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【中考复习】2023年中考数学一模复习专题08 一元一次方程（含答案）
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这是一份【中考复习】2023年中考数学一模复习专题08 一元一次方程（含答案），共43页。
一元一次方程
[知识要点]
知识点一 一元一次方程的基础
等式的概念：用等号表示相等关系的式子。
[注意]
1）等式可以是数字算式， 可以是公式、方程， 也可以是运算律、运算法则等。
2）等式与代数式的区别：等式含有等号， 表示两个式子相等关系， 而代数式不含等号， 只能作为等式的一边。
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
[特征]它含有未知数， 同时又是—个等式。
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）， 且未知数的次数都是1（次）， 这样的的整式方程叫一元一次方程。
一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数， a、b是常数且a≠0）
方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。
知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础）
等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子）， 结果仍相等。
表示为：如果a=b， 则a±c=b±c
等式的性质2：等式两边乘同一个数， 或除以同一个不为零的数， 结果仍相等。
表示为：如果 a=b， 那么ac = bc
如果 a=b(c≠0)， 那么 ac = bc
[注意事项]
1．等式两边都要参加运算， 并且是同一种运算。
2．等式两边加或减,乘或除的数一定是同一个数或同一个式子。
3．等式两边不能都除以0， 即0不能作除数或分母。
4. 等式左右两边互换， 所得结果仍是等式。
考查题型一 等式的性质
题型１．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中， 导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U， 导体的电阻R之间有以下关系：去分母得， 那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
题型１－１．（2022·青海·中考真题）下列说法中， 正确的是（ ）
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
题型１－２．（2021·安徽·中考真题）设a， b， c为互不相等的实数， 且， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型１－３．（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3， 则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
题型１－４．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨， 则推理结果可能产生错误．
例如， 有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”， 并证明如下：
设任意一个实数为x， 令，
等式两边都乘以x， 得．①
等式两边都减， 得．②
等式两边分别分解因式， 得．③
等式两边都除以， 得．④
等式两边都减m， 得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中， 开始出现错误的那一步对应的序号是______．
易错点总结：
知识点三 解一元一次方程
合并同类项：把若干能合并的式子的系数相加， 且字母和字母的指数不变， 起到化简的作用。
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边。（依据：等式的性质1）
去括号：括号前负号时， 去掉括号时里面各项应变号。
去分母：在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。
[去分母易错点]1）去分母时不含分母的项也需要乘分母的最小公倍数。
2）当分母中含有小数时， 先将小数化成整数。
例：尝试通过计算加深理解：0.2x−0.10.6−0.5x+0.10.4=1
解一元一次方程的基本步骤：
考查题型二 解一元一次方程
题型２．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6， 得①
去括号， 得②
移项， 得③
合并同类项， 得④
以上解题步骤中， 开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
题型２－１．（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
题型２－２．（2021·浙江温州·中考真题）解方程， 以下去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型２－３．（2022·浙江金华·中考真题）若分式的值为2， 则x的值是_______．
题型２－４．（2021·重庆·中考真题）若关于x的方程的解是， 则a的值为__________．
题型２－５．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时， 发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是， 请计算．
(2)如果计算结果等于6， 求被污染的数字．
题型２－６．（2021·四川广元·中考真题）解方程：．
易错点总结：
知识点四 实际问题与一元一次方程
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系， 以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
常见利用方程解决实际问题等量关系：
销售中盈亏问题：
1）成本价：俗称进价， 是商家进货时的价格；
2）标价：商家出售时标注的价格；
3）打折：打折就是以标价为基础， 按一定比例降价出售。如：打9折， 就是按标价的90℅出售。
4）利润=售价－进价， 利润>0时盈利， 利润<0时亏损。
5）利润率=利润成本×100%=售价−成本成本×100%。
顺逆流问题：
船在顺水中的速度= 船在静水中的速度 + 水流速度
船在逆水中的速度= 船在静水中的速度 - 水流速度
船顺水的行程 = 船逆水的行程
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
数字问题：
一个两位数， 十位数字是a， 个位数字是b， 那么这个数可表示为10a+b
一个三位数， 百位数字是x, 十位数字是y， 个位数字是z， 那么这个数可表示为100x+10y+z
工程、效率问题：
工程问题中要善于把握什么是总工作量， 总工作量可以看成“1”；
工程问题中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量“1”。
工作量=工作时间×工作效率
球赛积分问题：
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
行程问题：
路程=速度*时间
相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离
追及问题：快者的行程-慢者的行程=初始距离
钟表问题：
整个钟面为360度， 上面有12个大格， 每个大格为30度；60个小格， 每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格， 每分钟走6度
时针速度：每分钟走小格， 每分钟走0.5度
考查题型三 工程问题
题型３ （2022·重庆·中考真题）为保障蔬菜基地种植用水， 需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米， 甲施工队施工5天后， 增加施工人员， 每天比原来多修建20米， 再施工2天完成任务， 求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大， 现还需修建另一条灌溉水渠1800米， 为早日完成任务， 决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠， 直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后， 通过技术更新， 每天比原来多修建20%， 灌溉水渠完工时， 两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？(1)
题型３－１．（2021·广西桂林·中考真题）为了美化环境， 建设生态桂林， 某社区需要进行绿化改造， 现有甲、乙两个绿化工程队可供选择， 已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米， 甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米， 甲队每天的施工费用为600元， 乙队每天的施工费用为400元， 比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？
题型３－２．（2021·山东泰安·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径， 针对疫苗急需问题， 某制药厂紧急批量生产， 计划每天生产疫苗16万剂， 但受某些因素影响， 有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情， 回厂的工人加班生产， 由原来每天工作8小时增加到10小时， 每人每小时完成的工作量不变， 这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后， 未到的工人同时到岗加入生产， 每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务， 问该厂共需要多少天才能完成任务？
题型３－３．（2021·四川成都·中考真题）为改善城市人居环境， 《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨， 刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行， 垃圾分类要求提高， 现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾， 同时由于市民环保意识增强， 该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个， 试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
易错点总结：
考查题型四 销售盈亏问题
题型４ （2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材， 实现企业绿色低碳发展， 通过技术改造升级， 使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3， 4月份共生产再生纸800吨， 其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元， 5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加， 则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元， 4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同， 6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
易错点总结：
题型４－１．（2022·四川南充·中考真题）南充市被誉为中国绸都， 本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品， 它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
(1)求真丝衬衣进价a的值．
(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件， 据市场销售分析， 真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)按（2）中最大利润方案进货与销售， 在实际销售过程中， 当真丝围巾销量达到一半时， 为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%， 衬衣售价不变， 余下围巾降价销售， 每件最多降价多少元？
题型４－２．（2022·四川资阳·中考真题）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱， 人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”， 已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元， 购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个， 求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
易错点总结：
考查题型五 比赛积分问题
题型５．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识， 某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛， 抢答题一共20个， 记分规则如下：每答对一个得5分， 每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分， 则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
考查题型六 数字问题
题型６．（2021·吉林·中考真题）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数， 它的三分之二， 它的一半， 它的七分之一， 它的全部， 加起来总共是33， 若设这个数是， 则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型６－１．（2021·山东枣庄·中考真题）幻方是古老的数学问题， 我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中， 要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15， 则的值为______．
考查题型七 几何问题
题型７．（2022·四川自贡·中考真题）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°， 则这个底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
题型７－１．（2021·广东广州·中考真题）如图， 在数轴上， 点A、B分别表示a、b， 且， 若， 则点A表示的数为（ ）
A． B．0 C．3 D．
考查题型八 和差倍分问题
题型８．（2022·山东东营·中考真题）植树节当天， 七年级1班植树300棵， 正好占这批树苗总数的， 七年级2班植树棵数是这批树苗总数的， 则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180
题型８－１．（2022·湖南岳阳·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题， 原文如下：今有百鹿入城， 家取一鹿， 不尽， 又三家共一鹿， 适尽， 问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城， 每家取一头鹿， 没有取完， 剩下的鹿每3家共取一头， 恰好取完， 问：城中有多少户人家？在这个问题中， 城中人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
题型８－２．（2022·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕， 人出一百， 盈一百；人出九十， 适足．”其大意是：“今有人合伙买猪， 每人出100钱， 则会多出100钱；每人出90钱， 恰好合适．”若设共有x人， 根据题意， 可列方程为____________．
题型８－３．（2021·重庆·中考真题）盲盒为消费市场注入了活力， 既能够营造消费者购物过程中的趣味体验， 也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个， 搭配为A， B， C三种盲盒各一个， 其中A盒中有2个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量， 蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 2个迷你音箱．经核算， A盒的成本为145元， B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和）， 则C盒的成本为__________元．
题型８－４．（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著， 几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元， 则多了3元；若每人出7元， 则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
题型８－５．（2022·湖南娄底·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物， 具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少， 若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树， 据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
题型８－６．（2021·广西梧州·中考真题）运用方程或方程组解决实际问题：若干学生分若干支铅笔， 如果每人5支， 那么多余3支；如果每人7支， 那么缺5支．试问有多少名学生？共有多少支铅笔？
易错点总结：
考查题型九 电费水费问题
题型９．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克， 端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时， 按原价售出， 超过2千克时， 超过的部分打8折．若某人付款14元， 则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为元， 购买量为千克， 则购买量关于付款金额的函数解析式为______．
题型９－１．（2021·广西贺州·中考真题）为了提倡节约用水， 某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时， 按一级单价收费；当每户每月用水量超过时， 超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为， 缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家， 用水量为， 缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费， 二级大费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时， 用水量为多少？
易错点总结：
考查题型十 行程问题
题型１０．（2022·江苏苏州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作， 奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术， 其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步， 不善行者行六十步．今不善行者先行一百步， 善行者追之， 问几何步及之？”译文：“相同时间内， 走路快的人走100步， 走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步， 走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上， 根据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
题型１０－１．（2022·甘肃武威·中考真题）《九章算术》是中国古代的一部数学专著， 其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海， 七日至北海；雁起北海， 九日至南海．今凫雁俱起， 问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞， 7天到北海；大雁从北海起飞， 9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞， 问经过多少天相遇？设经过x天相遇， 根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
题型１０－２．（2022·辽宁营口·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一， 书中记载一道问题：“良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里， 驽马先行一十二日， 问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里， 慢马每天走150里， 慢马先走12天， 试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马， 则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型１０－３．（2022·湖南常德·中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家， 匀速行驶需要4小时， 某天， 他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨， 立即将车速减少了20千米／小时， 到达奶奶家时共用了5小时， 问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
题型１０－４．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中， 骑行运动颇受市民青睐， 甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地， 已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米， 甲才开始从地出发， 则甲出发半小时恰好追上乙， 求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟， 甲才开始从地出发， 则甲、乙恰好同时到达地， 求甲骑行的速度．
题型１０－５．（2021·广西百色·中考真题）据国际田联《田径场地设施标准手册》， 400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成， 有8条跑道， 每条跑道宽1.2米， 直道长87米；跑道的弯道是半圆形， 环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际， 建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程）， 在如图的起跑线同时出发， 经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍， 求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道， 过两人所在点的直线与跑道边线垂直时， 称两人直道相遇）
易错点总结：
考查题型十一 其它问题
题型１１．（2022·河北·中考真题）“曹冲称象”是流传很广的故事， 如图．按照他的方法：先将象牵到大船上， 并在船侧面标记水位， 再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石， 并在船上留3个搬运工， 这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石， 船上只留1个搬运工， 水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤， 设每块条形石的重量是x斤， 则正确的是（ ）
A．依题意 B．依题意
C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤
题型１１－１．（2022·四川南充·中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何．”设鸡有x只， 可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型１１－２．（2022·湖北十堰·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗， 醐洒一斗直粟三斗， 今持粟三斛， 得酒五斗， 问清跴酒各几何?”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子， 一斗䣾酒价值3斗谷子， 现在拿30斗谷子， 共换了5斗酒， 问清洒， 酳酒各几斗? 如果设清酒斗， 那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x3+30−x10=5 D．
题型１１－３．（2022·青海西宁·中考真题）在数学活动课上， 兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示， 在轻质木杆O处用一根细线悬挂， 左端A处挂一重物， 右端B处挂钩码， 每个钩码质量是50g．若OA=20cm， OB=40cm， 挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg， 根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
题型１１－４．（2021·湖南株洲·中考真题）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十， 粝米三十……”（粟指带壳的谷子， 粝米指糙米）， 其意为：“50单位的粟， 可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升）， 若按照此“粟米之法”， 则可以换得粝米为（ ）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
题型１１－５．（2022·浙江嘉兴·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图， 在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态）， 将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A， B处， 当钢梁保持水平时， 弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动， 移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍， 且钢梁保持水平， 则弹簧秤读数为_______（N）（用含n， k的代数式表示）．
题型１１－６．（2022·江苏南通·中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊， 人出五， 不足四十五；人出七， 余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊， 若每人出5钱， 还差45钱；若每人出7钱， 多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x， 则可列方程为___________．
题型１１－７．（2022·吉林长春·中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作， 其中记载：我问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店， 若每间住7人， 则余下7人无房可住；若每间住9人， 则余下一间无人住， 设店中共有x间房， 可求得x的值为________．
题型１１－８．（2021·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇， 不知人数不知竹每人六竿多十四， 每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍， 不知与多少人和竹竿每人6竿， 多14竿；每人8竿， 恰好用完”若设有牧童x人， 根据题意， 可列方程为__________．
题型１１－９．（2021·湖北湖北·中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索， 索比竿子长一托， 对折索子来量竿， 却比竿子短一托．如果1托为5尺， 那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索， 如果用绳索去量竿， 绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿， 就比竿短5尺， 则绳索长几尺．）
题型１１－１０．（2022·江苏连云港·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物， 人出八， 盈三；人出七， 不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱， 剩余3钱；每人出7钱， 还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
题型１１－１１．（2022·湖南长沙·中考真题）电影《刘三姐》中， 有这样一个场景， 罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你， 一少三多四下分， 不要双数要单数， 看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群， 每个群里， 狗的数量都是奇数， 其中一个群， 狗的数量少：另外三个群， 狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去， 九十九条看羊来， 九十九条守门口， 剩下三条给财主．”请你根据以上信息， 判断以下三种说法是否正确， 在题后相应的括号内， 正确的打“√”， 错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的， 但不是唯一正确的答案．（ ）
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（ ）
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（ ）
(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里， 每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”， 求每个群里狗的数量．
题型１１－１２．（2022·江苏镇江·中考真题）某公司专业生产某种产品， 6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单， 要求本月底完成， 7月1日按期交货．
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
经盘点目前公司已有该产品库存2855件， 补充原材料后， 从本月7日开始生产剩余数量的该产品， 已知该公司除周六、周日正常休息外， 每天的生产量相同．但因受高温天气影响， 从本月10日开始， 每天的生产量比原来减少了25件， 截止到17日生产结束， 库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品， 能否按期完成订单？请说明理由．如果不能， 请你给该公司生产部门提出一个合理的建议， 以确保能按期交货．
易错点总结：
专题08 一元一次方程
[热考题型]
[知识要点]
知识点一 一元一次方程的基础
等式的概念：用等号表示相等关系的式子。
[注意]
1）等式可以是数字算式， 可以是公式、方程， 也可以是运算律、运算法则等。
2）等式与代数式的区别：等式含有等号， 表示两个式子相等关系， 而代数式不含等号， 只能作为等式的一边。
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
[特征]它含有未知数， 同时又是—个等式。
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）， 且未知数的次数都是1（次）， 这样的的整式方程叫一元一次方程。
一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数， a、b是常数且a≠0）
方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。
知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础）
等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子）， 结果仍相等。
表示为：如果a=b， 则a±c=b±c
等式的性质2：等式两边乘同一个数， 或除以同一个不为零的数， 结果仍相等。
表示为：如果 a=b， 那么ac = bc
如果 a=b(c≠0)， 那么 ac = bc
[注意事项]
1．等式两边都要参加运算， 并且是同一种运算。
2．等式两边加或减,乘或除的数一定是同一个数或同一个式子。
3．等式两边不能都除以0， 即0不能作除数或分母。
4. 等式左右两边互换， 所得结果仍是等式。
考查题型一 等式的性质
题型１．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中， 导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U， 导体的电阻R之间有以下关系：去分母得， 那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
[详解]解：去分母得， 其变形的依据是等式的性质2， 故选：B．
题型１－１．（2022·青海·中考真题）下列说法中， 正确的是（ ）
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
[详解]解：A、若ac=bc， 当c≠0， 则a=b， 故此选项错误；
B、若， 则， 故此选项错误；
C、若， 则， 故此选项正确；
D、若， 则， 故此选项错误；故选：C．
题型１－２．（2021·安徽·中考真题）设a， b， c为互不相等的实数， 且， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：A．当， ， 时， ， 故A错误；
B．当， ， 时， ， 故B错误；
C．整理可得， 故C错误；
D．整理可得， 故D正确；故选：D．
题型１－３．（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3， 则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
[详解]解：由x＋a＝2， 得：x＝2-a， ∵﹣3＜a≤3， ∴﹣1≤2-a＜5， 即：﹣1≤x＜5， 故选A．
题型１－４．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨， 则推理结果可能产生错误．
例如， 有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”， 并证明如下：
设任意一个实数为x， 令，
等式两边都乘以x， 得．①
等式两边都减， 得．②
等式两边分别分解因式， 得．③
等式两边都除以， 得．④
等式两边都减m， 得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中， 开始出现错误的那一步对应的序号是______．
[详解]等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式， 等式不变，
∴第④步等式两边都除以， 得， 前提必须为， 因此错误；
故答案为：④．
知识点三 解一元一次方程
合并同类项：把若干能合并的式子的系数相加， 且字母和字母的指数不变， 起到化简的作用。
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边。（依据：等式的性质1）
去括号：括号前负号时， 去掉括号时里面各项应变号。
去分母：在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。
[去分母易错点]1）去分母时不含分母的项也需要乘分母的最小公倍数。
2）当分母中含有小数时， 先将小数化成整数。
例：尝试通过计算加深理解：0.2x−0.10.6−0.5x+0.10.4=1
解一元一次方程的基本步骤：
考查题型二 解一元一次方程
题型２．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6， 得①
去括号， 得②
移项， 得③
合并同类项， 得④
以上解题步骤中， 开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
[详解]解：方程两边同乘6， 得①∴开始出错的一步是①， 故选：A．
题型２－１．（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
[详解]解：3x＝2x＋7移项得， 3x-2x=7；合并同类项得， x＝7；故选：C．
题型２－２．（2021·浙江温州·中考真题）解方程， 以下去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：， ， 故选：D．
题型２－３．（2022·浙江金华·中考真题）若分式的值为2， 则x的值是_______．
[详解]解：由题意得：
去分母：
去括号：
移项， 合并同类项：
系数化为1：
经检验， x=4是原方程的解，
故答案为：4；
题型２－４．（2021·重庆·中考真题）若关于x的方程的解是， 则a的值为__________．
[详解]解：根据题意， 知， 解得a=3．故答案是：3．
题型２－５．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时， 发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是， 请计算．
(2)如果计算结果等于6， 求被污染的数字．
[详解]（1）解：；
（2）设被污染的数字为x，
由题意， 得， 解得，
所以被污染的数字是3．
题型２－６．（2021·四川广元·中考真题）解方程：．
[详解]解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
知识点四 实际问题与一元一次方程
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系， 以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
常见利用方程解决实际问题等量关系：
销售中盈亏问题：
1）成本价：俗称进价， 是商家进货时的价格；
2）标价：商家出售时标注的价格；
3）打折：打折就是以标价为基础， 按一定比例降价出售。如：打9折， 就是按标价的90℅出售。
4）利润=售价－进价， 利润>0时盈利， 利润<0时亏损。
5）利润率=利润成本×100%=售价−成本成本×100%。
顺逆流问题：
船在顺水中的速度= 船在静水中的速度 + 水流速度
船在逆水中的速度= 船在静水中的速度 - 水流速度
船顺水的行程 = 船逆水的行程
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
数字问题：
一个两位数， 十位数字是a， 个位数字是b， 那么这个数可表示为10a+b
一个三位数， 百位数字是x, 十位数字是y， 个位数字是z， 那么这个数可表示为100x+10y+z
工程、效率问题：
工程问题中要善于把握什么是总工作量， 总工作量可以看成“1”；
工程问题中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量“1”。
工作量=工作时间×工作效率
球赛积分问题：
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
行程问题：
路程=速度*时间
相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离
追及问题：快者的行程-慢者的行程=初始距离
钟表问题：
整个钟面为360度， 上面有12个大格， 每个大格为30度；60个小格， 每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格， 每分钟走6度
时针速度：每分钟走小格， 每分钟走0.5度
考查题型三 工程问题
题型３ （2022·重庆·中考真题）为保障蔬菜基地种植用水， 需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米， 甲施工队施工5天后， 增加施工人员， 每天比原来多修建20米， 再施工2天完成任务， 求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大， 现还需修建另一条灌溉水渠1800米， 为早日完成任务， 决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠， 直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后， 通过技术更新， 每天比原来多修建20%， 灌溉水渠完工时， 两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？(1)
解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米， 原来每天修建米，
则有
解得
∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．
(2)∵水渠总长1800米， 完工时， 两施工队修建长度相同
∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)
乙施工队技术更新后， 修建长度为900－360＝540(米)
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米， 技术更新后每天修建米， 即1.2y米， 则有
解得
经检验， 是原方程的解， 符合题意
∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
题型３－１．（2021·广西桂林·中考真题）为了美化环境， 建设生态桂林， 某社区需要进行绿化改造， 现有甲、乙两个绿化工程队可供选择， 已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米， 甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米， 甲队每天的施工费用为600元， 乙队每天的施工费用为400元， 比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？
[详解]解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米， 则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米，
依题意得：x+x+200=800
解得：x=300，
x+200=500
∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米， 乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．
（2）选择方案①甲队单独完成所需费用=（元）；
选择方案②乙队单独完成所需费用=（元）；
选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=（元）；
∴选择方案①完成施工费用最少．
题型３－２．（2021·山东泰安·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径， 针对疫苗急需问题， 某制药厂紧急批量生产， 计划每天生产疫苗16万剂， 但受某些因素影响， 有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情， 回厂的工人加班生产， 由原来每天工作8小时增加到10小时， 每人每小时完成的工作量不变， 这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后， 未到的工人同时到岗加入生产， 每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务， 问该厂共需要多少天才能完成任务？
[详解]解：（1）设当前参加生产的工人有x人，
依题意得：，
解得：，
经检验， 是原方程的解， 且符合题意．
答：当前参加生产的工人有30人．
（2）每人每小时的数量为（万剂）．
设还需要生产y天才能完成任务，
依题意得：，
解得：， （天）
答：该厂共需要39天才能完成任务．
题型３－３．（2021·四川成都·中考真题）为改善城市人居环境， 《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨， 刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行， 垃圾分类要求提高， 现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾， 同时由于市民环保意识增强， 该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个， 试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
[详解]解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x， 则A型为x+7，
由题意得：10x+12（x+7）=920，
解得：x=38，
答：每个B型点位每天处理生活垃圾为38吨数；
（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y．
由题意得（12+y）(38+7-8)+（10+5-y）（38-8）≥920-10
解得：y≥ ，
∵y为整数
∴至少需要增设3个A型点位，
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
考查题型四 销售盈亏问题
题型４ （2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材， 实现企业绿色低碳发展， 通过技术改造升级， 使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3， 4月份共生产再生纸800吨， 其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元， 5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加， 则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元， 4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同， 6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
（1）解：设3月份再生纸产量为吨， 则4月份的再生纸产量为吨，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得：，
解得：或（不合题意， 舍去）
∴，
∴的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为， 5月份再生纸的产量为吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
题型４－１．（2022·四川南充·中考真题）南充市被誉为中国绸都， 本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品， 它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
(1)求真丝衬衣进价a的值．
(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件， 据市场销售分析， 真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)按（2）中最大利润方案进货与销售， 在实际销售过程中， 当真丝围巾销量达到一半时， 为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%， 衬衣售价不变， 余下围巾降价销售， 每件最多降价多少元？
（1）解：根据表格数据可得：50a+25×80=15000， 解得：a=260；
（2）解：设真丝衬衣件数进货x件， 则真丝围巾进货(300-x)件， 根据题意可得：300-x≥2x， 解得：x≤100；设总利润为y， 根据题意可得y=(300-260)x+(100-80)(300-x)=20x+6000， ∵20>0， ∴y随x的增大而增大， 当x=100时， y最大为：20×100+6000=8000元， 此时方案为：真丝衬衣件数进货100件， 真丝围巾进货200件， 最大利润为8000元；
（3）设降价z元， 根据题意可得100×（100-80）+100×（300-260）+100×（300-260-z）≥8000×90%， 解得：z≤28， ∴每件最多降价28元．
题型４－２．（2022·四川资阳·中考真题）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱， 人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”， 已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元， 购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个， 求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
（1）设乙种型号的单价是x元， 则甲种型号的单价是元．
根据题意得：
解得：．
∴
答：甲种型号的单价是98元， 乙种型号的单价是78元．
（2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个， 则购买乙种型号的“冰墩墩”个．
根据题意， 得：
解得：
∴a最大值是30．
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
考查题型五 比赛积分问题
题型５．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识， 某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛， 抢答题一共20个， 记分规则如下：每答对一个得5分， 每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分， 则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
[详解]解：设小红答对的个数为x个， 由题意得5x−20−x=70， 解得，
故选B．
考查题型六 数字问题
题型６．（2021·吉林·中考真题）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数， 它的三分之二， 它的一半， 它的七分之一， 它的全部， 加起来总共是33， 若设这个数是， 则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：由题意可得．故选C
题型６－１．（2021·山东枣庄·中考真题）幻方是古老的数学问题， 我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中， 要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15， 则的值为______．
[详解]解：如图， 由题意， 图中①表示的数是，
图中②表示的数是，
则，
解得，
故答案为：1．
考查题型七 几何问题
题型７．（2022·四川自贡·中考真题）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°， 则这个底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
[详解]解：设这个底角的度数为x， 则顶角的度数为（2x+20°）， 根据题意得：
，
解得：，
即这个底角的度数为40°．故选：B
题型７－１．（2021·广东广州·中考真题）如图， 在数轴上， 点A、B分别表示a、b， 且， 若， 则点A表示的数为（ ）
A． B．0 C．3 D．
[详解]解：∵
∴， 两点对应的数互为相反数，
∴可设表示的数为， 则表示的数为，
∵
∴，
解得：，
∴点表示的数为-3，
故选：A．
考查题型八 和差倍分问题
题型８．（2022·山东东营·中考真题）植树节当天， 七年级1班植树300棵， 正好占这批树苗总数的， 七年级2班植树棵数是这批树苗总数的， 则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180
[详解]解：设这批树苗一共有x棵，
由题意得：，
解得，
∴七年级2班植树的棵数是棵， 故选C．
题型８－１．（2022·湖南岳阳·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题， 原文如下：今有百鹿入城， 家取一鹿， 不尽， 又三家共一鹿， 适尽， 问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城， 每家取一头鹿， 没有取完， 剩下的鹿每3家共取一头， 恰好取完， 问：城中有多少户人家？在这个问题中， 城中人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
[详解]解：设城中有户人家，
依题意得：，
解得：，
∴城中有75户人家．
故选：B．
题型８－２．（2022·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕， 人出一百， 盈一百；人出九十， 适足．”其大意是：“今有人合伙买猪， 每人出100钱， 则会多出100钱；每人出90钱， 恰好合适．”若设共有x人， 根据题意， 可列方程为____________．
[详解]依题意：.故答案为：100x-100=90x.
题型８－３．（2021·重庆·中考真题）盲盒为消费市场注入了活力， 既能够营造消费者购物过程中的趣味体验， 也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个， 搭配为A， B， C三种盲盒各一个， 其中A盒中有2个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量， 蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 2个迷你音箱．经核算， A盒的成本为145元， B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和）， 则C盒的成本为__________元．
[详解]解：根据题意， 设B盒中蓝牙耳机3a个， 迷你音箱2a个， 优盘的数量为3a+2a=5 a个， 则， 解得， a=1；
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元， 根据题意列方程组得，
②-①得， ，
③×3-①得， ，
故答案为：155．
题型８－４．（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著， 几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元， 则多了3元；若每人出7元， 则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
[详解]解：设学生人数为x人， 由题意得：
，
解得：，
∴该书的单价为（元），
答：学生人数为7人， 该书的单价为53元．
题型８－５．（2022·湖南娄底·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物， 具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少， 若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树， 据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
[详解]（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为mg， 则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为mg， 则
解得：
答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg， 40mg．
（2）50000（mg），
而2000000mg=2000g=2kg，
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．
题型８－６．（2021·广西梧州·中考真题）运用方程或方程组解决实际问题：若干学生分若干支铅笔， 如果每人5支， 那么多余3支；如果每人7支， 那么缺5支．试问有多少名学生？共有多少支铅笔？
[详解]解：设学生有x人， 由题意得5x＋3＝7x−5，
解得：x＝4，
经检验， 符合题意
则6x＋3＝23．
答：学生有4人， 铅笔23支．
考查题型九 电费水费问题
题型９．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克， 端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时， 按原价售出， 超过2千克时， 超过的部分打8折．若某人付款14元， 则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为元， 购买量为千克， 则购买量关于付款金额的函数解析式为______．
[详解]解：∵14>10，
超过2千克，
设购买了千克， 则，
解得，
设某人的付款金额为元， 购买量为千克， 则购买量关于付款金额的函数解析式为：
，
故答案为：3， ．
题型９－１．（2021·广西贺州·中考真题）为了提倡节约用水， 某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时， 按一级单价收费；当每户每月用水量超过时， 超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为， 缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家， 用水量为， 缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费， 二级大费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时， 用水量为多少？
[详解]（1）设该市一级水费的单价为元/， 二级水费的单价为元/，
依题意得， 解得，
答：该市一级水费的单价为3.2元/， 二级水费的单价为6.5元/．
（2）当水费为64.4元， 则用水量超过，
设用水量为， 得， ，
解得：．
答：当缴纳水费为64.4元时， 用水量为．
考查题型十 行程问题
题型１０．（2022·江苏苏州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作， 奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术， 其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步， 不善行者行六十步．今不善行者先行一百步， 善行者追之， 问几何步及之？”译文：“相同时间内， 走路快的人走100步， 走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步， 走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上， 根据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：令在相同时间内走路快的人走100步， 走路慢的人只走60步， 从而得到走路快的人的速度， 走路慢的人的速度，
设走路快的人要走x步才能追上， 根据题意可得，
根据题意可列出的方程是，
故选：B．
题型１０－１．（2022·甘肃武威·中考真题）《九章算术》是中国古代的一部数学专著， 其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海， 七日至北海；雁起北海， 九日至南海．今凫雁俱起， 问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞， 7天到北海；大雁从北海起飞， 9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞， 问经过多少天相遇？设经过x天相遇， 根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：设经过x天相遇，
根据题意得：x+x=1，
∴（+）x=1，
故选：A．
题型１０－２．（2022·辽宁营口·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一， 书中记载一道问题：“良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里， 驽马先行一十二日， 问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里， 慢马每天走150里， 慢马先走12天， 试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马， 则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：设快马x天可以追上慢马， 依题意， 得： 240x-150x=150×12．故选：D．
题型１０－３．（2022·湖南常德·中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家， 匀速行驶需要4小时， 某天， 他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨， 立即将车速减少了20千米／小时， 到达奶奶家时共用了5小时， 问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
[详解]解：设小强家到他奶奶家的距离是千米， 则平时每小时行驶千米， 减速后每小时行驶千米， 由题可知：遇到暴雨前用时2小时， 遇到暴雨后用时5-2=3小时，
则可得：，
解得：，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
题型１０－４．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中， 骑行运动颇受市民青睐， 甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地， 已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米， 甲才开始从地出发， 则甲出发半小时恰好追上乙， 求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟， 甲才开始从地出发， 则甲、乙恰好同时到达地， 求甲骑行的速度．
(1)解：设乙的速度为千米/时， 则甲的速度为千米/时，
由题意得：，
解得：，
则，
答：甲骑行的速度为千米/时；
(2)设乙的速度为千米/时， 则甲的速度为千米/时，
由题意得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
则，
答：甲骑行的速度为千米/时．
题型１０－５．（2021·广西百色·中考真题）据国际田联《田径场地设施标准手册》， 400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成， 有8条跑道， 每条跑道宽1.2米， 直道长87米；跑道的弯道是半圆形， 环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际， 建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程）， 在如图的起跑线同时出发， 经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍， 求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道， 过两人所在点的直线与跑道边线垂直时， 称两人直道相遇）
[分析]（1）根据题意， 计算第三圈与第一圈的路程差即可解第一问， 根据题中路程公式， 可解得第八圈的路程；
（2）分析两人在左边的直道上相遇， 且两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差， 小王的速度为， 则老师的速度为， 列关于的一元一次方程， 解方程即可解题．
[详解]解：（1）根据题意得， 第三圈弯道比第一圈弯道长：
（米）；
第八圈长：（米）
答：第三圈弯道比第一圈弯道长15米， 第八圈长453米．
（2）由于两人是第一次相遇， 教练的速度更快， 且是在直道上两人相遇，
那么两人一定在左边的直道上相遇，
两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差：
（米）
设小王的速度为， 则老师的速度为
答：小王的速度为， 老师的速度为．
考查题型十一 其它问题
题型１１．（2022·河北·中考真题）“曹冲称象”是流传很广的故事， 如图．按照他的方法：先将象牵到大船上， 并在船侧面标记水位， 再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石， 并在船上留3个搬运工， 这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石， 船上只留1个搬运工， 水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤， 设每块条形石的重量是x斤， 则正确的是（ ）
A．依题意 B．依题意
C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤
[详解]解：根据题意可得方程；
则A错误， B正确；
解上面的方程得：x=240,
故D错误；
∴大象的重量是20×240+3×120=5160（斤）
故C错误，
故选：B．
题型１１－１．（2022·四川南充·中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何．”设鸡有x只， 可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：设鸡有x只， 则兔子有（35-x）只，
根据题意可得：2x+4(35-x)=94， 故选：D．
题型１１－２．（2022·湖北十堰·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗， 醐洒一斗直粟三斗， 今持粟三斛， 得酒五斗， 问清跴酒各几何?”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子， 一斗䣾酒价值3斗谷子， 现在拿30斗谷子， 共换了5斗酒， 问清洒， 酳酒各几斗? 如果设清酒斗， 那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x3+30−x10=5 D．
[详解]解：根据题意， 得：10x+3（5－x）=30， 故选：A．
题型１１－３．（2022·青海西宁·中考真题）在数学活动课上， 兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示， 在轻质木杆O处用一根细线悬挂， 左端A处挂一重物， 右端B处挂钩码， 每个钩码质量是50g．若OA=20cm， OB=40cm， 挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg， 根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：根据题意得：．故选：A．
题型１１－４．（2021·湖南株洲·中考真题）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十， 粝米三十……”（粟指带壳的谷子， 粝米指糙米）， 其意为：“50单位的粟， 可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升）， 若按照此“粟米之法”， 则可以换得粝米为（ ）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
[详解]解：由题可知， 3斗的粟即为30升的粟， 设其可以换得粝米为x升，
则， ∴， ∴可以换得粝米为18升；故选：C．
题型１１－５．（2022·浙江嘉兴·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图， 在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态）， 将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A， B处， 当钢梁保持水平时， 弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动， 移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍， 且钢梁保持水平， 则弹簧秤读数为_______（N）（用含n， k的代数式表示）．
[详解]设弹簧秤新读数为x
根据杠杆的平衡条件可得：
解得
故答案为：．
题型１１－６．（2022·江苏南通·中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊， 人出五， 不足四十五；人出七， 余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊， 若每人出5钱， 还差45钱；若每人出7钱， 多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x， 则可列方程为___________．
[详解]解：依题意， 得：5x+45=7x-3．故答案为：5x+45=7x-3．
题型１１－７．（2022·吉林长春·中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作， 其中记载：我问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店， 若每间住7人， 则余下7人无房可住；若每间住9人， 则余下一间无人住， 设店中共有x间房， 可求得x的值为________．
[详解]设店中共有x间房，
由题意得， ，
解得，
所以， 店中共有8间房，
故答案为：8．
题型１１－８．（2021·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇， 不知人数不知竹每人六竿多十四， 每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍， 不知与多少人和竹竿每人6竿， 多14竿；每人8竿， 恰好用完”若设有牧童x人， 根据题意， 可列方程为__________．
[详解]解：设有牧童x人， 根据题意得：6x+14=8x，
题型１１－９．（2021·湖北湖北·中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索， 索比竿子长一托， 对折索子来量竿， 却比竿子短一托．如果1托为5尺， 那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索， 如果用绳索去量竿， 绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿， 就比竿短5尺， 则绳索长几尺．）
[详解]解：设绳索长尺，
由题意得：，
解得，
即绳索长20尺，
故答案为：20．
题型１１－１０．（2022·江苏连云港·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物， 人出八， 盈三；人出七， 不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱， 剩余3钱；每人出7钱， 还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
[详解]解：设人数为人， 由题意得
，
解得．
所以物品价格是．
答：有7人， 物品价格是53钱．
题型１１－１１．（2022·湖南长沙·中考真题）电影《刘三姐》中， 有这样一个场景， 罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你， 一少三多四下分， 不要双数要单数， 看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群， 每个群里， 狗的数量都是奇数， 其中一个群， 狗的数量少：另外三个群， 狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去， 九十九条看羊来， 九十九条守门口， 剩下三条给财主．”请你根据以上信息， 判断以下三种说法是否正确， 在题后相应的括号内， 正确的打“√”， 错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的， 但不是唯一正确的答案．（ ）
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（ ）
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（ ）
(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里， 每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”， 求每个群里狗的数量．
(1)根据题意， 姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外， 还可分成97,97,97,9等，
刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的， 但不是唯一正确的答案，
∵这里的每群狗的数量还需要是正整数，
∴答案不是无数种，
∴①√， ②×， ③×，
故答案为：√， ×， ×；
(2)设数量少的狗群的数量为只， 则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只， 由题意得：
，
解得，
（只），
所以， 数量少的群里狗的数量为45只， 狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只．
题型１１－１２．（2022·江苏镇江·中考真题）某公司专业生产某种产品， 6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单， 要求本月底完成， 7月1日按期交货．
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
经盘点目前公司已有该产品库存2855件， 补充原材料后， 从本月7日开始生产剩余数量的该产品， 已知该公司除周六、周日正常休息外， 每天的生产量相同．但因受高温天气影响， 从本月10日开始， 每天的生产量比原来减少了25件， 截止到17日生产结束， 库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品， 能否按期完成订单？请说明理由．如果不能， 请你给该公司生产部门提出一个合理的建议， 以确保能按期交货．
[分析]设10日开始每天生产量为件， 根据题意列出一元一次方程， 继而根据， 如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品， 截止月底生产的天数为9天， 列出一元一次不等式， 求得从20日开始每天的生产量至少达到130件， 即可求解．
[详解]解：设10日开始每天生产量为件，
根据题意， 得．
解得， ．
如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品， 截止月底生产的天数为9天，
因此该公司9天共可生产900件产品．
因为， 所以不能按期完成订单，
由，
所以为确保按期交货， 从20日开始每天的生产量至少达到130件．
一元一次方程
[知识要点]
知识点一 一元一次方程的基础
等式的概念：用等号表示相等关系的式子。
[注意]
1）等式可以是数字算式， 可以是公式、方程， 也可以是运算律、运算法则等。
2）等式与代数式的区别：等式含有等号， 表示两个式子相等关系， 而代数式不含等号， 只能作为等式的一边。
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
[特征]它含有未知数， 同时又是—个等式。
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）， 且未知数的次数都是1（次）， 这样的的整式方程叫一元一次方程。
一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数， a、b是常数且a≠0）
方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。
知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础）
等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子）， 结果仍相等。
表示为：如果a=b， 则a±c=b±c
等式的性质2：等式两边乘同一个数， 或除以同一个不为零的数， 结果仍相等。
表示为：如果 a=b， 那么ac = bc
如果 a=b(c≠0)， 那么 ac = bc
[注意事项]
1．等式两边都要参加运算， 并且是同一种运算。
2．等式两边加或减,乘或除的数一定是同一个数或同一个式子。
3．等式两边不能都除以0， 即0不能作除数或分母。
4. 等式左右两边互换， 所得结果仍是等式。
考查题型一 等式的性质
题型１．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中， 导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U， 导体的电阻R之间有以下关系：去分母得， 那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
题型１－１．（2022·青海·中考真题）下列说法中， 正确的是（ ）
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
题型１－２．（2021·安徽·中考真题）设a， b， c为互不相等的实数， 且， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型１－３．（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3， 则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
题型１－４．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨， 则推理结果可能产生错误．
例如， 有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”， 并证明如下：
设任意一个实数为x， 令，
等式两边都乘以x， 得．①
等式两边都减， 得．②
等式两边分别分解因式， 得．③
等式两边都除以， 得．④
等式两边都减m， 得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中， 开始出现错误的那一步对应的序号是______．
易错点总结：
知识点三 解一元一次方程
合并同类项：把若干能合并的式子的系数相加， 且字母和字母的指数不变， 起到化简的作用。
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边。（依据：等式的性质1）
去括号：括号前负号时， 去掉括号时里面各项应变号。
去分母：在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。
[去分母易错点]1）去分母时不含分母的项也需要乘分母的最小公倍数。
2）当分母中含有小数时， 先将小数化成整数。
例：尝试通过计算加深理解：0.2x−0.10.6−0.5x+0.10.4=1
解一元一次方程的基本步骤：
考查题型二 解一元一次方程
题型２．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6， 得①
去括号， 得②
移项， 得③
合并同类项， 得④
以上解题步骤中， 开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
题型２－１．（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
题型２－２．（2021·浙江温州·中考真题）解方程， 以下去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型２－３．（2022·浙江金华·中考真题）若分式的值为2， 则x的值是_______．
题型２－４．（2021·重庆·中考真题）若关于x的方程的解是， 则a的值为__________．
题型２－５．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时， 发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是， 请计算．
(2)如果计算结果等于6， 求被污染的数字．
题型２－６．（2021·四川广元·中考真题）解方程：．
易错点总结：
知识点四 实际问题与一元一次方程
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系， 以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
常见利用方程解决实际问题等量关系：
销售中盈亏问题：
1）成本价：俗称进价， 是商家进货时的价格；
2）标价：商家出售时标注的价格；
3）打折：打折就是以标价为基础， 按一定比例降价出售。如：打9折， 就是按标价的90℅出售。
4）利润=售价－进价， 利润>0时盈利， 利润<0时亏损。
5）利润率=利润成本×100%=售价−成本成本×100%。
顺逆流问题：
船在顺水中的速度= 船在静水中的速度 + 水流速度
船在逆水中的速度= 船在静水中的速度 - 水流速度
船顺水的行程 = 船逆水的行程
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
数字问题：
一个两位数， 十位数字是a， 个位数字是b， 那么这个数可表示为10a+b
一个三位数， 百位数字是x, 十位数字是y， 个位数字是z， 那么这个数可表示为100x+10y+z
工程、效率问题：
工程问题中要善于把握什么是总工作量， 总工作量可以看成“1”；
工程问题中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量“1”。
工作量=工作时间×工作效率
球赛积分问题：
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
行程问题：
路程=速度*时间
相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离
追及问题：快者的行程-慢者的行程=初始距离
钟表问题：
整个钟面为360度， 上面有12个大格， 每个大格为30度；60个小格， 每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格， 每分钟走6度
时针速度：每分钟走小格， 每分钟走0.5度
考查题型三 工程问题
题型３ （2022·重庆·中考真题）为保障蔬菜基地种植用水， 需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米， 甲施工队施工5天后， 增加施工人员， 每天比原来多修建20米， 再施工2天完成任务， 求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大， 现还需修建另一条灌溉水渠1800米， 为早日完成任务， 决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠， 直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后， 通过技术更新， 每天比原来多修建20%， 灌溉水渠完工时， 两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？(1)
题型３－１．（2021·广西桂林·中考真题）为了美化环境， 建设生态桂林， 某社区需要进行绿化改造， 现有甲、乙两个绿化工程队可供选择， 已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米， 甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米， 甲队每天的施工费用为600元， 乙队每天的施工费用为400元， 比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？
题型３－２．（2021·山东泰安·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径， 针对疫苗急需问题， 某制药厂紧急批量生产， 计划每天生产疫苗16万剂， 但受某些因素影响， 有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情， 回厂的工人加班生产， 由原来每天工作8小时增加到10小时， 每人每小时完成的工作量不变， 这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后， 未到的工人同时到岗加入生产， 每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务， 问该厂共需要多少天才能完成任务？
题型３－３．（2021·四川成都·中考真题）为改善城市人居环境， 《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨， 刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行， 垃圾分类要求提高， 现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾， 同时由于市民环保意识增强， 该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个， 试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
易错点总结：
考查题型四 销售盈亏问题
题型４ （2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材， 实现企业绿色低碳发展， 通过技术改造升级， 使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3， 4月份共生产再生纸800吨， 其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元， 5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加， 则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元， 4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同， 6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
易错点总结：
题型４－１．（2022·四川南充·中考真题）南充市被誉为中国绸都， 本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品， 它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
(1)求真丝衬衣进价a的值．
(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件， 据市场销售分析， 真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)按（2）中最大利润方案进货与销售， 在实际销售过程中， 当真丝围巾销量达到一半时， 为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%， 衬衣售价不变， 余下围巾降价销售， 每件最多降价多少元？
题型４－２．（2022·四川资阳·中考真题）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱， 人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”， 已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元， 购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个， 求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
易错点总结：
考查题型五 比赛积分问题
题型５．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识， 某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛， 抢答题一共20个， 记分规则如下：每答对一个得5分， 每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分， 则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
考查题型六 数字问题
题型６．（2021·吉林·中考真题）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数， 它的三分之二， 它的一半， 它的七分之一， 它的全部， 加起来总共是33， 若设这个数是， 则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型６－１．（2021·山东枣庄·中考真题）幻方是古老的数学问题， 我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中， 要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15， 则的值为______．
考查题型七 几何问题
题型７．（2022·四川自贡·中考真题）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°， 则这个底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
题型７－１．（2021·广东广州·中考真题）如图， 在数轴上， 点A、B分别表示a、b， 且， 若， 则点A表示的数为（ ）
A． B．0 C．3 D．
考查题型八 和差倍分问题
题型８．（2022·山东东营·中考真题）植树节当天， 七年级1班植树300棵， 正好占这批树苗总数的， 七年级2班植树棵数是这批树苗总数的， 则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180
题型８－１．（2022·湖南岳阳·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题， 原文如下：今有百鹿入城， 家取一鹿， 不尽， 又三家共一鹿， 适尽， 问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城， 每家取一头鹿， 没有取完， 剩下的鹿每3家共取一头， 恰好取完， 问：城中有多少户人家？在这个问题中， 城中人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
题型８－２．（2022·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕， 人出一百， 盈一百；人出九十， 适足．”其大意是：“今有人合伙买猪， 每人出100钱， 则会多出100钱；每人出90钱， 恰好合适．”若设共有x人， 根据题意， 可列方程为____________．
题型８－３．（2021·重庆·中考真题）盲盒为消费市场注入了活力， 既能够营造消费者购物过程中的趣味体验， 也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个， 搭配为A， B， C三种盲盒各一个， 其中A盒中有2个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量， 蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 2个迷你音箱．经核算， A盒的成本为145元， B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和）， 则C盒的成本为__________元．
题型８－４．（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著， 几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元， 则多了3元；若每人出7元， 则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
题型８－５．（2022·湖南娄底·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物， 具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少， 若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树， 据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
题型８－６．（2021·广西梧州·中考真题）运用方程或方程组解决实际问题：若干学生分若干支铅笔， 如果每人5支， 那么多余3支；如果每人7支， 那么缺5支．试问有多少名学生？共有多少支铅笔？
易错点总结：
考查题型九 电费水费问题
题型９．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克， 端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时， 按原价售出， 超过2千克时， 超过的部分打8折．若某人付款14元， 则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为元， 购买量为千克， 则购买量关于付款金额的函数解析式为______．
题型９－１．（2021·广西贺州·中考真题）为了提倡节约用水， 某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时， 按一级单价收费；当每户每月用水量超过时， 超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为， 缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家， 用水量为， 缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费， 二级大费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时， 用水量为多少？
易错点总结：
考查题型十 行程问题
题型１０．（2022·江苏苏州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作， 奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术， 其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步， 不善行者行六十步．今不善行者先行一百步， 善行者追之， 问几何步及之？”译文：“相同时间内， 走路快的人走100步， 走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步， 走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上， 根据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
题型１０－１．（2022·甘肃武威·中考真题）《九章算术》是中国古代的一部数学专著， 其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海， 七日至北海；雁起北海， 九日至南海．今凫雁俱起， 问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞， 7天到北海；大雁从北海起飞， 9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞， 问经过多少天相遇？设经过x天相遇， 根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
题型１０－２．（2022·辽宁营口·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一， 书中记载一道问题：“良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里， 驽马先行一十二日， 问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里， 慢马每天走150里， 慢马先走12天， 试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马， 则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型１０－３．（2022·湖南常德·中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家， 匀速行驶需要4小时， 某天， 他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨， 立即将车速减少了20千米／小时， 到达奶奶家时共用了5小时， 问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
题型１０－４．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中， 骑行运动颇受市民青睐， 甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地， 已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米， 甲才开始从地出发， 则甲出发半小时恰好追上乙， 求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟， 甲才开始从地出发， 则甲、乙恰好同时到达地， 求甲骑行的速度．
题型１０－５．（2021·广西百色·中考真题）据国际田联《田径场地设施标准手册》， 400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成， 有8条跑道， 每条跑道宽1.2米， 直道长87米；跑道的弯道是半圆形， 环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际， 建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程）， 在如图的起跑线同时出发， 经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍， 求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道， 过两人所在点的直线与跑道边线垂直时， 称两人直道相遇）
易错点总结：
考查题型十一 其它问题
题型１１．（2022·河北·中考真题）“曹冲称象”是流传很广的故事， 如图．按照他的方法：先将象牵到大船上， 并在船侧面标记水位， 再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石， 并在船上留3个搬运工， 这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石， 船上只留1个搬运工， 水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤， 设每块条形石的重量是x斤， 则正确的是（ ）
A．依题意 B．依题意
C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤
题型１１－１．（2022·四川南充·中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何．”设鸡有x只， 可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型１１－２．（2022·湖北十堰·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗， 醐洒一斗直粟三斗， 今持粟三斛， 得酒五斗， 问清跴酒各几何?”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子， 一斗䣾酒价值3斗谷子， 现在拿30斗谷子， 共换了5斗酒， 问清洒， 酳酒各几斗? 如果设清酒斗， 那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x3+30−x10=5 D．
题型１１－３．（2022·青海西宁·中考真题）在数学活动课上， 兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示， 在轻质木杆O处用一根细线悬挂， 左端A处挂一重物， 右端B处挂钩码， 每个钩码质量是50g．若OA=20cm， OB=40cm， 挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg， 根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
题型１１－４．（2021·湖南株洲·中考真题）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十， 粝米三十……”（粟指带壳的谷子， 粝米指糙米）， 其意为：“50单位的粟， 可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升）， 若按照此“粟米之法”， 则可以换得粝米为（ ）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
题型１１－５．（2022·浙江嘉兴·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图， 在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态）， 将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A， B处， 当钢梁保持水平时， 弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动， 移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍， 且钢梁保持水平， 则弹簧秤读数为_______（N）（用含n， k的代数式表示）．
题型１１－６．（2022·江苏南通·中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊， 人出五， 不足四十五；人出七， 余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊， 若每人出5钱， 还差45钱；若每人出7钱， 多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x， 则可列方程为___________．
题型１１－７．（2022·吉林长春·中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作， 其中记载：我问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店， 若每间住7人， 则余下7人无房可住；若每间住9人， 则余下一间无人住， 设店中共有x间房， 可求得x的值为________．
题型１１－８．（2021·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇， 不知人数不知竹每人六竿多十四， 每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍， 不知与多少人和竹竿每人6竿， 多14竿；每人8竿， 恰好用完”若设有牧童x人， 根据题意， 可列方程为__________．
题型１１－９．（2021·湖北湖北·中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索， 索比竿子长一托， 对折索子来量竿， 却比竿子短一托．如果1托为5尺， 那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索， 如果用绳索去量竿， 绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿， 就比竿短5尺， 则绳索长几尺．）
题型１１－１０．（2022·江苏连云港·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物， 人出八， 盈三；人出七， 不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱， 剩余3钱；每人出7钱， 还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
题型１１－１１．（2022·湖南长沙·中考真题）电影《刘三姐》中， 有这样一个场景， 罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你， 一少三多四下分， 不要双数要单数， 看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群， 每个群里， 狗的数量都是奇数， 其中一个群， 狗的数量少：另外三个群， 狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去， 九十九条看羊来， 九十九条守门口， 剩下三条给财主．”请你根据以上信息， 判断以下三种说法是否正确， 在题后相应的括号内， 正确的打“√”， 错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的， 但不是唯一正确的答案．（ ）
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（ ）
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（ ）
(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里， 每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”， 求每个群里狗的数量．
题型１１－１２．（2022·江苏镇江·中考真题）某公司专业生产某种产品， 6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单， 要求本月底完成， 7月1日按期交货．
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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30
经盘点目前公司已有该产品库存2855件， 补充原材料后， 从本月7日开始生产剩余数量的该产品， 已知该公司除周六、周日正常休息外， 每天的生产量相同．但因受高温天气影响， 从本月10日开始， 每天的生产量比原来减少了25件， 截止到17日生产结束， 库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品， 能否按期完成订单？请说明理由．如果不能， 请你给该公司生产部门提出一个合理的建议， 以确保能按期交货．
易错点总结：
专题08 一元一次方程
[热考题型]
[知识要点]
知识点一 一元一次方程的基础
等式的概念：用等号表示相等关系的式子。
[注意]
1）等式可以是数字算式， 可以是公式、方程， 也可以是运算律、运算法则等。
2）等式与代数式的区别：等式含有等号， 表示两个式子相等关系， 而代数式不含等号， 只能作为等式的一边。
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
[特征]它含有未知数， 同时又是—个等式。
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）， 且未知数的次数都是1（次）， 这样的的整式方程叫一元一次方程。
一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数， a、b是常数且a≠0）
方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。
知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础）
等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子）， 结果仍相等。
表示为：如果a=b， 则a±c=b±c
等式的性质2：等式两边乘同一个数， 或除以同一个不为零的数， 结果仍相等。
表示为：如果 a=b， 那么ac = bc
如果 a=b(c≠0)， 那么 ac = bc
[注意事项]
1．等式两边都要参加运算， 并且是同一种运算。
2．等式两边加或减,乘或除的数一定是同一个数或同一个式子。
3．等式两边不能都除以0， 即0不能作除数或分母。
4. 等式左右两边互换， 所得结果仍是等式。
考查题型一 等式的性质
题型１．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中， 导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U， 导体的电阻R之间有以下关系：去分母得， 那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
[详解]解：去分母得， 其变形的依据是等式的性质2， 故选：B．
题型１－１．（2022·青海·中考真题）下列说法中， 正确的是（ ）
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
[详解]解：A、若ac=bc， 当c≠0， 则a=b， 故此选项错误；
B、若， 则， 故此选项错误；
C、若， 则， 故此选项正确；
D、若， 则， 故此选项错误；故选：C．
题型１－２．（2021·安徽·中考真题）设a， b， c为互不相等的实数， 且， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：A．当， ， 时， ， 故A错误；
B．当， ， 时， ， 故B错误；
C．整理可得， 故C错误；
D．整理可得， 故D正确；故选：D．
题型１－３．（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3， 则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
[详解]解：由x＋a＝2， 得：x＝2-a， ∵﹣3＜a≤3， ∴﹣1≤2-a＜5， 即：﹣1≤x＜5， 故选A．
题型１－４．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨， 则推理结果可能产生错误．
例如， 有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”， 并证明如下：
设任意一个实数为x， 令，
等式两边都乘以x， 得．①
等式两边都减， 得．②
等式两边分别分解因式， 得．③
等式两边都除以， 得．④
等式两边都减m， 得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中， 开始出现错误的那一步对应的序号是______．
[详解]等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式， 等式不变，
∴第④步等式两边都除以， 得， 前提必须为， 因此错误；
故答案为：④．
知识点三 解一元一次方程
合并同类项：把若干能合并的式子的系数相加， 且字母和字母的指数不变， 起到化简的作用。
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边。（依据：等式的性质1）
去括号：括号前负号时， 去掉括号时里面各项应变号。
去分母：在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。
[去分母易错点]1）去分母时不含分母的项也需要乘分母的最小公倍数。
2）当分母中含有小数时， 先将小数化成整数。
例：尝试通过计算加深理解：0.2x−0.10.6−0.5x+0.10.4=1
解一元一次方程的基本步骤：
考查题型二 解一元一次方程
题型２．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6， 得①
去括号， 得②
移项， 得③
合并同类项， 得④
以上解题步骤中， 开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
[详解]解：方程两边同乘6， 得①∴开始出错的一步是①， 故选：A．
题型２－１．（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
[详解]解：3x＝2x＋7移项得， 3x-2x=7；合并同类项得， x＝7；故选：C．
题型２－２．（2021·浙江温州·中考真题）解方程， 以下去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：， ， 故选：D．
题型２－３．（2022·浙江金华·中考真题）若分式的值为2， 则x的值是_______．
[详解]解：由题意得：
去分母：
去括号：
移项， 合并同类项：
系数化为1：
经检验， x=4是原方程的解，
故答案为：4；
题型２－４．（2021·重庆·中考真题）若关于x的方程的解是， 则a的值为__________．
[详解]解：根据题意， 知， 解得a=3．故答案是：3．
题型２－５．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时， 发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是， 请计算．
(2)如果计算结果等于6， 求被污染的数字．
[详解]（1）解：；
（2）设被污染的数字为x，
由题意， 得， 解得，
所以被污染的数字是3．
题型２－６．（2021·四川广元·中考真题）解方程：．
[详解]解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
知识点四 实际问题与一元一次方程
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系， 以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
常见利用方程解决实际问题等量关系：
销售中盈亏问题：
1）成本价：俗称进价， 是商家进货时的价格；
2）标价：商家出售时标注的价格；
3）打折：打折就是以标价为基础， 按一定比例降价出售。如：打9折， 就是按标价的90℅出售。
4）利润=售价－进价， 利润>0时盈利， 利润<0时亏损。
5）利润率=利润成本×100%=售价−成本成本×100%。
顺逆流问题：
船在顺水中的速度= 船在静水中的速度 + 水流速度
船在逆水中的速度= 船在静水中的速度 - 水流速度
船顺水的行程 = 船逆水的行程
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
数字问题：
一个两位数， 十位数字是a， 个位数字是b， 那么这个数可表示为10a+b
一个三位数， 百位数字是x, 十位数字是y， 个位数字是z， 那么这个数可表示为100x+10y+z
工程、效率问题：
工程问题中要善于把握什么是总工作量， 总工作量可以看成“1”；
工程问题中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量“1”。
工作量=工作时间×工作效率
球赛积分问题：
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
行程问题：
路程=速度*时间
相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离
追及问题：快者的行程-慢者的行程=初始距离
钟表问题：
整个钟面为360度， 上面有12个大格， 每个大格为30度；60个小格， 每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格， 每分钟走6度
时针速度：每分钟走小格， 每分钟走0.5度
考查题型三 工程问题
题型３ （2022·重庆·中考真题）为保障蔬菜基地种植用水， 需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米， 甲施工队施工5天后， 增加施工人员， 每天比原来多修建20米， 再施工2天完成任务， 求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大， 现还需修建另一条灌溉水渠1800米， 为早日完成任务， 决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠， 直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后， 通过技术更新， 每天比原来多修建20%， 灌溉水渠完工时， 两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？(1)
解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米， 原来每天修建米，
则有
解得
∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．
(2)∵水渠总长1800米， 完工时， 两施工队修建长度相同
∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)
乙施工队技术更新后， 修建长度为900－360＝540(米)
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米， 技术更新后每天修建米， 即1.2y米， 则有
解得
经检验， 是原方程的解， 符合题意
∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
题型３－１．（2021·广西桂林·中考真题）为了美化环境， 建设生态桂林， 某社区需要进行绿化改造， 现有甲、乙两个绿化工程队可供选择， 已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米， 甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米， 甲队每天的施工费用为600元， 乙队每天的施工费用为400元， 比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？
[详解]解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米， 则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米，
依题意得：x+x+200=800
解得：x=300，
x+200=500
∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米， 乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．
（2）选择方案①甲队单独完成所需费用=（元）；
选择方案②乙队单独完成所需费用=（元）；
选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=（元）；
∴选择方案①完成施工费用最少．
题型３－２．（2021·山东泰安·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径， 针对疫苗急需问题， 某制药厂紧急批量生产， 计划每天生产疫苗16万剂， 但受某些因素影响， 有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情， 回厂的工人加班生产， 由原来每天工作8小时增加到10小时， 每人每小时完成的工作量不变， 这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后， 未到的工人同时到岗加入生产， 每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务， 问该厂共需要多少天才能完成任务？
[详解]解：（1）设当前参加生产的工人有x人，
依题意得：，
解得：，
经检验， 是原方程的解， 且符合题意．
答：当前参加生产的工人有30人．
（2）每人每小时的数量为（万剂）．
设还需要生产y天才能完成任务，
依题意得：，
解得：， （天）
答：该厂共需要39天才能完成任务．
题型３－３．（2021·四川成都·中考真题）为改善城市人居环境， 《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨， 刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行， 垃圾分类要求提高， 现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾， 同时由于市民环保意识增强， 该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个， 试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
[详解]解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x， 则A型为x+7，
由题意得：10x+12（x+7）=920，
解得：x=38，
答：每个B型点位每天处理生活垃圾为38吨数；
（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y．
由题意得（12+y）(38+7-8)+（10+5-y）（38-8）≥920-10
解得：y≥ ，
∵y为整数
∴至少需要增设3个A型点位，
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
考查题型四 销售盈亏问题
题型４ （2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材， 实现企业绿色低碳发展， 通过技术改造升级， 使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3， 4月份共生产再生纸800吨， 其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元， 5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加， 则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元， 4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同， 6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
（1）解：设3月份再生纸产量为吨， 则4月份的再生纸产量为吨，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得：，
解得：或（不合题意， 舍去）
∴，
∴的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为， 5月份再生纸的产量为吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
题型４－１．（2022·四川南充·中考真题）南充市被誉为中国绸都， 本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品， 它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
(1)求真丝衬衣进价a的值．
(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件， 据市场销售分析， 真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)按（2）中最大利润方案进货与销售， 在实际销售过程中， 当真丝围巾销量达到一半时， 为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%， 衬衣售价不变， 余下围巾降价销售， 每件最多降价多少元？
（1）解：根据表格数据可得：50a+25×80=15000， 解得：a=260；
（2）解：设真丝衬衣件数进货x件， 则真丝围巾进货(300-x)件， 根据题意可得：300-x≥2x， 解得：x≤100；设总利润为y， 根据题意可得y=(300-260)x+(100-80)(300-x)=20x+6000， ∵20>0， ∴y随x的增大而增大， 当x=100时， y最大为：20×100+6000=8000元， 此时方案为：真丝衬衣件数进货100件， 真丝围巾进货200件， 最大利润为8000元；
（3）设降价z元， 根据题意可得100×（100-80）+100×（300-260）+100×（300-260-z）≥8000×90%， 解得：z≤28， ∴每件最多降价28元．
题型４－２．（2022·四川资阳·中考真题）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱， 人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”， 已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元， 购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个， 求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
（1）设乙种型号的单价是x元， 则甲种型号的单价是元．
根据题意得：
解得：．
∴
答：甲种型号的单价是98元， 乙种型号的单价是78元．
（2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个， 则购买乙种型号的“冰墩墩”个．
根据题意， 得：
解得：
∴a最大值是30．
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
考查题型五 比赛积分问题
题型５．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识， 某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛， 抢答题一共20个， 记分规则如下：每答对一个得5分， 每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分， 则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
[详解]解：设小红答对的个数为x个， 由题意得5x−20−x=70， 解得，
故选B．
考查题型六 数字问题
题型６．（2021·吉林·中考真题）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数， 它的三分之二， 它的一半， 它的七分之一， 它的全部， 加起来总共是33， 若设这个数是， 则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：由题意可得．故选C
题型６－１．（2021·山东枣庄·中考真题）幻方是古老的数学问题， 我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中， 要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15， 则的值为______．
[详解]解：如图， 由题意， 图中①表示的数是，
图中②表示的数是，
则，
解得，
故答案为：1．
考查题型七 几何问题
题型７．（2022·四川自贡·中考真题）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°， 则这个底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
[详解]解：设这个底角的度数为x， 则顶角的度数为（2x+20°）， 根据题意得：
，
解得：，
即这个底角的度数为40°．故选：B
题型７－１．（2021·广东广州·中考真题）如图， 在数轴上， 点A、B分别表示a、b， 且， 若， 则点A表示的数为（ ）
A． B．0 C．3 D．
[详解]解：∵
∴， 两点对应的数互为相反数，
∴可设表示的数为， 则表示的数为，
∵
∴，
解得：，
∴点表示的数为-3，
故选：A．
考查题型八 和差倍分问题
题型８．（2022·山东东营·中考真题）植树节当天， 七年级1班植树300棵， 正好占这批树苗总数的， 七年级2班植树棵数是这批树苗总数的， 则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180
[详解]解：设这批树苗一共有x棵，
由题意得：，
解得，
∴七年级2班植树的棵数是棵， 故选C．
题型８－１．（2022·湖南岳阳·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题， 原文如下：今有百鹿入城， 家取一鹿， 不尽， 又三家共一鹿， 适尽， 问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城， 每家取一头鹿， 没有取完， 剩下的鹿每3家共取一头， 恰好取完， 问：城中有多少户人家？在这个问题中， 城中人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
[详解]解：设城中有户人家，
依题意得：，
解得：，
∴城中有75户人家．
故选：B．
题型８－２．（2022·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕， 人出一百， 盈一百；人出九十， 适足．”其大意是：“今有人合伙买猪， 每人出100钱， 则会多出100钱；每人出90钱， 恰好合适．”若设共有x人， 根据题意， 可列方程为____________．
[详解]依题意：.故答案为：100x-100=90x.
题型８－３．（2021·重庆·中考真题）盲盒为消费市场注入了活力， 既能够营造消费者购物过程中的趣味体验， 也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个， 搭配为A， B， C三种盲盒各一个， 其中A盒中有2个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量， 蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机， 3个多接口优盘， 2个迷你音箱．经核算， A盒的成本为145元， B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和）， 则C盒的成本为__________元．
[详解]解：根据题意， 设B盒中蓝牙耳机3a个， 迷你音箱2a个， 优盘的数量为3a+2a=5 a个， 则， 解得， a=1；
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元， 根据题意列方程组得，
②-①得， ，
③×3-①得， ，
故答案为：155．
题型８－４．（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著， 几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元， 则多了3元；若每人出7元， 则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
[详解]解：设学生人数为x人， 由题意得：
，
解得：，
∴该书的单价为（元），
答：学生人数为7人， 该书的单价为53元．
题型８－５．（2022·湖南娄底·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物， 具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少， 若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树， 据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
[详解]（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为mg， 则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为mg， 则
解得：
答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg， 40mg．
（2）50000（mg），
而2000000mg=2000g=2kg，
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．
题型８－６．（2021·广西梧州·中考真题）运用方程或方程组解决实际问题：若干学生分若干支铅笔， 如果每人5支， 那么多余3支；如果每人7支， 那么缺5支．试问有多少名学生？共有多少支铅笔？
[详解]解：设学生有x人， 由题意得5x＋3＝7x−5，
解得：x＝4，
经检验， 符合题意
则6x＋3＝23．
答：学生有4人， 铅笔23支．
考查题型九 电费水费问题
题型９．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克， 端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时， 按原价售出， 超过2千克时， 超过的部分打8折．若某人付款14元， 则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为元， 购买量为千克， 则购买量关于付款金额的函数解析式为______．
[详解]解：∵14>10，
超过2千克，
设购买了千克， 则，
解得，
设某人的付款金额为元， 购买量为千克， 则购买量关于付款金额的函数解析式为：
，
故答案为：3， ．
题型９－１．（2021·广西贺州·中考真题）为了提倡节约用水， 某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时， 按一级单价收费；当每户每月用水量超过时， 超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为， 缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家， 用水量为， 缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费， 二级大费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时， 用水量为多少？
[详解]（1）设该市一级水费的单价为元/， 二级水费的单价为元/，
依题意得， 解得，
答：该市一级水费的单价为3.2元/， 二级水费的单价为6.5元/．
（2）当水费为64.4元， 则用水量超过，
设用水量为， 得， ，
解得：．
答：当缴纳水费为64.4元时， 用水量为．
考查题型十 行程问题
题型１０．（2022·江苏苏州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作， 奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术， 其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步， 不善行者行六十步．今不善行者先行一百步， 善行者追之， 问几何步及之？”译文：“相同时间内， 走路快的人走100步， 走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步， 走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上， 根据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：令在相同时间内走路快的人走100步， 走路慢的人只走60步， 从而得到走路快的人的速度， 走路慢的人的速度，
设走路快的人要走x步才能追上， 根据题意可得，
根据题意可列出的方程是，
故选：B．
题型１０－１．（2022·甘肃武威·中考真题）《九章算术》是中国古代的一部数学专著， 其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海， 七日至北海；雁起北海， 九日至南海．今凫雁俱起， 问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞， 7天到北海；大雁从北海起飞， 9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞， 问经过多少天相遇？设经过x天相遇， 根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
[详解]解：设经过x天相遇，
根据题意得：x+x=1，
∴（+）x=1，
故选：A．
题型１０－２．（2022·辽宁营口·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一， 书中记载一道问题：“良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里， 驽马先行一十二日， 问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里， 慢马每天走150里， 慢马先走12天， 试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马， 则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：设快马x天可以追上慢马， 依题意， 得： 240x-150x=150×12．故选：D．
题型１０－３．（2022·湖南常德·中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家， 匀速行驶需要4小时， 某天， 他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨， 立即将车速减少了20千米／小时， 到达奶奶家时共用了5小时， 问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
[详解]解：设小强家到他奶奶家的距离是千米， 则平时每小时行驶千米， 减速后每小时行驶千米， 由题可知：遇到暴雨前用时2小时， 遇到暴雨后用时5-2=3小时，
则可得：，
解得：，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
题型１０－４．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中， 骑行运动颇受市民青睐， 甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地， 已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米， 甲才开始从地出发， 则甲出发半小时恰好追上乙， 求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟， 甲才开始从地出发， 则甲、乙恰好同时到达地， 求甲骑行的速度．
(1)解：设乙的速度为千米/时， 则甲的速度为千米/时，
由题意得：，
解得：，
则，
答：甲骑行的速度为千米/时；
(2)设乙的速度为千米/时， 则甲的速度为千米/时，
由题意得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
则，
答：甲骑行的速度为千米/时．
题型１０－５．（2021·广西百色·中考真题）据国际田联《田径场地设施标准手册》， 400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成， 有8条跑道， 每条跑道宽1.2米， 直道长87米；跑道的弯道是半圆形， 环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际， 建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程）， 在如图的起跑线同时出发， 经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍， 求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道， 过两人所在点的直线与跑道边线垂直时， 称两人直道相遇）
[分析]（1）根据题意， 计算第三圈与第一圈的路程差即可解第一问， 根据题中路程公式， 可解得第八圈的路程；
（2）分析两人在左边的直道上相遇， 且两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差， 小王的速度为， 则老师的速度为， 列关于的一元一次方程， 解方程即可解题．
[详解]解：（1）根据题意得， 第三圈弯道比第一圈弯道长：
（米）；
第八圈长：（米）
答：第三圈弯道比第一圈弯道长15米， 第八圈长453米．
（2）由于两人是第一次相遇， 教练的速度更快， 且是在直道上两人相遇，
那么两人一定在左边的直道上相遇，
两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差：
（米）
设小王的速度为， 则老师的速度为
答：小王的速度为， 老师的速度为．
考查题型十一 其它问题
题型１１．（2022·河北·中考真题）“曹冲称象”是流传很广的故事， 如图．按照他的方法：先将象牵到大船上， 并在船侧面标记水位， 再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石， 并在船上留3个搬运工， 这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石， 船上只留1个搬运工， 水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤， 设每块条形石的重量是x斤， 则正确的是（ ）
A．依题意 B．依题意
C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤
[详解]解：根据题意可得方程；
则A错误， B正确；
解上面的方程得：x=240,
故D错误；
∴大象的重量是20×240+3×120=5160（斤）
故C错误，
故选：B．
题型１１－１．（2022·四川南充·中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何．”设鸡有x只， 可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：设鸡有x只， 则兔子有（35-x）只，
根据题意可得：2x+4(35-x)=94， 故选：D．
题型１１－２．（2022·湖北十堰·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗， 醐洒一斗直粟三斗， 今持粟三斛， 得酒五斗， 问清跴酒各几何?”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子， 一斗䣾酒价值3斗谷子， 现在拿30斗谷子， 共换了5斗酒， 问清洒， 酳酒各几斗? 如果设清酒斗， 那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x3+30−x10=5 D．
[详解]解：根据题意， 得：10x+3（5－x）=30， 故选：A．
题型１１－３．（2022·青海西宁·中考真题）在数学活动课上， 兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示， 在轻质木杆O处用一根细线悬挂， 左端A处挂一重物， 右端B处挂钩码， 每个钩码质量是50g．若OA=20cm， OB=40cm， 挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg， 根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
[详解]解：根据题意得：．故选：A．
题型１１－４．（2021·湖南株洲·中考真题）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十， 粝米三十……”（粟指带壳的谷子， 粝米指糙米）， 其意为：“50单位的粟， 可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升）， 若按照此“粟米之法”， 则可以换得粝米为（ ）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
[详解]解：由题可知， 3斗的粟即为30升的粟， 设其可以换得粝米为x升，
则， ∴， ∴可以换得粝米为18升；故选：C．
题型１１－５．（2022·浙江嘉兴·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图， 在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态）， 将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A， B处， 当钢梁保持水平时， 弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动， 移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍， 且钢梁保持水平， 则弹簧秤读数为_______（N）（用含n， k的代数式表示）．
[详解]设弹簧秤新读数为x
根据杠杆的平衡条件可得：
解得
故答案为：．
题型１１－６．（2022·江苏南通·中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊， 人出五， 不足四十五；人出七， 余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊， 若每人出5钱， 还差45钱；若每人出7钱， 多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x， 则可列方程为___________．
[详解]解：依题意， 得：5x+45=7x-3．故答案为：5x+45=7x-3．
题型１１－７．（2022·吉林长春·中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作， 其中记载：我问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店， 若每间住7人， 则余下7人无房可住；若每间住9人， 则余下一间无人住， 设店中共有x间房， 可求得x的值为________．
[详解]设店中共有x间房，
由题意得， ，
解得，
所以， 店中共有8间房，
故答案为：8．
题型１１－８．（2021·辽宁大连·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇， 不知人数不知竹每人六竿多十四， 每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍， 不知与多少人和竹竿每人6竿， 多14竿；每人8竿， 恰好用完”若设有牧童x人， 根据题意， 可列方程为__________．
[详解]解：设有牧童x人， 根据题意得：6x+14=8x，
题型１１－９．（2021·湖北湖北·中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索， 索比竿子长一托， 对折索子来量竿， 却比竿子短一托．如果1托为5尺， 那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索， 如果用绳索去量竿， 绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿， 就比竿短5尺， 则绳索长几尺．）
[详解]解：设绳索长尺，
由题意得：，
解得，
即绳索长20尺，
故答案为：20．
题型１１－１０．（2022·江苏连云港·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物， 人出八， 盈三；人出七， 不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱， 剩余3钱；每人出7钱， 还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
[详解]解：设人数为人， 由题意得
，
解得．
所以物品价格是．
答：有7人， 物品价格是53钱．
题型１１－１１．（2022·湖南长沙·中考真题）电影《刘三姐》中， 有这样一个场景， 罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你， 一少三多四下分， 不要双数要单数， 看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群， 每个群里， 狗的数量都是奇数， 其中一个群， 狗的数量少：另外三个群， 狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去， 九十九条看羊来， 九十九条守门口， 剩下三条给财主．”请你根据以上信息， 判断以下三种说法是否正确， 在题后相应的括号内， 正确的打“√”， 错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的， 但不是唯一正确的答案．（ ）
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（ ）
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（ ）
(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里， 每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”， 求每个群里狗的数量．
(1)根据题意， 姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外， 还可分成97,97,97,9等，
刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的， 但不是唯一正确的答案，
∵这里的每群狗的数量还需要是正整数，
∴答案不是无数种，
∴①√， ②×， ③×，
故答案为：√， ×， ×；
(2)设数量少的狗群的数量为只， 则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只， 由题意得：
，
解得，
（只），
所以， 数量少的群里狗的数量为45只， 狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只．
题型１１－１２．（2022·江苏镇江·中考真题）某公司专业生产某种产品， 6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单， 要求本月底完成， 7月1日按期交货．
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
经盘点目前公司已有该产品库存2855件， 补充原材料后， 从本月7日开始生产剩余数量的该产品， 已知该公司除周六、周日正常休息外， 每天的生产量相同．但因受高温天气影响， 从本月10日开始， 每天的生产量比原来减少了25件， 截止到17日生产结束， 库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品， 能否按期完成订单？请说明理由．如果不能， 请你给该公司生产部门提出一个合理的建议， 以确保能按期交货．
[分析]设10日开始每天生产量为件， 根据题意列出一元一次方程， 继而根据， 如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品， 截止月底生产的天数为9天， 列出一元一次不等式， 求得从20日开始每天的生产量至少达到130件， 即可求解．
[详解]解：设10日开始每天生产量为件，
根据题意， 得．
解得， ．
如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品， 截止月底生产的天数为9天，
因此该公司9天共可生产900件产品．
因为， 所以不能按期完成订单，
由，
所以为确保按期交货， 从20日开始每天的生产量至少达到130件．
