,
只有A选项符合；故选A．
合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变。
[注意]
1）系数相加时，一定要带上各项前面的符号。
2）合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项。
3）合并同类项的结果可能是单项式，也可能是多项式。
考查题型七 合并同类项
[解题思路]正确理解同类项的定义是解题的关键
典例7．（2022·江苏泰州·中考真题）下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
[详解]解：A、，故选项正确，符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；故选：A．
变式7-1．（2022·湖北荆州·中考真题）化简a－2a的结果是（ ）
A．－a B．a C．3a D．0
[详解]解：；故选：A．
变式7-2．（2022·山东淄博·中考真题）计算的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
[详解]解：原式，故选：C．
去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号。
[注意]
1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据。
2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉。
3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号。
4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项。
5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。
考查题型八 去（添）括号
[解题思路]①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值；③添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．
典例8．（2021·浙江杭州·中考真题）（ ）
A． B．2021 C． D．
[答案]B
[详解]解：．故选：B．
变式8-1．（2021·河北·中考真题）不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
[答案]D
[详解]解：A. =，故选项A不符合题意；B. ，故选项B不符合题意；C. ，故选项C不符合题意；D. ，故选项D符合题意，故选：D．
变式8-2．关于进行的变形或运算：
①；②；③；④．
其中不正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
[答案]B
[详解]
解：①，变形正确；②，变形正确；
③，原变形不正确；④，原变形不正确；∴①②正确，③④错误，故选B．
变式8-3．（2020·湖南模拟）下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[答案]C
[详解]A、原式＝−a−2，故本选项变形错误．B、原式＝−a＋，故本选项变形错误．
C、原式＝−（a−1），故本选项变形正确．D、原式＝−（a−1），故本选项变形错误．故选：C．
整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.
[注意]多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）。
注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列。
考查题型九 整式的加减
典例9．（2022·西藏·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
[详解]A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，选项正确，符合题意；
B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，选项不正确，不符合题意；
C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意；
D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意．故选A．
变式9-1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，线段，以AB为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为______________．
[详解]解：∵，
∴，半圆①弧长为，
同理，半圆②弧长为，
，半圆③弧长为，
……
半圆⑧弧长为，
∴8个小半圆的弧长之和为．
故答案为：．
变式9-2．（2022·湖南永州·中考真题）若单项式的与是同类项，则______．
[详解]解：∵单项式与是同类项，∴．故答案为：．
变式9-3．（2022·上海·中考真题）计算：3a－2a＝__________．
[详解]根据同类项与合并同类项法则计算：3a－2a=（3－2）a=a
变式9-4．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________．
[详解]设这个多项式为A，由题意得：，
，
故答案为：．
考查题型十 整式加减中的化简求值
典例10 （2022·湖北黄冈·中考真题）先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，y＝－1．
[详解]解：原式＝4xy－2xy+3xy＝＝5xy；
当x＝2，y＝－1时，原式＝．
变式10-1．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[详解]解：原式==；
当x=时，原式==3+1-=-．
考查题型十一 整式加减的实际应用
典例11．（2021·浙江温州·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
[详解]解：∵20立方米中，前17立方米单价为a元，后面3立方米单价为（a+1.2）元，∴应缴水费为17a+3（a+1.2）=20a+3.6（元），故选：D．
变式11-1．（2022·四川乐山·中考真题）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
[详解]解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，∴c=3b，则b=c，∴d=2b+c=c，则c=d，
∴4d+d =26，∴d=5，∴正方形d的边长为5，故答案为：5．
变式11-2．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
[详解]（1）解：∵直角三角形较短的直角边，
较长的直角边，
∴小正方形的边长；
（2）解：，
当时，．
整式的乘除
[知识要点]
知识点一 幂的运算
l 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。（其中m、n为正整数）
[注意事项]
1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。例：a·a2＝a1＋2＝a3
3）乘数a可能是有理数、单项式或多项式。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
5）逆用公式：（m,n都是正整数）
[扩展]三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（m，n，p都是正整数）
考查题型一 同底数幂的乘法
典例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）计算a2·a（ ）
A．a B．3a C．2a2 D．a3
变式1-1．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若，则m的值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．2
变式1-3．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（ ）
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
易错点总结：
l 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.(其中m，n都是正整数).
[注意事项]
1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。
2）逆用公式：
[扩展] (m，n，p均为正整数)
考查题型二 幂的乘方
典例2．（2022·山东泰安·中考真题）计算（a3）2•a3的结果是（ ）
A．a8 B．a9 C．a10 D．a11
变式2-1．（2022·四川成都·中考真题）计算：______．
变式2-2．（2021·四川泸州·中考真题）已知，，则的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
变式2-3．（2020·河北·中考真题）若为正整数，则(k+k+⋅⋅⋅+kk个k)k=（ ）
A． B． C． D．
易错点总结：
l 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。(其中n是正整数)。
[注意事项]逆用公式：
[扩展] (n为正整数)
考查题型三 积的乘方
典例3．（2022·湖北武汉·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式3-1．（2022·福建·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式3-2．（2022·贵州黔西·中考真题）计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
易错点总结：
l 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数减。
（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）
[注意事项]
1）0不能做除数的底数。
2）运用同底数幂除法法则关键：看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3）注意指数为1的情况，如x8÷x=x7 ，计算时候容易遗漏将除数x的指数忽略。
4）逆用公式:（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n）
[扩展]当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.即：（a≠0，m、n、p都是正整数，并且m＞n＞p），但计算时要按照顺序计算。
l 零指数幂：任何不等于零的数的0指数幂都等于l。a0＝1（a≠0）
l 负整数指数幂：任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，
即（a≠0，n是正整数）.
[注意]：
1）a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式。例如：。
2）引进零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，所学的幂的运算性质仍然成立。
①(其中m，n为整数，a≠0);
②(其中m，n为整数，a≠0);
③(其中n为整数，a≠0，b≠0)。
考查题型四 同底数幂的除法
典例4．（2022·河北·中考真题）计算得，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式4-1．（2022·湖南益阳·中考真题）下列各式中，运算结果等于a2的是（ ）
A．a3﹣a B．a+a C．a•a D．a6÷a3
变式4-2．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．
变式4-3．（2022·江苏常州·中考真题）计算：_______．
易错点总结：
考查题型五 幂的混合运算
典例5．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
变式5-1．（2022·浙江宁波·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式5-2．（2022·四川遂宁·中考真题）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式5-3．（2022·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式5-4．（2022·辽宁锦州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式5-5．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
易错点总结：
知识点二 整式乘除
n 单项式×单项式
单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式乘法易错点：
[注意]
1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用。
2）单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
3）运算顺序：先算乘方，再算乘法。
考查题型六 单项式乘单项式
典例6．（2022·浙江温州·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．（2022·陕西·中考真题）计算：（ ）
A． B． C． D．
变式6-2．（2022·湖南常德·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
易错点总结：
n 单项式×多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加
[注意事项]
1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。
2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）
例：
3）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果。
考查题型七 单项式乘多项式
典例7．（2022·山东临沂·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
变式7-1．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中．
变式7-2．（2022·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整．
例先去括号，再合并同类项：（）−6(m+1)．
解：（）= ．
易错点总结：
n 多项式×多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
[注意事项]
多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。
考查题型八 多项式乘多项式
典例8．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
变式8-1．（2020·广西贺州·中考真题）我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ）
A．64 B．128 C．256 D．612
易错点总结：
n 单项式÷单项式
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
n 多项式÷单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
[解题思路]
多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。
考查题型九 多项式/单项式除单项式
典例9．（2022·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式9-1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．2m+2n＝2m+n B．3﹣2＝﹣9
C．（2x）3＝8x3 D．10b6÷2b2＝5b3
变式9-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
易错点总结：
知识点三 乘法公式
1)平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 (特征：用相同项的平方减相反项的平方。)
[扩展]常见平方差公式的变形
① 位置变化：如
② 系数变化：如
③ 指数变化：如
④ 符号变化：如（相同项为b,“相反项”为a）
⑤ 增项变化：如
⑥ 增因式变化：如
[注意事项]
1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。
2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。
考查题型十 运用平方差公式进行计算
典例10．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
变式10-1．（2022·山西·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式10-2．（2022·上海·中考真题）下列运算正确的是……（ ）
A．a²+a³=a6 B．（ab）2 =ab2
C．（a+b）²=a²+b² D．（a+b）（a-b）=a² -b2
变式10-3．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于___________．
变式10-4．（2022·四川广安·中考真题）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________．
变式10-5．（2022·广西·中考真题）先化简，再求值，其中．
变式10-6．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
(1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________；
(2)若，，求比多出的使用面积．
易错点总结：
2）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
[扩展]
扩展一(公式变化)：
扩展二：
扩展三：
[补充]：
考查题型十一 运用完全平方公式进行计算
典例11．（2022·江西·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式11-1．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．
变式11-2．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B．
C． D．
变式11-3．（2022·甘肃兰州·中考真题）计算：（ ）
A． B． C． D．
变式11-4．（2022·四川德阳·中考真题）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=___．
变式11-5．（2022·四川乐山·中考真题）已知，则______．
变式11-6．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为________.
变式11-7．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
变式11-8．（2022·河北·中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
变式11-9．（2022·江苏常州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
变式11-10．（2022·湖北荆门·中考真题）已知x+＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣）2；(2)x4+．
变式11-11．（2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．
易错点总结：
n 整式的混合运算
运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。
考查题型十二 整式的混合运算
典例12．（2022·广东广州·中考真题）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
变式12-1．（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
变式12-2．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知，求代数式的值．
变式12-3．（2022·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中．
变式12-4．（2022·贵州安顺·中考真题）(1)计算．
(2)先化简，再求值：，其中．
易错点总结：
知识点四 因式分解（难点）
概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
[注意事项]
1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2）因式分解必须是恒等变形；
3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为。
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
因式分解的常用方法：
方法一：提公因式法
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
方法二：公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
考查题型十三 因式分解
典例13．（2022·山东济宁·中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
变式13-1．（2022·湖南永州·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式13-2．（2022·广西河池·中考真题）多项式因式分解的结果是( )
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
变式13-3．（2022·湖北荆门·中考真题）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是( )
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
变式13-4．（2022·广西柳州·中考真题）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
变式13-5．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
[观察]经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
[感悟]对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
[类比]
(1)请用分组分解法将因式分解；
[挑战]
(2)请用分组分解法将因式分解；
[应用]
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
易错点总结：
[知识要点]
知识点一 幂的运算
l 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。（其中m、n为正整数）
[注意事项]
1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。例：a·a2＝a1＋2＝a3
3）乘数a可能是有理数、单项式或多项式。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
5）逆用公式：（m,n都是正整数）
[扩展]三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（m，n，p都是正整数）
考查题型一 同底数幂的乘法
典例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）计算a2·a（ ）
A．a B．3a C．2a2 D．a3
[详解]解：a2×a=a3, 故选D
变式1-1．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A． B． C． D．
[详解]∵1兆＝1万×1万×1亿，∴1兆＝104×104×108=1016，故选：C．
变式1-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若，则m的值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．2
[详解]∵24×22=24+2=26=2m，∴m=6，故选：B．
变式1-3．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（ ）
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
[详解]解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012．
故选：B．
l 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.(其中m，n都是正整数).
[注意事项]
1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。
2）逆用公式：
[扩展] (m，n，p均为正整数)
考查题型二 幂的乘方
典例2．（2022·山东泰安·中考真题）计算（a3）2•a3的结果是（ ）
A．a8 B．a9 C．a10 D．a11
[详解](a3)2•a3=•，故选：B．
变式2-1．（2022·四川成都·中考真题）计算：______．
[详解]解：−a32=a6；故答案为．
变式2-2．（2021·四川泸州·中考真题）已知，，则的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
[详解]解: ∵，，∴，
∴，∴．故选：C．
变式2-3．（2020·河北·中考真题）若为正整数，则(k+k+⋅⋅⋅+kk个k)k=（ ）
A． B． C． D．
[详解](k+k+⋅⋅⋅+kk个k)k==，故选A．
l 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。(其中n是正整数)。
[注意事项]逆用公式：
[扩展] (n为正整数)
考查题型三 积的乘方
典例3．（2022·湖北武汉·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：.故答案为B．
变式3-1．（2022·福建·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
[详解]，故选：C．
变式3-2．（2022·贵州黔西·中考真题）计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]=9x2·2x=18x3 故选：C．
l 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数减。
（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）
[注意事项]
1）0不能做除数的底数。
2）运用同底数幂除法法则关键：看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3）注意指数为1的情况，如x8÷x=x7 ，计算时候容易遗漏将除数x的指数忽略。
4）逆用公式:（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n）
[扩展]当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.即：（a≠0，m、n、p都是正整数，并且m＞n＞p），但计算时要按照顺序计算。
l 零指数幂：任何不等于零的数的0指数幂都等于l。a0＝1（a≠0）
l 负整数指数幂：任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，
即（a≠0，n是正整数）.
[注意]：
1）a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式。例如：。
2）引进零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，所学的幂的运算性质仍然成立。
①(其中m，n为整数，a≠0);
②(其中m，n为整数，a≠0);
③(其中n为整数，a≠0，b≠0)。
考查题型四 同底数幂的除法
典例4．（2022·河北·中考真题）计算得，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
[详解]，则“？”是2，故选：C．
变式4-1．（2022·湖南益阳·中考真题）下列各式中，运算结果等于a2的是（ ）
A．a3﹣a B．a+a C．a•a D．a6÷a3
[详解]A、∵a3﹣a不是同类项，不能进行合并运算，∴选项A不符合题意；
B、∵a+a＝2a，∴选项B不符合题意；
C、∵a•a＝a2，∴选项C符合题意；
D、∵a6÷a3＝a3，∴选项D不符合题意．故选：C．
变式4-2．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．
[详解]解：根据能量与震级的关系为（其中为大于0的常数）可得到，当震级为8级的地震所释放的能量为：，当震级为6级的地震所释放的能量为：，∵k×1012k×109=103=1000，
震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．
故答案为：1000．
变式4-3．（2022·江苏常州·中考真题）计算：_______．
[详解]解：m4÷m2=m2．故答案为：m2．
考查题型五 幂的混合运算
典例5．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]A．，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；B．，符合题意；
C．，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意；
D．，不符合题意，故选B
变式5-1．（2022·浙江宁波·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式=a4，故该选项不符合题意；
C选项，原式=a6，故该选项不符合题意；
D选项，原式=a4，故该选项符合题意；故选：D．
变式5-2．（2022·四川遂宁·中考真题）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]A. ，故本选项错误；
B. ，故本选项符合题意；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项错误；故选：B．
变式5-3．（2022·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；故选：A
变式5-4．（2022·辽宁锦州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：A．，故本选项不合题意；
B．，故本选项符合题意；
C．，故本选项不合题意；
D．，故本选项不合题意．故选：B．
变式5-5．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：A、，计算正确，不符合题意；
B、，计算正确，不符合题意；
C、，计算正确，不符合题意；
D、 ，计算错误，符合题意；故选D．
知识点二 整式乘除
n 单项式×单项式
单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式乘法易错点：
[注意]
1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用。
2）单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
3）运算顺序：先算乘方，再算乘法。
考查题型六 单项式乘单项式
典例6．（2022·浙江温州·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：，故选：D．
变式6-1．（2022·陕西·中考真题）计算：（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：．故选：C．
变式6-2．（2022·湖南常德·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：，故C正确．故选：C．
n 单项式×多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加
[注意事项]
1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。
2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）
例：
3）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果。
考查题型七 单项式乘多项式
典例7．（2022·山东临沂·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
[详解]解： ．故选B
变式7-1．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[详解]
当时，原式．
变式7-2．（2022·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整．
例先去括号，再合并同类项：（）−6(m+1)．
解：（）= ．
[详解]解：观察第一步可知，，解得，
将该例题的解答过程补充完整如下：，
n 多项式×多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
[注意事项]
多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。
考查题型八 多项式乘多项式
典例8．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[详解]解：原式==；
当x=时，原式==3+1-=-．
变式8-1．（2020·广西贺州·中考真题）我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ）
A．64 B．128 C．256 D．612
[详解]解：由“杨辉三角”的规律可知，
展开式中所有项的系数和为1，
展开式中所有项的系数和为2，
展开式中所有项的系数和为4，
展开式中所有项的系数和为8，
……
展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的系数和为．故选：C．
n 单项式÷单项式
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
n 多项式÷单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
[解题思路]
多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。
考查题型九 多项式/单项式除单项式
典例9．（2022·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：A、，原式计算正确；
B、，原式计算错误；
C、，原式计算错误；
D、，原式计算错误；故选：A．
变式9-1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．2m+2n＝2m+n B．3﹣2＝﹣9
C．（2x）3＝8x3 D．10b6÷2b2＝5b3
[详解]解：A、2m与2n不是同类项，不能合并，不合题意；B、原式＝，不合题意；C、原式＝8x3，符合题意；D、原式＝5b4，不合题意；故选：C．
变式9-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：A中，正确，故符合题意；
B中，错误，故不符合题意；
C中，错误，故不符合题意；
D中，错误，故不符合题意；故选A．
知识点三 乘法公式
1)平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 (特征：用相同项的平方减相反项的平方。)
[扩展]常见平方差公式的变形
⑦ 位置变化：如
⑧ 系数变化：如
⑨ 指数变化：如
⑩ 符号变化：如（相同项为b,“相反项”为a）
⑪ 增项变化：如
⑫ 增因式变化：如
[注意事项]
1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。
2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。
考查题型十 运用平方差公式进行计算
典例10．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
[详解]∵∴∴故选：A．
变式10-1．（2022·山西·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：，故选A．
变式10-2．（2022·上海·中考真题）下列运算正确的是……（ ）
A．a²+a³=a6 B．（ab）2 =ab2
C．（a+b）²=a²+b² D．（a+b）（a-b）=a² -b2
[详解]解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；
B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意；
C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意
D.（a+b）（a-b）=a² -b2，故此选项符合题意 故选：D．
变式10-3．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于___________．
[详解]解：(19+1)(19−1)=(19)2−12=19−1=18，故答案为：18．
变式10-4．（2022·四川广安·中考真题）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________．
[详解]解：a2﹣b2 +2b+9=a+ba−b+2b+9 =a−b+2b+9
变式10-5．（2022·广西·中考真题）先化简，再求值，其中．
[详解]解：=x2-y2+y2-2y=x2-2y
当x=1，y=时，原式=12-2×=0．
变式10-6．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
(1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________；
(2)若，，求比多出的使用面积．
[详解]（1）解：中能使用的面积为，
故答案为：．
（2）解：中能使用的面积为，
则比多出的使用面积为，
∵a+b=10，，
，
答：比多出的使用面积为50．
2）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
[扩展]
扩展一(公式变化)：
扩展二：
扩展三：
[补充]：
考查题型十一 运用完全平方公式进行计算
典例11．（2022·江西·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．故选：B．
变式11-1．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．
[详解]解：
；
∵，，∴，
∴，∴，∴，∴的最大值为，故选：B．
变式11-2．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，故选：A．
变式11-3．（2022·甘肃兰州·中考真题）计算：（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：原式=故选：A．
变式11-4．（2022·四川德阳·中考真题）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=___．
[详解]∵，∵+=4xy =16，∴=4.
变式11-5．（2022·四川乐山·中考真题）已知，则______．
[详解]解：∵，，
即，，，故答案为：．
变式11-6．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为________.
[详解]解：由题意可知：，
∵，∴，∴；
，当且仅当时取等号，此时与题意矛盾，
∴∴；，同理，故答案为：．
变式11-7．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
（1）解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝；
（2）解：相等，理由如下：
∵
100a(a＋1)＋25=
（3）∵与100a的差为2525，
整理得： 即 解得： ∵1≤a≤9，
变式11-8．（2022·河北·中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
[详解]证明：验证：10的一半为5，；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴，其中为偶数，
且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
变式11-9．（2022·江苏常州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
（1）＝2﹣1+＝；
（2）＝ ＝2x+2．
变式11-10．（2022·湖北荆门·中考真题）已知x+＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣）2；(2)x4+．
（1）解：∵＝∴＝＝＝﹣4x•＝32﹣4＝5．
（2）解：∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．
变式11-11．（2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．
[详解]（1）解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；
理由：∵，，∴1022不是“勾股和数”；
∵，∴5055是“勾股和数”；
（2）∵为“勾股和数”，∴，∴，
∵为整数，∴，
∵为整数，
∴为3的倍数，
∴①，或，，此时或8190；
②，或，，此时或4563，
综上，M的值为8109或8190或4536或4563．
n 整式的混合运算
运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。
考查题型十二 整式的混合运算
典例12．（2022·广东广州·中考真题）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
（1）解：T=a2+6ab+9b2+4a2−9b2+a2=；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴， ∴，则T=．
变式12-1．（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
[详解]解：原式＝；
∵a＝-，b＝+，∴原式
变式12-2．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知，求代数式的值．
[详解]解： ，
∵，∴，∴原式．
变式12-3．（2022·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[详解]解：原式．
∵x2−3x+1=0，，原式
变式12-4．（2022·贵州安顺·中考真题）(1)计算．
(2)先化简，再求值：，其中．
（1）解：原式=1+1+2×32+3−1−23=1+1+3+3−1−23=1；
（2）解：(x+3)2+(x+3)(x−3)−2x(x+1) =x2+6x+9+x2−9−2x2−2x=4x；
当时，原式=．
知识点四 因式分解（难点）
概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
[注意事项]
1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2）因式分解必须是恒等变形；
3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为。
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
因式分解的常用方法：
方法一：提公因式法
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
方法二：公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
考查题型十三 因式分解
典例13．（2022·山东济宁·中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故选C．
变式13-1．（2022·湖南永州·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：A、ax+ay=a(x+y)，故选项计算错误；
B、3a+3b=3(a+b)，选项计算正确；
C、，选项计算错误；
D、不能进行因式分解，选项计算错误；故选：B．
变式13-2．（2022·广西河池·中考真题）多项式因式分解的结果是( )
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
[详解]解：．故选：D．
变式13-3．（2022·湖北荆门·中考真题）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是( )
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
[详解]解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，将上式中的b用-b替换，整理得：
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），故选：A．
变式13-4．（2022·广西柳州·中考真题）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）[详解]a2+2a=a(a+2)故选A
变式13-5．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
[观察]经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
[感悟]对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
[类比]
(1)请用分组分解法将因式分解；
[挑战]
(2)请用分组分解法将因式分解；
[应用]
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：，
∴根据题意得，，∴原式．
二次根式
[知识要点]
知识点一 二次根式相关概念和性质
二次根式的概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
[注意]1）二次根式中，被开方数a可以是具体的数或代数式。
2）二次根式中a是一个非负数。
二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，有意义。
考查题型一 二次根式有意义的条件
题型1．（2022·贵州贵阳·中考真题）若式子x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
题型1-1．（2022·广东广州·中考真题）代数式1x+1有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x≠−1 B．x>−1 C．x<−1 D．x≤-1
题型1-2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子x+1+x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>−1 B．x⩾−1 C．x⩾−1且x≠0 D．x⩽−1且x≠0
题型1-3．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
题型1-4．（2022·湖北黄石·中考真题）函数y=xx+3+1x−1的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠−3且x≠1 B．x>−3且x≠1 C．x>−3 D．x≥−3且x≠1
题型1-5．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=x−2＋2−x＋18，则x⋅y的值是______．
易错点总结：
二次根式的性质：1）
2），即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。
[扩展]与的区别于联系
区别：
联系：1）两者都需要进行平方和开方。2）两者的结果都是非负数。3）当a≧0时，
知识点二 二次根式的估值
一般步骤：1）先对二次根式进行平方，如62=6 ；
2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<6<9；
3）对这两个完全平方数开方，如，；
4）这个二次根式的值在这两个相邻整数之间，如。
考查题型二 二次根式的性质与化简
题型2．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（ ）
A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．94=32 D．4.9=0.7
题型2-1．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a=5×105m/s2，s=0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A．0.4×102m/s B．0.8×102m/s
C．4×102 ms D．8×102m/s
题型2-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
题型2-3．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+⋯+6+6+3=3n个根号，一般地，对于正整数a，b，如果满足b+b+b+⋯+b+b+a=an个根号时，称a,b为一组完美方根数对．如上面3,6是一组完美方根数对．则下面4个结论：①4,12是完美方根数对；②9,91是完美方根数对；③若a,380是完美方根数对，则a=20；④若x,y是完美方根数对，则点Px,y在抛物线y=x2−x上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型2-4．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1−b−12+a−b2=______．
题型2-5．（2022·四川南充·中考真题）若8−x为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
题型2-6．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2a2−c2+a2−b222．现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
易错点总结：
知识点三 二次根式的运算
二次根式的乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
即：
[注意]
1）要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。
2）多个二次根式相乘，乘法法则依然成立，表示为：
3）乘法交换律在二次根式中仍然适用。
4）逆用公式：
化简二次根式的步骤（易错点）：
1）把被开方数分解因式(或因数) ；
2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。
二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即（a≥0，b＞0）。
[注意]1）要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。
2）逆用公式： 。
考查题型三 二次根式的乘除
题型3．（2022·广西柳州·中考真题）计算：2×3=______．
题型3-1．（2022·天津·中考真题）计算(19+1)(19−1)的结果等于___________．
题型3-2．（2022·山西·中考真题）计算18×12的结果是________．
题型3-3．（2022·浙江湖州·中考真题）计算：62+2×−3．
易错点总结：
最简二次根式的特点：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
例：、、 不是 二次根式（易错）。
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。
[分母有理化方法]
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。即：
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。
即：；
练：尝试写出的有理化因式_______________
考查题型四 最简二次根式
题型4．（2022·广西桂林·中考真题）化简12的结果是（ ）
A．23 B．3 C．22 D．2
题型4-1．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
题型4-2．（2021·湖南益阳·中考真题）将452化为最简二次根式，其结果是（ ）
A．452 B．902 C．9102 D．3102
题型4-3．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．19 B．4 C．a2 D．a+b
题型4-4．（2022·广西·中考真题）化简：（1）8=_____．
易错点总结：
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
同类二次根式合并的方法：将系数相加减，被开方数和二次根式部分不变。
二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，不能合并的直接抄下来。
[口诀]一化、二找、三合并。
二次根式比较大小：1）若，则有；
2）若，则有；
3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。
二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再算乘方（开方），再算乘除，最后再算加减。
[注意]运算结果含根号的必须为最简二次根式。
考查题型五 二次根式的加减
题型5．（2022·四川泸州·中考真题）与2+15最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
题型5-1．（2022·湖北武汉·中考真题）下列各式计算正确的是（ ）
A．2+3=5 B．43−33=1 C．2×3=6 D．12÷2=6
题型5-2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．
题型5-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设x1与x2为一元二次方程12x2+3x+2=0的两根，则x1−x22的值为________．
题型5-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算3+313的结果是___________．
易错点总结：
考查题型六 二次根式的混合运算
题型6．（2022·重庆·中考真题）估计3×(23+5)的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
题型6-1．（2022·山东青岛·中考真题）计算(27−12)×13的结果是（ ）
A．33 B．1 C．5 D．3
题型6-2．（2022·贵州安顺·中考真题）估计(25+52)×15的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
题型6-3．（2022·贵州毕节·中考真题）计算8+|−2|×cos45°的结果，正确的是（ ）
A．2 B．32 C．22+3 D．22+2
222题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）若3−2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式2+2a⋅b的值是______．
题型6-5．（2022·山东泰安·中考真题）计算：8⋅6−343=__________．
题型6-6．（2022·辽宁朝阳·中考真题）计算：63÷7−−4＝_____．
题型6-7．（2022·四川达州·中考真题）人们把5−12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a=5−12，b=5+12，记S1=11+a+11+b，S2=21+a2+21+b2，…，S100=1001+a100+1001+b100，则S1+S2+⋯+S100=_______．
题型6-8．（2022·江苏泰州·中考真题）计算:
(1)计算：18−3×23；
(2)按要求填空：
小王计算2xx2−4−1x+2的过程如下：
解：2xx2−4−1x+2
=2xx+2x−2−1x+2−−−−−−−第一步=2xx+2x−2−x−2x+2x−2−−第二步
=2x−x−2x+2x−2−−−−−−−−−−−第三步=x−2x+2x−2−−−−−−−−−−−第四步=x−2x+2−−−−−−−−−−−−−−−−第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
易错点总结：
[知识要点]
知识点一 二次根式相关概念和性质
二次根式的概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
[注意]1）二次根式中，被开方数a可以是具体的数或代数式。
2）二次根式中a是一个非负数。
二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，有意义。
考查题型一 二次根式有意义的条件
题型1．（2022·贵州贵阳·中考真题）若式子x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
[详解]解：由题意得x−3≥0．解得x≥3，故选：A．
题型1-1．（2022·广东广州·中考真题）代数式1x+1有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x≠−1 B．x>−1 C．x<−1 D．x≤-1
[详解]解：由题意可知：x+1>0，∴x>−1，故选：B．
题型1-2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子x+1+x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>−1 B．x⩾−1 C．x⩾−1且x≠0 D．x⩽−1且x≠0
[详解]解：由题意得：x+1≥0且x≠0，∴x≥-1且x≠0，故选： C．
题型1-3．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：由题意知，x−2≥0，解得x≥2，∴解集在数轴上表示如图，
故选B．
题型1-4．（2022·湖北黄石·中考真题）函数y=xx+3+1x−1的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠−3且x≠1 B．x>−3且x≠1 C．x>−3 D．x≥−3且x≠1
[详解]解：依题意，x+3>0x−1≠0∴x>−3且x≠1故选B
题型1-5．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=x−2＋2−x＋18，则x⋅y的值是______．
[详解]解：∵由二次根式的定义得x−2≥02−x≥0，解得：x=2，
∴y=0+0+18，即：y=18，
∴x⋅y=2×18=2×18=14=12.
二次根式的性质：1）
2），即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。
[扩展]与的区别于联系
区别：
联系：1）两者都需要进行平方和开方。2）两者的结果都是非负数。3）当a≧0时，
知识点二 二次根式的估值
一般步骤：1）先对二次根式进行平方，如62=6；
2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<6<9；
3）对这两个完全平方数开方，如，；
4）这个二次根式的值在这两个相邻整数之间，如。
考查题型二 二次根式的性质与化简
题型2．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（ ）
A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．94=32 D．4.9=0.7
[详解]解：A.4+9=13≠2+3，故错误；B.4×9=2×3，故正确；C.94=38≠32，故错误；D.4.9≠0.7，故错误；故选：B．
题型2-1．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a=5×105m/s2，s=0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A．0.4×102m/s B．0.8×102m/s
C．4×102 ms D．8×102m/s
[详解]解：v=2as=2×5×105×0.64=8×102ms，故选：D．
题型2-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
[详解]解∶∵根据数轴得∶ 0
∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1- a=2．故选∶B．
题型2-3．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+⋯+6+6+3=3n个根号，一般地，对于正整数a，b，如果满足b+b+b+⋯+b+b+a=an个根号时，称a,b为一组完美方根数对．如上面3,6是一组完美方根数对．则下面4个结论：①4,12是完美方根数对；②9,91是完美方根数对；③若a,380是完美方根数对，则a=20；④若x,y是完美方根数对，则点Px,y在抛物线y=x2−x上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[详解]解：∵12+4=4，∴ 4,12是完美方根数对；故①正确；
∵ 91+9=10 ≠9∴ 9,91不是完美方根数对；故②不正确；
若a,380是完美方根数对，则380+a=a即a2=380+a解得a=20或a=−19
∵a是正整数，则a=20 故③正确；
若x,y是完美方根数对，则y+x=x∴y+x=x2,即y=x2−x故④正确故选C
题型2-4．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1−b−12+a−b2=______．
[详解]解：由数轴可得：−1
∴a+1−b−12+a−b2
=|a+1|−|b−1|+|a−b|
=a+1−(b−1)−(a−b)
=a+1−b+1−a+b
=2．
题型2-5．（2022·四川南充·中考真题）若8−x为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
[详解]解：∵8−x≥0∴x≤8
∵x为正整数∴x可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵8−x为整数∴x为4或7或8
题型2-6．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2a2−c2+a2−b222．现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
[详解]解：∵周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，设a=4k,b=3k,c=2k
∴4k+3k+2k=18解得k=2
∴ a=8,b=6,c=4
∴ S=14c2a2−c2+a2−b222=1442×82−42+82−6222=141024−484=135= 315 故答案为：315
知识点三 二次根式的运算
二次根式的乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
即：
[注意]
1）要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。
2）多个二次根式相乘，乘法法则依然成立，表示为：
3）乘法交换律在二次根式中仍然适用。
4）逆用公式：
化简二次根式的步骤（易错点）：
1）把被开方数分解因式(或因数) ；
2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。
二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即（a≥0，b＞0）。
[注意]1）要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。
2）逆用公式： 。
考查题型三 二次根式的乘除
题型3．（2022·广西柳州·中考真题）计算：2×3=______．
[详解]解：2×3=6；故答案为6．
题型3-1．（2022·天津·中考真题）计算(19+1)(19−1)的结果等于___________．
[详解]解：(19+1)(19−1)=(19)2−12=19−1=18，
题型3-2．（2022·山西·中考真题）计算18×12的结果是________．
[详解]解：原式＝18×12＝9＝3．
题型3-3．（2022·浙江湖州·中考真题）计算：62+2×−3．
[详解]62+2×−3=6+(−6)=6−6=0
最简二次根式的特点：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
例：、、 不是 二次根式（易错）。
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。
[分母有理化方法]
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。即：
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。
即：；
练：尝试写出的有理化因式_______________
考查题型四 最简二次根式
题型4．（2022·广西桂林·中考真题）化简12的结果是（ ）
A．23 B．3 C．22 D．2
[详解]解：12=4×3=22×3＝23，故选：A．
题型4-1．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
[详解]解：
A、12=22∵2是无理数，故12是无理数
B、13=33∵3是无理数，故13是无理数
C、14=12为有理数
D、15=55∵5是无理数，故15是无理数
故选：C
题型4-2．（2021·湖南益阳·中考真题）将452化为最简二次根式，其结果是（ ）
A．452 B．902 C．9102 D．3102
[详解]解：原式=9×5×22×2，=3102，故选：D．
题型4-3．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．19 B．4 C．a2 D．a+b
[详解]A、19被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、4=2是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、a2=|a|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．
故选：D．
题型4-4．（2022·广西·中考真题）化简：（1）8=_____．
[详解]解：8=4×2=4×2=22．
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
同类二次根式合并的方法：将系数相加减，被开方数和二次根式部分不变。
二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，不能合并的直接抄下来。
[口诀]一化、二找、三合并。
二次根式比较大小：1）若，则有；
2）若，则有；
3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。
二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再算乘方（开方），再算乘除，最后再算加减。
[注意]运算结果含根号的必须为最简二次根式。
考查题型五 二次根式的加减
题型5．（2022·四川泸州·中考真题）与2+15最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
[详解]解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜15＜4，∴5.5＜2+15＜6，∴最接近的整数是6，故选：C．
题型5-1．（2022·湖北武汉·中考真题）下列各式计算正确的是（ ）
A．2+3=5 B．43−33=1 C．2×3=6 D．12÷2=6
[详解]解：A、2+3≠5原计算错误，该选项不符合题意；
B、43−33=3原计算错误，该选项不符合题意；
C、2×3=6正确，该选项符合题意；
D、12÷2=23÷2=3原计算错误，该选项不符合题意；故选：C．
题型5-2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．
[详解]解：由题意可得：DE=1,DC=15−12=3,
∵∠A=60°,∠ABC=90°,
∴AB=BCtan60°=33=3,
同理：AD=DEtan60°=13=33,
∴BD=AB−AD=3−33=233,
故答案为：233
题型5-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设x1与x2为一元二次方程12x2+3x+2=0的两根，则x1−x22的值为________．
[详解]解：∵12x2+3x+2=0
△=9-4=5＞0，
∴x1=−3+5，x2=−3−5，
∴x1−x22=−3+5+3+52=252=20，
故答案为：20；
题型5-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算3+313的结果是___________．
[详解]解：3+313=3+3 =23，故答案为：23．
考查题型六 二次根式的混合运算
题型6．（2022·重庆·中考真题）估计3×(23+5)的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
[详解] 3×(23+5)=6+15，
∵9＜15＜16，∴3＜15＜4，∴9＜6+15＜10，故选：B．
题型6-1．（2022·山东青岛·中考真题）计算(27−12)×13的结果是（ ）
A．33 B．1 C．5 D．3
[详解]解：(27−12)×13=9−4=3−2=1 故选：B．
题型6-2．（2022·贵州安顺·中考真题）估计(25+52)×15的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
[详解]解：原式=25×15+52×15＝2+10，
∵3<10<4，∴5<2+10<6，故选B．
题型6-3．（2022·贵州毕节·中考真题）计算8+|−2|×cos45°的结果，正确的是（ ）
A．2 B．32 C．22+3 D．22+2
[详解]解：8+|−2|×cos45°＝22+2×22＝22+2＝32．故选：B
题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）若3−2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式2+2a⋅b的值是______．
[详解]解：∵ 1<2<2，
∴1<3−2<2，
∵ 3−2的整数部分为a，小数部分为b，
∴a=1，b=3−2−1=2−2．
∴2+2a⋅b=2+2×2−2=4−2=2，
故答案为：2．
题型6-5．（2022·山东泰安·中考真题）计算：8⋅6−343=__________．
[详解]解：8⋅6−343=48−3×233=43−23=23，
题型6-6．（2022·辽宁朝阳·中考真题）计算：63÷7−−4＝_____．
[详解]解：63÷7−−4=9−4 =3−4=-1
题型6-7．（2022·四川达州·中考真题）人们把5−12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a=5−12，b=5+12，记S1=11+a+11+b，S2=21+a2+21+b2，…，S100=1001+a100+1001+b100，则S1+S2+⋯+S100=_______．
[详解]解：∵ a=5−12，b=5+12，∴ab=5−12×5+12=1，
∵S1=11+a+11+b=2+a+b1+a+b+ab=2+a+b2+a+b=1，
S2=21+a2+21+b2=2×2+a2+b21+a2+b2+a2b2=2×2+a2+b22+a2+b2=2，
…，
S100=1001+a100+1001+b100=100×1+a100+1+b1001+a100+b100+a100b100=100
∴ S1+S2+⋯+S100= 1+2+……+100=5050
故答案为：5050
题型6-8．（2022·江苏泰州·中考真题）计算:
(1)计算：18−3×23；
(2)按要求填空：
小王计算2xx2−4−1x+2的过程如下：
解：2xx2−4−1x+2
=2xx+2x−2−1x+2−−−−−−−第一步=2xx+2x−2−x−2x+2x−2−−第二步
=2x−x−2x+2x−2−−−−−−−−−−−第三步=x−2x+2x−2−−−−−−−−−−−第四步=x−2x+2−−−−−−−−−−−−−−−−第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
[答案](1)22
（1）解：原式=32−3×63=32−323=22；
（2）解：由题意可知：
2xx2−4−1x+2=2xx+2x−2−1x+2−−−−−−−第一步=2xx+2x−2−x−2x+2x−2−−第二步=2x−x+2x+2x−2−−−−−−−−−−−第三步=x+2x+2x−2−−−−−−−−−−−第四步=1x−2−−−−−−−−−−−−−−−−第五步
故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为1x−2.
故答案为：因式分解，第三步和第五步，1x−2
分式
[知识要点]
知识点一：分式的基础
概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
[判断分式的注意事项]
1）条件：①形如的式子； ②A，B为整式；③分母B中含有字母，三者缺一不可。
2）判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式。
与分式有关的条件：
要求
表示
分式有意义
分母≠0
B≠0
分式无意义
分母=0
B=0
分式值为0
分子为0且分母不为0
A=0且B≠0
分式值为正或大于0
分子分母同号
A>0,B>0 或A<0,B<0
分式值为负或小于0
分子分母异号
A>0,B<0或A<0,B>0
分式值为1
分子分母值相等
A=B
分式值为-1
分子分母值互为相反数
A+B=0
考查题型一 分式的意义
题型1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型1-1．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
易错点总结：
考查题型二 分式有意义的条件
题型2．（2022·四川凉山·中考真题）分式有意义的条件是（ ）
A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0
题型2-1．（2022·湖北恩施·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．
题型2-2．（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．且
题型2-3．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．≤-1
易错点总结：
考查题型三 分式值为0的条件
题型3．（2021·广西桂林·中考真题）若分式的值等于0，则x的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
题型3-1．（2021·四川雅安·中考真题）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
题型3-2．（2022·广西·中考真题）当______时，分式的值为零．
题型3-3．（2021·湖南湘西·中考真题）若式子的值为零，则＝___．
易错点总结：
知识点二：分式的形式（基础）
基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：AB=A•CB•C，AB=A÷CB÷C，其中A、B、C是整式，C≠0。
[注意]在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
[拓展]分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，
即：AB=−A−B=−−AB=−A−B
约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
分式约分步骤：1）提分子和分母公因式（关键）；2）约去公因式；3）观察结果，是否是最简分式或整式。例：x2−9x2+6x+9 =________________
[注意]
1）约分前后分式的值相等.
2）约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式。
通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母的定义：各分母所有因式的最高次幂的积。
确定分式的最简公分母的方法：1）因式分解：当分母是多项式时，先因式分解；.
2）找系数：各分式分母系数的最小公倍数；
3）找字母：各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；
4）找指数：各分母所有多项式因式的最高次幂。
考查题型四 求分式的值
题型4．（2021·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
题型4-1．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．
题型4-2．（2022·湖南郴州·中考真题）若，则________．
题型4-3．（2021·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于_________．
易错点总结：
考查题型五 约分
题型5．（2022·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型5-1．（2022·贵州铜仁·中考真题）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
题型5-2．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．
易错点总结：
知识点三 分式的运算
类型一 分式的乘除
1）分式的乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：ab•cd=a•cb•d（bd≠0）
2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。
式子表示为：ab÷cd=ab•dc=a•db•c（bcd≠0）（除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数）
类型二 分式的加减法
1）同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：ac±bc=a±bc
2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：ab±cd=ad±bcbd
类型三 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：abn=anbn
[注意]1）分式乘方要把分子、分母分别乘方。
2）分式乘方时，要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。
类型四 分式混合运算
运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。
[注意]分式的运算结果要化为最简分式或整式。
考查题型六 分式的乘除运算
题型6．（2021·湖南湘西·中考真题）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型6-1．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型6-2．（2021·湖南湘潭·中考真题）先化简，再求值：，其中．
易错点总结：
考查题型七 分式的加减运算
题型7．（2022·天津·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
题型7-1．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
题型7-2．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
题型7-3．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C．2 D．
题型7-4．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
题型7-5．（2022·浙江温州·中考真题）计算：___________．
题型7-6．（2022·湖北襄阳·中考真题）化简分式：＝_____．
题型7-7．（2022·重庆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
题型7-8．（2022·甘肃兰州·中考真题）计算：．
题型7-9．（2022·江西·中考真题）以下是某同学化筒分式的部分运算过程：
解：原式①
②
③
…
解：
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
易错点总结：
考查题型八 分式的加减乘除混合运算
题型8．（2022·四川眉山·中考真题）化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
题型8-1．（2022·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A． B． C． D．
题型8-2．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
题型8-3．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．
题型8-4．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
题型8-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
题型8-6．（2022·广西河池·中考真题）先化简,再求值,其中
题型8-7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．
题型8-8．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
题型8-9．（2021·广东广州·中考真题）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
题型8-10．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
易错点总结：
考查题型九 分式化简求值
题型9．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型9-1．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
题型9-2．（2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．
题型9-3．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
题型9-4．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中
题型9-5．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
题型9-6．（2022·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数．
题型9-7．（2022·浙江金华·中考真题）计算：．
易错点总结：
整数指数幂
1. am⋅an=am+n
2. amn=amn
3. abn=anbn
4. am÷an=am−n（a≠0）
5. abn=anbn
6. a−n=1an（a≠0）
7. a0=1（a≠0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。
考查题型十 零指数幂
题型10．（2022·重庆·中考真题）计算：_________．
题型10-1．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜）
题型10-2．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝_____．
题型10-3．（2022·四川德阳·中考真题）计算：．
题型10-4．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：．
易错点总结：
考查题型十一 负整数指数幂
题型11．（2022·山东济南·中考真题）计算：．
题型11-1．（2022·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：，其中．
题型11-2．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
__________________________________________________________________________
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
易错点总结：
考查题型十二 负指数幂与科学记数法
题型12．（2022·广西贵港·中考真题）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
题型12-1．（2022·山东青岛·中考真题）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
题型12-2．（2021·山东聊城·中考真题）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍 C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
题型12-3．（2022·四川广元·中考真题）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为_____________．
易错点总结：
[知识要点]
知识点一：分式的基础
概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
[判断分式的注意事项]
1）条件：①形如的式子； ②A，B为整式；③分母B中含有字母，三者缺一不可。
2）判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式。
与分式有关的条件：
要求
表示
分式有意义
分母≠0
B≠0
分式无意义
分母=0
B=0
分式值为0
分子为0且分母不为0
A=0且B≠0
分式值为正或大于0
分子分母同号
A>0,B>0 或A<0,B<0
分式值为负或小于0
分子分母异号
A>0,B<0或A<0,B>0
分式值为1
分子分母值相等
A=B
分式值为-1
分子分母值互为相反数
A+B=0
考查题型一 分式的意义
题型1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
[答案]B
[提示]看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
[详解]分母中含有字母的是，，，
∴分式有3个，
故选：B．
题型1-1．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
[答案](1)
(2)见解析
[提示]（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为．
（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明．
（1）
解：∵第一个式子，
第二个式子，
第三个式子，
……
∴第（n+1）个式子；
（2）
解：∵右边==左边，
∴．
[名师点拨]此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，提示、归纳发现其中各分母的变化规律．
考查题型二 分式有意义的条件
题型2．（2022·四川凉山·中考真题）分式有意义的条件是（ ）
A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0
[答案]B
[提示]根据分式的分母不能为0即可得．
[详解]解：由分式的分母不能为0得：，
解得，
即分式有意义的条件是，
故选：B．
题型2-1．（2022·湖北恩施·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．
[答案]C
[提示]根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．
[详解]解：∵有意义，
∴，
解得且，
故选C．
[名师点拨]本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键．
题型2-2．（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．且
[答案]B
[提示]直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件提示得出答案．
[详解]解：依题意，
∴且
故选B
[名师点拨]此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．
题型2-3．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．≤-1
[答案]B
[提示]根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．
[详解]解：由题意可知：，
∴，
故选：B．
[名师点拨]本题考查了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题．
考查题型三 分式值为0的条件
题型3．（2021·广西桂林·中考真题）若分式的值等于0，则x的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
[答案]A
[提示]根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解．
[详解]由题意可得：且，解得．
故选A．
[名师点拨]此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质．
题型3-1．（2021·四川雅安·中考真题）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
[答案]A
[提示]根据分式的值为0的条件，即可求解．
[详解]解：根据题意得：且，
解得：．
故选：A
[名师点拨]本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件分子等于0，且分母不等于0是解题的关键．
题型3-2．（2022·广西·中考真题）当______时，分式的值为零．
[答案]0
[提示]根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0，x+2≠0求解即可．
[详解]解：由题意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0，
故答案为：0．
[名师点拨]本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．
题型3-3．（2021·湖南湘西·中考真题）若式子的值为零，则＝___．
[答案]0
[提示]根据分式的值为零的条件可直接进行求解．
[详解]解：由式子的值为零可得：
，
∴且，
∴；
故答案为0．
[名师点拨]本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
知识点二：分式的形式（基础）
基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：AB=A•CB•C，AB=A÷CB÷C，其中A、B、C是整式，C≠0。
[注意]在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
[拓展]分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，
即：AB=−A−B=−−AB=−A−B
约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
分式约分步骤：1）提分子和分母公因式（关键）；2）约去公因式；3）观察结果，是否是最简分式或整式。例：x2−9x2+6x+9 =________________
[注意]
1）约分前后分式的值相等.
2）约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式。
通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母的定义：各分母所有因式的最高次幂的积。
确定分式的最简公分母的方法：1）因式分解：当分母是多项式时，先因式分解；.
2）找系数：各分式分母系数的最小公倍数；
3）找字母：各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；
4）找指数：各分母所有多项式因式的最高次幂。
考查题型四 求分式的值
题型4．（2021·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
[答案]A
[提示]先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
[详解]解：
把代入上式中
原式
故选A.
[名师点拨]本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.
题型4-1．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．
[答案]2
[提示]直接把a的值代入计算即可．
[详解]解：当a=1时，
．
故答案为：2．
[名师点拨]本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．
题型4-2．（2022·湖南郴州·中考真题）若，则________．
[答案]
[提示]由分式的运算法则进行计算，即可得到答案．
[详解]解：
，
；
故答案为：．
[名师点拨]本题考查了分式的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行计算．
题型4-3．（2021·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于_________．
[答案]4
[提示]由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．
[详解]由得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4
[名师点拨]本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入．
考查题型五 约分
题型5．（2022·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[答案]A
[提示]根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解．
[详解]解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
[名师点拨]本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
题型5-1．（2022·贵州铜仁·中考真题）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
[答案]D
[提示]根据绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则求解即可．
[详解]解：A、，计算正确，不符合题意；
B、，计算正确，不符合题意；
C、，计算正确，不符合题意；
D、，计算错误，符合题意；
故选D．
[名师点拨]本题主要考查了绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则，熟知相关知识是解题的关键．
题型5-2．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．
[答案]
[提示]首先将原式第三项约分，再把前两项括号展开，最后合并同类项即可得到结果．
[详解]解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）
=（x﹣2）2﹣x（x﹣1）
=
=．
[名师点拨]此题主要考查了乘法公式和分式的约分，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
知识点三 分式的运算
类型一 分式的乘除
1）分式的乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：ab•cd=a•cb•d（bd≠0）
2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。
式子表示为：ab÷cd=ab•dc=a•db•c（bcd≠0）（除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数）
类型二 分式的加减法
1）同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：ac±bc=a±bc
2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：ab±cd=ad±bcbd
类型三 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：abn=anbn
[注意]1）分式乘方要把分子、分母分别乘方。
2）分式乘方时，要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。
类型四 分式混合运算
运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。
[注意]分式的运算结果要化为最简分式或整式。
考查题型六 分式的乘除运算
题型6．（2021·湖南湘西·中考真题）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
[答案]D
[提示]根据幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可．
[详解]解：A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，故D选项正确．
故答案为D．
[名师点拨]本题考查了幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
题型6-1．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[答案]D
[提示]根据有理数、整式、分式、二次根式的运算公式运算验证即可．
[详解]，故A错；
当a＞0，，当a＜0，，故B错；
，故C错；
，D正确；
故选：D．
[名师点拨]本题主要考查了有理数、整式、分式、二次根式的运算，熟记运算定理和公式是解决问题的额关键．
题型6-2．（2021·湖南湘潭·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[答案]，．
[提示]第一个小括号，先通分再求和，结合平方差公式、完全平方公式将因式分解成，再将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，最后代入数值计算即可．
[详解]解：
当时，原式．
[名师点拨]本题考查分式的化简求值，涉及平方差、完全平方公式等因式分解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
考查题型七 分式的加减运算
题型7．（2022·天津·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
[答案]A
[提示]利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可．
[详解]解：．
故选：A．
[名师点拨]本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则．
题型7-1．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
[答案]C
[提示]利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
[详解]解：∵，
∴
∴，
∴，
故选：C．
[名师点拨]本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
题型7-2．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
[答案]B
[提示]先对分式进行化简，然后问题可求解．
[详解]解：====1；
故选B．
[名师点拨]本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
题型7-3．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C．2 D．
[答案]C
[提示]根据合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算逐项提示．
[详解]A．，故不符合题意；
B． ，故不符合题意；
C．2，故符合题意；
D． ，故不符合题意；
故选C．
[名师点拨]本题考查了合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
题型7-4．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
[答案]5050
[提示]利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．
[详解]解：，，
，
，
，
…，
故答案为：5050
[名师点拨]本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．
题型7-5．（2022·浙江温州·中考真题）计算：___________．
[答案]2
[提示]利用分式同分母运算法则进行合并，并化简即可得出结果．
[详解]解：，
故答案为：2．
[名师点拨]本题主要考查的是分式加法运算的基础运算，掌握其运算法则是解题的关键．
题型7-6．（2022·湖北襄阳·中考真题）化简分式：＝_____．
[答案]
[提示]根据同分母的分式加法运算法则求解后约分即可得到结论．
[详解]解：
，
故答案为：．
[名师点拨]本题考查分式的化简，掌握同分母的分式求和及约分是解决问题的关键．
题型7-7．（2022·重庆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
[答案](1)
(2)
[提示]（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
（2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可．
(1)
解：
=
=
(2)
解：
=
=
=
[名师点拨]本题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
题型7-8．（2022·甘肃兰州·中考真题）计算：．
[答案]
[提示]根据分式的加法法则和除法法则计算即可．
[详解]解：===．
[名师点拨]本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的加法法则和除法法则是解题关键．
题型7-9．（2022·江西·中考真题）以下是某同学化筒分式的部分运算过程：
解：原式①
②
③
…
解：
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
[答案](1)③(2)见解析
[提示]根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）解：原式＝
[名师点拨]本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
考查题型八 分式的加减乘除混合运算
题型8．（2022·四川眉山·中考真题）化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
[答案]B
[提示]根据分式的混合运算法则计算即可．
[详解]解：．故选：B
[名师点拨]本题考查分式的混合运算法则，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
题型8-1．（2022·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A． B． C． D．
[答案]A
[提示]根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．
[详解]解：★=
★=
★=
=，
故选A．
[名师点拨]题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型8-2．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
[答案]B
[提示]先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果．
[详解]解：
，
∵，
∴，
∴，
∵a>b>0，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵a>b>0，
∴，
∴原式=
，
故选：B．
[名师点拨]题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型8-3．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．
[答案]
[提示]根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
[详解]
=
故答案为
[名师点拨]本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
题型8-4．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
[答案]
[提示]通过探索数字变化的规律进行提示计算．
[详解]解：；
；
；
，
，
当时，
原式
，
故答案为：．
[名师点拨]本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
题型8-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
[答案]（1）；（2）
[提示]（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可；
（2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可．
[详解]（1）
；
（2）
∵，
∴原式=．
[名师点拨]本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
题型8-6．（2022·广西河池·中考真题）先化简,再求值,其中
[答案]
[提示]按照分式的加减乘除混合运算顺序，先算乘除，再算加减，分子分母能够因式分解的要因式分解，能够约分的要约分，将结果化为最简，再把a的值代入进行计算．
[详解]
＝
＝
=
=-a+1；
当a=3时，原式=-3+1=-2．
[名师点拨]本题考查了分式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型8-7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[答案]，
[提示]分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
[详解]解：原式
当时，原式，
故答案是： ．
[名师点拨]本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．
题型8-8．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
[答案]任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：
[提示]任务一：①根据分式的基本性质提示即可；②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
[详解]任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为：一，分式的性质；②二，去括号没有变号．
任务二：
．
[名师点拨]本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
题型8-9．（2021·广东广州·中考真题）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
[答案]（1）；（2）．
[提示]（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；
（2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可．
[详解]解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴．
[名师点拨]本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键．
题型8-10．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
[答案]，10．
[提示]原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值．
[详解]解：原式=
=
=2(x+4)
=2x+8
当-2，0，2时，分式无意义
当x=1时，原式=10．
[名师点拨]本题主要考查了分式的化简和代入求值，关键是代入的时候要根据分式有意义的条件选择合适的值代入．
考查题型九 分式化简求值
题型9．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案]B
[提示]先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可
[详解]
∵x和y互为倒数
∴
故选：B
[名师点拨]本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为1
题型9-1．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
[答案]D
[提示]先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
[详解]解：原式•
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故选：D．
[名师点拨]本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
题型9-2．（2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．
[答案]15
[提示]先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．
[详解]解：==a(a-2)=a2-2a，
∵a2-2a-15=0,∴a2-2a=15，∴原式=15．故答案为：15．
[名师点拨]本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
题型9-3．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[答案]，1
[提示]根据平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则对原式进行化简，再把a值代入求解即可．
[详解]解：
，
∵，
∴原式．
[名师点拨]本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．
题型9-4．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中
[答案]，0
[提示]先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算．
[详解]解：
；
∵，
∴原式．
[名师点拨]本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
题型9-5．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
[答案]，当x=2时，原分式的值为
[提示]由题意先把分式进行化简，求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件选出合适的x值，进而代入求解即可．
[详解]解：原式=；
由可得该不等式组的解集为：，
∴该不等式组的整数解为：-1、0、1、2，
当x=-1，0，1时，分式无意义，
∴x=2，
∴把x=2代入得：原式=．
[名师点拨]本题主要考查分式的运算及一元一次不等式组的解法，要注意分式的分母不能为0．
题型9-6．（2022·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数．
[答案]，当时，式子的值为；当时，式子的值为．
[提示]先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得．
[详解]解：原式
，
，
，
又为满足的整数，
或，
当时，原式，
当时，原式，
综上，当时，式子的值为；当时，式子的值为．
[名师点拨]本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
题型9-7．（2022·浙江金华·中考真题）计算：．
[答案]4
[提示]根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可；
[详解]解：原式；
[名师点拨]本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
整数指数幂
8. am⋅an=am+n
9. amn=amn
10. abn=anbn
11. am÷an=am−n（a≠0）
12. abn=anbn
13. a−n=1an（a≠0）
14. a0=1（a≠0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。
考查题型十 零指数幂
题型10．（2022·重庆·中考真题）计算：_________．
[答案]5
[提示]根据绝对值和零指数幂进行计算即可．
[详解]解：，
故答案为：5．
[名师点拨]本题考查了绝对值和零指数幂的计算，熟练掌握定义是解题的关键．
题型10-1．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜）
[答案]<
[提示]先计算，，然后比较大小即可．
[详解]解：，，
∵，∴，故答案为：<．
[名师点拨]本题主要考查有理数的大小比较，负整数指数幂的运算，零次幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型10-2．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝_____．
[答案]﹣1
[提示]先计算立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂，再进行计算即可解答．
[详解]解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1故答案为：﹣1．
[名师点拨]本题考查了立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂等知识点，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
题型10-3．（2022·四川德阳·中考真题）计算：．
[答案]
[提示]根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．
[详解]解：
．
[名师点拨]此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
题型10-4．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：．
[答案]
[提示]根据负整数指数幂、乘方、绝对值的性质化简后计算即可．
[详解]解：
=．
[名师点拨]本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据负整数指数幂、绝对值的性质化简．
考查题型十一 负整数指数幂
题型11．（2022·山东济南·中考真题）计算：．
[答案]6
[提示]先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义进行化简，然后再进行计算即可．
[详解]解：
[名师点拨]本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义，是解题的关键．
题型11-1．（2022·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：，其中．
[答案]，．
[提示]原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a的值，代入计算即可求出值．
[详解]解：
=，
当时，
原式==．
[名师点拨]本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了算术平方根、绝对值、负整数指数幂．
题型11-2．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
__________________________________________________________________________
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
[答案]（1）④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1；28；（2），．
[提示]（1）根据乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可；
（2）先把括号内通分，接着约分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x2-2x-3=0得到x1=3，x2=-1，则利用分式有意义的条件把x=-1代入计算即可．
[详解]（1）其他错误，有：④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1，
正确的计算过程：
解：
=28；
（2）
=，
∵x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵x=3分式没有意义，
∴x的值为-1，
当x=-1时，原式==．
[名师点拨]本题考查了实数的运算，解一元二次方程---因式分解法，分式的化简求值．也考查了特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂．
考查题型十二 负指数幂与科学记数法
题型12．（2022·广西贵港·中考真题）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
[答案]C
[提示]绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
[详解]解：∵，
∴28nm=2.8×10-8m．
故选：C．
[名师点拨]本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
题型12-1．（2022·山东青岛·中考真题）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
[答案]A
[提示]绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7．
[详解]解：0.0000003
故选A
[名师点拨]本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．
题型12-2．（2021·山东聊城·中考真题）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍 C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
[答案]C
[提示]绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
[详解]由题意得：(3.85×10﹣9)÷(5×10﹣4)= 7.7×10﹣6倍，
故选C．
[名师点拨]此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
题型12-3．（2022·四川广元·中考真题）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为_____________．
[答案]3.4×10-10
[提示]绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
[详解]解：0．00000000034=3.4×10-10．
故答案为：3.4×10-10．
[名师点拨]本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
不等式（组）
[知识要点]
知识点一 不等式的有关概念和性质
不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫作不等式。
[注意]
1）方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。
2）常用的不等号有：“≠”（不等于），“>”（大于），“≥”（大于或等于），“<”（小于），“≤”（小于或等于）五种。
3）在不等式a>b或a
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。
不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。
解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
数轴表示不等式的解集：不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
[易错点]用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
不等式的性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或ac>bc）
基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则ac
基本性质6：如果，，那么.
[注意]
1）不等式变形时，要注意性质2和3的区别，需先判断要乘（或除以）的数的正负，若负注意不等号方向发生改变。
2）不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
不等式性质与等式性质的相同和不同点：
相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子。
不同点：
1）对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立。
2）对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变。
[总结]
等式的性质
不等式的性质
对称性：若a=b，则b=a
反对称性：若a>b，则b
传递性：若a>b，b>c，则a>c
性质1：若a=b，则a±c=b±c
性质1：若a>b，则a±c>b±c
性质2：若a=b，c≠0，
则ac=bc，
性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，
性质3：若a>b，c<0，则ac
考查题型一 不等式的性质
题型1．（2022年内蒙古包头市中考数学真题）若m>n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m−2
C．n−m>0 D．1−2m<1−2n
题型1-1．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）若a>b，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A．a+2>b+2 B．−3a>−3b C．a4
A．a+c>b+d B．a+b>c+d C．a+c>b−d D．a+b>c−d
题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
题型1-4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1a______1b．（填“>”、“=”或“<”）
题型1-5．（2021·山西·中考真题）（1）计算：−14×−8+−23×122．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
2x−13>3x−22−1
解：22x−1>33x−2−6第一步
4x−2>9x−6−6第二步
4x−9x>−6−6+2第三步
−5x>−10第四步
x>2第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
易错点总结：
知识点二 解一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
① 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：
一元一次方程
一元一次不等式
解法的依据
方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变
方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况
一元一次方程只有一个解
一元一次不等式可以有无数多个解
[备注]去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘。
考查题型二 求一元一次不等式解集
题型2（2022·辽宁大连·中考真题）不等式4x<3x+2的解集是（ ）
A．x>−2 B．x<−2 C．x>2 D．x<2
题型2-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）若关于x的方程x2−x−m=0有实数根，则实数m的取值的范围是（ ）
A．m<14 B．m≤14 C．m≥−14 D．m>−14
题型2-2．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8
题型2-3．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的分式方程：2−1−2kx−2=12−x的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k<2 B．k<2且k≠0
C．k>−1 D．k>−1且k≠0
题型2-4．（2022·贵州遵义·中考真题）关于x的一元一次不等式x−3≥0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．C． D．
题型2-5．（2022·北京·中考真题）若x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
题型2-6．（2022·安徽·中考真题）不等式x−32≥1的解集为________．
题型2-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）解不等式：12(x−3)<13−2x ．
题型2-8．（2022·河北·中考真题）整式313−m的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值
易错点总结：
考查题型三 在数轴上表示不等式的解集
题型3．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
题型3-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式12x−1≤7−32x的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
题型3-2．（2022·江苏连云港·中考真题）解不等式2x﹣1＞3x−12，并把它的解集在数轴上表示出来．
题型3-3．（2022·湖北宜昌·中考真题）解不等式x−13≥x−32+1，并在数轴上表示解集．
易错点总结：
考查题型四 用一元一次不等式解决实际问题
题型4．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R(Ω)，下列说法正确的是（ ）
A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω
题型4-1．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
题型4-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
题型4-3．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
题型4-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
题型4-5．（2022·广西玉林·中考真题）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
(1)求两次购买龙眼各是多少吨？
(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
题型4-6 （2022·湖南邵阳·中考真题）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
知识点三 解一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。
不等式组解集的确定方法（a）b）：
不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈：
[注意]
1）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的。
2）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
解一元一次不等式组的一般步骤：
1） 求出不等式组中各不等式的解集。
2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来。
3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
考查题型五 解一元一次不等式组
题型5．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组3x−2＜2（x+1），x−12＞1的解集是（ ）A．x＜3 B．无解 C．2＜x＜4 D．3＜x＜4
题型5-1．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ）
A．x<1x<−1 B．x<1x>−1 C．x>1x<−1 D．x>1x>−1
题型5-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）不等式组−x−1≤20.5x−1<0.5的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型5-3．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型5-4．（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组x−a>0,7−2x>5仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2
C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2
题型5-5．（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A．−12
题型5-6．（2022·湖南邵阳·中考真题）关于x的不等式组−13x>23−x12x−1<12(a−2)有且只有三个整数解，则a的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型5-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x−1=0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x<0的关联方程，则n的取值范围是 ___________．
题型5-8．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是__________．
题型5-9．（2022·江苏淮安·中考真题）解不等式组：2x−1≥−43x−62
题型5-10．（2022·山东枣庄·中考真题）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③43x+3≥1﹣23x．
题型5-11．（2022·四川乐山·中考真题）解不等式组5x+1>3x−1①2x−1≤x+2②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以原不等式组解集为______．
易错点总结：
考查题型六 由一元一次不等式解集求参数
题型6．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x<2，则a的取值范围是________．
题型6-1．（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3<2−x无解，则1m的取值范围是_________．
题型6-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是______________．
题型6-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组{3x−6>0x>m的解集为x>2，则m的取值范围为_______．
题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组x+y=3①x−y=1②的解满足2kx−3y<5，求k的取值范围．
易错点总结：
知识点四 一元一次不等式（组）的实际应用
一元一次不等式(组)的实际应用：分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式(组)，解不等式(组)，作答。
基本过程：这一过程可简单表述为：问题不等式(组)解答。
中考出现一元一次不等式(组)试题类型总结：
1）类型一：一元一次不等式的解集问题；
2）类型二：一元一次不等式组无解的情况；
3）类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围；
4）类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围；
5）类型五：一元一次不等式组有整数解求范围；
6）类型六：一元一次不等式(组)应用题。
考查题型七 用一元一次不等式组解决实际问题
题型7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
题型7-1．（2022·四川绵阳·中考真题）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
题型7-2．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
题型7-3．（2022·四川内江·中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
题型7-4．（2022·黑龙江·中考真题）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
题型7-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
题型7-6．（2022·湖北荆州·中考真题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
[知识要点]
知识点一 不等式的有关概念和性质
不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫作不等式。
[注意]
1）方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。
2）常用的不等号有：“≠”（不等于），“>”（大于），“≥”（大于或等于），“<”（小于），“≤”（小于或等于）五种。
3）在不等式a>b或a
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。
不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。
解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
数轴表示不等式的解集：不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
[易错点]用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
不等式的性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或ac>bc）
基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则ac
基本性质6：如果，，那么.
[注意]
1）不等式变形时，要注意性质2和3的区别，需先判断要乘（或除以）的数的正负，若负注意不等号方向发生改变。
2）不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
不等式性质与等式性质的相同和不同点：
相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子。
不同点：
1）对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立。
2）对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变。
[总结]
等式的性质
不等式的性质
对称性：若a=b，则b=a
反对称性：若a>b，则b
传递性：若a>b，b>c，则a>c
性质1：若a=b，则a±c=b±c
性质1：若a>b，则a±c>b±c
性质2：若a=b，c≠0，
则ac=bc，
性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，
性质3：若a>b，c<0，则ac
考查题型一 不等式的性质
题型1．（2022年内蒙古包头市中考数学真题）若m>n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m−2
C．n−m>0 D．1−2m<1−2n
[答案]D
[提示]根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
[详解]解：A、∵m＞n，∴m−2>n−2，故本选项不合题意；
B、∵m＞n，∴−12m<−12n，故本选项不合题意；
C、∵m＞n，∴m−n>0，故本选项不合题意；
D、∵m＞n，∴1−2m<1−2n，故本选项符合题意；
故选：D．
[名师点拨]本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
题型1-1．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）若a>b，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A．a+2>b+2 B．−3a>−3b C．a4
[提示]根据不等式的基本性质1来判断A和D，根据不等式的基本性质2来求解B的C．
[详解]解：A．因为a>b，不等边两边同时加上2得到a+2>b+2，故原选项正确，此项符合题意；
B．因为a>b，不等边两边同时乘-3得到−3a<−3b，故原选项错误，此项不符合题意；
C．因为a>b，不等边两边同时除以4得到a4>b4，故原选项错误，此项不符合题意；
D．因为a>b，不等边两边同时减1得到a−1>b−1，故原选项错误，此项不符合题意．
故选：A．
[名师点拨]本题主要考查了不等式的基本性质，理解不等式的基本性质是解答关键．不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变．
题型1-2．（2022年浙江省杭州市中考数学真题）已知a，b，c，d是实数，若a>b，c=d，则（ ）
A．a+c>b+d B．a+b>c+d C．a+c>b−d D．a+b>c−d
[答案]A
[提示]根据不等式的基本性质可判定A正确，举例能判定B、C、D错误．
[详解]解：A、∵a>b， c=d，∴a+c>b+d．故此选项符合题意；
B、∵a>b， c=d，如a=-2,b=-3,c=d=1，则a+b=-5，c+d=2，∴a+b
[名师点拨]本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
[答案]A
[提示]根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次提示即可得到答案．
[详解]解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴1
∴C选项的结论不成立；
∵a
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
[名师点拨]本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识．
题型1-4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1a______1b．（填“>”、“=”或“<”）
[答案]>
[提示]由图可得：1
故答案为：>．
[名师点拨]本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
题型1-5．（2021·山西·中考真题）（1）计算：−14×−8+−23×122．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
2x−13>3x−22−1
解：22x−1>33x−2−6第一步
4x−2>9x−6−6第二步
4x−9x>−6−6+2第三步
−5x>−10第四步
x>2第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
[答案]（1）6；（2）任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二：x<2
[提示]（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）根据不等式的性质3判断并计算即可．
[详解]（1）解：原式=1×8+(−8)×14
=8+−2=6．
（2）①乘法分配律（或分配律）
②五 不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；
任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：x<2．
[名师点拨]本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键．
知识点二 解一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
② 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：
一元一次方程
一元一次不等式
解法的依据
方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变
方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况
一元一次方程只有一个解
一元一次不等式可以有无数多个解
[备注]去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘。
考查题型二 求一元一次不等式解集
题型2（2022·辽宁大连·中考真题）不等式4x<3x+2的解集是（ ）
A．x>−2 B．x<−2 C．x>2 D．x<2
[答案]D
[提示]移项再合并同类项即可把未知数的系数化“1”，从而可得答案．
[详解]解：4x<3x+2，
移项，合并同类项得：x<2,
故选D
[名师点拨]本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键．
题型2-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）若关于x的方程x2−x−m=0有实数根，则实数m的取值的范围是（ ）
A．m<14 B．m≤14 C．m≥−14 D．m>−14
[答案]C
[提示]根据一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，列不等式求解即可．
[详解]解析：∵关于x的方程x2−x−m=0有实数根，
∴Δ=(−1)2−4(−m)=1+4m≥0，
解得m≥−14，
故选C．
[名师点拨]此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解答此题的关键．
题型2-2．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8
[答案]A
[提示]由两式相减，得到x+y=k−3，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
[详解]解：把两个方程相减，可得x+y=k−3，
根据题意得：k−3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
[名师点拨]本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
题型2-3．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的分式方程：2−1−2kx−2=12−x的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k<2 B．k<2且k≠0
C．k>−1 D．k>−1且k≠0
[答案]B
[提示]先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．
[详解]解：∵2−1−2kx−2=12−x，
∴2x−2−1+2k=−1，
解得：x=2−k，
∵解为正数，
∴2−k>0，
∴k＜2，
∵分母不能为0，
∴x≠2，
∴2−k≠2，解得k≠0，
综上所述：k＜2且k≠0，
故选：B．
[名师点拨]本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．
题型2-4．（2022·贵州遵义·中考真题）关于x的一元一次不等式x−3≥0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．C． D．
[答案]B
[提示]解出一元一次不等式的解集，然后选出正确结果．
[详解]解：x-3≥0，
解得：x≥3．
在数轴上表示如图所示：
．
故选：B．
[名师点拨]此题主要考查了解一元一次不等式和在数轴上表示解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含等于为实心点，不含等于为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
题型2-5．（2022·北京·中考真题）若x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
[答案]x≥8
[提示]根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
[详解]解：由题意得：
x-8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
[名师点拨]本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式a(a≥0)是解题的关键．
题型2-6．（2022·安徽·中考真题）不等式x−32≥1的解集为________．
[答案]x≥5
[提示]根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
[详解]解：x−32≥1
去分母，得x-3≥2，
移项，得x≥2+3，
合并同类项，系数化1，得，x≥5，
故答案为：x≥5．
[名师点拨]本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解一元一次不等式的方法步骤．
题型2-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）解不等式：12(x−3)<13−2x ．
[答案]x<1115
[提示]按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
[详解]解：12(x−3)<13−2x
去分母，得3(x−3)<2−12x，
去括号，得3x−9<2−12x，
移项、合并同类项，得15x<11．
化系数为1，得x<1115．
[名师点拨]此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
题型2-8．（2022·河北·中考真题）整式313−m的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
[答案](1)−5
(2)−2,−1
[提示]（1）将m＝2代入代数式求解即可，
（2）根据题意P≤7，根据不等式，然后求不等式的负整数解．
（1）
解：∵P=313−m
当m=2时，P=3×13−2
=3×−53
=−5；
（2）
∵ P=313−m，由数轴可知P≤7，
即313−m≤7，
∴13−m≤73，
解得m≥−2，
∴ m的负整数值为−2,−1．
[名师点拨]本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．
考查题型三 在数轴上表示不等式的解集
题型3．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
[答案]B
[提示]根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，求出不等式的解集，然后进行判断即可．
[详解]解：由题意知，x−2≥0，
解得x≥2，
∴解集在数轴上表示如图，
故选B．
[名师点拨]本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件．
题型3-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式12x−1≤7−32x的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．C． D．
[答案]C
[提示]先求得不等式的解集为x≤4，根据等号判定圆圈为实心，选择即可．
[详解]∵不等式12x−1≤7−32x的解集为x≤4，
∴数轴表示为：
，
故选C．
[名师点拨]本题考查了不等式的解法和数轴表示，熟练掌握解不等式是解题的关键．
题型3-2．（2022·江苏连云港·中考真题）解不等式2x﹣1＞3x−12，并把它的解集在数轴上表示出来．
[答案]不等式的解集为x＞1，在数轴上表示见解析.
[详解]试题提示：根据不等式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．
试题解析：
去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，
合并同类项，得：x＞1，
将不等式解集表示在数轴上如图：
题型3-3．（2022·湖北宜昌·中考真题）解不等式x−13≥x−32+1，并在数轴上表示解集．
[答案]x≤1，在数轴上表示解集见解析
[提示]通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得x≤1，在数轴上表示解集即可．
[详解]解：x−13≥x−32+1
去分母，得2x−1≥3x−3+6，
去括号，得2x−2≥3x−9+6，
移项，合并同类项得−x≥−1，
系数化为1，得x≤1，
在数轴上表示解集如图：
[名师点拨]本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确的解一元一次不等式，解集为“≤”时要用实心点表示．
考查题型四 用一元一次不等式解决实际问题
题型4．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R(Ω)，下列说法正确的是（ ）
A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω
[答案]A
[提示]根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可．
[详解]解：由题意，得
0.11R≥220，
解得R≥2000．
故选：A．
[名师点拨]本题结合物理知识，列不等式进而求解，解决问题的关键是理解题意，列出不等式．
题型4-1．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
[答案]32
[提示]设该商品最多可降价x元，列不等式320−240−x240≥20%，求解即可；
[详解]解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，320−240−x240≥20%，
解得：x≤32；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
[名师点拨]本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
题型4-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
[答案](1)这个月生产A产品30件，B产品70件
(2)140件
[详解]
（1）解：设生产A产品x件，B产品y件，
根据题意，得100x+75y=8250,(120−100)x+(100−75)y=2350
解得x=30y=70，
∴这个月生产A产品30件，B产品70件，
答：这个月生产A产品30件，B产品70件；
（2）解：设B产品生产m件，则A产品生产180−m件，
根据题意，得(100−75)m+(120−100)(180−m)≥4300，
解这个不等式，得m≥140．
∴B产品至少生产140件，
答：B产品至少生产140件．
[名师点拨]本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，能根据题意列出方程组和不等式是解此题的关键．
题型4-3．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
[答案](1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆
(2)①w=50t+22500；②t＝4时，w最小＝22 700元
[提示]（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意列一元一次方程即可求解；
（2）①根据表格信息列出w与t之间的函数解析式；
②根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得t的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可．
（1）
（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意，得
16x＋12（24－x）＝328．
解得x＝10．
∴24－x＝24－10＝14．
答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆．
（2）
①w=1200t+1000(12−t)+900(10−t)+750[14−(12−t)]=50t+22500．
②∵16t+12(12−t)⩾160
∴t⩾4
∵50>0，
∴w随t的减小而减小．
∴当t＝4时，w最小＝50×4＋22500＝22700（元）．
[名师点拨]本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键．
题型4-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
[答案](1)每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元
(2)该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料
[提示]（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，根据题意，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可；
（2）设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，则可以购买(200−a)盒B种型号的颜料，根据总费用不超过3920元，列出不等式求解即可．
（1）解：设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元．
根据题意得x+2y=562x+y=64，
解得{x=24y=16
∴每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元．
（2）解：设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，
根据题意得24a+16(200−a)≤3920
解得a≤90
∴该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．
[名师点拨]本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是（1）根据题意找出对应关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系正确列出一元一次不等式．
题型4-5．（2022·广西玉林·中考真题）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
(1)求两次购买龙眼各是多少吨？
(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
[答案](1)第一次购买了7吨龙眼，第二次购买了14吨龙眼
(2)至少要把15吨龙眼加工成桂圆肉
[提示]（1）设第一次购买龙眼x吨，第二次购买龙眼y吨，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设将a吨龙眼加工成桂圆肉，则（21-a）吨龙眼加工成龙眼干，则总的销售额为：31.5+0.5a，则根据题意有不等式31.5+0.5a≥39，解该不等式即可求解．
（1）
设第一次购买龙眼x吨，第二次购买龙眼y吨，
根据题意有：
x+y=210.4x+0.3y=7，解得：x=7y=14，
即第一次购买龙眼7吨，第二次购买龙眼14吨；
（2）
设将a吨龙眼加工成桂圆肉，则（21-a）吨龙眼加工成龙眼干，
则总的销售额为：a×0.2×10+(21−a)×0.5×3=31.5+0.5a，
则根据题意有：31.5+0.5a≥39，
解得：a≥15，
即至少要把15吨龙眼加工成桂圆肉．
[名师点拨]本题考查了二元一次方程组即一元一次不等式的应用，明确题意列出二元一次方程组即一元一次不等式是解答本题的关键．
题型4-6 （2022·湖南邵阳·中考真题）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
[答案](1)购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
(2)购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
[提示]（1）设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，利用总价=单价×数量，结合购买“冰墩墩”摆件和“冰墩墩”挂件共180个且共花费11400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，利用总价=单价×数量，结合至少盈利2900元，即可得出关于m的不等式，解之即可得出结论．
[详解]（1）解：设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，
依题意得：x+y=18080x+50y=11400，
解得：x=80y=100，
答：购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
（2）解：设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，
依题意得：（100-80）（180-m）+（60-50）m≥2900，
解得：m≤70，
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
[名师点拨]本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
知识点三 解一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。
不等式组解集的确定方法（a）b）：
不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈：
[注意]
1）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的。
2）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
解一元一次不等式组的一般步骤：
4） 求出不等式组中各不等式的解集。
5） 将各不等式的解决在数轴上表示出来。
6） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
考查题型五 解一元一次不等式组
题型5．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组3x−2＜2（x+1），x−12＞1的解集是（ ）
A．x＜3 B．无解 C．2＜x＜4 D．3＜x＜4
[答案]D
[提示]分别解两个不等式得到，然后根据大小小大取中间确定不等式组的解集．
[详解]解：解不等式3x−2<2x+1，解得x<4，
解不等式x−12>1，解得x>3，
∴不等数组的解集为3
[名师点拨]本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
题型5-1．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ）
A．x<1x<−1 B．x<1x>−1 C．x>1x<−1 D．x>1x>−1
[答案]D
[提示]先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．
[详解]解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故选项A不符合题意；
B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故选项B不符合题意；
C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故选项C不符合题意；
D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故选项D符合题意．
故选：D．
[名师点拨]本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．
题型5-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）不等式组−x−1≤20.5x−1<0.5的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[答案]A
[提示]分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
[详解]解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，
由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
故选：A．
[名师点拨]本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
题型5-3．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案]B
[提示]本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．
[详解]解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得，2a>6−2a6−2a>0，
解得32＜a＜3，
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集，
∴a只能取2．
故选：B．
[名师点拨]本题考查了三角形三边之间的关系、解不等式组，解题的关键是把把三棱柱的问题转化为三角形三边的问题．
题型5-4．（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组x−a>0,7−2x>5仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2
C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2
[答案]D
[提示]先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可解答．
[详解]解：x−a>0①7−2x>5②
由①得，x>a
由②得，x<1
因不等式组有3个整数解
∴a
∴−3≤a<−2
故选：D．
[名师点拨]本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，掌握相关知识是解题关键．
题型5-5．（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A．−12
[答案]D
[提示]根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解．
[详解]解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内，
∴m<0①1+2m<0②，
解不等式①得：m<0，
解不等式②得：m<−12，
∴不等式组的解集为：m<−12，
故选D．
[名师点拨]本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
题型5-6．（2022·湖南邵阳·中考真题）关于x的不等式组−13x>23−x12x−1<12(a−2)有且只有三个整数解，则a的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
[答案]C
[提示]分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为1
−13x+x>23，
∴23x>23，
∴x>1，
解不等式12x−1<12(a−2)，
得12x<12(a−2)+1，
∴x
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，
∴4
故选：C．
[名师点拨]本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识．
题型5-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x−1=0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x<0的关联方程，则n的取值范围是 ___________．
[答案]1≤n<3
[提示]解一元一次方程得出方程的解x=3，代入不等式组可得答案．
[详解]解：解方程13x−1=0得x=3，
∵x=3为不等式组x−2≤n2n−2x<0的解，
∴1≤n2n−6≤0，解得1≤n<3，
即n的取值范围为：1≤n<3，
故答案为：1≤n<3．
[名师点拨]本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式组、一元一次方程的能力．
题型5-8．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是__________．
[答案]a<1且a≠0
[提示]把a看作常数，去分母得到一元一次方程，求出x的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为0列不等式并求解即可．
[详解]解：由1x+1x+1=x+ax(x+1)得x=a−1，
∵关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，
∴ x<0x≠0x≠−1，即a−1<0a−1≠0a−1≠−1，解得a<1a≠1a≠0，即a<1且a≠0，
故答案为：a<1且a≠0．
[名师点拨]本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
题型5-9．（2022·江苏淮安·中考真题）解不等式组：2x−1≥−43x−62
[提示]分别求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再求出不等式组的正整数解即可．
[详解]解：解不等式2x−1≥−4得x≥−1．
解不等式3x−62
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
[名师点拨]本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集是解题的关键．
题型5-10．（2022·山东枣庄·中考真题）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③43x+3≥1﹣23x．
[答案]见解析
[提示]选出两个不等式，组成不等式组，解不等式组并把解集表示在数轴上即可．
[详解]解：（1）若选择①、②：
2x−1<7①5x−2>3(x+1)② ，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x＞52，
∴不等式组的解集：52＜x＜4，
把解集表示在数轴上如下：
（2）若选择①、③：
2x−1<7①43x+3≥1−23x② ，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜4，
把解集表示在数轴上如下：
（3）若选择②、③：
5x−2>3(x+1)①43x+3≥1−23x② ，
解不等式①得：x＞52，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集是x＞52，
把解集表示在数轴上如下：
[名师点拨]此题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
题型5-11．（2022·四川乐山·中考真题）解不等式组5x+1>3x−1①2x−1≤x+2②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以原不等式组解集为______．
[答案]x>−2；x≤3；见详解；−2
[详解]解：解不等式①，得x>−2，
解不等式②，得x≤3，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
所以原不等式组解集为：−2
考查题型六 由一元一次不等式解集求参数
题型6．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x<2，则a的取值范围是________．
[答案]a≥2
[提示]先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
[详解]解：2x−1＜3①x−a<0②，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＜a，
∵关于x的不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x＜2，
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
[名师点拨]本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
题型6-1．（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3<2−x无解，则1m的取值范围是_________．
[答案]0<1m≤15
[提示]分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
[详解]解∶ 2x+3≥x+m①2x+53−3<2−x②，
解不等式①得：x≥m−3，
解不等式②得：x<2，
∵不等式组无解，
∴m−3≥2，解得：m≥5，
∴0<1m≤15．
故答案为：0<1m≤15
[名师点拨]本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
题型6-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是______________．
[答案]m >0且m≠1
[提示]先解分式方程得到解为x=m+1，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
[详解]解：方程两边同时乘以x+2x−2得到：x+2+2(x−2)=x+2m，
整理得到：x=m+1，
∵分式方程的解大于1，
∴m+1>1，解得：m>0，
又分式方程的分母不为0，
∴m+1≠2且m+1≠−2，解得：m≠1且m≠−3，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
[名师点拨]本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
题型6-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组{3x−6>0x>m的解集为x>2，则m的取值范围为_______．
[答案]m≤2
[提示]先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m范围即可．
[详解]解：{3x−6>0①x>m②，
解①得：x>2，
又因为不等式组的解集为x>2
∵x>m，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
[名师点拨]本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．
题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组x+y=3①x−y=1②的解满足2kx−3y<5，求k的取值范围．
[答案]k<2
[提示]先求出二元一次方程组的解，代入2kx−3y<5中即可求k；
[详解]解：令①+②得，2x=4，
解得：x=2，
将x=2代入①中得，2+y=3，
解得：y=1，
将x=2，y=1代入2kx−3y<5得，4k−3<5，
解得：k<2．
[名师点拨]本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，掌握相关运算法则和方法是解本题的关键．
知识点四 一元一次不等式（组）的实际应用
一元一次不等式(组)的实际应用：分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式(组)，解不等式(组)，作答。
基本过程：这一过程可简单表述为：问题不等式(组)解答。
中考出现一元一次不等式(组)试题类型总结：
1）类型一：一元一次不等式的解集问题；
2）类型二：一元一次不等式组无解的情况；
3）类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围；
4）类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围；
5）类型五：一元一次不等式组有整数解求范围；
6）类型六：一元一次不等式(组)应用题。
考查题型七 用一元一次不等式组解决实际问题
题型7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
[答案](1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元
(2)共有6种进货方案
(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元
[提示]（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
（1）
设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元
根据题意，得10a+5b=10005a+3b=550 解得a=50b=100
∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.
（2）
设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
根据题意，得50x+100y=10000
变形得y=100−12x
由题意得：x≥6100−12x①100−12x≥20②
由①得：x⩾150
由②得：x⩽160
∴150⩽x⩽160
∵x，y均为正整数
∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160
与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20
∴共有6种进货方案.
（3）
设总利润为W元
则W=20x+30y=5x+3000
∵5>0
∴W随x的增大而增大
∴当x=160时，W有最大值：5×160+3000=3800（元）
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
[名师点拨]本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．
题型7-1．（2022·四川绵阳·中考真题）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
[答案](1)500元；
(2)方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
[提示]（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润=每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；
（2）设购进菠萝mkg，则购进苹果1700−5m6kg，根据“菠梦的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，1700−5m6均为正整数，即可得出各进货方案．
（1）
解：设第一天，该经营户批发菠萝xkg，苹果ykg，根据题意得：
x+y=3005x+6y=1700，
解得：x=100y=200，
∴(6−5)x+(8−6)y=(6−5)×100+(8−6)×200=500元，
答：这两种水果获得的总利润为500元；
（2）
解：设购进菠萝mkg，则购进苹果1700−5m6kg，根据题意：
m≥88(6−5)m+(8−6)×1700−5m6>500，解得：88≤m<100，
∵m，1700−5m6均为正整数，
∴m取88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
[名师点拨]本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
题型7-2．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
[答案](1)去年每吨土豆的平均价格是2200元
(2)应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元
[提示]（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+200）元，第二次采购的平均价格为（x-200）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的土豆枣数，根据所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．
（1）
设去年每吨土豆的平均价格是x元，
由题意得，300000x+200×2=500000x−200 ，
解得：x=2200，
经检验：x=2200是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；
（2）
由（1）得，今年的土豆数为：3000002400×3=375(吨)，
设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375－m）吨加工成淀粉，
由题意得，{m≥23(375−m)m5+375−m8≤60，
解得：150≤m≤175，
总利润为：700m+400(375−m)=300m+150000，
当m=175时，利润最大，最大利润为：300×175+150000=202500（元）．
答：应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元．
[名师点拨]此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
题型7-3．（2022·四川内江·中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
[答案](1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人
(2)一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆
(3)学校租车总费用最少是2800元．
[提示]（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程；
（2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可；
（3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用．
（1）
设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）
师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
[名师点拨]本题考查一元一次方程的实际应用、利用一次函数解决最小利润问题，解决问题的关键是根据题意得到相等关系或不相等关系列出方程、不等式组以及函数解析式解决问题．
题型7-4．（2022·黑龙江·中考真题）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
[答案](1)购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元
(2)有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根
(3)方案三需要费用最少，最少费用是550元
[提示]（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，可列方程组10x+5y=17515x+10y=300，解方程组即可求得结果；
（2）根据题意可列出不等式组10m+1545−m≤56010m+1545−m≥548，解不等式组得到解集再结合m为正整数即可确定方案；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得w=−5m+675，结合函数的性质，可知w随m的增大而减小，由此即可求得答案．
（1）
解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得10x+5y=17515x+10y=300，
解得x=10y=15，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
（2）
根据题意，得10m+1545−m≤56010m+1545−m≥548，
解得23≤m≤25.4，
∵m为整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
（3）
设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得w=10m+1545−m=−5m+675
∵−5<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=25时，w有最小值，即w=−5×25+675=550（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．
[名师点拨]本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．
题型7-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
[答案](1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)①w=−0.8m+60；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
[提示]（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；
（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为30−m台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得90m+10030−m≥2830−0.8m+60≤48，然后可得15≤m≤17，进而根据一次函数的性质可进行求解．
[详解]（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：
540x=600x+10，
解得：x=90；
经检验：x=90是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
（2）解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为30−m台，
∴w=1.2m+230−m=−0.8m+60；
②由题意得：90m+10030−m≥2830−0.8m+60≤48，
解得：15≤m≤17，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为w=−0.8×17+60=46.4，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
[名师点拨]本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．
题型7-6．（2022·湖北荆州·中考真题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
[答案](1)w=−x2+32x−252
(2)①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为61万元．
[提示]（1）由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答案；
（2）①把w=4代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案．
（1）
解：由题意得：
w=(x−8)y−60
=(x−8)(24−x)−60
=−x2+32x−252,
（2）
①由（1）得：当w=4时，
则−x2+32x−252=4,即x2−32x+256=0,
解得：x1=x2=16,
即第一年的售价为每件16元，
②∵ 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，
∴{x≤1624−x≤13, 解得：11≤x≤16,
∵ 其他成本下降2元/件，
∴w=(x−6)(24−x)−4=−x2+30x−148,
∵ 对称轴为x=−302×(−1)=15, a=−1<0,
∴ 当x=15时，利润最高，为77万元，而11≤x≤16,
当x=11时，w=5×13−4=61（万元）
当x=16时，w=10×8−4=76 （万元）
∴61≤w≤77,
所以第二年的最低利润为61万元．
[名师点拨]本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系式，再利用二次函数的性质解题是关键．
一元一次方程
[知识要点]
知识点一 一元一次方程的基础
等式的概念：用等号表示相等关系的式子。
[注意]
1）等式可以是数字算式， 可以是公式、方程， 也可以是运算律、运算法则等。
2）等式与代数式的区别：等式含有等号， 表示两个式子相等关系， 而代数式不含等号， 只能作为等式的一边。
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
[特征]它含有未知数， 同时又是—个等式。
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）， 且未知数的次数都是1（次）， 这样的的整式方程叫一元一次方程。
一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数， a、b是常数且a≠0）
方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。
知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础）
等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子）， 结果仍相等。
表示为：如果a=b， 则a±c=b±c
等式的性质2：等式两边乘同一个数， 或除以同一个不为零的数， 结果仍相等。
表示为：如果 a=b， 那么ac = bc
如果 a=b(c≠0)， 那么 ac = bc
[注意事项]
1．等式两边都要参加运算， 并且是同一种运算。
2．等式两边加或减,乘或除的数一定是同一个数或同一个式子。
3．等式两边不能都除以0， 即0不能作除数或分母。
4. 等式左右两边互换， 所得结果仍是等式。
考查题型一 等式的性质
题型１．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中， 导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U， 导体的电阻R之间有以下关系：去分母得， 那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
题型１－１．（2022·青海·中考真题）下列说法中， 正确的是（ ）
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
题型１－２．（2021·安徽·中考真题）设a， b， c为互不相等的实数， 且， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型１－３．（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3， 则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
题型１－４．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨， 则推理结果可能产生错误．
例如， 有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”， 并证明如下：
设任意一个实数为x， 令，
等式两边都乘以x， 得．①
等式两边都减， 得．②
等式两边分别分解因式， 得．③
等式两边都除以， 得．④
等式两边都减m， 得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中， 开始出现错误的那一步对应的序号是______．
易错点总结：
知识点三 解一元一次方程
合并同类项：把若干能合并的式子的系数相加， 且字母和字母的指数不变， 起到化简的作用。
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边。（依据：等式的性质1）
去括号：括号前负号时， 去掉括号时里面各项应变号。
去分母：在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。
[去分母易错点]1）去分母时不含分母的项也需要乘分母的最小公倍数。
2）当分母中含有小数时， 先将小数化成整数。
例：尝试通过计算加深理解：0.2x−0.10.6−0.5x+0.10.4=1
解一元一次方程的基本步骤：
考查题型二 解一元一次方程
题型２．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6， 得①
去括号， 得②
移项， 得③
合并同类项， 得④
以上解题步骤中， 开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
题型２－１．（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
题型２－２．（2021·浙江温州·中考真题）解方程， 以下去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型２－３．（2022·浙江金华·中考真题）若分式的值为2， 则x的值是_______．
题型２－４．（2021·重庆·中考真题）若关于x的方程的解是， 则a的值为__________．
题型２－５．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时， 发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是， 请计算．
(2)如果计算结果等于6， 求被污染的数字．
题型２－６．（2021·四川广元·中考真题）解方程：．
易错点总结：
知识点四 实际问题与一元一次方程
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系， 以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
常见利用方程解决实际问题等量关系：
销售中盈亏问题：
1）成本价：俗称进价， 是商家进货时的价格；
2）标价：商家出售时标注的价格；
3）打折：打折就是以标价为基础， 按一定比例降价出售。如：打9折， 就是按标价的90℅出售。
4）利润=售价－进价， 利润>0时盈利， 利润<0时亏损。
5）利润率=利润成本×100%=售价−成本成本×100%。
顺逆流问题：
船在顺水中的速度= 船在静水中的速度 + 水流速度
船在逆水中的速度= 船在静水中的速度 - 水流速度
船顺水的行程 = 船逆水的行程
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
数字问题：
一个两位数， 十位数字是a， 个位数字是b， 那么这个数可表示为10a+b
一个三位数， 百位数字是x, 十位数字是y， 个位数字是z， 那么这个数可表示为100x+10y+z
工程、效率问题：
工程问题中要善于把握什么是总工作量， 总工作量可以看成“1”；
工程问题中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量“1”。
工作量=工作时间×工作效率
球赛积分问题：
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
行程问题：
路程=速度*时间
相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离
追及问题：快者的行程-慢者的行程=初始距离
钟表问题：
整个钟面为360度， 上面有12个大格， 每个大格为30度；60个小格， 每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格， 每分钟走6度
时针速度：每分钟走小格， 每分钟走0.5度
考查题型三 工程问题
题型３ （2022·重庆·中考真题）为保障蔬菜基地种植用水， 需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米， 甲施工队施工5天后， 增加施工人员， 每天比原来多修建20米， 再施工2天完成任务， 求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大， 现还需修建另一条灌溉水渠1800米， 为早日完成任务， 决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠， 直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后， 通过技术更新， 每天比原来多修建20%， 灌溉水渠完工时， 两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？(1)
题型３－１．（2021·广西桂林·中考真题）为了美化环境， 建设生态桂林， 某社区需要进行绿化改造， 现有甲、乙两个绿化工程队可供选择， 已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米， 甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米， 甲队每天的施工费用为600元， 乙队每天的施工费用为400元， 比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？
题型３－２．（2021·山东泰安·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径， 针对疫苗急需问题， 某制药厂紧急批量生产， 计划每天生产疫苗16万剂， 但受某些因素影响， 有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情， 回厂的工人加班生产， 由原来每天工作8小时增加到10小时， 每人每小时完成的工作量不变， 这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后， 未到的工人同时到岗加入生产， 每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务， 问该厂共需要多少天才能完成任务？
题型３－３．（2021·四川成都·中考真题）为改善城市人居环境， 《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨， 刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行， 垃圾分类要求提高， 现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾， 同时由于市民环保意识增强， 该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个， 试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
易错点总结：
考查题型四 销售盈亏问题
题型４ （2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材， 实现企业绿色低碳发展， 通过技术改造升级， 使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3， 4月份共生产再生纸800吨， 其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元， 5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加， 则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元， 4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同， 6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
易错点总结：
题型４－１．（2022·四川南充·中考真题）南充市被誉为中国绸都， 本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品， 它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
(1)求真丝衬衣进价a的值．
(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件， 据市场销售分析， 真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)按（2）中最大利润方案进货与销售， 在实际销售过程中， 当真丝围巾销量达到一半时， 为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%， 衬衣售价不变， 余下围巾降价销售， 每件最多降价多少元？
题型４－２．（2022·四川资阳·中考真题）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱， 人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”， 已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元， 购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个， 求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
易错点总结：
考查题型五 比赛积分问题
题型５．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识， 某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛， 抢答题一共20个， 记分规则如下：每答对一个得5分， 每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分， 则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
考查题型六 数字问题
题型６．（2021·吉林·中考真题）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数， 它的三分之二， 它的一半， 它的七分之一， 它的全部， 加起来总共是33， 若设这个数是， 则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型６－１．（2021·山东枣庄·中考真题）幻方是古老的数学问题， 我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中， 要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15， 则的值为______．
考查题型七 几何问题
题型７．（2022·四川自贡·中考真题）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°， 则这个底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
题型７－１．（2021·广东广州·中考真题）如图， 在数轴上， 点A、B分别表示a、b， 且， 若， 则点A表示的数为（ ）
A． B．0 C．3 D．
考查题型八 和差倍分问题
题型８．（2022·山东东营·中考真题）植树节当天， 七年级1班植树300棵， 正好占这批树苗总数的， 七年级2班植树棵数是这批树苗总数的， 则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180
题型８－１．（2022·湖南岳阳·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题， 原文如下：今有百鹿入城， 家取一鹿， 不尽， 又三家共一鹿， 适尽， 问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城， 每家取一头鹿， 没有取完， 剩下的鹿每3家共取一头， 恰好取完， 问：城中有多少户人家？在这个问题中， 城中人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
题型８－２．（2022·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕， 人出一百， 盈一百；人出九十， 适足．”其大意是：“今有人合伙买猪， 每人出100钱， 则会多出100钱；每人出90钱， 恰好合适．”若设共有x人， 根据题意， 可列方程为____________．
题型８－３．（2021·重庆·中考真题）盲盒为消费市场注入了活力， 既能够营造消费者购物过程中的趣味体验， 也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个， 搭配为A， B， C三种盲盒各一个， 其中A盒中有2个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量， 蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 2个迷你音箱．经核算， A盒的成本为145元， B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和）， 则C盒的成本为__________元．
题型８－４．（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著， 几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元， 则多了3元；若每人出7元， 则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
题型８－５．（2022·湖南娄底·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物， 具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少， 若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树， 据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
题型８－６．（2021·广西梧州·中考真题）运用方程或方程组解决实际问题：若干学生分若干支铅笔， 如果每人5支， 那么多余3支；如果每人7支， 那么缺5支．试问有多少名学生？共有多少支铅笔？
易错点总结：
考查题型九 电费水费问题
题型９．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克， 端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时， 按原价售出， 超过2千克时， 超过的部分打8折．若某人付款14元， 则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为元， 购买量为千克， 则购买量关于付款金额的函数解析式为______．
题型９－１．（2021·广西贺州·中考真题）为了提倡节约用水， 某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时， 按一级单价收费；当每户每月用水量超过时， 超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为， 缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家， 用水量为， 缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费， 二级大费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时， 用水量为多少？
易错点总结：
考查题型十 行程问题
题型１０．（2022·江苏苏州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作， 奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术， 其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步， 不善行者行六十步．今不善行者先行一百步， 善行者追之， 问几何步及之？”译文：“相同时间内， 走路快的人走100步， 走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步， 走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上， 根据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
题型１０－１．（2022·甘肃武威·中考真题）《九章算术》是中国古代的一部数学专著， 其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海， 七日至北海；雁起北海， 九日至南海．今凫雁俱起， 问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞， 7天到北海；大雁从北海起飞， 9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞， 问经过多少天相遇？设经过x天相遇， 根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
题型１０－２．（2022·辽宁营口·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一， 书中记载一道问题：“良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里， 驽马先行一十二日， 问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里， 慢马每天走150里， 慢马先走12天， 试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马， 则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型１０－３．（2022·湖南常德·中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家， 匀速行驶需要4小时， 某天， 他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨， 立即将车速减少了20千米／小时， 到达奶奶家时共用了5小时， 问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
题型１０－４．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中， 骑行运动颇受市民青睐， 甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地， 已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米， 甲才开始从地出发， 则甲出发半小时恰好追上乙， 求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟， 甲才开始从地出发， 则甲、乙恰好同时到达地， 求甲骑行的速度．
题型１０－５．（2021·广西百色·中考真题）据国际田联《田径场地设施标准手册》， 400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成， 有8条跑道， 每条跑道宽1.2米， 直道长87米；跑道的弯道是半圆形， 环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际， 建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程）， 在如图的起跑线同时出发， 经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍， 求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道， 过两人所在点的直线与跑道边线垂直时， 称两人直道相遇）
易错点总结：
考查题型十一 其它问题
题型１１．（2022·河北·中考真题）“曹冲称象”是流传很广的故事， 如图．按照他的方法：先将象牵到大船上， 并在船侧面标记水位， 再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石， 并在船上留3个搬运工， 这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石， 船上只留1个搬运工， 水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤， 设每块条形石的重量是x斤， 则正确的是（ ）
A．依题意 B．依题意
C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤
题型１１－１．（2022·四川南充·中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何．”设鸡有x只， 可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型１１－２．（2022·湖北十堰·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗， 醐洒一斗直粟三斗， 今持粟三斛， 得酒五斗， 问清跴酒各几何?”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子， 一斗䣾酒价值3斗谷子， 现在拿30斗谷子， 共换了5斗酒， 问清洒， 酳酒各几斗? 如果设清酒斗， 那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x3+30−x10=5 D．
题型１１－３．（2022·青海西宁·中考真题）在数学活动课上， 兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示， 在轻质木杆O处用一根细线悬挂， 左端A处挂一重物， 右端B处挂钩码， 每个钩码质量是50g．若OA=20cm， OB=40cm， 挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg， 根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
题型１１－４．（2021·湖南株洲·中考真题）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十， 粝米三十……”（粟指带壳的谷子， 粝米指糙米）， 其意为：“50单位的粟， 可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升）， 若按照此“粟米之法”， 则可以换得粝米为（ ）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
题型１１－５．（2022·浙江嘉兴·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图， 在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态）， 将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A， B处， 当钢梁保持水平时， 弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动， 移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍， 且钢梁保持水平， 则弹簧秤读数为_______（N）（用含n， k的代数式表示）．
题型１１－６．（2022·江苏南通·中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊， 人出五， 不足四十五；人出七， 余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊， 若每人出5钱， 还差45钱；若每人出7钱， 多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x， 则可列方程为___________．
题型１１－７．（2022·吉林长春·中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作， 其中记载：我问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店， 若每间住7人， 则余下7人无房可住；若每间住9人， 则余下一间无人住， 设店中共有x间房， 可求得x的值为________．
题型１１－８．（2021·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇， 不知人数不知竹每人六竿多十四， 每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍， 不知与多少人和竹竿每人6竿， 多14竿；每人8竿， 恰好用完”若设有牧童x人， 根据题意， 可列方程为__________．
题型１１－９．（2021·湖北湖北·中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索， 索比竿子长一托， 对折索子来量竿， 却比竿子短一托．如果1托为5尺， 那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索， 如果用绳索去量竿， 绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿， 就比竿短5尺， 则绳索长几尺．）
题型１１－１０．（2022·江苏连云港·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物， 人出八， 盈三；人出七， 不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱， 剩余3钱；每人出7钱， 还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
题型１１－１１．（2022·湖南长沙·中考真题）电影《刘三姐》中， 有这样一个场景， 罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你， 一少三多四下分， 不要双数要单数， 看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群， 每个群里， 狗的数量都是奇数， 其中一个群， 狗的数量少：另外三个群， 狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去， 九十九条看羊来， 九十九条守门口， 剩下三条给财主．”请你根据以上信息， 判断以下三种说法是否正确， 在题后相应的括号内， 正确的打“√”， 错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的， 但不是唯一正确的答案．（ ）
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（ ）
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（ ）
(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里， 每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”， 求每个群里狗的数量．
题型１１－１２．（2022·江苏镇江·中考真题）某公司专业生产某种产品， 6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单， 要求本月底完成， 7月1日按期交货．
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
经盘点目前公司已有该产品库存2855件， 补充原材料后， 从本月7日开始生产剩余数量的该产品， 已知该公司除周六、周日正常休息外， 每天的生产量相同．但因受高温天气影响， 从本月10日开始， 每天的生产量比原来减少了25件， 截止到17日生产结束， 库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品， 能否按期完成订单？请说明理由．如果不能， 请你给该公司生产部门提出一个合理的建议， 以确保能按期交货．
易错点总结：
[知识要点]
知识点一 一元一次方程的基础
等式的概念：用等号表示相等关系的式子。
[注意]
1）等式可以是数字算式， 可以是公式、方程， 也可以是运算律、运算法则等。
2）等式与代数式的区别：等式含有等号， 表示两个式子相等关系， 而代数式不含等号， 只能作为等式的一边。
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
[特征]它含有未知数， 同时又是—个等式。
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）， 且未知数的次数都是1（次）， 这样的的整式方程叫一元一次方程。
一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数， a、b是常数且a≠0）
方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。
知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础）
等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子）， 结果仍相等。
表示为：如果a=b， 则a±c=b±c
等式的性质2：等式两边乘同一个数， 或除以同一个不为零的数， 结果仍相等。
表示为：如果 a=b， 那么ac = bc
如果 a=b(c≠0)， 那么 ac = bc
[注意事项]
1．等式两边都要参加运算， 并且是同一种运算。
2．等式两边加或减,乘或除的数一定是同一个数或同一个式子。
3．等式两边不能都除以0， 即0不能作除数或分母。
4. 等式左右两边互换， 所得结果仍是等式。
考查题型一 等式的性质
题型１．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中， 导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U， 导体的电阻R之间有以下关系：去分母得， 那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
[详解]解：去分母得， 其变形的依据是等式的性质2， 故选：B．
题型１－１．（2022·青海·中考真题）下列说法中， 正确的是（ ）
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
[详解]解：A、若ac=bc， 当c≠0， 则a=b， 故此选项错误；
B、若， 则， 故此选项错误；
C、若， 则， 故此选项正确；
D、若， 则， 故此选项错误；故选：C．
题型１－２．（2021·安徽·中考真题）设a， b， c为互不相等的实数， 且， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：A．当， ， 时， ， 故A错误；
B．当， ， 时， ， 故B错误；
C．整理可得， 故C错误；
D．整理可得， 故D正确；故选：D．
题型１－３．（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3， 则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
[详解]解：由x＋a＝2， 得：x＝2-a， ∵﹣3＜a≤3， ∴﹣1≤2-a＜5， 即：﹣1≤x＜5， 故选A．
题型１－４．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨， 则推理结果可能产生错误．
例如， 有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”， 并证明如下：
设任意一个实数为x， 令，
等式两边都乘以x， 得．①
等式两边都减， 得．②
等式两边分别分解因式， 得．③
等式两边都除以， 得．④
等式两边都减m， 得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中， 开始出现错误的那一步对应的序号是______．
[详解]等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式， 等式不变，
∴第④步等式两边都除以， 得， 前提必须为， 因此错误；
故答案为：④．
知识点三 解一元一次方程
合并同类项：把若干能合并的式子的系数相加， 且字母和字母的指数不变， 起到化简的作用。
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边。（依据：等式的性质1）
去括号：括号前负号时， 去掉括号时里面各项应变号。
去分母：在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。
[去分母易错点]1）去分母时不含分母的项也需要乘分母的最小公倍数。
2）当分母中含有小数时， 先将小数化成整数。
例：尝试通过计算加深理解：0.2x−0.10.6−0.5x+0.10.4=1
解一元一次方程的基本步骤：
考查题型二 解一元一次方程
题型２．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6， 得①
去括号， 得②
移项， 得③
合并同类项， 得④
以上解题步骤中， 开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
[详解]解：方程两边同乘6， 得①∴开始出错的一步是①， 故选：A．
题型２－１．（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
[详解]解：3x＝2x＋7移项得， 3x-2x=7；合并同类项得， x＝7；故选：C．
题型２－２．（2021·浙江温州·中考真题）解方程， 以下去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：， ， 故选：D．
题型２－３．（2022·浙江金华·中考真题）若分式的值为2， 则x的值是_______．
[详解]解：由题意得：
去分母：
去括号：
移项， 合并同类项：
系数化为1：
经检验， x=4是原方程的解，
故答案为：4；
题型２－４．（2021·重庆·中考真题）若关于x的方程的解是， 则a的值为__________．
[详解]解：根据题意， 知， 解得a=3．故答案是：3．
题型２－５．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时， 发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是， 请计算．
(2)如果计算结果等于6， 求被污染的数字．
[详解]（1）解：；
（2）设被污染的数字为x，
由题意， 得， 解得，
所以被污染的数字是3．
题型２－６．（2021·四川广元·中考真题）解方程：．
[详解]解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
知识点四 实际问题与一元一次方程
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系， 以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
常见利用方程解决实际问题等量关系：
销售中盈亏问题：
1）成本价：俗称进价， 是商家进货时的价格；
2）标价：商家出售时标注的价格；
3）打折：打折就是以标价为基础， 按一定比例降价出售。如：打9折， 就是按标价的90℅出售。
4）利润=售价－进价， 利润>0时盈利， 利润<0时亏损。
5）利润率=利润成本×100%=售价−成本成本×100%。
顺逆流问题：
船在顺水中的速度= 船在静水中的速度 + 水流速度
船在逆水中的速度= 船在静水中的速度 - 水流速度
船顺水的行程 = 船逆水的行程
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
数字问题：
一个两位数， 十位数字是a， 个位数字是b， 那么这个数可表示为10a+b
一个三位数， 百位数字是x, 十位数字是y， 个位数字是z， 那么这个数可表示为100x+10y+z
工程、效率问题：
工程问题中要善于把握什么是总工作量， 总工作量可以看成“1”；
工程问题中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量“1”。
工作量=工作时间×工作效率
球赛积分问题：
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
行程问题：
路程=速度*时间
相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离
追及问题：快者的行程-慢者的行程=初始距离
钟表问题：
整个钟面为360度， 上面有12个大格， 每个大格为30度；60个小格， 每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格， 每分钟走6度
时针速度：每分钟走小格， 每分钟走0.5度
考查题型三 工程问题
题型３ （2022·重庆·中考真题）为保障蔬菜基地种植用水， 需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米， 甲施工队施工5天后， 增加施工人员， 每天比原来多修建20米， 再施工2天完成任务， 求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大， 现还需修建另一条灌溉水渠1800米， 为早日完成任务， 决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠， 直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后， 通过技术更新， 每天比原来多修建20%， 灌溉水渠完工时， 两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？(1)
解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米， 原来每天修建米，
则有
解得
∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．
(2)∵水渠总长1800米， 完工时， 两施工队修建长度相同
∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)
乙施工队技术更新后， 修建长度为900－360＝540(米)
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米， 技术更新后每天修建米， 即1.2y米， 则有
解得
经检验， 是原方程的解， 符合题意
∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
题型３－１．（2021·广西桂林·中考真题）为了美化环境， 建设生态桂林， 某社区需要进行绿化改造， 现有甲、乙两个绿化工程队可供选择， 已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米， 甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米， 甲队每天的施工费用为600元， 乙队每天的施工费用为400元， 比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？
[详解]解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米， 则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米，
依题意得：x+x+200=800
解得：x=300，
x+200=500
∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米， 乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．
（2）选择方案①甲队单独完成所需费用=（元）；
选择方案②乙队单独完成所需费用=（元）；
选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=（元）；
∴选择方案①完成施工费用最少．
题型３－２．（2021·山东泰安·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径， 针对疫苗急需问题， 某制药厂紧急批量生产， 计划每天生产疫苗16万剂， 但受某些因素影响， 有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情， 回厂的工人加班生产， 由原来每天工作8小时增加到10小时， 每人每小时完成的工作量不变， 这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后， 未到的工人同时到岗加入生产， 每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务， 问该厂共需要多少天才能完成任务？
[详解]解：（1）设当前参加生产的工人有x人，
依题意得：，
解得：，
经检验， 是原方程的解， 且符合题意．
答：当前参加生产的工人有30人．
（2）每人每小时的数量为（万剂）．
设还需要生产y天才能完成任务，
依题意得：，
解得：， （天）
答：该厂共需要39天才能完成任务．
题型３－３．（2021·四川成都·中考真题）为改善城市人居环境， 《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨， 刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行， 垃圾分类要求提高， 现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾， 同时由于市民环保意识增强， 该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个， 试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
[详解]解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x， 则A型为x+7，
由题意得：10x+12（x+7）=920，
解得：x=38，
答：每个B型点位每天处理生活垃圾为38吨数；
（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y．
由题意得（12+y）(38+7-8)+（10+5-y）（38-8）≥920-10
解得：y≥ ，
∵y为整数
∴至少需要增设3个A型点位，
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
考查题型四 销售盈亏问题
题型４ （2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材， 实现企业绿色低碳发展， 通过技术改造升级， 使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3， 4月份共生产再生纸800吨， 其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元， 5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加， 则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元， 4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同， 6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
（1）解：设3月份再生纸产量为吨， 则4月份的再生纸产量为吨，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得：，
解得：或（不合题意， 舍去）
∴，
∴的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为， 5月份再生纸的产量为吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
题型４－１．（2022·四川南充·中考真题）南充市被誉为中国绸都， 本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品， 它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
(1)求真丝衬衣进价a的值．
(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件， 据市场销售分析， 真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)按（2）中最大利润方案进货与销售， 在实际销售过程中， 当真丝围巾销量达到一半时， 为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%， 衬衣售价不变， 余下围巾降价销售， 每件最多降价多少元？
（1）解：根据表格数据可得：50a+25×80=15000， 解得：a=260；
（2）解：设真丝衬衣件数进货x件， 则真丝围巾进货(300-x)件， 根据题意可得：300-x≥2x， 解得：x≤100；设总利润为y， 根据题意可得y=(300-260)x+(100-80)(300-x)=20x+6000， ∵20>0， ∴y随x的增大而增大， 当x=100时， y最大为：20×100+6000=8000元， 此时方案为：真丝衬衣件数进货100件， 真丝围巾进货200件， 最大利润为8000元；
（3）设降价z元， 根据题意可得100×（100-80）+100×（300-260）+100×（300-260-z）≥8000×90%， 解得：z≤28， ∴每件最多降价28元．
题型４－２．（2022·四川资阳·中考真题）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱， 人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”， 已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元， 购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个， 求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
（1）设乙种型号的单价是x元， 则甲种型号的单价是元．
根据题意得：
解得：．
∴
答：甲种型号的单价是98元， 乙种型号的单价是78元．
（2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个， 则购买乙种型号的“冰墩墩”个．
根据题意， 得：
解得：
∴a最大值是30．
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
考查题型五 比赛积分问题
题型５．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识， 某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛， 抢答题一共20个， 记分规则如下：每答对一个得5分， 每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分， 则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
[详解]解：设小红答对的个数为x个， 由题意得5x−20−x=70， 解得，
故选B．
考查题型六 数字问题
题型６．（2021·吉林·中考真题）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数， 它的三分之二， 它的一半， 它的七分之一， 它的全部， 加起来总共是33， 若设这个数是， 则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：由题意可得．故选C
题型６－１．（2021·山东枣庄·中考真题）幻方是古老的数学问题， 我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中， 要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15， 则的值为______．
[详解]解：如图， 由题意， 图中①表示的数是，
图中②表示的数是，
则，
解得，
故答案为：1．
考查题型七 几何问题
题型７．（2022·四川自贡·中考真题）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°， 则这个底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
[详解]解：设这个底角的度数为x， 则顶角的度数为（2x+20°）， 根据题意得：
，
解得：，
即这个底角的度数为40°．故选：B
题型７－１．（2021·广东广州·中考真题）如图， 在数轴上， 点A、B分别表示a、b， 且， 若， 则点A表示的数为（ ）
A． B．0 C．3 D．
[详解]解：∵
∴， 两点对应的数互为相反数，
∴可设表示的数为， 则表示的数为，
∵
∴，
解得：，
∴点表示的数为-3，
故选：A．
考查题型八 和差倍分问题
题型８．（2022·山东东营·中考真题）植树节当天， 七年级1班植树300棵， 正好占这批树苗总数的， 七年级2班植树棵数是这批树苗总数的， 则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180
[详解]解：设这批树苗一共有x棵，
由题意得：，
解得，
∴七年级2班植树的棵数是棵， 故选C．
题型８－１．（2022·湖南岳阳·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题， 原文如下：今有百鹿入城， 家取一鹿， 不尽， 又三家共一鹿， 适尽， 问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城， 每家取一头鹿， 没有取完， 剩下的鹿每3家共取一头， 恰好取完， 问：城中有多少户人家？在这个问题中， 城中人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
[详解]解：设城中有户人家，
依题意得：，
解得：，
∴城中有75户人家．
故选：B．
题型８－２．（2022·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕， 人出一百， 盈一百；人出九十， 适足．”其大意是：“今有人合伙买猪， 每人出100钱， 则会多出100钱；每人出90钱， 恰好合适．”若设共有x人， 根据题意， 可列方程为____________．
[详解]依题意：.故答案为：100x-100=90x.
题型８－３．（2021·重庆·中考真题）盲盒为消费市场注入了活力， 既能够营造消费者购物过程中的趣味体验， 也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个， 搭配为A， B， C三种盲盒各一个， 其中A盒中有2个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量， 蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 2个迷你音箱．经核算， A盒的成本为145元， B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和）， 则C盒的成本为__________元．
[详解]解：根据题意， 设B盒中蓝牙耳机3a个， 迷你音箱2a个， 优盘的数量为3a+2a=5 a个， 则， 解得， a=1；
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元， 根据题意列方程组得，
②-①得， ，
③×3-①得， ，
故答案为：155．
题型８－４．（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著， 几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元， 则多了3元；若每人出7元， 则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
[详解]解：设学生人数为x人， 由题意得：
，
解得：，
∴该书的单价为（元），
答：学生人数为7人， 该书的单价为53元．
题型８－５．（2022·湖南娄底·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物， 具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少， 若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树， 据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
[详解]（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为mg， 则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为mg， 则
解得：
答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg， 40mg．
（2）50000（mg），
而2000000mg=2000g=2kg，
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．
题型８－６．（2021·广西梧州·中考真题）运用方程或方程组解决实际问题：若干学生分若干支铅笔， 如果每人5支， 那么多余3支；如果每人7支， 那么缺5支．试问有多少名学生？共有多少支铅笔？
[详解]解：设学生有x人， 由题意得5x＋3＝7x−5，
解得：x＝4，
经检验， 符合题意
则6x＋3＝23．
答：学生有4人， 铅笔23支．
考查题型九 电费水费问题
题型９．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克， 端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时， 按原价售出， 超过2千克时， 超过的部分打8折．若某人付款14元， 则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为元， 购买量为千克， 则购买量关于付款金额的函数解析式为______．
[详解]解：∵14>10，
超过2千克，
设购买了千克， 则，
解得，
设某人的付款金额为元， 购买量为千克， 则购买量关于付款金额的函数解析式为：
，
故答案为：3， ．
题型９－１．（2021·广西贺州·中考真题）为了提倡节约用水， 某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时， 按一级单价收费；当每户每月用水量超过时， 超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为， 缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家， 用水量为， 缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费， 二级大费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时， 用水量为多少？
[详解]（1）设该市一级水费的单价为元/， 二级水费的单价为元/，
依题意得， 解得，
答：该市一级水费的单价为3.2元/， 二级水费的单价为6.5元/．
（2）当水费为64.4元， 则用水量超过，
设用水量为， 得， ，
解得：．
答：当缴纳水费为64.4元时， 用水量为．
考查题型十 行程问题
题型１０．（2022·江苏苏州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作， 奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术， 其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步， 不善行者行六十步．今不善行者先行一百步， 善行者追之， 问几何步及之？”译文：“相同时间内， 走路快的人走100步， 走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步， 走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上， 根据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：令在相同时间内走路快的人走100步， 走路慢的人只走60步， 从而得到走路快的人的速度， 走路慢的人的速度，
设走路快的人要走x步才能追上， 根据题意可得，
根据题意可列出的方程是，
故选：B．
题型１０－１．（2022·甘肃武威·中考真题）《九章算术》是中国古代的一部数学专著， 其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海， 七日至北海；雁起北海， 九日至南海．今凫雁俱起， 问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞， 7天到北海；大雁从北海起飞， 9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞， 问经过多少天相遇？设经过x天相遇， 根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：设经过x天相遇，
根据题意得：x+x=1，
∴（+）x=1，
故选：A．
题型１０－２．（2022·辽宁营口·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一， 书中记载一道问题：“良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里， 驽马先行一十二日， 问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里， 慢马每天走150里， 慢马先走12天， 试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马， 则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：设快马x天可以追上慢马， 依题意， 得： 240x-150x=150×12．故选：D．
题型１０－３．（2022·湖南常德·中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家， 匀速行驶需要4小时， 某天， 他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨， 立即将车速减少了20千米／小时， 到达奶奶家时共用了5小时， 问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
[详解]解：设小强家到他奶奶家的距离是千米， 则平时每小时行驶千米， 减速后每小时行驶千米， 由题可知：遇到暴雨前用时2小时， 遇到暴雨后用时5-2=3小时，
则可得：，
解得：，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
题型１０－４．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中， 骑行运动颇受市民青睐， 甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地， 已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米， 甲才开始从地出发， 则甲出发半小时恰好追上乙， 求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟， 甲才开始从地出发， 则甲、乙恰好同时到达地， 求甲骑行的速度．
(1)解：设乙的速度为千米/时， 则甲的速度为千米/时，
由题意得：，
解得：，
则，
答：甲骑行的速度为千米/时；
(2)设乙的速度为千米/时， 则甲的速度为千米/时，
由题意得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
则，
答：甲骑行的速度为千米/时．
题型１０－５．（2021·广西百色·中考真题）据国际田联《田径场地设施标准手册》， 400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成， 有8条跑道， 每条跑道宽1.2米， 直道长87米；跑道的弯道是半圆形， 环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际， 建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程）， 在如图的起跑线同时出发， 经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍， 求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道， 过两人所在点的直线与跑道边线垂直时， 称两人直道相遇）
[分析]（1）根据题意， 计算第三圈与第一圈的路程差即可解第一问， 根据题中路程公式， 可解得第八圈的路程；
（2）分析两人在左边的直道上相遇， 且两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差， 小王的速度为， 则老师的速度为， 列关于的一元一次方程， 解方程即可解题．
[详解]解：（1）根据题意得， 第三圈弯道比第一圈弯道长：
（米）；
第八圈长：（米）
答：第三圈弯道比第一圈弯道长15米， 第八圈长453米．
（2）由于两人是第一次相遇， 教练的速度更快， 且是在直道上两人相遇，
那么两人一定在左边的直道上相遇，
两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差：
（米）
设小王的速度为， 则老师的速度为
答：小王的速度为， 老师的速度为．
考查题型十一 其它问题
题型１１．（2022·河北·中考真题）“曹冲称象”是流传很广的故事， 如图．按照他的方法：先将象牵到大船上， 并在船侧面标记水位， 再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石， 并在船上留3个搬运工， 这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石， 船上只留1个搬运工， 水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤， 设每块条形石的重量是x斤， 则正确的是（ ）
A．依题意 B．依题意
C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤
[详解]解：根据题意可得方程；
则A错误， B正确；
解上面的方程得：x=240,
故D错误；
∴大象的重量是20×240+3×120=5160（斤）
故C错误，
故选：B．
题型１１－１．（2022·四川南充·中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何．”设鸡有x只， 可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：设鸡有x只， 则兔子有（35-x）只，
根据题意可得：2x+4(35-x)=94， 故选：D．
题型１１－２．（2022·湖北十堰·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗， 醐洒一斗直粟三斗， 今持粟三斛， 得酒五斗， 问清跴酒各几何?”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子， 一斗䣾酒价值3斗谷子， 现在拿30斗谷子， 共换了5斗酒， 问清洒， 酳酒各几斗? 如果设清酒斗， 那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x3+30−x10=5 D．
[详解]解：根据题意， 得：10x+3（5－x）=30， 故选：A．
题型１１－３．（2022·青海西宁·中考真题）在数学活动课上， 兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示， 在轻质木杆O处用一根细线悬挂， 左端A处挂一重物， 右端B处挂钩码， 每个钩码质量是50g．若OA=20cm， OB=40cm， 挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg， 根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：根据题意得：．故选：A．
题型１１－４．（2021·湖南株洲·中考真题）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十， 粝米三十……”（粟指带壳的谷子， 粝米指糙米）， 其意为：“50单位的粟， 可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升）， 若按照此“粟米之法”， 则可以换得粝米为（ ）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
[详解]解：由题可知， 3斗的粟即为30升的粟， 设其可以换得粝米为x升，
则， ∴， ∴可以换得粝米为18升；故选：C．
题型１１－５．（2022·浙江嘉兴·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图， 在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态）， 将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A， B处， 当钢梁保持水平时， 弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动， 移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍， 且钢梁保持水平， 则弹簧秤读数为_______（N）（用含n， k的代数式表示）．
[详解]设弹簧秤新读数为x
根据杠杆的平衡条件可得：
解得
故答案为：．
题型１１－６．（2022·江苏南通·中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊， 人出五， 不足四十五；人出七， 余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊， 若每人出5钱， 还差45钱；若每人出7钱， 多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x， 则可列方程为___________．
[详解]解：依题意， 得：5x+45=7x-3．故答案为：5x+45=7x-3．
题型１１－７．（2022·吉林长春·中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作， 其中记载：我问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店， 若每间住7人， 则余下7人无房可住；若每间住9人， 则余下一间无人住， 设店中共有x间房， 可求得x的值为________．
[详解]设店中共有x间房，
由题意得， ，
解得，
所以， 店中共有8间房，
故答案为：8．
题型１１－８．（2021·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇， 不知人数不知竹每人六竿多十四， 每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍， 不知与多少人和竹竿每人6竿， 多14竿；每人8竿， 恰好用完”若设有牧童x人， 根据题意， 可列方程为__________．
[详解]解：设有牧童x人， 根据题意得：6x+14=8x，
题型１１－９．（2021·湖北湖北·中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索， 索比竿子长一托， 对折索子来量竿， 却比竿子短一托．如果1托为5尺， 那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索， 如果用绳索去量竿， 绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿， 就比竿短5尺， 则绳索长几尺．）
[详解]解：设绳索长尺，
由题意得：，
解得，
即绳索长20尺，
故答案为：20．
题型１１－１０．（2022·江苏连云港·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物， 人出八， 盈三；人出七， 不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱， 剩余3钱；每人出7钱， 还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
[详解]解：设人数为人， 由题意得
，
解得．
所以物品价格是．
答：有7人， 物品价格是53钱．
题型１１－１１．（2022·湖南长沙·中考真题）电影《刘三姐》中， 有这样一个场景， 罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你， 一少三多四下分， 不要双数要单数， 看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群， 每个群里， 狗的数量都是奇数， 其中一个群， 狗的数量少：另外三个群， 狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去， 九十九条看羊来， 九十九条守门口， 剩下三条给财主．”请你根据以上信息， 判断以下三种说法是否正确， 在题后相应的括号内， 正确的打“√”， 错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的， 但不是唯一正确的答案．（ ）
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（ ）
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（ ）
(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里， 每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”， 求每个群里狗的数量．
(1)根据题意， 姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外， 还可分成97,97,97,9等，
刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的， 但不是唯一正确的答案，
∵这里的每群狗的数量还需要是正整数，
∴答案不是无数种，
∴①√， ②×， ③×，
故答案为：√， ×， ×；
(2)设数量少的狗群的数量为只， 则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只， 由题意得：
，
解得，
（只），
所以， 数量少的群里狗的数量为45只， 狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只．
题型１１－１２．（2022·江苏镇江·中考真题）某公司专业生产某种产品， 6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单， 要求本月底完成， 7月1日按期交货．
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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29
30
经盘点目前公司已有该产品库存2855件， 补充原材料后， 从本月7日开始生产剩余数量的该产品， 已知该公司除周六、周日正常休息外， 每天的生产量相同．但因受高温天气影响， 从本月10日开始， 每天的生产量比原来减少了25件， 截止到17日生产结束， 库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品， 能否按期完成订单？请说明理由．如果不能， 请你给该公司生产部门提出一个合理的建议， 以确保能按期交货．
[分析]设10日开始每天生产量为件， 根据题意列出一元一次方程， 继而根据， 如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品， 截止月底生产的天数为9天， 列出一元一次不等式， 求得从20日开始每天的生产量至少达到130件， 即可求解．
[详解]解：设10日开始每天生产量为件，
根据题意， 得．
解得， ．
如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品， 截止月底生产的天数为9天，
因此该公司9天共可生产900件产品．
因为， 所以不能按期完成订单，
由，
所以为确保按期交货， 从20日开始每天的生产量至少达到130件．
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